高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)測(cè)試題1-20

高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)測(cè)試題1

第2講等差數(shù)列

★知識(shí)梳理★

i.等差數(shù)列的概念

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)4,這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，常數(shù)d

稱為等差數(shù)列的公差.

2.通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式

⑴通項(xiàng)公式%=4+(〃-l)d,q為首項(xiàng)，d為公差.

⑵前〃項(xiàng)和公式S“---~~:—°?或S“=+—/?(/?—V)d.

3.等差中項(xiàng)

如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).

即：A是a與b的等差中項(xiàng)2A=a+ba,A,b成等差數(shù)列.

4.等差數(shù)列的判定方法

⑴定義法：an+]-a?=d(neN+,"是常數(shù))=｛a“｝是等差數(shù)列；

⑵中項(xiàng)法：2a“+|=an+an+2(〃eN+)=｛%｝是等差數(shù)列.

5.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

⑴數(shù)列｛”“｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛a“+p｝、｛pan｝(p是常數(shù))都是等差數(shù)列;

⑵在等差數(shù)列｛aj中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，即a?,an+k,an+2k,an+3k，?一為等

差數(shù)列，公連為kd.

2

(3)an=am+(n-m)dan=an+b(a,b是常數(shù))；Sn=an+bn｛a,b是常數(shù)，aH0)

⑷若m+n=p+q(m,n,p,qeN+),則am+alt-ap+aq-,

⑸若等差數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)和S?,則是等差數(shù)列;

s

⑹當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2〃(〃￡Nt)，則S偶一S奇=ndy——=—；

_Stinf/l-1

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為,則奇一偶=

2〃-1(〃GN+)SSan,——=------

S奇〃

★重難點(diǎn)突破★

1.重點(diǎn)：理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式并能解決實(shí)際問題：理解等差

中項(xiàng)的概念,掌握等差數(shù)列的性質(zhì).

2.難點(diǎn)：利用等差數(shù)列的性質(zhì)解決實(shí)際問題.

3.重難點(diǎn)：正確理解等差數(shù)列的概念，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解題.

⑴求等差數(shù)列的公差、求項(xiàng)、求值、求和、求s“最值等通常運(yùn)用等差數(shù)列的有關(guān)公式及其性質(zhì).

a-a

問題1:已知mAn,且，”,《，4,,43，“和〃2,仇力2，仇，、4，〃都是等差數(shù)列，則3----L

bi-b2

分析：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為：在〃〃插入若干個(gè)數(shù)，使其成等差，利用等差數(shù)列公差的求法公式解答.

解析：設(shè)等差數(shù)列機(jī),％,%，。3，〃和m，仇，匕2，4，4，〃的公差分別是4,

d2

則/一%=

24，n-m=4J),ay-ax-

a-a_5

同理，得鳥一與=L=3x

b3-b2~2

⑵求“首末項(xiàng)和為常數(shù)”的數(shù)列的和，?般用倒序相加法.

問題2：已知函數(shù)/(X)=4，.則①/(1)+/(2)=___________

2+433

…/1、2、，/2008、

②f(-------)+f(-------)+…+f(-------)=.

200920092009

分析：①可以直接代入計(jì)算，也可以整體處理；②尋找規(guī)律，整體處理.

4’

解析：?.?/(x)=-----經(jīng)計(jì)算，得/(x)+/(l—x)=l,

2+4

19nnno

/(—^)+f(^—)+??■+/(^^)=1004x1=1004.

200920092009

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★

考點(diǎn)1等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和

題型1已知等差數(shù)列的某些項(xiàng)，求某項(xiàng)

【例1】已知｛%｝為等差數(shù)列，％5=8,牝。=20,則由5

【解題思路】可以考慮基本量法，或利用等差數(shù)列的性質(zhì)

a[5=%+14d=864,4

【解析】方法1：?.nax-

〃6o=%+59d=2015’15

64?4~

a=%+74d——+74x—=24

151515

方法2：_〃60一〃1520-84

-60-154515

4

a=+(75-60)J=20+15X---=24

1515

15a+b=8n-

方法3：令4.=即+6,則《

60(2+〃=20453

__.__168…

=75〃+/?=75x----1—=24

75453

方法4:?.?｛%｝為等差數(shù)列,

。15,430，&45,460，。75也成等差數(shù)列，設(shè)其公差為4,則4”為首項(xiàng)，%0為第4項(xiàng).

