劉強-向量加法運算及其幾何意義【2018年第9屆全國高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽教學(xué)設(shè)計、課件】

中國教育學(xué)會2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動——第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動《向量加法運算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計重慶市第六十六中學(xué)校

劉強中國教育學(xué)會2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動一一第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動 重慶市66中文II強《向量加法運算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計一.教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容分析本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)》人教A版必修4第二章《平面向量》第二節(jié)《平面向量的線性運算》的第一課時，內(nèi)容是向量加法運算及其幾何意義。向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，也是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。向量的加法運算是通過類比實數(shù)的加法，以位移的合成、力的合力兩個物理模型為背景引入的，主要內(nèi)容是向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。教科書從幾何角度具體給出了通過兩個法則作兩個向量和的方法，介紹了向量加法滿足的運算律，最后舉例說明生活中有向量，生活中用向量。向量加法運算是學(xué)生對向量運算體系所進行的第一次探索和嘗試，學(xué)好本節(jié)課將為后面學(xué)習(xí)向量的其他知識奠定基礎(chǔ)，為用“數(shù)”的運算解決“形”的問題提供工具和方法。因此，本節(jié)的教學(xué)重點是向量加法運算的定義的建構(gòu)；以及利用位移的合成、力的合成作兩個向量的和向量。二.教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)分析（一）教學(xué)目標(biāo).掌握向量加法運算的概念；掌握用位移的合成、力的合成模型作出兩個向量的和，從而得出向量加法的法則，以及向量加法的運算律。.理解向量加法運算的幾何意義。.體會數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比推理、數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想方法。（二）教學(xué)目標(biāo)分析.從實數(shù)可以進行加法類比猜想向量是否也可以進行加法運算。通過類比實數(shù)的加法，探究向量的加法，并由已學(xué)的物理學(xué)科知識得出向量加法運算的概念；用位移的合成和力的合成作出兩個向量的和向量時，體會向量具有自由平移的特征，從作出的位移的合成、力的合成圖形中總結(jié)出向量的加法法則一一三角形法則、平行四邊形法則。用三角形法則作圖則要求首尾相連連首尾，用平行四邊形法則作圖則要求起點相同連對角。.通過對向量的方向、大小的探究，加深理解向量加法及其幾何意義。.從實數(shù)加法的運算律類比向量加法的運算律，并作圖驗證。三.教學(xué)問題診斷分析本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能遇到以下疑惑和困難：.對三角形法則的理解，尤其是方向相反的兩個向量的加法。.在實際生活中，抽象、識別出向量加法的模型。重慶市66中劉強中國教育學(xué)會2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動重慶市66中劉強為此在教學(xué)中，讓學(xué)生認識到三角形法則的實質(zhì)是：將已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向線段之間必須構(gòu)成三角形。通過作圖驗證向量加法的運算律，拉近學(xué)生與抽象數(shù)學(xué)知識之間的距離，激發(fā)他們的興趣，增強他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造思維和創(chuàng)新能力。因此，本節(jié)的教學(xué)難點是：理解向量的加法法則及其幾何意義，作圖驗證向量加法的運算律。四.教法分析偉大的教育家葉圣陶先生說過“教師之謂教，不在全盤授予，而在相機誘導(dǎo)”。本節(jié)課以學(xué)生為中心，以問題串進行驅(qū)動，采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探究相結(jié)合的教學(xué)方法。.設(shè)置情景，激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望。.提供交流探究機會，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，有效調(diào)動學(xué)生思維，在開放的活動中獲取知識。.在教學(xué)中體現(xiàn)“重過程、重情感、重生活”的理念。.讓學(xué)生經(jīng)歷“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的過程。五.教學(xué)過程設(shè)計根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的的認知水平和規(guī)律，結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容特點，分以下七個環(huán)節(jié)展開教學(xué)：復(fù)習(xí)舊知、鋪墊新知；類比實數(shù)、提出課題；創(chuàng)設(shè)情境、建構(gòu)定義；探究法則、猜想性質(zhì)；知識運用、深化認識；課堂總結(jié)、升華主題；課后作業(yè)、鞏固延伸。（一）、復(fù)習(xí)舊知、鋪墊新知在上一堂課，我們學(xué)習(xí)過向量的哪些概念？（設(shè)計意圖：讓學(xué)生回顧舊知，為本堂課的學(xué)習(xí)作鋪墊。）（二）、類比實數(shù)、提出課題問題1：學(xué)習(xí)完向量的概念后，我們應(yīng)該研究向量的什么知識呢？問題2：回憶：我們在學(xué)習(xí)完實數(shù)的概念后，緊接著學(xué)習(xí)了實數(shù)的什么知識？（設(shè)計意圖：讓學(xué)生類比實數(shù)的研究方法得到向量的研究方法。）問題3：向量能否像實數(shù)那樣進行加法運算？（設(shè)計意圖：新知與舊知產(chǎn)生了矛盾，激發(fā)學(xué)生的求知欲。）中國教育學(xué)會2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動一一第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動 重慶市66中文II強（三）、創(chuàng)設(shè)情境、建構(gòu)定義問題4：小明從A點向東走到B,然后從B點向北走到C。試求：小明由A點到C點所形成的位移?建構(gòu)定義：求兩個向量和的運算，叫做（設(shè)計意圖：向量加法運算可以直接利用物理模型引入得到,加法的定義其實就是用數(shù)學(xué)的作圖語言來刻畫的，這種方法經(jīng)常出現(xiàn)在幾何中，這一點也更好的體現(xiàn)了向量加法具有的幾何意義和向量數(shù)形結(jié)合的特征。若學(xué)生能用位移求和給向量加法下定義，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。）問題5：橡皮條在力F1與F2的作用下，從E點伸長到了O點；同時橡皮條在力F的作用下也從E點伸長到了O點。合力F與力F1、F2有怎樣的關(guān)系？（設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的物理知識入手，以問題進行驅(qū)動，讓學(xué)生主動參與到問題的發(fā)現(xiàn)、討論和解決等過程中來，而且在探究的過程中學(xué)生對向量加法的認識逐步由感性上升到理性，得出向量加法所對應(yīng)的兩個兩個物理模型一位移的合成、力的合成，為引入向量加法的三角形法則、平行四邊形法則作鋪墊。）

