2022-2023學年陜西省西安市蓮湖區(qū)益新中學八年級（上）第一次月考數學試卷(含解析)

2022-2023學年陜西省西安市蓮湖區(qū)益新中學八年級第一學期第一次月考數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30分）1．計算的平方根結果是（）A．±2 B．±4 C．2 D．42．下列關于二次根式的計算正確的是（）A． B． C． D．3．以下列各組數為三邊的三角形中不是直角三角形的是（）A．9、12、15 B．41、40、9 C．25、7、24 D．6、5、44．在3.14，π，3.21221221，2，﹣，2﹣6，﹣5.2121121112…（在相鄰兩個2之間1的個數逐次加1）中，無理數的個數為（）A．5 B．2 C．3 D．45．下列計算或說法：①±3都是27的立方根；②＝a；③的立方根是2；④＝±4，其中正確的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．三個數的大小關系是（）A． B． C． D．7．如圖，在一個高為5m，長為13m的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度至少應是（）A．13m B．17m C．18m D．25m8．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，△BCD與△BC′D關于直線BD軸對稱，BC＝6，CD＝3，點C與點C′對應，BC′交AD于點E，則線段DE的長為（）A．3 B． C．5 D．9．如圖，一個無蓋長方形盒子的長寬高分別是4cm，4cm，6cm，一只螞蟻想從盒底的A點沿盒的表面爬到盒頂的B點，螞蟻要爬的最短路程是（）A．5cm B．8cm C．10cm D．2cm10．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點B在CD邊上，且DE＝2CE，點P是對角線AC上的一個動點，則PE+PD的最小值是（）A． B． C．9 D．二、填空題（本大題共6小題，共18分）11．化簡：＝．12．已知一個正數的兩個平方根是3x+2和5x﹣20，則這個數是．13．要使式子有意義，則實數x的取值范圍是．14．若最簡根式與是同類二次根式，則m＝．15．已知y＝++，則x﹣y＝．16．如圖，把一個等腰直角三角形ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC）放在等距的橫線上，相鄰兩條橫線的距離都是1厘米，點A，B，C恰好都在橫線上，則斜邊AB的長度為．三、解答題：（共52分）17．計算題：（1）﹣2﹣1﹣|﹣2|+（）0；（2）（3+）；（3）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）．18．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．19．已知2a﹣1的平方根是±1，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整數部分，求a+2b+c的平方根．20．如圖，筆直的公路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個土特產品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應建在離A點多遠處？21．如圖，邊長為4a的正方形ABCD中，M是CD的中點，N是BC上一點，且BN＝BC，求證：AM⊥MN．22．已知：a＝+2，b＝﹣2，求：（1）ab的值；（2）a2+b2﹣ab的值．23．如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，問過3秒時，△BPQ的面積為多少？24．已知，在長方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點，連接DE，DF，EF．（1）如圖①，當CF＝2BE＝2時，試說明△DEF是直角三角形；（2）如圖②，若點E是邊AB的中點，DE平分∠ADF，求BF的長．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，共30分）1．計算的平方根結果是（）A．±2 B．±4 C．2 D．4【分析】先求得＝4，然后再求4的平方根即可．解：＝4，4的平方根是±2．故選：A．【點評】本題主要考查的是平方根的定義和算術平方根的定義，先求得＝4是解題的關鍵．2．下列關于二次根式的計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據二次根式的除法可以判斷A；根據二次根式的乘法可以判斷B；根據同類二次根式的定義，可以判斷C；根據合并同類二次根式的方法可以判斷D．解：＝，故選項A不符合題意；＝7，故選項B正確，符合題意；不能合并，故選項C不符合題意；3＝2，故選項D錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查二次根式的混合運算，解答本題的關鍵是明確二次根式混合運算的運算法則．3．以下列各組數為三邊的三角形中不是直角三角形的是（）A．9、12、15 B．41、40、9 C．25、7、24 D．