劉強(qiáng)-向量加法運(yùn)算及其幾何意義【2018年第9屆全國(guó)高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽教學(xué)設(shè)計(jì)、課件】

中國(guó)教育學(xué)會(huì)2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動(dòng)——第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)《向量加法運(yùn)算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計(jì)重慶市第六十六中學(xué)校

劉強(qiáng)中國(guó)教育學(xué)會(huì)2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動(dòng)一一第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng) 重慶市66中文II強(qiáng)《向量加法運(yùn)算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計(jì)一.教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容分析本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)》人教A版必修4第二章《平面向量》第二節(jié)《平面向量的線性運(yùn)算》的第一課時(shí)，內(nèi)容是向量加法運(yùn)算及其幾何意義。向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，也是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。向量的加法運(yùn)算是通過類比實(shí)數(shù)的加法，以位移的合成、力的合力兩個(gè)物理模型為背景引入的，主要內(nèi)容是向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。教科書從幾何角度具體給出了通過兩個(gè)法則作兩個(gè)向量和的方法，介紹了向量加法滿足的運(yùn)算律，最后舉例說明生活中有向量，生活中用向量。向量加法運(yùn)算是學(xué)生對(duì)向量運(yùn)算體系所進(jìn)行的第一次探索和嘗試，學(xué)好本節(jié)課將為后面學(xué)習(xí)向量的其他知識(shí)奠定基礎(chǔ)，為用“數(shù)”的運(yùn)算解決“形”的問題提供工具和方法。因此，本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是向量加法運(yùn)算的定義的建構(gòu)；以及利用位移的合成、力的合成作兩個(gè)向量的和向量。二.教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)分析（一）教學(xué)目標(biāo).掌握向量加法運(yùn)算的概念；掌握用位移的合成、力的合成模型作出兩個(gè)向量的和，從而得出向量加法的法則，以及向量加法的運(yùn)算律。.理解向量加法運(yùn)算的幾何意義。.體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比推理、數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想方法。（二）教學(xué)目標(biāo)分析.從實(shí)數(shù)可以進(jìn)行加法類比猜想向量是否也可以進(jìn)行加法運(yùn)算。通過類比實(shí)數(shù)的加法，探究向量的加法，并由已學(xué)的物理學(xué)科知識(shí)得出向量加法運(yùn)算的概念；用位移的合成和力的合成作出兩個(gè)向量的和向量時(shí)，體會(huì)向量具有自由平移的特征，從作出的位移的合成、力的合成圖形中總結(jié)出向量的加法法則一一三角形法則、平行四邊形法則。用三角形法則作圖則要求首尾相連連首尾，用平行四邊形法則作圖則要求起點(diǎn)相同連對(duì)角。.通過對(duì)向量的方向、大小的探究，加深理解向量加法及其幾何意義。.從實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律類比向量加法的運(yùn)算律，并作圖驗(yàn)證。三.教學(xué)問題診斷分析本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能遇到以下疑惑和困難：.對(duì)三角形法則的理解，尤其是方向相反的兩個(gè)向量的加法。.在實(shí)際生活中，抽象、識(shí)別出向量加法的模型。重慶市66中劉強(qiáng)中國(guó)教育學(xué)會(huì)2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動(dòng)重慶市66中劉強(qiáng)為此在教學(xué)中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角形法則的實(shí)質(zhì)是：將已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向線段之間必須構(gòu)成三角形。通過作圖驗(yàn)證向量加法的運(yùn)算律，拉近學(xué)生與抽象數(shù)學(xué)知識(shí)之間的距離，激發(fā)他們的興趣，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造思維和創(chuàng)新能力。因此，本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是：理解向量的加法法則及其幾何意義，作圖驗(yàn)證向量加法的運(yùn)算律。四.教法分析偉大的教育家葉圣陶先生說過“教師之謂教，不在全盤授予，而在相機(jī)誘導(dǎo)”。本節(jié)課以學(xué)生為中心，以問題串進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探究相結(jié)合的教學(xué)方法。.設(shè)置情景，激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望。.提供交流探究機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，有效調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，在開放的活動(dòng)中獲取知識(shí)。.在教學(xué)中體現(xiàn)“重過程、重情感、重生活”的理念。.讓學(xué)生經(jīng)歷“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的過程。五.教學(xué)過程設(shè)計(jì)根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的的認(rèn)知水平和規(guī)律，結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，分以下七個(gè)環(huán)節(jié)展開教學(xué)：復(fù)習(xí)舊知、鋪墊新知；類比實(shí)數(shù)、提出課題；創(chuàng)設(shè)情境、建構(gòu)定義；探究法則、猜想性質(zhì)；知識(shí)運(yùn)用、深化認(rèn)識(shí)；課堂總結(jié)、升華主題；課后作業(yè)、鞏固延伸。（一）、復(fù)習(xí)舊知、鋪墊新知在上一堂課，我們學(xué)習(xí)過向量的哪些概念？（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧舊知，為本堂課的學(xué)習(xí)作鋪墊。）（二）、類比實(shí)數(shù)、提出課題問題1：學(xué)習(xí)完向量的概念后，我們應(yīng)該研究向量的什么知識(shí)呢？問題2：回憶：我們?cè)趯W(xué)習(xí)完實(shí)數(shù)的概念后，緊接著學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的什么知識(shí)？（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生類比實(shí)數(shù)的研究方法得到向量的研究方法。）問題3：向量能否像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行加法運(yùn)算？（設(shè)計(jì)意圖：新知與舊知產(chǎn)生了矛盾，激發(fā)學(xué)生的求知欲。）中國(guó)教育學(xué)會(huì)2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動(dòng)一一第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng) 重慶市66中文II強(qiáng)（三）、創(chuàng)設(shè)情境、建構(gòu)定義問題4：小明從A點(diǎn)向東走到B,然后從B點(diǎn)向北走到C。試求：小明由A點(diǎn)到C點(diǎn)所形成的位移?建構(gòu)定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做（設(shè)計(jì)意圖：向量加法運(yùn)算可以直接利用物理模型引入得到,加法的定義其實(shí)就是用數(shù)學(xué)的作圖語言來刻畫的，這種方法經(jīng)常出現(xiàn)在幾何中，這一點(diǎn)也更好的體現(xiàn)了向量加法具有的幾何意義和向量數(shù)形結(jié)合的特征。若學(xué)生能用位移求和給向量加法下定義，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。）問題5：橡皮條在力F1與F2的作用下，從E點(diǎn)伸長(zhǎng)到了O點(diǎn)；同時(shí)橡皮條在力F的作用下也從E點(diǎn)伸長(zhǎng)到了O點(diǎn)。合力F與力F1、F2有怎樣的關(guān)系？（設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的物理知識(shí)入手，以問題進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生主動(dòng)參與到問題的發(fā)現(xiàn)、討論和解決等過程中來，而且在探究的過程中學(xué)生對(duì)向量加法的認(rèn)識(shí)逐步由感性上升到理性，得出向量加法所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)兩個(gè)物理模型一位移的合成、力的合成，為引入向量加法的三角形法則、平行四邊形法則作鋪墊。）

