高二數(shù)學(xué)函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)

高二數(shù)學(xué)函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)第一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0復(fù)習(xí):一、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，f(x)為增函數(shù)f(x)為減函數(shù)第二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日二、函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)X0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)<f(x0),

則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(x0)；如果對(duì)X0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)>f(x0),

則f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0)；◆函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0稱為極值點(diǎn)第三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6觀察下列圖形,你能找出函數(shù)的極值嗎？觀察圖象，我們發(fā)現(xiàn)，是函數(shù)y=f(x)的極小值，是函數(shù)y=f(x)的極大值。第四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日求解函數(shù)極值的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f’(x)（3）求方程f’(x)=0的根（4）用方程f’(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間，并列成表格（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號(hào)，來(lái)判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況第五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

在社會(huì)生活實(shí)踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，常常遇到如何能使用料最省、產(chǎn)量最高，效益最大等問(wèn)題，這些問(wèn)題的解決常?？赊D(zhuǎn)化為求一個(gè)函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題

函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？他們與函數(shù)極值關(guān)系如何？新課引入

極值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。第六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日知識(shí)回顧

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

1．最大值:

（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值

2．最小值:

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值

第七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日觀察下列圖形,你能找出函數(shù)的最值嗎？xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值.

在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值與最小值因此：該函數(shù)沒(méi)有最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)第八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函數(shù)在[a,b]上的最值？一般的如果在區(qū)間，[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。第九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

觀察右邊一個(gè)定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖象：發(fā)現(xiàn)圖中____________是極小值，_________是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)

問(wèn)題在于如果在沒(méi)有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？xX2oaX3bx1yy=f(x)第十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)(端點(diǎn)處)

比較,其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)最小值.

求f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的最值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值(極大值或極小值)；

新授課注意:1.在定義域內(nèi),最值唯一;極值不唯一2.最大值一定比最小值大.第十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日※典型例題1、求出所有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；2、計(jì)算；3、比較確定最值。例1、1、第十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日※動(dòng)手試試求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：第十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日※典型例題反思：本題屬于逆向探究題型：

其基本方法最終落腳到比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小上，從而解決問(wèn)題，往往伴隨有分類討論。第十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日※拓展提高1、我們知道，如果在閉區(qū)間【a，b】上函數(shù)y=f（x）的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值和最小值；那么把閉區(qū)間【a，b】換成開(kāi)區(qū)間（a,b）是否一定有最值呢？如下圖：不一定2、函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。3、如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間（a,b）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。第十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有無(wú)最值情況不定。第十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日※動(dòng)手試試第十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日第十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日4、函數(shù)y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值為()A.-4B.0C.16 D.20C3/8/202319第十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日1、求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間[1，5]內(nèi)的最大值和最小值

法一、將二次函數(shù)f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函數(shù)單調(diào)性處理選做題：第二十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日1.求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間[1，5]內(nèi)的極值與最值

故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，5]內(nèi)的極小值為3，最大值為11，最小值為2

解法二、

f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112第二十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日2、

解令解得x0(0,)

(,)+-+00

(,)0第二十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日

應(yīng)用(2009年天津（文）21T)處的切線的斜率；設(shè)函數(shù)其中（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。答:（1）斜率為1;(2)第二十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日四、實(shí)際應(yīng)用1.實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.

在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會(huì)遇到求函數(shù)的最大(小)值的問(wèn)題.建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問(wèn)題常見(jiàn)的解題思路.

在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),一定要注意確定函數(shù)的定義域.

在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使的情形,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道這就是最大(小)值.這里所說(shuō)的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間.滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)”.第二十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例1:在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形,再把它的邊沿虛線折起(如圖),做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子,箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí),箱子的容積最大?最大容積是多少?解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x,則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由題意可知,當(dāng)x過(guò)小(接近0)或過(guò)大(接近60)時(shí),箱子的容積很小,因此,16000是最大值.答:當(dāng)x=40cm時(shí),箱子容積最大,最大容積是16000cm3.第二十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日類題:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí),它的高與底半徑應(yīng)怎樣選取,才能使所用的材料最省?解:設(shè)圓柱的高為h,底半徑為r,則表面積S=2πrh+2πr2.由V=πr2h,得,則令,解得,從而

,即h=2r.由于S(r)只有一個(gè)極值,所以它是最小值.答:當(dāng)罐的高與底半徑相等時(shí),所用的材料最省.第二十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例2:如圖,鐵路線上AB段長(zhǎng)

