華師大初等數(shù)學(xué)講義19全等三角形

第十九章全等三角形你玩過拼圖游戲嗎？那是用許多各種顏色的小拼板拼成一幅幅美麗的圖畫.那些拼板有不少是形狀相同、大小一樣的.它們相互之間有什么關(guān)系？發(fā)揮你的智慧，想想看！§19.1命題與定理1.命題思考我們已經(jīng)學(xué)過一些圖形的特性，如“三角形的內(nèi)角和等于180°”、“等腰三角形的兩個底角相等”等．根據(jù)我們學(xué)過的圖形特性，試判斷下列句子是否正確．（1）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；（2）兩直線平行，同位角相等；（3）同旁內(nèi)角相等，兩直線平行；（4）平行四邊形的對角線相等；（5）直角都相等．根據(jù)已有的知識可以判斷出句子（1）、（2）、（5）是正確的，句子（3）、（4）是錯誤的．像這樣可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題（proposition）．正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題．在數(shù)學(xué)中，許多命題是由題設(shè)（或已知條件）、結(jié)論兩部分組成的．題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．這樣的命題?？蓪懗伞叭绻敲础钡男问剑谩叭绻遍_始的部分就是題設(shè)，而用“那么”開始的部分就是結(jié)論．例如，在命題（1）中，“兩個角是對頂角”是題設(shè)，“這兩個角相等”是結(jié)論．有的命題的題設(shè)與結(jié)論不十分明顯，將它寫成“如果……，那么……”的形式，也可分清它的題設(shè)與結(jié)論．例如，命題（5）可寫成“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”．例1 把命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果……，那么……”的形式，并分別指出命題的題設(shè)與結(jié)論．解 這個命題可以寫成“如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形”．這個命題的題設(shè)是“一個三角形的三個角都相等”，結(jié)論是“這個三角形是等邊三角形”．要判斷一個命題是真命題，可以用邏輯推理的方法加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個符合該命題題設(shè)而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了．在數(shù)學(xué)中，這種方法稱為“舉反例”．例如，要證明命題“一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角”是假命題，只需舉出一個反例“某一銳角與某一鈍角的和不是180°”即可．練習(xí)1把下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式，并指出它的題設(shè)和結(jié)論．（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等；（2）平行四邊形的對邊相等．2指出下列命題中的真命題和假命題．（1）同位角相等，兩直線平行；（2）多邊形的內(nèi)角和等于180°．2公理、定理數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理（axioms）．我們已經(jīng)知道下列命題是真命題：一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等．在本書中我們將這些真命題均作為公理．?dāng)?shù)學(xué)中有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理（theorem）．例如，有了“三角形的內(nèi)角和等于180°”這條定理后，我們還可以證明刻畫直角三角形的兩個銳角之間的數(shù)量關(guān)系的命題：直角三角形的兩個銳角互余．已知：如圖19.1.1，在Rt△ABC中，∠C＝90°.求證：∠A＋∠B＝90°．證明∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的內(nèi)角和等于180°），又∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°．此命題可以用來作為判斷其他命題真假的依據(jù)，因此我們把它也作為定理．定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質(zhì)屬性，而且可以作為進(jìn)一步確認(rèn)其他命題真假的依據(jù)．練習(xí)1把下列定理改寫成“如果……，那么……”的形式，指出它的題設(shè)和結(jié)論，并用邏輯推理的方法證明題（1）：（1）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；（2）三角形的外角和等于360°．2判斷命題“內(nèi)錯角相等”是真命題還是假命題，并說明理由．習(xí)題19.11判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，舉一個反例加以證明．（1）兩個銳角的和等于直角；（2）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等．（第3題）2把下列命題改成“如果……，那么……”的形式．