2022-2023學(xué)年貴州省黔南州長順縣八年級（上）質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試卷（一）（含解析）

2022-2023學(xué)年貴州省黔南州長順縣八年級第一學(xué)期質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試卷（一）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題2分，共24分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)的字母標(biāo)號在答題卡相應(yīng)位置涂黑.1．下列長度（單位：cm）的三根小木棒，能搭成三角形的是（）A．4，5，9 B．5，5，10 C．8，8，15 D．6，7，152．在下列△ABC中，正確畫出AC邊上的高的圖形是（）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中．∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D作DF∥AB交AC于E，則∠ADE的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°4．從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出7條對角線，則它是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形5．將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中點(diǎn)B落在邊EF上，點(diǎn)D落在邊AC上，則∠α的大小為（）A．165° B．160° C．150° D．135°6．2022年北京冬奧會(huì)開幕式為世界奉獻(xiàn)了一場精彩、簡約、唯美、浪漫的中國文化盛宴，其中主火炬臺的雪花狀創(chuàng)意令人驚嘆．如圖是一個(gè)正六邊形雪花狀飾品，則它的每一個(gè)內(nèi)角是（）A．60° B．105° C．120° D．135°7．一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，則這個(gè)正多邊形是（）A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形8．如圖，在△ABC與△DFE中，AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，添加下列條件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（）A．∠B＝∠F B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．AB＝DF9．如圖，在△ABC中，∠C＝70°，沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝（）A．140° B．180° C．250° D．360°10．下列條件中不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．兩個(gè)銳角分別對應(yīng)相等 B．兩條直角邊分別對應(yīng)相等 C．一條直角邊和斜邊分別對應(yīng)相等 D．一個(gè)銳角和一條斜邊分別對應(yīng)相等11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線．AB＝10，CD＝3，則△ABD的面積為（）A．30 B．18 C．15 D．912．如圖，已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°．在邊AB，AC上分別截取AG，AF，使AG＝AF；分別以G，F(xiàn)為圓心，以大于GF的長為半徑畫弧，兩弧在△ABC內(nèi)相交于點(diǎn)H；作射線AH交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC，垂足為E．若CE＝3，DE＝4，CD＝5，則△ACD與△ABD的周長差為（）A．2 B．3 C．4 D．7二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）13．花樓提花機(jī)是我國古代織造技術(shù)最高成就的代表，明代《天工開物》中詳細(xì)記載了花樓提花機(jī)的構(gòu)造．如圖所示，提花機(jī)上的一個(gè)三角形木框架，它是由三根木料固定而成，三角形的大小和形狀固定不變．三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的．14．如圖，在△ABC中，沿DE折疊，點(diǎn)A落在三角形所在的平面內(nèi)的點(diǎn)為A′，若∠A＝30°，∠BDA′＝86°，則∠CEA′的度數(shù)為．15．如圖，由一個(gè)正六邊形和正五邊形組成的圖形中，∠1的度數(shù)等于．16．如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝6cm，點(diǎn)E是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PE的最小值為cm．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共64分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．如圖，在直角△ABC中，BC邊上有E，D，F(xiàn)三點(diǎn)，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足為F．（1）以AD為中線的三角形是；以AE為角平分線的三角形是；以AF為高線的鈍角三角形有個(gè)；（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度數(shù)．18．某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在研究三角形時(shí)，把兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板按如圖①所示放置，圖②是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC．請找出圖②中的全等三角形，并給予說明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）．