6、5、4【分析】根據勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定則可．如果有這種關系，就是直角三角形，沒有這種關系，就不是直角三角形．解：A、92+122＝225＝152，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、402+92＝1681＝412，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、72+242＝625＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、52+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．4．在3.14，π，3.21221221，2，﹣，2﹣6，﹣5.2121121112…（在相鄰兩個2之間1的個數逐次加1）中，無理數的個數為（）A．5 B．2 C．3 D．4【分析】無理數就是無限不循環(huán)小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統(tǒng)稱．即有限小數和無限循環(huán)小數是有理數，而無限不循環(huán)小數是無理數．解：在3.14，π，3.21221221，2，﹣，2﹣6，﹣5.2121121112…（在相鄰兩個2之間1的個數逐次加1）中，無理數有π，2，2﹣6，﹣5.2121121112…（在相鄰兩個2之間1的個數逐次加1），共4個．故選：D．【點評】此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環(huán)小數為無理數．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．5．下列計算或說法：①±3都是27的立方根；②＝a；③的立方根是2；④＝±4，其中正確的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據立方根的定義得到﹣3是27的立方根，＝a，可對①②進行判斷，先計算，＝，然后根據立方根的定義對③④進行判斷．解：3是27的立方根，所以①錯誤；由于＝a，所以②正確；＝8，8的立方根為2，所以③正確；＝＝4，所以④錯誤．故選：B．【點評】本題考查了立方根：若一個數的立方等于a，那么這個數叫a的立方根，記作．也考查了算術平方根．6．三個數的大小關系是（）A． B． C． D．【分析】根據二次根式的性質把這一組數化為二次根式的形式，再比較被開方數的大?。猓哼@一組數據可化為、、，∵27＞25＞24，∴＞＞，即2＜5＜．故選：A．【點評】本題考查的是實數的大小比較，解答此類問題時要根據二次根式的性質把各數化為二次根式的形式，再比較被開方數的大小．7．如圖，在一個高為5m，長為13m的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度至少應是（）A．13m B．17m C．18m D．25m【分析】當地毯鋪滿樓梯時其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據勾股定理求得水平寬度，然后求得地毯的長度即可．解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度＝＝12，∵地毯鋪滿樓梯是其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，地毯的長度至少是12+5＝17米．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的知識，與實際生活相聯(lián)系，加深了學生學習數學的積極性．8．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，△BCD與△BC′D關于直線BD軸對稱，BC＝6，CD＝3，點C與點C′對應，BC′交AD于點E，則線段DE的長為（）A．3 B． C．5 D．【分析】首先根據題意得到BE＝DE，然后根據勾股定理得到關于線段AB、AE、BE的方程，解方程即可解決問題．解：設ED＝x，則AE＝6﹣x，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC；由題意得：∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED＝x；由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2，即x2＝9+（6﹣x）2，解得：x＝，∴ED＝．故選：B．【點評】本題主要考查了幾何變換中的翻折變換及其應用問題；解題的關鍵是根據翻折變換的性質，結合全等三角形的判定及其性質、勾股定理等幾何知識，靈活進行判斷、分析、推理或解答．9．如圖，一個無蓋長方形盒子的長寬高分別是4cm，4cm，6cm，一只螞蟻想從盒底的A點沿盒的表面爬到盒頂的B點，螞蟻要爬的最短路程是（）A．5cm B．8cm C．10cm D．2cm【分析】將長方體展開，進而得出最短路線．解：長方體展開，可得：AB＝（cm），故最短路程為10cm；故選：C．【點評】此題主要考查了平面展開最短路徑問題，利用勾股定理得出是解題關鍵．