（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等；（2）菱形的對角線相互垂直；（3）有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．3試證明“如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．”即，已知：如圖，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分別為E、F．求證：AB∥CD．（第3題）§19.2三角形全等的判定1.全等三角形的判定條件我們知道：若兩個三角形的三條邊、三個角分別對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等.那么能否減少一些條件，找到更為簡便的判定三角形全等的方法？顯然由于三角形的內(nèi)角和等于180°，如果兩個角分別對應(yīng)相等，那么另一個角必然也相等．這樣，若兩個三角形的三條邊、兩個角分別對應(yīng)相等，則這兩個三角形仍然全等．能否再減少一些條件？對兩個三角形來說，六個元素（三條邊、三個角）中至少要有幾個元素分別對應(yīng)相等，兩個三角形才會全等呢？1.我們從最簡單的開始，如果只知道兩個三角形有一組對應(yīng)相等的元素（邊或角），這兩個三角形一定全等嗎？（1）如果只知道兩個三角形有一個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等嗎？（2）如果只知道兩個三角形有一條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等嗎？2.如果兩個三角形有兩組對應(yīng)相等的元素（邊或角），那么這兩個三角形一定全等嗎？想一想，會有幾種可能的情況？分別按照下面的條件，用刻度尺或量角器畫三角形，并和周圍的同學(xué)比較一下，所畫的圖形是否全等．（1）三角形的兩個內(nèi)角分別為30°和70°；（2）三角形的兩條邊分別為3cm和5cm；（3）三角形的一個內(nèi)角為60°，一條邊為3cm；（i）這條長3cm的邊是60°角的鄰邊；（ii）這條長3cm的邊是60°角的對邊．你一定會發(fā)現(xiàn)，如果只知道兩個三角形有一組或兩組對應(yīng)相等的元素（邊或角），那么這兩個三角形不一定全等（甚至形狀都不相同）．思考如果兩個三角形有三組對應(yīng)相等的元素（邊或角），那么會有哪幾種可能的情況？這時，這兩個三角形一定會全等嗎？練習(xí)如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)，△AOB繞O旋轉(zhuǎn)180o，可以與△___________重合，這說明△AOB≌△___________.這兩個三角形的對應(yīng)邊是AO與__________，OB與__________，BA與__________；對應(yīng)角是∠AOB與________，∠OBA與_________,∠BAO與___________. 2如圖，AE是平行四邊形ABCD的高，將△ABE沿AD方向平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，則△ABE≌_________，∠F＝_________°．3如圖，點(diǎn)D是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB＝AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，則△ABD≌_________，AD＝_________，BD＝_________．2邊角邊如果兩個三角形有3組對應(yīng)相等的元素，那么含有以下的四種情況：兩邊一角、兩角一邊、三角、三邊．我們將對這四種情況分別進(jìn)行討論．如果兩個三角形有兩條邊和一個角分別對應(yīng)相等，這兩個三角形一定全等嗎？如圖19.2.1所示，此時應(yīng)該有兩種情況：一種是角夾在兩條邊的中間，形成兩邊夾一角；另一種情況是角不夾在兩邊的中間，形成兩邊一對角．如圖19.2.2，已知兩條線段和一個角，以這兩條線段為邊，以這個角為這兩條邊的夾角，畫一個三角形．把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進(jìn)行比較，所有的三角形都全等嗎？換兩條線段和一個角試試，是否有同樣的結(jié)論．步驟：1畫一線段AB，使它等于4cm；2畫∠MAB＝45°；3在射線AM上截取AC＝3cm；4連結(jié)BC．ABC即為所求．如圖19.2.3，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．由于AB＝A′B′，我們移動其中的△ABC，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′、點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合；因?yàn)椤螧＝∠B′，因此可以使∠B與∠B′的另一邊BC與B′C′重疊在一起，而BC＝B′C′，因此點(diǎn)C與點(diǎn)C′重合．于是△ABC與△A′B′C′重合，這就說明這兩個三角形全等．由此可得判定三角形全等的一種簡便方法：如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．簡記為S.A.S.（或邊角邊）．例1如圖19.2.4，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求證：△ABD≌△ACD．證明∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD與△ACD中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（S.A.S.）．