名師教案 高中數(shù)學人教B版 必修 第三冊 角的推廣

\7.1.1角的推廣本節(jié)課是人教B版必修3第七章三角函數(shù)的第一小節(jié)，主要內容是角的概念的推廣，把學生學習的角從不大于周角的非負角擴充到任意角，使角有正角、負角和零角，首先通過生產、生活的實際例子闡明了推廣角的必要性和實際意義，然后又以“動”的觀點給出了正、負、零角的概念，最后引入了幾個與之相關的概念：象限角、終邊相同的角等。在這節(jié)課中，重點是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念，難點是把終邊相同的角用集合和符號語言正確表示出來，理解任意角的概念，會在平面內建立適當?shù)淖鴺讼?，通過數(shù)形結合來認識角的幾何表示和終邊相同的角的表示，是學好這節(jié)的關鍵?？键c教學目標核心素養(yǎng)角的概念的推廣理解任意角的概念、象限角與區(qū)間角的概念．數(shù)學抽象、數(shù)學運算角的表示掌握終邊相同角的表示方法，會用角的集合表示一些實際問題中的角.數(shù)學抽象、數(shù)學運算【教學重點】任意角的概念、象限角與區(qū)間角的概念、掌握終邊相同角的表示方法，會用角的集合表示一些實際問題中的角【教學難點】終邊相同角的表示方法與確定問題1：角的概念的推廣引入：初中是怎么定義角的？（1）我們把有公共端點的兩條射線組成的圖形稱為角，這個公共端點稱為角的頂點，這兩條射線稱為角的邊。（2）角可以看成是一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。（3）圖中所示的大小為的角，即可以認為是OA旋轉到OB所形成的，也可以認為是OB旋轉到OA所形成的。（4）以前學習的角，范圍是答：（1）只要時間足夠長，摩天輪所轉過的角的大小會超過；（2）甲、乙兩人觀察到的摩天輪旋轉方向相反，如果其中一人觀察到的是逆時針旋轉，則另一個人觀察到的是順時針旋轉，由于相反意義的量可以用正負數(shù)表示，因此不難想到這種不同可以用正負號來區(qū)分。知識點1角的概念的推廣一條射線繞其端點旋轉到另一條射線所形成的圖形稱為角，（1）這兩條射線分別稱為角的始邊和終邊；（2）按照逆時針方向旋轉而成的角稱為正角，按照順時針方向旋轉而成的角稱為負角，當射線沒有旋轉時，也把它看成一個角，稱為零角，（3）這樣定義的角，由于是旋轉生成的，所以也稱為轉角．注：（1）上述角的定義中，當射線繞其端點按逆時針或按順時針方向旋轉時，旋轉的絕對量可以是任意的。因此，角的概念經(jīng)過以上的推廣之后，就包括正角、負角、零角。也就是說，角的大小是任意的，由此，我們把角的概念推廣到了任意角。（2）作圖時，常用帶箭頭的弧來表示旋轉的方向和旋轉的絕對量。如圖（1），（2）所示的兩個轉角中，射線OA繞端點O旋轉到OB時，旋轉的絕對量都超過了一個周角的大小，按照圖中箭頭所指的旋轉方向和弧線所表示的周數(shù)，可知：；利用轉角，可以給出角的加減運算的一個幾何意義。（1）例如，對于來說，如圖（1）所示，射線OA逆時針旋轉到OB所形成的角為，OB逆時針旋轉到OC所形成的角為，則OA逆時針方向旋轉到OC所形成的角為：；（2）如圖（2）所示，射線OA逆時針方向旋轉到OB所形成的角為，OB逆時針方向旋轉到OC所形成的角為，則OA逆時針方向旋轉到OC所形成的角為：。知識點2：角的加減法運算1.射線OA繞端點O旋轉到OB位置所形成的角，記作，其中OA叫做的始邊，OB叫做的終邊；2.引入了正負角的概念之后，角的減法運算可以轉化為角的加法運算，即可以轉化為，這就是說，各角和的旋轉量等于各角旋轉量的和?！緦c快練】1．下列說法正確的是()A．最大角是180° B．最大角是360°C．角不可以是負的 D．角可以任意大小答案：D由角的定義，角可以是任意大小的．2．喜洋洋步行從家里到草原學校去上學，一般需要10分鐘，則10分鐘時間，鐘表的分針走過的角度是()A．30° B．－30°C．60° D．－60° 答案：D利用定義，分針是順時針走的，形成的角度是負角，又因為周角為360°，所以有eq\f(360°,12)×2＝60°，即分針走過的角度是－60°.問題2：象限角為了方便起見，通常講角放在平面直角坐標系中來討論：知識點3象限角角的頂點與坐標原點重合，角的始邊落在x軸的正半軸上，角的終邊在第幾象限，就把這個角稱為第幾象限角，如果終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限．例如，圖（1）中的角都是第一象限角；圖（2）中的角是第二象限角，是第三象限角，是第四象限角，不是象限角，其終邊在y軸的負半軸上?！緦c快練】1．下列哪個角是第三象限角()A．15° B．105°C．215° D．315°答案：C∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角．2．以下說法，其中正確的有()①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1個 B．2個C．3個 D．4個答案D知識點4終邊相同的角一般地，角α＋k·360°(k∈Z)與角α的終邊相同．任意兩個終邊相同的角，它們的差一定是360°的整數(shù)倍，因此，所有與α終邊相同的角組成一個集合，記為S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.