10．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點B在CD邊上，且DE＝2CE，點P是對角線AC上的一個動點，則PE+PD的最小值是（）A． B． C．9 D．【分析】由于點B與D關于AC對稱，所以連接BE，與AC的交點即為P點．此時PE+PD＝BE最小，而BE是直角△CBE的斜邊，利用勾股定理即可得出結果．解：如圖，連接BE，設BE與AC交于點P′，∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與D關于AC對稱，∴P′D＝P′B，∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最?。碢在AC與BE的交點上時，PD+PE最小，為BE的長度．∵直角△CBE中，∠BCE＝90°，BC＝3，CE＝CD＝1，∴BE＝＝，故選：A．【點評】此題考查了軸對稱﹣﹣最短路線問題，正方形的性質，要靈活運用對稱性解決此類問題．找出P點位置是解題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，共18分）11．化簡：＝．【分析】利用二次根式的性質＝|a|進行計算即可．解：原式＝＝a，故答案為：a．【點評】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，關鍵是掌握二次根式的性質．12．已知一個正數的兩個平方根是3x+2和5x﹣20，則這個數是．【分析】根據一個正數的平方根的性質可求出x的值，代入計算可得這個正數的平方根，再由平方根的定義進行解答即可．解：一個正數的兩個平方根是3x+2和5x﹣20，所以3x+2+5x﹣20＝0，解得x＝，當x＝時，3x+2＝，5x﹣20＝﹣所以這個正數為，故答案為：．【點評】本題考查平方根、算術平方根，理解平方根、算術平方根的定義是正確解答的前提．13．要使式子有意義，則實數x的取值范圍是x≥1且x≠2．【分析】直接利用二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分析得出答案．解：∵要使式子有意義，∴x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2，則實數x的取值范圍是x≥1且x≠2．故答案為：x≥1且x≠2．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，正確掌握相關定義是解題關鍵．14．若最簡根式與是同類二次根式，則m＝2．【分析】根據同類根式及最簡二次根式的定義列方程求解．解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴3m+7＝5m+3，解得m＝2，故答案為：2．【點評】此題考查的是同類二次根式與最簡二次根式，掌握其概念是解決此題關鍵．15．已知y＝++，則x﹣y＝．【分析】根據被開方數是非負數，可得x，y，根據有理數的減法，可得答案．解：由題意得，解得x＝，y＝x﹣y＝﹣＝，故答案為：．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，利用被開方數是非負數，可得x，y是解題關鍵．16．如圖，把一個等腰直角三角形ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC）放在等距的橫線上，相鄰兩條橫線的距離都是1厘米，點A，B，C恰好都在橫線上，則斜邊AB的長度為4（厘米）．【分析】過點A作AE⊥點C所在橫線于點E，過點B作BF⊥點C所在橫線于點F，易證△CAE≌△BCF，利用全等三角形的性質可得出AE、CE的長度，在Rt△ACE中，利用勾股定理可求出AC的長，再利用等腰直角三角形的性質可求出AB的長度．解：過點A作AE⊥點C所在橫線于點E，過點B作BF⊥點C所在橫線于點F，如圖所示．∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，AC＝CB．∵∠ACE+∠CAE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠CAE＝∠BCF．在△CAE和△BCF中，，∴△CAE≌△BCF（AAS），∴AE＝CF＝2，CE＝BF＝6．在Rt△ACE中，AE＝2厘米，CE＝6厘米，∠AEC＝90°，∴AC＝＝2（厘米），∴AB＝AC＝4（厘米）．故答案為：4（厘米）．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形以及勾股定理，利用全等三角形的性質結合相鄰兩條橫線的距離都是1厘米，找出AE，CE的長是解題的關鍵．三、解答題：（共52分）17．計算題：（1）﹣2﹣1﹣|﹣2|+（）0；（2）（3+）；（3）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）．【分析】（1）根據算術平方根、負整數指數冪、立方根、絕對值以及零指數冪的性質進行計算即可；（2）根據實數的混合運算的計算法則進行計算即可；（3）根據完全平方公式、平方差公式進行計算即可．解：（1）原式＝3﹣+2﹣2+1＝；（2）原式＝（6﹣+4）＝＝；（3）原式＝13﹣4+3﹣4＝12﹣4．