由△ABD與△ACD全等，還能證得∠B＝∠C，即證得等腰三角形的兩個底角相等這條定理．你還能證得哪些結(jié)論？如圖19.2.5，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對邊，畫一個三角形．把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進(jìn)行比較，那么所有的三角形都全等嗎？此時符合條件的三角形的形狀能有多少種呢？練習(xí)1根據(jù)題目條件，判斷下面的三角形是否全等．（1）AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF；（2）BC＝BD，∠ABC＝∠ABD．2點(diǎn)M是等腰梯形ABCD底邊AB的中點(diǎn)，求證△AMD≌△BMC．3．角邊角前面，我們已經(jīng)知道，當(dāng)兩個三角形的兩條邊及其夾角分別對應(yīng)相等時，兩個三角形一定全等．而當(dāng)兩個三角形的兩條邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等時，兩個三角形未必一定全等．現(xiàn)在，討論相對的情況：如果兩個三角形有兩個角、一條邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形能全等嗎？這時同樣應(yīng)有兩種不同的情況：如圖19.2.6所示，一種情況是兩個角及這兩角的夾邊；另一種情況是兩個角及其中一角的對邊．如圖19.2.7，已知兩個角和一條線段，以這兩個角為內(nèi)角，以這條線段為這兩個角的夾邊，畫一個三角形．把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進(jìn)行比較，所有的三角形都全等嗎？換兩個角和一條線段，試試看，是否有同樣的結(jié)論．步驟：1畫一線段AB，使它等于4cm；2畫∠MAB＝60°、∠NBA＝40°，MA與NB交于點(diǎn)C．△ABC即為所求．如圖19.2.8，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．由于AB＝A′B′，我們移動其中的△ABC，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′、點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合，且使點(diǎn)C與點(diǎn)C′分別位于線段AB的同側(cè)．因?yàn)椤螦＝∠A′，因此可以使∠A與∠A′的另一邊AC與A′C′重疊在一起；同樣因?yàn)椤螧＝∠B′，可以使∠B與∠B′的另一邊BC與B′C′重疊在一起．由于兩條直線只有一個交點(diǎn)，因此點(diǎn)C與點(diǎn)C′重合．于是△ABC與△A′B′C′重合，這就說明這兩個三角形全等．由此可得判定三角形全等的又一種簡便方法：如果兩個三角形有兩個角及其夾邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．簡記為A.S.A.（或角邊角）．例2如圖19.2.9，已知∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．證明在△ABC和△DCB中，∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，∴△ABC≌△DCB（A.S.A.）．思考如圖19.2.10，如果兩個三角形有兩個角及其中一個角的對邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形是否一定全等？分析因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和等于180°，因此有兩個角分別對應(yīng)相等，那么第三個角必對應(yīng)相等，于是由“角邊角”，便可證得這兩個三角形全等．下面我們證明這個定理：如果兩個三角形有兩個角和其中一個角的對邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．簡記為A.A.S.（或角角邊）．已知：如圖19.2.10，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′．求證：△ABC≌△A′B′C′．證明∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，又∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的內(nèi)角和等于180°），同理∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°，∴∠C＝∠C′．在△ABC和△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′，∴△ABC≌△A′B′C′（A.S.A.）．練習(xí)1如圖，已知∠ABC＝∠D，∠ACB＝∠CBD，判斷圖中的兩個三角形是否全等，并說明理由．2如圖，△ABC是等腰三角形，AD、BE分別是∠BAC、∠ABC的角平分線，△ABD和△BAE全等嗎？試說明理由．4．邊邊邊我們已經(jīng)討論了兩個三角形有兩邊一角，以及兩角一邊分別對應(yīng)相等，這兩個三角形能否全等的情況．我們很容易發(fā)現(xiàn)，如果兩個三角形有三個角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形未必全等（如圖19．2．11）．最后，如果兩個三角形有三條邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形是否一定全等呢？如圖19．2．12，已知三條線段，以這三條線段為邊，畫一個三角形．