三元次方程組解法(教師用)初中數(shù)學(xué)

第講

三一方組法例教目：（1）了解三元一次方程組的概念（2）會解某個(gè)方程只有兩元的簡單的三元一次方程組．（3）掌握解三元一次方程組過程中化三元為二元的思路．（4）通過消元可把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元充分體會“轉(zhuǎn)化”是解二元一次方程組的基本思路.教重難：（1）會解簡單的三元一次方程組．(2)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會“消元”的基本思想．(3)針對方程組的特點(diǎn)，靈活使用代入法、加減法等重要方法．知梳：方程組含有3個(gè)相同的未知數(shù)個(gè)方程式中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組。注意:每個(gè)方程不一定都含有三個(gè)未知數(shù)但方程組整體上要含有三個(gè)未知數(shù)解思：思路:解三元一次方程組的基本思想仍是消元其基本方法是代入法和加減法步驟:①利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù),得出一個(gè)二元一次方程組②解這個(gè)二元一次方程組,求得兩個(gè)未知數(shù)的值③將這兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程中較簡單的一個(gè)方程,求出第三個(gè)未知數(shù)的,把這三個(gè)數(shù)寫在一起的就是所求的三元一次方程組的解4:解三元一次方程組同解二元一次方程組類似消元時(shí),選擇系數(shù)較簡單的未知數(shù)較好.靈活運(yùn)用加減消元法,代入消元法解簡單的三元一次方程組典例：一、三元一次方程組之特殊型12

①

z22②例1：解方程組

4

③分析：方程③是關(guān)于表達(dá)式，通過代入消元法可直接轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，因此確定“消x”的目標(biāo)。解法1：代入法，消x.類型一：有表達(dá)式，用代入法型針對上例進(jìn)而分析方程組中的方程③里缺z,因此利用①②消能達(dá)到消元構(gòu)成二元一次方程組的目的。解法2：消z.類型二：缺某元，消某元型y

①

②例2：解方程組

z③分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)每個(gè)方程未知項(xiàng)的系數(shù)和相等；每一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)之和也相等，即系數(shù)和相等。具備這種特征的方程組，我們給它定義“輪換方程組采取求和作差的方法較簡潔地求出此類方程組的解。解：由①+②+③/

典型例題舉例：解方程組解：由①+②+③得類型三：輪換方程組，求和作差型例3：解方程組

:z1:2xz

①②分析1：觀察此方程組的特點(diǎn)是未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，看見比例式就會想把比例式化成關(guān)系式求解即由得y=2x；x:z=1:7得z=7x.從而從形式上轉(zhuǎn)化為三元一次方程2x,組的一般形式，即

x2yz21.③

，根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可選用“有表達(dá)式，用代入法”求解。解法1：由①得y=2x，z=7x，并代入②分析2由以往知識可知遇比例式時(shí)，可設(shè)一份為參數(shù)k，因此由方程①x:y:z=127，可設(shè)為x=k,y=2k,z=7k.從而也達(dá)到了消元的目的，并把三元通過設(shè)參數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為一元，可謂一舉多得。解法2：由①設(shè)x=k,y=2k,z=7k并代入②111①

:

②典型例題舉例：解方程組

z:③分析：觀察此方程組的特點(diǎn)是方程②、③中未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，由例3的解題經(jīng)驗(yàn)，易選擇4將比例式化成關(guān)系式求解，即由②得=y；由③得z=.從而利用代入法求解。解法1：略.分析：受例解法2的啟發(fā)，想使用設(shè)參數(shù)的方法求解，但如何將②、③轉(zhuǎn)化為x:y:z的形式呢？通過觀察發(fā)現(xiàn)②、③中都有y，所以把它作為橋梁，先確定未知項(xiàng)y比值的最小公倍數(shù)為15，由②×5得y:x=15:10，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12解法2：由②、③得x:y:z=10:15:12.設(shè)x=10k,y=15k,z=12k，并代入①類型四：遇比例式找關(guān)系式，遇比設(shè)元型二、三元一次方程組之一般型

①

y

②例4：解方程組

12.③分析：對于一般形式的三元一次方程組的求解，應(yīng)該認(rèn)清兩點(diǎn)：一是確立消元目標(biāo)——消哪個(gè)未知項(xiàng)；二是在消元的過程中三個(gè)方程式如何正確的使用怎么才能做“目標(biāo)明確消元不亂歸納出：消元的選擇1.選擇同一個(gè)未知項(xiàng)系數(shù)相同或互為相反數(shù)的那個(gè)未知數(shù)消元；2.選擇同一個(gè)未知項(xiàng)系數(shù)最小公倍數(shù)最小的那個(gè)未知數(shù)消元。方程式的選擇采取用不同符號標(biāo)明所用方程，體現(xiàn)出兩次消元的過程選擇。/

3.3.

①解：

y6

②③（明確消z，并在方程組中體現(xiàn)出來——畫線）①+③得5x+2y=16，④(體現(xiàn)第一次使用在①③后做記號√)②+③得3x+4y=18，⑤(體現(xiàn)第二次使用在②③后做不同記號△)由④、⑤得

3xy

④⑤解得

x2,y把x=2，y=3代人②，得z=1.

x2,y3,z∴是原方程組的解.9,①②典型例題舉例：解方程組

513.