【點評】本題考查算術平方根、負整數指數冪、立方根、絕對值、零指數冪以及完全平方公式、平方差公式，掌握算術平方根、負整數指數冪、立方根、絕對值以及零指數冪的性質、完全平方公式、平方差公式的結構特征時針去解答的前提．18．解方程：（1）16x2＝25；（2）3（x+1）2﹣108＝0；（3）（2x+3）2﹣54＝0．【分析】（1）整理得到x2＝，然后利用直接開平方法解方程．（2）整理得到（x+1）2＝36，然后利用直接開平方法解方程．（3）整理得到（2x+3）2＝216，然后利用直接開平方法解方程．解：（1）16x2＝25，x2＝，∴x＝±，∴x1＝，x2＝﹣．（2）3（x+1）2﹣108＝0，3（x+1）2＝108（x+1）2＝36，∴x+1＝±6，∴x1＝5，x2＝﹣7．（3）（2x+3）2﹣54＝0，（2x+3）2＝216，∴2x+3＝±6，∴x1＝，x2＝．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．19．已知2a﹣1的平方根是±1，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整數部分，求a+2b+c的平方根．【分析】根據平方根的意義可得2a﹣1＝1，3a+b﹣1＝16，從而求出a＝1，b＝14，然后估算出的值的范圍，從而求出c的值，然后代入式子中進行計算即可解答．解：∵2a﹣1的平方根是±1，3a+b﹣1的平方根是±4，∴2a﹣1＝1，3a+b﹣1＝16，∴a＝1，b＝14，∵49＜57＜64，∴7＜＜8，∴的整數部分是7，∴c＝7，∴a+2b+c＝1+2×14+7＝1+28+7＝36，∴a+2b+c的平方根是±6．【點評】本題考查了估算無理數的大小，平方根，熟練掌握估算無理數的大小，以及平方根的意義是解題的關鍵．20．如圖，筆直的公路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個土特產品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應建在離A點多遠處？【分析】根據使得C，D兩村到E站的距離相等，需要證明DE＝CE，再根據△DAE≌△EBC，得出AE＝BC＝10km；解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，設AE＝xkm，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）km．∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收購站E應建在離A點10km處．【點評】本題主要是運用勾股定理將兩個直角三角形的斜邊表示出來，兩邊相等求解即可．21．如圖，邊長為4a的正方形ABCD中，M是CD的中點，N是BC上一點，且BN＝BC，求證：AM⊥MN．【分析】設NC＝a，根據正方形性質得出AD＝AB＝BC＝DC＝4a，再根據勾股定理表示AN、AM、MN，再根據勾股逆定理判斷∠AMN＝90°．解：設NC＝a，∵BN＝BC，∴BN＝3a，BC＝4a，∵在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝DC＝4a，∵M是CD的中點，∴DM＝CM＝2a，在Rt△ABN中，根據勾股定理，得AN2＝（4a）2+（3a）2＝25a2，在Rt△ADM中，根據勾股定理，得AM2＝（4a）2+（2a）2＝20a2，在Rt△NCM中，根據勾股定理，得MN2＝（2a）2+a2＝5a2，∴AN2＝AM2+MN2，∴∠AMN＝90°，∴AM⊥MN．【點評】本題主要考查了正方形性質、勾股定理、勾股逆定理，掌握正方形性質、勾股定理、勾股逆定理的綜合應用，其中勾股逆定理的應用是解題關鍵．22．已知：a＝+2，b＝﹣2，求：（1）ab的值；（2）a2+b2﹣ab的值．【分析】（1）代入計算即可；（2）將所求式子a2+b2﹣ab變形成（a﹣b）2+ab，再代入計算即可．解：（1）ab＝（+2）×（﹣2）＝3；（2）a2+b2﹣ab＝（a﹣b）2+ab＝（+2﹣+2）2+3＝42+3＝16+3＝19．【點評】本題考查代數式求值，解題的關鍵是把所求式子適當變形，再代入．23．如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，問過3秒時，△BPQ的面積為多少？【分析】本題先設適當的參數求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的長，利用三角形的面積公式計算求解．解：設AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長為36cm，AB+BC+AC＝36cm，∴3x+4x+5x＝36，得x＝3，∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒時，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），∴S△PBQ＝BP?BQ＝×6×6＝18（cm2）．故過3秒時，△BPQ的面積為18cm2．【點評】本題是道綜合性較強的題，需要學生把勾股定理的逆定理、三角形的面積公式結合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關鍵．隱含了整體的數學思想和正確運算的