把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進(jìn)行比較，所有的三角形都全等嗎？換三條線段，試試看，是否有同樣的結(jié)論？步驟：1．畫一線段AB，使它等于線段c（4．5cm）；2．以點(diǎn)A為圓心、線段b（3cm）的長為半徑畫圓弧，以點(diǎn)B為圓心、線段a（4cm）的長為半徑畫圓弧，兩弧交于點(diǎn)C；3．連結(jié)AC、BC．△ABC即為所求．如圖19．2．13，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′．不妨假設(shè)三角形最長的邊為AB邊，由于AB＝A′B′，我們移動其中的△ABC，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′、點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合，且使點(diǎn)C與點(diǎn)C′分別位于線段AB的兩側(cè)，連結(jié)CC′（如圖19．2．14）．因?yàn)锳C＝A′C′，即AC＝AC′，所以∠ACC′＝∠AC′C．同理可知∠BCC′＝∠BC′C．因此∠ACB＝∠AC′B．又因?yàn)锳C＝AC′，BC＝BC′，由“邊角邊”，便可知這兩個三角形全等．于是可得判定三角形全等的第3種簡便方法：如果兩個三角形的三條邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．簡記為S．S．S．（或邊邊邊）.例3如圖19．2．15，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，求證：△ABC≌△CDA．證明在△ABC和△CDA中，∵CB＝AD，AB＝CD（已知），又AC＝CA（公共邊），∴△ABC≌△CDA（S．S．S．）．至此，我們已經(jīng)知道，若兩個三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊，或三邊）分別對應(yīng)相等，則這兩個三角形全等．在本書中我們也將這些真命題作為公理．我們可以將前面探索得到的結(jié)論歸納成下表：對應(yīng)相等的元素兩邊一角兩角一邊三角三邊兩邊及其夾角兩邊及其中一邊的對角兩角及其夾邊兩角及其中一角的對邊三角形是否全等一定（S.A.S）不一定一定(A.S.A)一定(A.A.S)不一定一定(S.S.S)以前我們通過探索得出的結(jié)論，如等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等，均可從所有的公理出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理證得，作為定理.練習(xí)1．根據(jù)條件分別判定下面的三角形是否全等．（1）線段AD與BC相交于點(diǎn)O，AO＝DO，BO＝CO.△ABO與△BCO；（2）AC＝AD，BC＝BD.△ABC與△ABD；（3）∠A＝∠C，∠B＝∠D.△ABO與△CDO；（4）線段AD與BC相交于點(diǎn)E，AE＝BE，CE＝DE，AC＝BD.△ABC與△BAD？2．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，△ABC和△CDA是否全等？若四邊形是菱形、矩形、梯形，是否還有相同的結(jié)論？5斜邊直角邊我們已經(jīng)知道，對于兩個三角形，如果有“邊角邊”或“角邊角”或“角角邊”或“邊邊邊”分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形一定全等．如果有“角角角”分別對應(yīng)相等，那么不能判定這兩個三角形全等，這兩個三角形可以有不同的大?。绻小斑呥吔恰狈謩e對應(yīng)相等，那么也不能保證這兩個三角形全等．那么在兩個直角三角形中，當(dāng)斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等時，也具有“邊邊角”對應(yīng)相等的條件，這時這兩個直角三角形能否全等呢？如圖19．2．16，已知兩條線段（這兩條線段長不相等），以長的線段為斜邊、短的線段為一條直角邊，畫一個直角三角形．把你畫的直角三角形與其他同學(xué)畫的直角三角形進(jìn)行比較，所有的直角三角形都全等嗎？換兩條線段，試試看，是否有同樣的結(jié)論？步驟：1．畫一線段AB，使它等于4cm；2．畫∠MAB＝90°；3．以點(diǎn)B為圓心，以5cm長為半徑畫圓弧，交射線AM于點(diǎn)C；4．連結(jié)BC．△ABC即為所求．如圖19．2．17，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．由于直角邊AC＝A′C′，我們移動其中的Rt△ABC，使點(diǎn)A與點(diǎn)A′、點(diǎn)C與點(diǎn)C′重合，且使點(diǎn)B與點(diǎn)B′分別位于線段A′C′的兩側(cè)．因?yàn)椤螦CB＝∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°，故∠B′C′B＝∠A′C′B′＋∠A′C′B＝180°，因此點(diǎn)B、C′、B′在同一條直線上．于是在△A′B′B中，由AB＝A′B＝A′B′（已知），得∠B＝∠B′．由“角角邊”，便可知這兩個三角形全等．于是可得如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等．簡記為H．L．（或斜邊直角邊）．例4如圖19．2．18，已知AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，求證Rt△ABC≌Rt△BAD．