19．已知，a、b、c為△ABC的三邊長，b、c滿足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a為方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周長，并判斷△ABC的形狀．20．已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都比它相鄰的外角的3倍多20°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和．21．已知：如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E、F．（1）求證：PE＝PF；（2）若∠BAC＝60°，連接AP，求∠EAP的度數(shù)．22．【概念認(rèn)識】在四邊形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四邊形ABCD內(nèi)部或邊AB上存在一點(diǎn)P，滿足∠DPC＝∠A，那么稱點(diǎn)P是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”．【初步思考】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，點(diǎn)P在邊AB上且是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”．若DA∥CP，DP∥CB，則∠DPC的度數(shù)為；【綜合運(yùn)用】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)部且是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”，延長CP交邊AB于點(diǎn)E．求證：∠ADP＝∠CEB．23．如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大?。?4．綜合與實(shí)踐：【問題情境】如圖，池塘的兩端有A，B兩點(diǎn)，現(xiàn)需要測量該池塘的兩端A，B之間的距離，需要如何進(jìn)行呢？【方案解決】同學(xué)們想出了如下的兩種方案：方案①：如圖1，先在平地上取一個(gè)可直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，再連接AC，BC，并分別延長AC至點(diǎn)D，BC至點(diǎn)E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距離就是AB的距離；方案②：如圖2，過點(diǎn)B作AB的垂線BF，在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC＝CD，接著過點(diǎn)D作BD的垂線DE，在垂線上選一點(diǎn)E，使A，C，E三點(diǎn)在一條直線上，則測出DE的長即是AB的距離．問：（1）方案①是否可行？請說明理由；（2）方案②是否可行？請說明理由．25．綜合與探究：【情境引入】（1）如圖1，BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，說明∠D＝90°+∠A的理由．【深入探究】（2）①如圖2，BD，CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC，∠FCB的平分線，∠D與∠A之間的等量關(guān)系是；②如圖3，BD，CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線，BD，CD交于點(diǎn)D，探究∠D與∠A之間的等量關(guān)系，并說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題2分，共24分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)的字母標(biāo)號在答題卡相應(yīng)位置涂黑.1．下列長度（單位：cm）的三根小木棒，能搭成三角形的是（）A．4，5，9 B．5，5，10 C．8，8，15 D．6，7，15【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊可知．解：A、4+5＝9，不滿足三角形三邊關(guān)系定理，故錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；B、5+5＝10，不滿足三邊關(guān)系定理，故錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意；C、8+8＝16＞15，滿足三邊關(guān)系定理，故正確，該選項(xiàng)符合題意；D、6+7＝13＜15，不滿足三角形三邊關(guān)系定理，故錯(cuò)誤，該選項(xiàng)不符合題意．故選：C．2．在下列△ABC中，正確畫出AC邊上的高的圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．解：A、AD不是AC邊上的高，不符合題意；B、AD是BC邊上的高，不是AC邊上的高，不符合題意；C、BD不是AC邊上的高，不符合題意；D、BD是AC邊上的高，符合題意；故選：D．3．如圖，在△ABC中．∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D作DF∥AB交AC于E，則∠ADE的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．55°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線定義求出∠BAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝∠BAD即可．解：∵在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝40°．故選：A．4．從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出7條對角線，則它是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【分析】根據(jù)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線的條數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系解決此題．