。60=/5+34=>20=8+3dnd、=4

a75—勺。+-20+4-24

方法5:?.?｛%｝為等差數(shù)列，（15M5），（60,牝0），（75,%5）三點(diǎn)共線

a。

〃60_i5_〃75—_—z60_20—_8_@75_20=>a=24

60-1575-60451575

【名師指引】給項(xiàng)求項(xiàng)問題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法.

題型2已知前〃項(xiàng)和S“及其某項(xiàng)，求項(xiàng)數(shù).

【例2】（1）已知S,為等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，4=9,。9=-6,S“=63,求“；

⑵若一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為36,后4項(xiàng)和為124,且所有項(xiàng)的和為780,求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)〃.

【解題思路】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=%+（〃-l）d求出6及4,代入S"可求項(xiàng)數(shù)”；

⑵利用等差數(shù)列的前4項(xiàng)和及后4項(xiàng)和求出外+?！ǎ隨”可求項(xiàng)數(shù)〃.

+3d=9

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為6,公差為d,則<=>%=18,d=—3

11%+8d=-61

c3,、

Sn=18〃-5n(n—1)=63=>n]=6,n2=7

(2)?/〃1+%+%+%=36,Q〃+an_x+an_2+aH_3=124

a\+%=。2+?！ā?=%+an-2=。4+an-3

4(%+。〃)=160nq+an-40

/.S?=——+%)=780=>2Qn=780n”=39

"2

【名師指引】解決等差數(shù)列的問題時(shí)，通?？紤]兩種方法：⑴基本量法；⑵利用等差數(shù)列的性質(zhì).

題型3求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

2

[例3]已知5?為等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，Sn=\2n-n.

⑴求同+同+同；

⑵求|卬|+|。2|++,?°+：

⑶求kJ+WI+|431—H"J.

【解題思路】利用s,求出?！?，把絕對(duì)值符號(hào)去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.

2

【解析】4.Sn=12n-n,

.二當(dāng)〃=1時(shí)，=12—1=11,

當(dāng)〃22時(shí)，an-Sn-S〃_]=(12〃一〃)一12(〃一1)+(〃-I)?=13—2〃，

當(dāng)〃=1時(shí)，13—2x1=11=。],an=13—2n.

13

由?！ā?13—2〃20,得〃W—2，.二當(dāng)時(shí)，a〃n>0；當(dāng)〃27時(shí)，a〃n<0.

⑴+\a2\+=%+w+%=邑=12x3-3?=27；

(2)kJ+|<72|+|^31+??,+=〃]+。2+〃3+*'?+06一(〃7++〃9+〃1。)

22

=2S6-S10=2(12x6-6)-(12x10-10)=52；

⑶當(dāng)1V〃<6時(shí)，+|。21+〔〃3〔+???+|aj-a\+。2+〃3+???+=12〃一下,

當(dāng)“N7時(shí)，+kzl+〔43]+.■,+I°"|=41+42+43+,■■+々6—(々7+々8+,??+<Z?)

=2s6-Sn=2(12x6-62)-(⑵-〃2)=〃2_12〃+72.

【名師指引】含絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)列求和問題，要注意分類討論.

【新題導(dǎo)練】

1.已知｛%｝為等差數(shù)列，ani=p,an=q(機(jī),〃，上互不相等)，求知.

a“,-a”_ak—a“p-q_cik-q_p(k-n)+q(m-k)

【解析】————ak—

m-nk-nm-nk-nm-n

2.已知S,為等差數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，%=1,%=7,S“=100,則〃=.

a—a7—1

【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則d=———L=——=2

4-13

Sn=n+；〃(/—1)x2=100=〃=10.

3.已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5,平方和為165,求這5個(gè)數(shù).

【解析】設(shè)這5個(gè)數(shù)分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d.則

(a-2d)+(Q-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5\a=1

\(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2t/)2=165[5a2+10^2=165

解得a=l,d=±4

當(dāng)a=l,d=4時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別為：一7,—3,1,5,9；

當(dāng)a=l,d=—4時(shí)，這5個(gè)數(shù)分別為：9,5,1,—3,—7.