證明∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC與△BAD都是直角三角形．在Rt△ABC與Rt△BAD中，∵AB＝BA，AC＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（H．L．）.練習(xí)1．如圖，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，DE＝DF，求證：△BED≌△CFD．2．如圖，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，求證：BC＝BD．習(xí)題19．21．如圖，已知AB＝DC，AC＝DB，求證：△ABC≌△DCB．2．如圖，已知∠1＝∠2，AO＝BO，求證：△AOP≌△BOP．3．要使下列各對三角形全等，還需要增加什么條件？（1）∠A＝∠D，∠B＝∠F；（2）∠A＝∠D，AB＝DE．4．如圖，已知AB＝AC，BD＝CE，求證：△ABD≌△ACE．5．如圖，已知AB與CD相交于O，∠A＝∠D，CO＝BO，求證：△AOC≌△DOB．6．如圖，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，你能找出一對全等的三角形嗎？閱讀材料圖形中的“裂縫”幾何圖形的割補(bǔ)問題，有時會使人不知所措．下面的圖形問題是出現(xiàn)在薩姆·勞埃得（SamLoyd）的《趣題大全》（CyclopediaofPuzzles）中的一個趣題：將圖1按所畫粗線條剪開，再按圖2拼合，方格線的面積增加了一個平方單位．為什么面積會增加了？這是視覺上的錯覺欺騙了我們．實(shí)際上，當(dāng)圖1剪成四塊拼成圖2時，中間有一個如圖3所示的平行四邊形ABCD的縫隙，它的面積正好為1．也就是說A、B、C三點(diǎn)及A、D、C三點(diǎn)都不在一條直線上，圖形中出現(xiàn)了“裂縫”，而圖2中誤以為它們都在同一條直線上.這就說明了證明的重要性．后來，有人將圖4中的三角形區(qū)域按所畫的粗線條剪開，再按圖5重新拼合，結(jié)果在三角形的內(nèi)部出現(xiàn)了一個“黑洞”．你能對圖4和圖5中的現(xiàn)象作出解釋嗎？§19.3尺規(guī)作圖我們已經(jīng)會使用刻度尺、三角尺、量角器和圓規(guī)等工具方便地畫出各種幾何圖形．如果限定只能使用圓規(guī)和沒有刻度的直尺這兩種工具去作幾何圖形，你還能作出符合條件的圖形嗎？我們把只能使用圓規(guī)和沒有刻度的直尺這兩種工具去作幾何圖形的方法稱為尺規(guī)作圖．自古希臘時代起，人們就對尺規(guī)作圖產(chǎn)生了極大的興趣，吸引著許多人去探索．對僅用直尺（以下我們所說的直尺均指沒有刻度的直尺）和圓規(guī)能作出哪些圖形以及不可能作出哪些圖形的思考和研究，竟推動了整個數(shù)學(xué)的發(fā)展．以下我們將研究僅用尺規(guī)過一已知點(diǎn)作已知直線的垂線、作已知線段的垂直平分線、作已知角的平分線的方法．為完整起見，我們把曾在七年級第一學(xué)期第4章中已經(jīng)學(xué)過的作線段和作角的內(nèi)容重新以示意圖列出，以便對于尺規(guī)作圖有一個較為完整的學(xué)習(xí)．這5種作圖稱為基本作圖，幾何作圖問題一般都是由若干個基本作圖組合而成的．1．作一條線段等于已知線段 2．作一個角等于已知角練習(xí)1．任意畫出兩條線段AB和CD，再作一條線段，使它等于AB＋2CD．2．任意畫出兩個角∠1和∠2，使∠1>∠2，再作一個角，使它等于∠1－∠2．3．作已知角的平分線如圖19．3．4，∠AOB為已知角，試按下列步驟用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地作出∠AOB的平分線．第一步：在射線OA和OB上，分別截取OD、OE，使OD＝OE；第二步：分別以點(diǎn)D、E為圓心，以適當(dāng)長（大于線段DE長的一半）為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)C；第三步：作射線OC．射線OC就是所要作的∠AOB的平分線．我們可以證明這樣作出來的射線是符合要求的，即證明∠AOC＝∠BOC．如圖19．3．5，連結(jié)EC、DC，∵OD＝OE，DC＝EC，OC＝OC，∴△OCD≌△OCE（S．S．S．），∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的對應(yīng)角相等）．練習(xí)1．如圖，已知∠A，試作∠B＝1〖〗2∠A（不寫作法，保留作圖痕跡）．2．作出圖中三角形三個內(nèi)角的角平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．4．經(jīng)過一已知點(diǎn)作已知直線的垂線已知點(diǎn)與已知直線可以有兩種不同的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上，點(diǎn)不在直線上．因此要分別按這兩種情況作圖．（1）經(jīng)過已知直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線．已知直線AB和AB上一點(diǎn)C，試按下列步驟用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地經(jīng)過點(diǎn)C作出直線AB的垂線．如圖19．3．6，由于點(diǎn)C在直線AB上，因此所求作的垂線正好是平角ACB的平分線所在的直線．第一步：作平角ACB的平分線CD；第二步：反向延長射線CD．直線CD就是所要作的垂線．（2）經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線．動手試一試，現(xiàn)在你知道具體作法了吧，你能說說其中的道理嗎？