偏微分方程的解法

偏微分方程的解法第一頁，共十七頁，2022年，8月28日一、可分離變量的微分方程

1.定義其中f(x),g(y)分別是x,y

的連續(xù)函數(shù)．2.分離變量法把方程中的兩個(gè)變量分離開來，使方程的一邊只含有y

的函數(shù)及dy，另一邊只含有x

的函數(shù)及dx，然后兩邊積分，從而求出微分方程的解．這種方法稱為分離變量法．形如（1）的一階微分方程，叫做可分離變量的微分方程.2第二頁，共十七頁，2022年，8月28日3．步驟(1)分離變量，得

(2)兩邊積分，得

(3)求得積分，得

3第三頁，共十七頁，2022年，8月28日解

分離變量，得

兩邊積分，得

得

即

得方程的通解為

例14第四頁，共十七頁，2022年，8月28日例２

解

分離變量，得

兩邊積分，得化簡(jiǎn)，得

于是所求微分方程的特解為

原方程可化為5第五頁，共十七頁，2022年，8月28日二、齊次型微分方程

1.定義形如的微分方程，稱為齊次型微分方程．

因?yàn)榉匠炭苫癁?/p>

6第六頁，共十七頁，2022年，8月28日2．解法在方程(2)中，引進(jìn)新的未知函數(shù)

代入方程(2)，便得可分離變量方程

即

兩邊積分，得

求出積分后，

即得所求齊次型微分方程的通解．

7第七頁，共十七頁，2022年，8月28日例3

解

原方程可化為

它是齊次型微分方程．

代入原方程，得分離變量，得

兩邊積分，得

即

這就是所求微分方程的通解．

8第八頁，共十七頁，2022年，8月28日三、一階線性微分方程

1、定義方程（3）稱為一階線性非齊次微分方程．

方程（3）稱為一階線性齊次微分方程方程

稱為一階線性微分方程，

(3)9第九頁，共十七頁，2022年，8月28日2、一階線性齊次微分方程的通解先討論一階線性齊次微分方程

（4）

的通解．

顯然，方程（4）是可分離變量方程．

分離變量后，得

兩邊積分，得

這就是一階線性齊次微分方程(4)的通解公式．

注意即

(5-1)

在用上式進(jìn)行具體運(yùn)算時(shí)，其中的不定積分只表示P(x)一個(gè)確定的函數(shù).10第十頁，共十七頁，2022年，8月28日3、一階線性非齊次微分方程的解法——常數(shù)變易法(5)

由方程特點(diǎn)，設(shè)一階線性非齊次微分方程的通解為對(duì)（5）式求導(dǎo)得

(6)

將(5)和(6)代入方程(3)并整理得

由此可得

將上式代入(5)式，得一階線性非齊次微分方程的通解為(5-2)

11第十一頁，共十七頁，2022年，8月28日公式中各個(gè)不定積分都只表示了對(duì)應(yīng)的被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)．

這種通過把對(duì)應(yīng)的線性齊次方程通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)，然后求出線性非齊次方程的通解的方法稱為常數(shù)變易法．公式(5-2)也可寫成下面的形式

(7)

由此可知：一階線性非齊次方程的通解等于它的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解之和．

注意:12第十二頁，共十七頁，2022年，8月28日例4

解1(常數(shù)變易法)對(duì)應(yīng)的線性齊次方程為用分離變量法求得它的通解為

將上式中的任意常數(shù)C換成函數(shù)C(x)，即設(shè)原方程的通解為

（8）

則有

兩邊積分，得

再代入（8）式，即得所求方程的通解為

13第十三頁，共十七頁，2022年，8月28日解2(公式法)代入公式（5-2），得

14第十四頁，共十七頁，2022年，8月28日例5

解

對(duì)應(yīng)的齊次方程是用分離變量法求得它的通解為

用常數(shù)變易法，設(shè)非齊次方程的通解為

兩邊積分，得

因此，非齊次方程的通解為

故所求微分方程的特解為

15第十五頁，共十七頁，2022年，8月28日例6

解

原方程可化為

將x看作y

的函數(shù)，則它是形如

的一階線性非齊次微分方程．

于是由一階線性非齊次方程的通解公式，得

或

這就是所求微分方程的通解．

16第十六頁，共十七頁，2022年，8月28日四、小結(jié)：1.可分離變量的微分方程的特點(diǎn)、解法；2.齊次型微分方程的特點(diǎn)、解法；3.一階線性微分方程的解法,其中一階線性齊次方程的通解公式,一階線性非齊