100km,工廠C到鐵路的距離CA=20km.現(xiàn)在要在AB上某一處D,向C修一條公路.已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3:5.為了使原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,D應(yīng)修在何處?BDAC解:設(shè)DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3t元,則公路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為5t元.這樣,每噸原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)為第二十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日令,在的范圍內(nèi)有唯一解x=15.所以,當(dāng)x=15(km),即D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米時(shí),總運(yùn)費(fèi)最省.注:可以進(jìn)一步討論,當(dāng)AB的距離大于15千米時(shí),要找的最優(yōu)點(diǎn)總在距A點(diǎn)15千米的D點(diǎn)處;當(dāng)AB之間的距離不超過(guò)15千米時(shí),所選D點(diǎn)與B點(diǎn)重合.練習(xí):已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn).答:設(shè)圓柱底面半徑為r,可得r=R(H-h)/H.易得當(dāng)h=H/3

時(shí),圓柱體的體積最大.2.與數(shù)學(xué)中其它分支的結(jié)合與應(yīng)用.第二十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日xy例1:如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD,求這個(gè)矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0<x<2),則

A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當(dāng)時(shí),因此當(dāng)點(diǎn)B為時(shí),矩形的最大面積是第二十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例2:已知x,y為正實(shí)數(shù),且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.設(shè),由x,y為正實(shí)數(shù)得:設(shè)令,得又,又f(0)=f(π)=0,故當(dāng)時(shí),第三十頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例3、證明：當(dāng)x>0時(shí)，x>ln(1+x)解：設(shè)f(x)=x-ln(1+x).即x>ln(1+x).又因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以f(x)在x≥0上單調(diào)遞增，從而當(dāng)x>0時(shí)，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0第三十一頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)3:當(dāng)x>1時(shí),證明不等式:證:設(shè)顯然f(x)在[1,+∞)上連續(xù),且f(1)=0.第三十二頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日顯然,當(dāng)x>1時(shí),

,故f(x)是[1,+∞)上的增函數(shù).所以當(dāng)x>1時(shí),f(x)>f(1)=0,即當(dāng)x>1時(shí),第三十三頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日例4:證明不等式:證:設(shè)則令,結(jié)合x(chóng)>0得x=1.而0<x<1時(shí),;x>1時(shí),,所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn).所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取最小值f(1)=1.從而當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥1恒成立,即:

成立.第三十四頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日思考題：（04浙江文21）（本題滿分12分）已知a為實(shí)數(shù)，（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)；（Ⅱ）若，求在[-2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在(-∞，-2]和[2，+∞)上都是遞增的，求a的取值范圍。－2≤a≤2第三十五頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日五、小結(jié)1.求在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的步驟:(1)求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.2.求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)要正確區(qū)分極值與最值這兩個(gè)概念.(2)在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)未必有最大值與最小值.(3)一旦給出的函數(shù)在(a,b)上有個(gè)別不可導(dǎo)點(diǎn)的話,不要忘記在步驟(2)中,要把這些點(diǎn)的函數(shù)值與各極值和f(a)、f(b)放在一起比較.第三十六頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日3.應(yīng)用問(wèn)題要引起重視.(1)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值在求函數(shù)的值域、不等式的證明及解法中有廣泛的作用。(2)在實(shí)際問(wèn)題中如果可以判定可導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)存在最大(小)值,而且函數(shù)在這個(gè)定義域內(nèi)又只有唯一的極值點(diǎn),那么立即可以判定,這個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)值就是最大(小)值,這一點(diǎn)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)很有用.六、作業(yè)第一次p.253~254課后強(qiáng)化訓(xùn)練第1~8題;第二次p.255~256課后強(qiáng)化訓(xùn)練第1~6題及9,10題.第三十七頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)公式與法則導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義 多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值第三十八頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日基本練習(xí)

1、曲線y=x4-2x3+3x在點(diǎn)P(-1，0)處的切線的斜率為()(A)–5(B)–6(C)–7(D)–8

2、函數(shù)y=x100+2x50+4x25的導(dǎo)數(shù)為()y’=100(x99+x49+x24)(B)y’=100x99

(C)y’=100x99+50x49+25x24

(D)y’=100x99+2x49

第三十九頁(yè)，共四十四頁(yè)，2022年，8月28日3、已知過(guò)曲線y=x3/3上點(diǎn)P的切線方程為12x-3y=16，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.4、函數(shù)f(x)=x3-3x+1的減區(qū)間為()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)5、若函數(shù)y=a(x3-x)的遞減區(qū)間為()，則a的取值范圍為()(A)a>0(B)–1<a<1(C)a