解：任意n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可引出的對角線的條數(shù)為（n﹣3）條．∴n﹣3＝7．∴n＝10．∴這個(gè)多邊形是十邊形．故選：D．5．將一副三角板按如圖所示的方式擺放，其中點(diǎn)B落在邊EF上，點(diǎn)D落在邊AC上，則∠α的大小為（）A．165° B．160° C．150° D．135°【分析】由題意可得∠ABC＝45°，∠E＝30°，由三角形的外角性質(zhì)可求得∠BHE＝15°，再利用平角的定義即可求解．解：如圖，由題意得：∠ABC＝45°，∠E＝30°，∵∠ABC是△BEH的外角，∴∠ABC＝∠E+∠BHE，∴∠BHE＝∠ABC﹣∠E＝15°，∴∠α＝180°﹣∠BHE＝165°．故選：A．6．2022年北京冬奧會(huì)開幕式為世界奉獻(xiàn)了一場精彩、簡約、唯美、浪漫的中國文化盛宴，其中主火炬臺的雪花狀創(chuàng)意令人驚嘆．如圖是一個(gè)正六邊形雪花狀飾品，則它的每一個(gè)內(nèi)角是（）A．60° B．105° C．120° D．135°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式：多邊形的內(nèi)角和＝180°×（n﹣2），再利用內(nèi)角和÷6即可得出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．解：180°×（6﹣2）＝180°×4＝720°，720°÷6＝120°，答：一個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是120°．故選：C．7．一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，則這個(gè)正多邊形是（）A．正方形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十邊形【分析】設(shè)這個(gè)外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程求出外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和是360°即可求解．解：∵一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角與它相鄰?fù)饨堑亩葦?shù)比為3：1，∴設(shè)這個(gè)外角是x°，則內(nèi)角是3x°，根據(jù)題意得：x+3x＝180，解得：x＝45，360°÷45°＝8（邊），故選：C．8．如圖，在△ABC與△DFE中，AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，添加下列條件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（）A．∠B＝∠F B．BE＝CF C．∠A＝∠D D．AB＝DF【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法：SAS．ASA，AAS，逐一判斷即可解答．解：A、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（AAS），故A不符合題意；B、∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，∴BC＝EF，∵∠ACB＝∠DEF，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE（SAS），故B不符合題意；C、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DFE（ASA），故C不符合題意；D、∵AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，AB＝DF，∴△ABC與△DFE不一定全等，故D符合題意；故選：D．9．如圖，在△ABC中，∠C＝70°，沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2＝（）A．140° B．180° C．250° D．360°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠3+∠4，繼而可求出∠1+∠2的值．解：∵∠C＝70°，∴∠3+∠4＝180°﹣70°＝110°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠3）+（180°﹣∠4）＝360°﹣（∠3+∠4）＝250°．故選：C．10．下列條件中不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．兩個(gè)銳角分別對應(yīng)相等 B．兩條直角邊分別對應(yīng)相等 C．一條直角邊和斜邊分別對應(yīng)相等 D．一個(gè)銳角和一條斜邊分別對應(yīng)相等【分析】根據(jù)三角形全等的判定對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．解：A、兩個(gè)銳角對應(yīng)相等，不能說明兩三角形能夠完全重合，符合題意；B、可以利用邊角邊判定兩三角形全等，不符合題意；C、可以利用邊角邊或HL判定兩三角形全等，不符合題意；D、可以利用角角邊判定兩三角形全等，不符合題意．故選：A．11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分線．AB＝10，CD＝3，則△ABD的面積為（）A．30 B．18 C．15 D．9【分析】要求△ABD的面積，現(xiàn)有AB＝10可作為三角形的底，只需求出該底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得DE的長，即可求解．解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝CD＝3．∴△ABD的面積為×3×10＝15．故選：C．12．如圖，已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°．在邊AB，AC上分別截取AG，AF，使AG＝AF；分別以G，F(xiàn)為圓心，以大于GF的長為半徑畫弧，兩弧在△ABC內(nèi)相交于點(diǎn)H；作射線AH交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC，垂足為E．