中國教育學(xué)會2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動一一第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動 重慶市66中文II強（四）、探究法則、猜想性質(zhì)—?探究一:如圖為不共線向量工b，請類比位移的合成、力的合成，作出向量a。位移的合成力的合成圖形表示符號裝述連接方太問題6：兩種方法做出的結(jié)果一樣嗎？問題7：它們之們有聯(lián)系嗎？（設(shè)計意圖：類比并掌握兩個物理模型的作圖技能，得到向量加法法則，并引導(dǎo)學(xué)生得到這兩種向量的加法法則的結(jié)果是相同的，本質(zhì)是相同的，但外在特征形式有區(qū)別，針對具體問題要具體分析。期間讓學(xué)生開展小組合作、自主探究，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個性品質(zhì)，使他們在輕松愉快的氛圍中突破難點，在過程中收獲自信，體驗成功，通過學(xué)生展示講解，鍛煉學(xué)生的組織能力和語言表達能力。踐行呂傳漢教授所提倡的“三教”理念：教思考、教體驗、教表達。若學(xué)生能從位移的合成、力的合成中獲得向量加法的兩個法則，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。）

中國教育學(xué)會2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動一一第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動 重慶市66中文II強探究二：共線向量的加法問題（I）方向相同（II）方向相反'…、女探究一成功探究了不共線向量的加法問題后，立刻提問：兩向量除了不共線之外,還有其他情況嗎？然后讓學(xué)生完備向量的加法問題，學(xué)生會看到三角形法則對共線向量的求和仍然是適用的，反映了三角形法則具有廣泛的適用性。若學(xué)生在探究共線向量的加法問題時，分類討論了同向和反向兩種情況，并得出三角形法則對共線向量的求和仍適用，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。）探究三：根據(jù)你所作的圖形，探究?a1,1b?與1￡+b?之間的關(guān)系？（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生運用分類討論思想、三角形的性質(zhì)得出結(jié)論，為后面不等式章節(jié)要繼續(xù)學(xué)習(xí)的三角不等式作鋪墊。若學(xué)生通過探究一、探究二的圖形，運用分類討論并得出結(jié)果1萬1+1b以萬+b1，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。）探究四：實數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，向量的加法是否也滿足類似的性質(zhì)？類比猜想其具體形式并作圖驗證。實數(shù)的加法向量的加法性質(zhì)（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過“類比”的方法引入向量的加法運算律，是符合建構(gòu)主義的認識的。同時，用作圖的方式驗證結(jié)論，使學(xué)生進一步認識的數(shù)學(xué)的嚴謹之美，也欣賞到了兩個法則的和諧統(tǒng)一之美。在作圖驗證這個開放性問題中，讓同學(xué)們從不同角度大膽作圖，充分調(diào)動了學(xué)生積極性，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力，讓學(xué)生達到參與度和思考度的高潮。若學(xué)生能類比實數(shù)的加法運算律猜想向量加法的運算律，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；若學(xué)生能作圖驗證運算律，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。）