已知直線AB和AB外一點(diǎn)C，試按下列步驟用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地經(jīng)過點(diǎn)C作出直線AB的垂線．如圖19．3．7，若以點(diǎn)C為圓心，作能與直線AB相交于D、E兩點(diǎn)的弧，則△CDE為等腰三角形，由“等腰三角形底邊上的高就是頂角的平分線”可知，只需作出∠DCE的平分線．例 利用直尺和圓規(guī)作一個等于45°的角．作法：1．作直線AB；2．過點(diǎn)A作直線AB的垂線AC；3．作∠CAB的平分線AD．∠DAB就是所要作的角（如圖19．3．8所示）．練習(xí)1．如圖，過點(diǎn)P作∠O兩邊的垂線．2．如圖，作△ABC邊BC上的高．5．作已知線段的垂直平分線思考如圖19．3．9，對已知線段AB的垂直平分線上的任意兩點(diǎn)C、D，總有CA＝CB，DA＝DB.由此，你能發(fā)現(xiàn)作垂直平分線的方法嗎？如圖19．3．10，已知線段AB，試按下列步驟用直尺和圓規(guī)準(zhǔn)確地作出線段AB的垂直平分線．第一步：分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于AB一半的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D．第二步：作直線CD．直線CD就是所要作的線段AB的垂直平分線．我們可以證明這樣作出來的直線是符合要求的，即證明直線CD垂直平分線段AB．如圖19．3．11，連結(jié)CA、CB、DA、DB，∵AC＝BC，AD＝BD，CD＝CD，∴△ACD≌△BCD（S．S．S．），∴∠ACD＝∠BCD（全等三角形的對應(yīng)角相等），∴CD垂直平分線段AB（等腰三角形“三線合一”）．由于直線CD與線段AB的交點(diǎn)就是AB的中點(diǎn)，因此我們可以用這種方法作出線段AB的中點(diǎn)，從而也可以作出任一個三角形的三條中線．練習(xí)1．四等分已知線段AB．2．如圖，作△ABC邊BC的垂直平分線．習(xí)題19．3完成下列作圖，并寫出作法．1．如圖，已知線段AB和CD，求作一條線段，使它等于AB－2CD．2．如圖，已知∠A和∠B，求作一個角，使它等于∠A－2∠B．3．如圖，已知線段a和b，求作一個等腰三角形，使它的腰長等于a，底邊長等于b．4．如圖，已知線段a和b，求作一個直角三角形，使它的兩條直角邊分別等于線段a和b．5．作一個四邊形，使它的兩組對邊分別相等．6．已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A≠90°，在AC所在的直線上求作一點(diǎn)P，使PA＝PB．閱讀材料由尺規(guī)作圖產(chǎn)生的三大難題古希臘人用尺規(guī)作圖，主要目的在于訓(xùn)練智力，培養(yǎng)邏輯思維能力，所以對作圖的工具有嚴(yán)格的限制．他們規(guī)定作圖只能用直尺和圓規(guī)，而他們所謂的直尺是沒有刻度的．正是在這種嚴(yán)格的限制下，產(chǎn)生了種種難題．相傳神話中的一個國王對兒子給他造的墳?zāi)共粷M意，命令把墳?zāi)箶U(kuò)大一倍，但是當(dāng)時的工匠都不知如何解決．后來，德利安人為了擺脫某種瘟疫，遵照神諭，必須把阿波洛的立方體祭壇擴(kuò)大一倍．據(jù)說，這個問題提到柏拉圖那里，柏拉圖又把它交給了幾何學(xué)家．這就是著名的倍立方問題．除倍立方問題外，還有三等分任意角、化圓為方（作一正方形，使其面積等于給定的圓面積）．在數(shù)學(xué)史中，很難找到像這樣長期被人關(guān)注的問題．兩千多年以來，無數(shù)人的聰明才智傾注于這三個問題而毫無結(jié)果．但對這三個問題的深入探索，促進(jìn)了希臘幾何學(xué)的發(fā)展，引出了大量的發(fā)現(xiàn)．如圓錐曲線、許多二次和三次曲線以及幾種超越曲線的發(fā)現(xiàn)等；后來又有關(guān)于有理域、代數(shù)數(shù)、超越數(shù)、群論和方程論若干部分的發(fā)展．直到19世紀(jì)，即距第一次提出這三個問題兩千年之后，這三個問題才被證實(shí)在所給的條件下是不可能解決的．現(xiàn)在還有不少人創(chuàng)造了各種各樣的輔助工具，用來解決這些尺規(guī)作圖無法解決的問題．下面的工具就可以用來解決三等分任意角的問題（這樣的作圖就相當(dāng)于用量角器三等分任意角，已不屬于尺規(guī)作圖范疇）．你能說出其中的道理嗎？§194逆命題與逆定理1．互逆命題與互逆定理我們已經(jīng)知道，可以判斷正確或錯誤的句子叫做命題．例如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”、“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”都是命題．上面兩個命題的題設(shè)和結(jié)論恰好互換了位置．一般來說，在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題．如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一命題就叫做它的逆命題．命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的題設(shè)為____________________________________；結(jié)論為____________________________________．因此它的逆命題為_____________________________________________．每一個命題都有逆命題，只要將原命題的題設(shè)改成結(jié)論，并將結(jié)論改成題設(shè)，便可得到原命題的逆命題．但是原命題正確，它的逆命題未必正確．