中國(guó)教育學(xué)會(huì)2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動(dòng)一一第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng) 重慶市66中文II強(qiáng)（四）、探究法則、猜想性質(zhì)—?探究一:如圖為不共線向量工b，請(qǐng)類比位移的合成、力的合成，作出向量a。位移的合成力的合成圖形表示符號(hào)裝述連接方太問題6：兩種方法做出的結(jié)果一樣嗎？問題7：它們之們有聯(lián)系嗎？（設(shè)計(jì)意圖：類比并掌握兩個(gè)物理模型的作圖技能，得到向量加法法則，并引導(dǎo)學(xué)生得到這兩種向量的加法法則的結(jié)果是相同的，本質(zhì)是相同的，但外在特征形式有區(qū)別，針對(duì)具體問題要具體分析。期間讓學(xué)生開展小組合作、自主探究，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個(gè)性品質(zhì)，使他們?cè)谳p松愉快的氛圍中突破難點(diǎn)，在過程中收獲自信，體驗(yàn)成功，通過學(xué)生展示講解，鍛煉學(xué)生的組織能力和語言表達(dá)能力。踐行呂傳漢教授所提倡的“三教”理念：教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)。若學(xué)生能從位移的合成、力的合成中獲得向量加法的兩個(gè)法則，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。）