中國教育學(xué)會2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動一一第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動 重慶市66中文II強（五）、知識運用、深化認識1.化簡 ? ? ?（1）AB+CD+BC=.2（mA+BN+（AC+函=.（3）AB+（BD+CA）+DC=.2.根據(jù)圖示填空(1)a+b=.(2)c+d=.—>(3)a+b+d=.>■—>>-(4)c+d+e=.（設(shè)計意圖：鞏固新知，知識過手，深刻領(lǐng)悟向量的兩個加法法則，熟練掌握法則所對應(yīng)的連接方式。若學(xué)生能獨立完成知識運用的兩個練習(xí)題，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)。）（六）、課堂總結(jié)、升華主題今天我們探究了哪些數(shù)學(xué)知識？我們體驗了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（設(shè)計意圖：新課程理念尊重學(xué)生的差異，鼓勵學(xué)生的個性發(fā)展，所以，在課堂總結(jié)環(huán)節(jié)設(shè)置一個開放性的問題，讓學(xué)生通過回顧、反思的過程中，將知識條理化、系統(tǒng)化，使認知結(jié)構(gòu)合理化，加深對向量加法及兩個法則的理解，領(lǐng)會并能利用數(shù)學(xué)思想和方法解決相關(guān)問題。今天探究了向量的加法運算，接下來還要探究向量的減法、數(shù)乘、數(shù)量積等運算，但這些運算的基礎(chǔ)都是加法運算，其實整個“和、差、倍、分”都可以歸結(jié)為“和”的思想即加法思想，加法思想也貫穿了整個小學(xué)到大學(xué)的學(xué)習(xí)，小學(xué)整數(shù)、分數(shù)加法，初中有理數(shù)、實數(shù)加法，解二元一次方程組，高中向量的加法，復(fù)數(shù)的加法，兩直線的位置關(guān)系，大學(xué)矩陣的加法等等。這樣既給學(xué)生梳理了“加法”的學(xué)習(xí)軌跡，同時也讓本堂課的主題得到了升華。）重慶市66中劉強中國教育學(xué)會2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動重慶市66中劉強（七）、課后作業(yè)、鞏固延伸（1）作業(yè)：P91習(xí)題2.2的1.2.3.4.5.（2）拓展探究：數(shù)有減法，向量是否有減法呢？結(jié)合本節(jié)課的探究方法，請大膽的提出猜想，并結(jié)合三角形法則與平行四邊形法則進行探究.（設(shè)計意圖：課本習(xí)題5個習(xí)題，主要是為了鞏固課堂所學(xué)知識；拓展探究，主要是讓學(xué)生掌握這類新知的探究方法，這既是為下節(jié)的學(xué)習(xí)作鋪墊，也在自主探究預(yù)習(xí)中潛移默化的培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這樣布置作業(yè)的方式，可以使學(xué)生在完成基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時，也讓每一個學(xué)生的思維得到釋放和拓展，使學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)興趣。）回歸本質(zhì)聚焦素養(yǎng)提升素質(zhì)----評《向量加法運算及其幾何意義》本節(jié)課劉老師以問題的形式引領(lǐng)學(xué)生探究，用類比的方法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識生成和發(fā)展，既注重“四能”的培養(yǎng)，又重視“素養(yǎng)”的發(fā)展，從而提升學(xué)生素質(zhì)，助推素質(zhì)教育。1回歸本質(zhì)回歸本質(zhì)有兩層含義，一是回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，二是回歸教學(xué)本質(zhì)，本課以生為本，先做后說，問題設(shè)在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，學(xué)在前，講在后，每個問題都是先由學(xué)生探究、交流、分享后，老師再點撥、評講。向量加法的法則都是學(xué)生自己概括、提煉出來的。在探究兩個法則結(jié)果一致性時，生生互助互學(xué)，充分體現(xiàn)合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)。在向量加法的生成過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，在向量加法的運算和作圖驗證猜想（運算律）的過程中，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。用實數(shù)運算類比向量運算，用位移和力的合成類比向量加法的兩個法則，體現(xiàn)了教師重視數(shù)學(xué)研究方法的引導(dǎo)。本節(jié)課滲透了類比、特殊與一般、分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想。如向量加法分共線和不共線，共線分同向和反向來討論，向量的加法用兩個法則來計算。2聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)劉老師整合教材內(nèi)容，目的就是更能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，重點發(fā)展的是直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。位移的加法、力的合成、兩個法則及作圖驗證運算律都充分發(fā)展了直觀想象；為探究出向量的加法運算，建立了三角形和平行四邊形模型；類比實數(shù)的加法運算律猜想向量加法的運算律，發(fā)展了學(xué)生邏輯推理；用位移求和