【對點快練】1．下列各角中，與60°角終邊相同的角是()A．－300° B．－60°C．600° D．1380°答案：A與60°角終邊相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，則α＝－300°.2．已知α＝30°，將其終邊按逆時針方向旋轉三周后的角度數(shù)為____________．答案：1110°3×360°＋30°＝1110°.例1.如圖所示，已知角的終邊為射線OA，分別作出角的終邊。解：由角的定義可知，把角的終邊OA逆時針方向旋轉可得角的終邊OB，把角的終邊OA順時針方向旋轉可得的終邊OC，把角的終邊OA逆時針方向旋轉可得角的終邊OD，如圖所示?！咀兪骄毩暋肯铝忻}①第一象限角一定不是負角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是鈍角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中不正確的序號為____________．答案：①②③④①－330°角是第一象限角，但它是負角，所以①不正確．②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，顯然390°>120°，所以②不正確．③480°角是第二象限角，但它不是鈍角，所以③不正確④0°角是小于180°角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故④不正確．例2.分別寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中滿足不等式的元素寫出來。（1）（2）解：（1）解不等式，得，所以可取-1，0或1，因此S中滿足得元素是，，。（2）解不等式，得，所以可取0，1或2，因此S中滿足得元素是，，。【變式練習】已知角α＝2010°.(1)把α改寫成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且－360°≤θ<720°.解(1)由2010°除以360°，得商為5，余數(shù)為210°.∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.又β＝210°是第三象限角，∴α為第三象限角．(2)與2010°終邊相同的角：k·360°＋2010°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2010°<720°(k∈Z)，解得－6eq\f(7,12)≤k<－3eq\f(7,12)(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4.將k的值代入k·360°＋2010°中，得角θ的值為－150°，210°，570°.例3.寫出終邊在第一象限內的角的集合解：因為大于且小于的終邊一定在第一象限，而且如果一個角的終邊在第一象限，那么這個角的終邊一定與內某個角的終邊相同，因此終邊在第一象限內的角的集合為【變式練習】已知，如圖所示．(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．解(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由圖可知，陰影部分角的集合是由所有介于(注：區(qū)間內部是實數(shù)，嚴格意義上，角度不能用區(qū)間表示．)30°～135°之間的所有與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．例4.寫出終邊在x軸上的角的集合解：在內，終邊在x軸上的角有兩個，即和，與這兩個角終邊相同的角組成的集合依次為：為簡便起見，我們把集合和的表示方法改為因為，所以即集合S是終邊在x軸上的角的集合。例4的結果也可從直觀上理解：零點的終邊在x軸上，零角的終邊旋轉終邊仍然落在x軸上的角的集合為【變式練習】如圖所示，則終邊在圖中所示直線的角的集合為____________．答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}由題圖易知，在0°～360°范圍，終邊在直線y＝－x上的角有兩個，即135°和315°，因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．例5.已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)是第幾象限角？解因為α為第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，所以k·180°＋90°<eq\f(α,2)<k·180°＋135°，k∈Z，當k為偶數(shù)時，記k＝2n，n·360°＋90°<eq\f(α,2)<n·360°＋135°，n∈Z，所以eq\f(α,2)終邊在第二象限，當k為奇數(shù)時，記k＝2n＋1，n·360°＋270°<eq\f(α,2)<n·360°＋315°，n∈Z，所以eq\f(α,2)終邊在第四象限．綜上知，eq\f(α,2)是第二象限角或第四象限角．【變式練習】已知α角是第三象限角，則2α是第幾象限角？解因為α角是第三象限角，所以k·360°＋180°<α<k·360°＋270°(k∈Z)，因