4.已知5“為等差數(shù)列｛*｝的前〃項(xiàng)和，510=100,5100=10,求Su。.

10a,+45J=100

【解析】方法1：設(shè)等差數(shù)列的公差為"，貝以=>\

1099

lOOo,+49501=10Ja=----

100

S110=110?,+^xll0xl09J=-110；

2

方法：,-,Sioo-Sl0==_9o=a”+。叩=-2

.5=110(4]+4110)_1+4100)__j|Q

"110~2-2一—'

考點(diǎn)2證明數(shù)列是等差數(shù)列

【例4】已知S“為等差數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，a='(〃GN+).

n

求證：數(shù)列也“｝是等差數(shù)列.

【解題思路】利用等差數(shù)列的判定方法⑴定義法：⑵中項(xiàng)法.

【解析】方法1：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,S?=na1+!/?(n-1)J,

Vi

4=—=a.+-(n-l)J

n2

bba

?+i-?=\+^nd-ax-1(n-l)J=y(常數(shù))

數(shù)列物,｝是等差數(shù)列.

S1

方法2：,/bn=—=%+—(〃-1)J，

n2

勿+i=?i+邢,bll+2=%+](〃+1)J

/.包+2+bn=a1+；(〃+1)J+/+；(〃-l)d=2%+nd=2b,小，

數(shù)列%“｝是等差數(shù)列.

【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有：

⑴定義法：an+l-an=d（〃eN+,d是常數(shù)）o｛a“｝是等差數(shù)列;

⑵中項(xiàng)法：2a“+|=a“+an+2(nwN=｛a.｝是等差數(shù)列;

⑶通項(xiàng)公式法：a“=kn+b（A,6是常數(shù)）=｛%｝是等差數(shù)列:

⑷前〃項(xiàng)和公式法：S?=An2+Bn（4,8是常數(shù)，4。0）=｛%｝是等差數(shù)列.

【新題導(dǎo)練】

5.設(shè)Sn為數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和，Sn=pna“（nwN.）,a,=a2.

⑴求常數(shù)p的值；

⑵求證：數(shù)列｛a,,）是等差數(shù)列.

【解析】⑴丁S〃=pnan，/=%，:?卬=PGn〃=1

⑵由⑴知：Sn=nan,

當(dāng)"22時(shí),an=Sn-S?_,=〃a“—(〃—l)a,i=>(n-l)(a?-a?_,)=0,

an-%=0(n>2),數(shù)列｛a“｝是等差數(shù)列.

考點(diǎn)3等差數(shù)列的性質(zhì)

【例5】⑴已知S“為等差數(shù)列｛*｝的前〃項(xiàng)和，4=100,則S]]=,

⑵已知5?為等差數(shù)列｛a,J的前n項(xiàng)和，Sn=m,Sm-”(nWm),則Sm+Il=.

【解題思路】利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.

【解析】⑴口=1]?+d）=11x2"=11。=1io。.

1122

⑵方法1：令S“=+Bn,則

An1+Bn=m,,

2=>A(〃-m2)4-B(n-m)=m-n.

Am+Bm=n

'：n^m.A(n+m)+B=-1,

2

Snl+n=A(m4-n)+B(m+〃)=-(m+n)；

方法2：不妨設(shè)m〉幾

s?,~S“=a\+%+2+a?3+…+%+a,?

n++2

ai+4，，+，，=%M+%，=-2,

(m+〃)(％+*

Sm+“-=-(in+n)；

2

方法3：???{%}是等差數(shù)列，為等差數(shù)列

巴一伙Sm+n〃

mn_m+nmc-(in+〃).

m-nn

【名師指引】利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)解題，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

【新題導(dǎo)練】

6.含2〃+1個(gè)項(xiàng)的等差數(shù)列其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為（)

.2〃+1n九+1

A.-----B.-------D3

nnn2n

【解析】（本兩小題有多種解法）???S奇=%++&+???+a2n+l=（〃+1）（%+“如L）

c〃(%+%“)S奇n+1

S偶=〃2+。4+06ha2n='a\+a2n+\=°2+。2〃?=~'?'選

2S偶幾

B.

S7+2

7.設(shè)Sn、T“分別是等差數(shù)列｛a“｝、｛a.｝的前〃項(xiàng)和，———-----,則--=______.