若CE＝3，DE＝4，CD＝5，則△ACD與△ABD的周長差為（）A．2 B．3 C．4 D．7【分析】由作法得AD平分∠BAC，則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DB＝DE，再證明Rt△ABD≌Rt△AED得到AE＝AB，然后利用等線段代換得到△ACD的周長﹣△ABD的周長＝CE+CD﹣BD．解：由作法得AD平分∠BAC，∵DB⊥AB，DE⊥AC，∴DB＝DE，在Rt△ABD和Rt△AED中，，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AB，∴△ACD的周長﹣△ABD的周長＝AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）＝AE+CE+AD+CD﹣AB﹣BD﹣AD＝CE+CD﹣BD＝3+5﹣4＝4．故選：C．二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）13．花樓提花機(jī)是我國古代織造技術(shù)最高成就的代表，明代《天工開物》中詳細(xì)記載了花樓提花機(jī)的構(gòu)造．如圖所示，提花機(jī)上的一個(gè)三角形木框架，它是由三根木料固定而成，三角形的大小和形狀固定不變．三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可知，三根木條釘成一個(gè)三角形框架的大小和形狀固定不變，據(jù)此填空即可．解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可知，三根木條釘成一個(gè)三角形框架的大小和形狀固定不變，故答案為：穩(wěn)定性．14．如圖，在△ABC中，沿DE折疊，點(diǎn)A落在三角形所在的平面內(nèi)的點(diǎn)為A′，若∠A＝30°，∠BDA′＝86°，則∠CEA′的度數(shù)為26°．【分析】先利用對折的性質(zhì)說明∠ADE與∠A′DE、∠AED與∠A′ED的關(guān)系，再利用三角形的內(nèi)角和、平角的定義求出∠ADE、∠DEA′、∠DEC的度數(shù)，最后利用角的和差關(guān)系求出∠CEA′的度數(shù)．解：∵△A′DE是△ADE沿DE對折后的圖形，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED．∵∠ADE+∠A′DE+∠BDA′＝180°，∠BDA′＝86°，∴∠ADE＝47°．∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝30°，∴∠AED＝∠DEA′＝100°．∵∠AED+∠DEC＝180°，∴∠DEC＝77°．∵∠DEA′＝103°，∴∠CEA′＝∠DEA′﹣∠DEC＝26°．故答案為：26°．15．如圖，由一個(gè)正六邊形和正五邊形組成的圖形中，∠1的度數(shù)等于84°．【分析】利用正多邊形的外角公式可得∠ABC，∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，求出∠BAC，即可求出∠1解決問題．解：如圖，由題意得：∠ABC＝360°÷6＝60°，∠ACB＝360°÷5＝72°，則∠BAC＝180°﹣60°﹣72°＝48°，所以∠1＝360°﹣48°﹣120°﹣108°＝84°．故答案為：84°．16．如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝6cm，點(diǎn)E是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PE的最小值為6cm．【分析】過P點(diǎn)作PH⊥OB于H，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PH＝PD＝2，然后根據(jù)垂線段最短求解．解：過P點(diǎn)作PH⊥OB于H，如圖，∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，∴PH＝PD＝6cm，∵點(diǎn)E是射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，∴PE的最小值為6cm．故答案為：6．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共64分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．如圖，在直角△ABC中，BC邊上有E，D，F(xiàn)三點(diǎn)，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足為F．（1）以AD為中線的三角形是△ABC；以AE為角平分線的三角形是△ABD；以AF為高線的鈍角三角形有3個(gè)；（2）若∠B＝35°，求∠CAF的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的中線、高、角平分線的概念解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計(jì)算，得到答案．解：（1）以AD為中線的三角形是△ABC；以AE為角平分線的三角形是△ABD；以AF為高線的鈍角三角形有△ABE、△ABD、△ADE共3個(gè)，故答案為：△ABC；△ABD；3；（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，∴∠C＝90°﹣35°＝55°，∵AF⊥BC，∴∠CAF＝90°﹣55°＝35°．18．某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在研究三角形時(shí)，把兩個(gè)大小不同的等腰直角三角板按如圖①所示放置，圖②是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC．請找出圖②中的全等三角形，并給予說明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母）．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，求出∠BAE＝∠CAD，根據(jù)SAS證△ABE≌△ACD即可．解：△ABE≌△ACD，理由如下：∵△ABC與△AED均為等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD∵在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（SAS）．19．