③分析：通過比較發(fā)現(xiàn)未知項(xiàng)系數(shù)的最小公倍數(shù)最小，因此確定消y。以方程②作為橋梁使用，達(dá)到消元求解的目的。解：②×2得6x－4y+10z=22，④2x+4y+3z=9①①+④得8x+13z=31.⑤②×3得9x－6y+15z=33，⑥5x－6y+7z=13，③⑥－③得4x+8z=20.x+2z=5.⑦由⑤、⑦得

⑤⑦z解得把x=-1，z=3代人①，得x

.1,∴是原方程組的解三、三元一次方程組的相關(guān)變式題型例五、解方程組

yzyz3/

，，求時(shí)，代入，，求時(shí)，代入

xy9(1)2yz解：原方程組可化為

3z由（1）+（3

z

（4）由（1）+（2）

，得

529

（5）由（4）和（5）組成方程組，得

z5z29(5)解這個(gè)方程組，得

x2把

2

代入（1得

9

∴

xy∴是原方程組的解例六、已知

yxz4yz0xy

的值。解：由題意，得

y3xz解這個(gè)方程組，得

z當(dāng)

z

，

xz2222xyz213∴所求代數(shù)式的值為xya(1)yz(3)例七、已知方程組的解使代數(shù)式

y

的值等，值。解）－（1

2a

（4）（3）+（4

z6,3a把

z

代入（2）和（3

2xa

xy2∴

za

，把

yazax

，得

aaa∴

a

53

∴所求的值為

2例八、甲、乙兩同學(xué)解方程組，已知甲的正確解答是

x2y4

，乙由于看錯(cuò)了，求出的解是

6.5

，則求

a,b,

的值。/

y4y4解：把代入原方程組，得

2ab

∴

由

滿足

by

，得

3a6.52

和（1）組成方程組，得6.5

解得

b

∴

c∴所求

,c

的值分別為

在此需要說明的是，每一個(gè)三元一次方程組的求解方法都不是唯一的，需要進(jìn)一步的觀察，但是只要掌握了最基本的解方程組思想和策略，就可以以不變應(yīng)萬變，就可以很容易的學(xué)會三元一次方程組的解法。四、三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用例一:甲地到乙地全程是一段上坡，一段平路，一段下坡。上坡每小時(shí)行，平路每小時(shí)行4km，下坡每小時(shí)行5km，那么，從甲地到乙地要51分鐘乙地到甲地要53.4分。求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少解：設(shè)從甲地到乙地上坡為，平路為Ykm，下坡為Zkm，則X+Y+Z=3.3①X/3+Y/4+Z/5=51/60②Z/3+Y/4+X/5=53.4/60③由②式得到20X+15Y+12Z=51④由③式得到20Z+15Y+12X=53.4⑤由⑤式-④式得到Z-X=0.3,么Z=X+0.3⑥將⑥式帶入①式，得到X+Y+X+0.3=3.3,么Y=3-2X⑦將⑥⑦式帶入④式，得到20X+15(3-2X)+12(X+0.3)=51,么，X=1.2,所以Y=0.6,Z=1.5所以，從甲地到乙地，上坡千米，平路0.6千米，下坡1.5千米。練習(xí)1.甲、乙、丙三數(shù)的和是，甲數(shù)的2倍比丙數(shù)的3倍大3，甲、乙兩數(shù)的比為。求這三個(gè)數(shù)。聚中：1.（2011?重慶）某步行街?jǐn)[放有若干盆甲、乙、丙三種造型的盆景．甲種盆景由朵紅花、24朵黃花和25朵紫花搭配而成，乙種盆景由10朵紅花和12朵黃花搭配而成，丙種盆景由10朵紅花、18朵黃花和紫花搭配而成．這些盆景一共用了紅花，3750朵紫花，則黃花一共用了4380朵．分析：題中有兩個(gè)等量關(guān)系：甲種盆景所用紅花的朵+乙種盆景所用紅花的朵數(shù)+丙種盆景所用紅花的朵數(shù)=2900朵，甲種盆景所用紫花的朵數(shù)丙種盆景所用紫花的朵數(shù)=3750．據(jù)此可列出方程組，設(shè)步行街?jǐn)[放有甲、乙、丙三種造型的盆景分別x盆、盆、z盆，用含x的代數(shù)式分別表示y、z，即可求出黃花一共用的朵數(shù)．解：設(shè)步行街?jǐn)[放有甲、乙、丙三種造型的盆景分別有盆、y盆、z盆．由題意有{15x+10y+10z=290025x+25z=3750②，由①得3x+2y+2z=580，由②得x+z=150/

④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）（150-x）=730，∴黃花一共用了：24x+12y+18z=64x+2y+3z）=6×730=4380．故黃花一共用了4380朵．點(diǎn)評：本題考查了三元一次方程組在實(shí)際生活中的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是發(fā)掘等量關(guān)系列出方程組，難點(diǎn)是將方程組中的其中一個(gè)未知數(shù)看作常數(shù)，用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另外兩個(gè)未知數(shù)，然后代入所求黃花的代數(shù)式．2.某果品店組合銷售水果，甲種搭配：千克A水果，4千克水；乙種搭配：3千克A水果，千克B果，1克C果；丙種搭配：克A水果，克B果，l克C果．A果價(jià)格每千克2元，水果價(jià)格每千克1.2元，C果價(jià)格每千克10元．某天該店銷售三種搭配共得441.2元，其中A水果的銷售額為116，則C水果的銷售額為150元．分析：設(shè)甲種搭配、乙種搭配、丙種搭配分別銷售了個(gè)、y個(gè)、z個(gè)．根據(jù)該店銷售三種搭配共得元