T,,〃+3b5

aS.7(2n-1)+214/?-5a14x5-56565

【解析】—=^2int±=—-------——=--------n」5=--=——二填——

bnT21(2〃—1)+32/1+2b52x5+21212

考點(diǎn)4等差數(shù)列與其它知識(shí)的綜合

2

【例6】已知5,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，Sn=-n+—n；數(shù)列物J滿足：々=11,

bb,其前項(xiàng)和為

n+2=2Z?rt+1-n9153.

⑴求數(shù)列｛a,,｝、物,｝的通項(xiàng)公式；

_______6_______，求使不等式，＞2-對(duì)eN+

⑵設(shè)T,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和,cn

(2%-11)(24-1)"57

都成立的最大正整數(shù)人的值.

【解題思路】⑴利用a”與S”的關(guān)系式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；⑵求出T,后，判斷7；的單調(diào)性.

1,11

【解析】⑴丁S=一"一十—n，

"n22

當(dāng)〃=1時(shí)，/=S]=6；

1111,11

當(dāng)〃22時(shí)，a=S-S.=-n02+—n--(n-l)2一一(〃一l)=〃+5

Hnnn2222

當(dāng)〃=1時(shí)，1+5=6=。],.二?！ǘ?5；

Vb?+2=2bn+i-bnnb?+i=""+；"+2....也,｝是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d.

4+2d=11

則《

=>b[=5,d=3,

9仇+36d=153

/.bn=5+3(n-1)=3〃+2.

(Z)??Q-____________________=_____________________________

.."―(2a?-1l)(2b,-l)-[2(n+5)-1112(3〃+2)-1]

_2__J______1_

一(2n-l)(2n+l)-2n-1~2n+\

.1、/1、/1、11、，1

Tn=(1--)+(T--)+(---)+???+(z-7)=1-7T—7

335572〃-12〃+12〃+1

???〃￡N+,Tn是單調(diào)遞增數(shù)列.

i2

.?當(dāng)〃時(shí)，

?=1(Tjmin=T,=1--=-

z.T>七對(duì)wN+都成立<=>(T).>—o—>—<=>/:<38

〃57.57357

???所求最大正整數(shù)左的值為37.

【名師指引】本題綜合考察等差數(shù)列、通項(xiàng)求法、數(shù)列求和、不等式等知識(shí)，利用了函數(shù)、方程思想,

這是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容.

【新題導(dǎo)練】

8.已知Sn為數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和,%=3,5￡_]=2an(n>2).

⑴求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式；

⑵數(shù)列｛4“｝中是否存在正整數(shù)k,使得不等式>4+對(duì)任意不小于左的正整數(shù)都成立？若存在，求

最小的正整數(shù)無(wú)，若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】⑴當(dāng)〃22時(shí)，S“S,i=2%nS“S,T=2(S?-S?.I)

.......-=且」-=，，二｛見』是以一，為公差的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為

S?S1-2s?3(23

6

SnS,26"5—3〃

二當(dāng)〃22時(shí)，*=(S"S"T18

(3〃一8)(3“一5)

’3(〃=1)

1818

當(dāng)〃=1時(shí),-----------------——wa18/、c、

--------------------(〃22)

(3-8)(3-5)10［(3〃-8)(3"5)

18258

>0得一<k<一或k>-,

kUl(3k_8)(3%_5)(3k—2)333

.,.當(dāng)kN3時(shí)，％,>4.+]恒成立，所求最小的正整數(shù)女=3.

★搶分頻道★

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

I.(2009廣雅中學(xué))設(shè)數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且％=—8，《5=5,S“是數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和，則

A.SJO=S||B.S|o>Suc.59=S10D.59<S10

［解析］C.S9=+d,S10=(%+；)+%5oSg=Si

另法：由。得(：,計(jì)算知

2=—8,is=5,4=-=—,ax=a2-d=—59=510

15—877

2.在等差數(shù)列｛?！埃?，45=120,則42+。4+。6+48=-

【解析】

480a2+a4+a6+as=4a5=480.

.數(shù)列｛%｝中，當(dāng)數(shù)列的前〃項(xiàng)和“取得最小值時(shí)，〃=.