已知，a、b、c為△ABC的三邊長，b、c滿足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a為方程|a﹣4|＝2的解，求△ABC的周長，并判斷△ABC的形狀．【分析】利用絕對值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)得出b，c的值，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系得出a的值，進(jìn)而求出△ABC的周長進(jìn)而判斷出其形狀．解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，解得：b＝2，c＝3，∵a為方程|a﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，解得：a＝6或2，∵a、b、c為△ABC的三邊長，b+c＜6，∴a＝6不合題意舍去，∴a＝2，∴△ABC的周長為：2+2+3＝7，∴△ABC是等腰三角形．20．已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都比它相鄰的外角的3倍多20°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和．【分析】一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角比它相鄰的外角的3倍多20°，又由于內(nèi)角與外角的和是180度．設(shè)內(nèi)角是x°，外角是180°﹣x°，列方程求解，再根據(jù)多邊形的外角和與內(nèi)角和定理求解．解：設(shè)內(nèi)角是x°，外角是180°﹣x°，則得到方程x＝3（180﹣x）+20，解得x＝140，180°﹣x°＝40°．而任何多邊形的外角是360°，則多邊形內(nèi)角和中的外角的個(gè)數(shù)是360÷40＝9，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9邊形，內(nèi)角和為（9﹣2）×180°＝1260°．故這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9，內(nèi)角和為1260°．21．已知：如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為E、F．（1）求證：PE＝PF；（2）若∠BAC＝60°，連接AP，求∠EAP的度數(shù)．【分析】（1）過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，可得PD＝PE＝PF；（2）可得AP是∠BAC的平分線，則∠EAP可求出．解：（1）過點(diǎn)P作PD⊥BC于D，∵∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)P，且PE⊥AB，PF⊥AC，∴PD＝PE，PD＝PF，∴PE＝PF；（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠EAP＝＝30°．22．【概念認(rèn)識】在四邊形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四邊形ABCD內(nèi)部或邊AB上存在一點(diǎn)P，滿足∠DPC＝∠A，那么稱點(diǎn)P是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”．【初步思考】（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，點(diǎn)P在邊AB上且是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”．若DA∥CP，DP∥CB，則∠DPC的度數(shù)為60°；【綜合運(yùn)用】（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)部且是四邊形ABCD的“映角點(diǎn)”，延長CP交邊AB于點(diǎn)E．求證：∠ADP＝∠CEB．【分析】（1）由題意可知∠A＝∠B＝∠DPC，若DA∥CP，DP∥CB，推出∠A＝∠B＝∠DPC＝∠ADP＝∠PCB，再由∠DPB是△ADP的外角，則∠DPC+∠CPB＝2∠A，證得△BCP為等邊三角形，即可得出結(jié)果；（2）先證∠ADP+∠AEP＝180°，再由∠CEB+∠AEP＝180°，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：由題意得：∠A＝∠B＝∠DPC，∵DA∥CP，∴∠DPC＝∠ADP，∵DP∥CB，∴∠DPC＝∠PCB，∴∠A＝∠B＝∠DPC＝∠ADP＝∠PCB，∵∠DPB是△ADP的外角，∴∠DPC+∠CPB＝∠A+∠ADP＝2∠A，∴∠A＝∠CPB，∴∠B＝∠CPB＝∠PCB，∴△BCP為等邊三角形，∴∠B＝60°，∴∠DPC＝60°，故答案為：60；（2）證明：∵∠A＝∠B＝∠DPC，∠DPC+∠DPE＝180°，∴∠A+∠DPE＝180°，∴∠ADP+∠AEP＝180°，∵∠CEB+∠AEP＝180°，∴∠ADP＝∠CEB．23．如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大?。痉治觥坑伞螧AD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根據(jù)SAS可證△BAC≌△EAD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC與△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．24．綜合與實(shí)踐：【問題情境】如圖，池塘的兩端有A，B兩點(diǎn)，現(xiàn)需要測量該池塘的兩端A，B之間的距離，需要如何進(jìn)行呢？【方案解決】同學(xué)們想出了如下的兩種方案：方案①：如圖1，先在平地上取一個(gè)可直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，再連接AC，BC，并分別延長AC至點(diǎn)D，BC至點(diǎn)E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距離就是AB的距離；方案②：如圖2，過點(diǎn)B作AB的垂線BF，在BF上取C，D兩點(diǎn)，使BC＝CD，接著過點(diǎn)D作BD的垂線DE，在垂線上選一點(diǎn)E，使A，C，E三點(diǎn)