例如真命題“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”，此命題就是假命題．如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理．我們已經(jīng)知道命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”和它的逆命題“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”都是定理，因此它們就是互逆定理．一個假命題的逆命題可以是真命題，甚至可以是定理．例如“相等的角是對頂角”是假命題，但它的逆命題“對頂角相等”是真命題，且是定理．練習(xí)1．說出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并說出它們的逆命題：（1）如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余；（2）等邊三角形的每個角都等于60°；（3）全等三角形的對應(yīng)角相等；（4）到一個角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上；（5）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等．2．舉例說明下列命題的逆命題是假命題：（1）如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是5，那么這個整數(shù)能被5整除；（2）如果兩個角都是直角，那么這兩個角相等．3．在你所學(xué)過的知識內(nèi)容中，有沒有原命題與逆命題都正確的例子（即互逆定理）？試舉出幾對．2．等腰三角形的判定在七年級第二學(xué)期第10章中我們已經(jīng)知道，等腰三角形的底角相等，這是等腰三角形的性質(zhì)定理．它的逆命題“如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”也是定理，是判定三角形是否是等腰三角形的一個重要的方法．回憶你是怎樣知道等腰三角形的這個判別方法的呢？如圖19．4．1，在△ABC中，∠B＝∠C．當(dāng)時是利用圓規(guī)截取AB、AC，比較AB、AC的大小，從而得到AB＝AC．為了確認(rèn)這個命題的正確性，我們可以用邏輯推理的方法加以證明．已知：如圖19．4．2，在△ABC中，∠B＝∠C．求證：AB＝AC．分析：要證明AB＝AC，可設(shè)法構(gòu)造兩個全等三角形，使AB、AC分別是這兩個全等三角形的對應(yīng)邊，于是想到作∠BAC的平分線AD．證明 作∠BAC的平分線AD．在△BAD和△CAD中，∵∠B＝∠C，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD（A．A．S．），∴AB＝AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．于是得到：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．（簡寫成“等角對等邊”）在八年級上學(xué)期第14章中我們已經(jīng)知道勾股定理及勾股定理的逆定理．我們也可以用邏輯推理的方法證明勾股定理的逆定理．如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形．已知：如圖19．4．3，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，且a2＋b2＝c2．求證：△ABC是直角三角形．分析：首先構(gòu)造直角三角形A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝a，C′A′＝b，然后可以證明△ABC≌△A′B′C′，從而可知△ABC是直角三角形．設(shè)三角形三邊長分別是下列各組數(shù)，試判斷各三角形是不是直角三角形．如果是直角三角形，請指出哪條邊所對的角是直角．（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）35，91，84．練習(xí)1．說出定理“等邊三角形的三個內(nèi)角都相等”的逆命題，并證明該逆命題為真命題．2．如圖，已知P、Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大?。?．三角形三邊長a、b、c分別是下列各組數(shù)，試判斷各三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一個角是直角？（１）a=8,b=15,c=17；（２）a=6,b=10,c=8；（3）a=1,b=3,c=2.4．給定一個三角形的兩邊長分別為5、12，當(dāng)?shù)谌龡l邊為多長時，這個三角形是直角三角形？3．角平分線回憶我們知道角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等．角平分線的這條性質(zhì)是怎樣得到的呢？如圖19．4．4，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．當(dāng)時是在半透明紙上描出了這個圖，然后沿著射線OC對折，通過觀察，線段PD和PE完全重合．于是得到PD＝PE．與等腰三角形的判定方法相類似，我們也可用邏輯推理的方法加以證明.圖中有兩個直角三角形△PDO和△PEO，只要證明這兩個三角形全等，便可證得PD＝PE．于是就有定理：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等．此定理的逆命題是“到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上”，這個命題是否是真命題呢？