3an=2??-49,｛a“｝S

【解析】24由4=2〃-49知｛%｝是等差數(shù)列，〉0二＞”〉25..?./?=24.

4.已知等差數(shù)列｛4“｝共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為10,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差是.

【解析】4已知兩式相減，得5d=20nd=4.

.設(shè)數(shù)列中，則通項(xiàng)

5｛a“｝a,=2,an+l=an+n+l,aH=.

【解析】(〃+1)+1利用迭加法(或迭代法)，也可以用歸納一猜想一證明的方法.

6.從正整數(shù)數(shù)列1,2,3,4,5,???中刪去所有的平方數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的第1964項(xiàng)是

【解析】2008

綜合拔高訓(xùn)練

廣雅中學(xué))已知等差數(shù)列中，

7.(2009｛a“｝a2=-20,q+a9=-28.

⑴求數(shù)列｛”,｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列出｝滿足且求〃的值.

an=log2b?,設(shè)了“=伉瓦…b“,7；=1，

+d=-20

【解析】⑴設(shè)數(shù)列｛《,｝的公差為d,則＜=＞a=-22,J=2

2%+8d=-281]

/.an=-22+2(〃-1)=2n-24

2124

⑵???log?b?=2n-24,:.bn=2-

2(l+2+3++n)24nn(+,)24

Tn=bQ2b3…b.=2--=2"-"

令〃(〃+得〃當(dāng)〃=時(shí)，

1)-24〃=0,=2323Tn=1.

.已知“為等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，

8S｛a.｝a,=25,a4=16.

⑴當(dāng)〃為何值時(shí)，S“取得最大值；

⑵求a2+。4+。6+。8+?,,+。20的值;

⑶求數(shù)列|a,j｝的前〃項(xiàng)和Tn.

【解析】⑴?.?等差數(shù)列｛&,｝中，%=25,%=16.:.公差d=&;一%=_3

?.afl=-3n+28,令=一3〃+28>0=〃《9

.?.當(dāng)〃<9時(shí)，。〃>0；當(dāng)〃>9時(shí)，。〃<0.當(dāng)〃=9時(shí)，S〃取得最大值；

⑵???數(shù)列｛?！埃堑炔顢?shù)列

a2+a4+a6+as-i-----1-a20=?；?=10%]=10(25-3x9)=-20；

⑶由⑴得，當(dāng)〃W9時(shí)，an>0；當(dāng)“〉9時(shí)，an<0.

T“=ai+a2+---+a9-(a10+a11+---+tz?)=259-Sn

=2(9x25-36x3)—25/?-|n(/?-1)=-n2-yn+234

9.(2009執(zhí)信中學(xué))已知數(shù)列｛a“｝滿足q=1,%=3,%+2=3a“+ieN”).

⑴證明：數(shù)列｛a“+]—a“｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

⑶若數(shù)列｛瓦｝滿足4卜甲T…4'=(怎+1產(chǎn)(〃eN*),證明M｝是等差數(shù)列.

【解析】⑴證明：???a"?=3%+[-2。“,

a-a

?1?斯+2-a“+i=2(。什]-a.)，.?.6=1,%=3,二-----=2(〃eN.)

%+i-%

二｛4+1一%｝是以=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

⑵解：由⑴得%+]-a“=2"(〃eN*),

a?-(4一%-2)+“?+(%-q)+q

=2"''+2"~2+...+2+1

=2"-l(〃eN*).

⑶證明：???4h甲He=(a?+1盧，妙+%+-+%)-"=2曲，

?,.2@+12+…+%)-〃]=〃",①

2[(4+打+...+"+%J-(〃+1)]=(〃+1應(yīng),+1.②

②一①,得2應(yīng)+]—1)=(〃+1)=+]—"2,即，("一I)%-也+2=0.③

+2-(〃+1)或+1+2=0.④

④一③,得nbn+2-2nbn+l+nbn=0,即，bn+2-2%+bn=0,

bb

n+2~n+i=b.+「b”(neN"),：.也｝是等差數(shù)列.

10.(2008北京)數(shù)列｛a“｝滿足％==("2+n-A)an(n=1,2,…),X是常數(shù).

⑴當(dāng)?shù)?1時(shí)，求2及4的值；

⑵數(shù)列｛?！埃欠窨赡転榈炔顢?shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說(shuō)明理由；

⑶求4的取值范圍，使得存在正整數(shù)加，當(dāng)〃〉〃2時(shí)總有見<0.

2

【解析】⑴由于%=l,a?+1=(n+n-A.)an(n=1,2,…),且q=1.

所以當(dāng)?shù)?1時(shí)，得一1=2—A,,故幾=3.從而“3=(2-+2-3)x(—1)——3.

⑵數(shù)列｛&“｝不可能為等差數(shù)列.證明如下：

由q=l,a“+]=(n2+N-/l)a“得

a2=2-A,a3=(6-2)(2-2),tz4=(12-2)(6-2)(2-A).

若存在/I,使｛%｝為等差數(shù)列，則a3-a2=a2-a1,即

(5—2)(2—九)=1—2n九=3.

于是4—%=]—丸=—2,〃4—%=(11—丸)(6—幾)(2—A)=—24.

這與｛樂｝為等差數(shù)列矛盾，所以，對(duì)任意X,｛4“｝都不可能是等差數(shù)列.

⑶記勿=〃2+"一，(〃=1,2,…)根據(jù)題意可知，仇<0旦即4>2且

4。GN+),這時(shí)總存在&eN+，滿足：當(dāng)“2時(shí)，b.>0；當(dāng)”W一1時(shí)，bn<0.

所以，由怎+1="%及q=1>0可知，若〃。為偶數(shù)，則a“.<0,從而當(dāng)”>〃。時(shí)a“<0；

若〃。為奇數(shù)，則>0,從而當(dāng)〃〉心時(shí)a“〉0.

因此“存在加eN+，當(dāng)〃〉〃z時(shí)總有a“<0”的充分必要條件是：〃。為偶數(shù),

b2k=(2k>+2k-丸〉0

記幾=2攵伙=1,2,…)，則/滿足:

打心|=(2k—+2左一1—X<0

故2的取值范圍是4左2一2k<X<4左2+2k(keN)

高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)測(cè)試題2

第3講等比數(shù)列

★知識(shí)梳理★

1.等比數(shù)列的概念

如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前?項(xiàng)的比等于同個(gè)常數(shù)以4*0),這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)

列，常數(shù)4稱為等比數(shù)列的公比.

2.通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式

⑴通項(xiàng)公式：/為首項(xiàng)，q為公比.

⑵前n項(xiàng)和公式：①當(dāng)g=1時(shí)，S“=〃/

—石卬（1-q"[a、-aa

②當(dāng)qHl時(shí)，S?~~^=-!——

1—q1-q

3.等比中項(xiàng)

如果a,G/成等比數(shù)列，那么G叫做。與Z?的等比中項(xiàng).

即：G是。與〃的等差中項(xiàng)oa,A,匕成等差數(shù)列nG?=a-b.

4.等比數(shù)列的判定方法

⑴定義法：一""=q（〃eN*,qH0是常數(shù)）O｛。“｝是等比數(shù)列；

%

2

⑵中項(xiàng)法：an+]=a”-a“+2（〃eN+）且h0=｛a“｝是等比數(shù)列.

5.等比數(shù)列的常用性質(zhì)

⑴數(shù)列｛a“｝是等比數(shù)列，則數(shù)列｛pan｝、｛pa,,｝是常數(shù)）都是等比數(shù)列:

⑵在等比數(shù)列｛〃“｝中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即?！?，?！?*,。“+2￡，?！?3*，一?為等

比數(shù)列，公比為射.

nm

⑶a,=am-q~（n,m€N+）

⑷若m+/7=p+q（jn,n,p,qGN+）,則am-an=%,?%：

⑸若等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S“，則Sk、S2k-Sk、S3k—S2k,S4k-SJk是等比數(shù)列.

★重難點(diǎn)突破★

1.重點(diǎn)：理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式并能解決實(shí)際問題；理解等比

中項(xiàng)的概念,掌握等比數(shù)列的性質(zhì).

2.難點(diǎn)：利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決實(shí)際問題.

3.重難點(diǎn)：正確理解等比數(shù)列的概念，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題.

⑴求等比數(shù)列的公比、、求值、判定等比數(shù)列等通常運(yùn)用等比數(shù)列的概念、公式及其性質(zhì).