即到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個角的平分線上呢？我們可以通過“證明”來解答這個問題．已知：如圖19．4．5，QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE．求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上．分析：為了證明點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上，可以作射線OQ，然后證明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，從而得到∠AOQ＝∠BOQ．于是就有定理：到一個角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上．上述兩條定理互為逆定理，根據(jù)上述這兩條定理，我們很容易證明：三角形三條角平分線交于一點(diǎn)．從圖19．4．6中可以看出，要證明三條角平分線交于一點(diǎn)，只需證明其中的兩條角平分線的交點(diǎn)一定在第三條角平分線上就可以了．請你完成證明．練習(xí)1．如圖，在直線l上找出一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到∠AOB的兩邊OA、OB的距離相等．2．如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．4．線段垂直平分線我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸，并知道線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等．我們也可用邏輯推理的方法證明這一結(jié)論．如圖19．4．7，設(shè)直線MN是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)C是垂足．點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB．證明PA＝PB．已知：MN⊥AB，垂足為點(diǎn)C，AC＝BC，點(diǎn)P是直線MN上任意一點(diǎn)．求證：PA＝PB．分析 圖中有兩個直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個三角形全等，便可證得PA＝PB．于是就有定理：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等．此定理的逆命題是“到一條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”，這個命題是否是真命題呢？即到一條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是否一定在這條線段的垂直平分線上呢？我們也可以通過“證明”來解答這個問題．已知：如圖19．4．8，QA＝QB．求證：點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上．分析：為了證明點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上，可以先經(jīng)過點(diǎn)Q作線段AB的垂線，然后證明該垂線平分線段AB；也可以先平分線段AB，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)C，然后證明QC垂直于線段AB．于是就有定理：到一條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．上述兩條定理互為逆定理，根據(jù)上述兩條定理，我們很容易證明：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．從圖19．4．9中可以看出，要證明三條垂直平分線交于一點(diǎn)，只需證明其中的兩條垂直平分線的交點(diǎn)一定在第三條垂直平分線上就可以了．試試看，現(xiàn)在你會證了嗎？練習(xí)1．如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B以及直線l，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA＝PB．2．如圖，已知AE＝CE，BD⊥AC．求證：AB＋CD＝AD＋BC．3．如圖，在△ABC上，已知點(diǎn)D在BC上，且BD＋AD＝BC．求證：點(diǎn)D在AC的垂直平分線上．習(xí)題19．41．寫出下列命題的逆命題，并判斷它是真命題還是假命題：（1）如果x＝y(tǒng)，那么x2＝y(tǒng)2；（2）如果一個三角形有一個角是鈍角，那么它的另外兩個角是銳角．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DC．求證：（1）∠BAE＝∠CAE；（2）AE⊥BC．3．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，EF經(jīng)過點(diǎn)D，且EF∥BC．求證：EF＝BE＋CF．4．如圖，E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥AO，ED⊥BO，垂足分別是C、D．求證：∠EDC＝∠ECD．5．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分線，交AC于D．求證：點(diǎn)D在AB的垂直平分線上．6．如圖，△ABD、△ACE都是等邊三角形．求證：CD＝BE．（提示：找出分別以CD、BE為邊的兩