問題1：已知等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“=P"-1(P是非零常數(shù))，則數(shù)列｛““｝是()

A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.等差數(shù)列或等比數(shù)列D.非等差數(shù)列

分析：先由S“求出再根據(jù)等差、等比數(shù)列定義作出判定.

解析：二一

???S“=p"-1,an=S"S"T=(p-l)p"T(n>2)

.?.當(dāng)pwl,且pwO時(shí)，｛?！埃堑缺葦?shù)列；；.當(dāng)。=0時(shí)，｛%｝是等差數(shù)列，選C.

⑵求實(shí)數(shù)等比數(shù)列的中項(xiàng)要注意符號(hào)，求和要注意分類討論.

問題2:若實(shí)數(shù)數(shù)列1,%,出，43,4是等比數(shù)列，則。2=.

分析：本題容易錯(cuò)認(rèn)為，由等比數(shù)列的等比中項(xiàng)公式=1x4,得。2=±2.

解析：\T,a”a2，a3,4是等比數(shù)列，二城=1x4,得々=±2.

又?！钡氖堑缺葦?shù)列，2

I,?i-l-a2,alER,a2=2.

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★

考點(diǎn)1等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和

題型1已知等比數(shù)列的某些項(xiàng)，求某項(xiàng)

【例1】已知｛外,｝為等比數(shù)列，“2=2,4=162,則為o=

【解題思路】可以考慮基本量法，或利用等比數(shù)列的性質(zhì)

%=a.q=24

【解析】方法1：-/<5=>d=81

〃6=%q=162

.?.《0=%/=4/=162x81=13122

1

方法44

2：Vq=—=----=81./.a10=a6c/=162x81=13122

a22

方法3：?.?{%}為等比數(shù)列

22

2a6162

?2-?io=ab=>?io=—=--=13122

的2

【名師指引】給項(xiàng)求項(xiàng)問題，先考慮利用等比數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法.

題型2已知前〃項(xiàng)和5“及其某項(xiàng)，求項(xiàng)數(shù).

【例2】(1)已知5“為等比數(shù)列｛a,｝前〃項(xiàng)和，S,,=93,a“=48,公比q=2,則項(xiàng)數(shù)〃=—.

⑵已知四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，首末兩數(shù)之和為37,中間兩數(shù)之和

為36,求這四個(gè)數(shù).

【解題思路】(1)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a“=af及S?="?三).求出％及q,代入S“可

1-?7

求項(xiàng)數(shù)〃：⑵利用等差數(shù)列、等比數(shù)列設(shè)出四個(gè)實(shí)數(shù)代入已知，可求這四個(gè)數(shù).

【解析】⑴由5“=93,%=48,公比4=2，得%◎“：])=93=2“=32n”=5.

[a/2"T=48

2b=a+c

c?=bd

⑵方法1：設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為。力,gd,則v

a+6=37

b+c=36

方法2：設(shè)前2個(gè)數(shù)分別為。,b,則第3、4個(gè)數(shù)分別為36—h,37—。，則

919

2b=(36—b)+a\a-12a4

s,解得《或＜

781

[(36-8)2=6(37-4)1b=16,41

方法3：設(shè)第2、3個(gè)數(shù)分別為匕，c,則第1個(gè)數(shù)為2/?—c,第1個(gè)數(shù)為J,則

b

〃=81

2/?-c+—p=164

b+c=36fc=20或V

63

C=41

Q+c2c

方法4：設(shè)第2、3個(gè)數(shù)分別為〃，c,設(shè)第1,4個(gè)數(shù)分別為-----，------；

2a+c

方法5：設(shè)第3、4個(gè)數(shù)分別為c,d,則設(shè)第1,2個(gè)數(shù)分別為37-d,36-c,則

’2(36—c)=(37-d)+c(c=20=166349

)/=火36-c)[J=2544

【名師指引】平時(shí)解題時(shí)，應(yīng)注意多方位、多角度思考問題，加強(qiáng)?題多解的練習(xí)，這對(duì)提高我們的解

題能力大有裨益.

題型3求等比數(shù)列前〃項(xiàng)和

【例3】等比數(shù)列1,2,4,8,…中從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和.

【解題思路】可以先求出S10,再求出S4,利用S10-S4求解；也可以先求出％及q0，

由。5，。6，°7,…，。10成等比數(shù)列求解.

【解析】由4=I,2=2，得4=2,

4一

Sl0=MI")=[023,s4=MI)=15,S10S4=1008.

1—21—2

【例已知為等比數(shù)列前肛項(xiàng)和，23-求

4]S,,｛aJan=1+3+3+3+---+3"',S?

【解題思路】可以先求出再根據(jù)的形式特點(diǎn)求解.

【解析】???=1+3+32+3，+...+3"T=1(1-3")=匕,

“1-322

c02113(1-3")1

1.S?=—(3+3*+3'H------1-3)—n——X------------------n

"2221-32

3"13

即S“=---------

"424

【例】已知“為等比數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和，求

5San=(2〃-1)-3",S”.

【解題思路】分析數(shù)列通項(xiàng)形式特點(diǎn)，結(jié)合等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，采用錯(cuò)位相減法求和.

【解析】%=(2”—1)3

S“=1?3+3?32+51+…+(2”-1)-3",---------------------?

3S?=1-32+3-33+5-34+---+(2n-3)-3n+(2/1-1)-3,,+1-----------------②

OMg),得—2S“=3+2?2+33+34+…+3")—(2〃—

=3+2X9(1-^)_(2n-l)-3,,+l=(2-2n)-3,,+l-6

5?=(n-l)-3n+,+3.

【名師指引】根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的形式特點(diǎn)，等比數(shù)列求和的常用方法有：公式法、性質(zhì)法、分解重組法、

錯(cuò)位相減法，即數(shù)列求和從“通項(xiàng)”入手.

【新題導(dǎo)練】

1.已知｛““｝為等比數(shù)列，%+。2+。3=3,。6+。7+48=6，求a”+412+。13的值.

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為

｛an｝q,

_/5%+&c

<+。2+。3=3,。6+。7+。8=6,q=---------=2,/.Q]]+。]2+Q13，

。1+。2+。3

2.如果將20,50]00依次加上同一個(gè)常數(shù)后組成一個(gè)等比數(shù)列，則這個(gè)等比數(shù)列的公比為一.

【解析】設(shè)這個(gè)常數(shù)為x,則20+x,50+尤,100+工成等比數(shù)列，

<50+-

(50+x)2=(20+x)(100+x),解得x=±,q=----=——20=541.

420+58517

4

3.m知S“為等比數(shù)列｛4“｝的前〃項(xiàng)和,

a2=3,幺=243,Sn=364,則〃

%=ayq=3

[解析]《-§=>%=l,q=3或%==—3,

a6=aq=243

i)°1(1-3")一/

當(dāng)a=1,q=3時(shí)，S=-------=364=>〃=6；

1"1-3

當(dāng)為=-1,q=-3時(shí)，S,,-—小~1-364=>n無(wú)整數(shù)解.

1+3

4.已知等比數(shù)列｛aJ中，々=1，貝匹前3項(xiàng)的和53的取值范圍是.

l+q+1

【解析】?.?等比數(shù)列(a“)中。2=1$3=%+。2+。3=。21+^+-

q)q

1

當(dāng)公比q>0時(shí)，S3=1+qH—21+2q—

qV

(

當(dāng)公比q<0時(shí)，5=1--q——<1-253e(-oo,-l]U[3,+oo)

3Iq)

5.已知S,,為等比數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和，<2?>0,S,,80,520=6560,前〃項(xiàng)中的數(shù)值最大的項(xiàng)

為54,求S1co.

【解析】由a“>0,S“=80,S2,,=6560,知

5?=四。二d)=80,52?=4。二」二)=6560.

1-q1-q

S1_n2n

H=82=>qn=81,q〉1,又???前〃項(xiàng)中的數(shù)值最大的項(xiàng)為:

$2.

n10

an=alq^'=54,/.a,=2,^=3=>5100=3"-1.

q3

考點(diǎn)2證明數(shù)列是等比數(shù)列

2

【例6】已知數(shù)列｛。”｝和｛b“｝滿足:.=2，a“+[=—a“+n—4,bn=(-1)"(a“一3〃+21),

其中丸為實(shí)數(shù)，