中國(guó)教育學(xué)會(huì)2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動(dòng)一一第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng) 重慶市66中文II強(qiáng)探究二：共線向量的加法問題（I）方向相同（II）方向相反'…、女探究一成功探究了不共線向量的加法問題后，立刻提問：兩向量除了不共線之外,還有其他情況嗎？然后讓學(xué)生完備向量的加法問題，學(xué)生會(huì)看到三角形法則對(duì)共線向量的求和仍然是適用的，反映了三角形法則具有廣泛的適用性。若學(xué)生在探究共線向量的加法問題時(shí)，分類討論了同向和反向兩種情況，并得出三角形法則對(duì)共線向量的求和仍適用，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。）探究三：根據(jù)你所作的圖形，探究?a1,1b?與1￡+b?之間的關(guān)系？（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想、三角形的性質(zhì)得出結(jié)論，為后面不等式章節(jié)要繼續(xù)學(xué)習(xí)的三角不等式作鋪墊。若學(xué)生通過探究一、探究二的圖形，運(yùn)用分類討論并得出結(jié)果1萬1+1b以萬+b1，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。）探究四：實(shí)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，向量的加法是否也滿足類似的性質(zhì)？類比猜想其具體形式并作圖驗(yàn)證。實(shí)數(shù)的加法向量的加法性質(zhì)（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過“類比”的方法引入向量的加法運(yùn)算律，是符合建構(gòu)主義的認(rèn)識(shí)的。同時(shí)，用作圖的方式驗(yàn)證結(jié)論，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之美，也欣賞到了兩個(gè)法則的和諧統(tǒng)一之美。在作圖驗(yàn)證這個(gè)開放性問題中，讓同學(xué)們從不同角度大膽作圖，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生積極性，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力，讓學(xué)生達(dá)到參與度和思考度的高潮。若學(xué)生能類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算律猜想向量加法的運(yùn)算律，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；若學(xué)生能作圖驗(yàn)證運(yùn)算律，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。）

中國(guó)教育學(xué)會(huì)2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動(dòng)一一第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng) 重慶市66中文II強(qiáng)（五）、知識(shí)運(yùn)用、深化認(rèn)識(shí)1.化簡(jiǎn) ? ? ?（1）AB+CD+BC=.2（mA+BN+（AC+函=.（3）AB+（BD+CA）+DC=.2.根據(jù)圖示填空(1)a+b=.(2)c+d=.—>(3)a+b+d=.>■—>>-(4)c+d+e=.（設(shè)計(jì)意圖：鞏固新知，知識(shí)過手，深刻領(lǐng)悟向量的兩個(gè)加法法則，熟練掌握法則所對(duì)應(yīng)的連接方式。若學(xué)生能獨(dú)立完成知識(shí)運(yùn)用的兩個(gè)練習(xí)題，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)。）（六）、課堂總結(jié)、升華主題今天我們探究了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？我們體驗(yàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（設(shè)計(jì)意圖：新課程理念尊重學(xué)生的差異，鼓勵(lì)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展，所以，在課堂總結(jié)環(huán)節(jié)設(shè)置一個(gè)開放性的問題，讓學(xué)生通過回顧、反思的過程中，將知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)合理化，加深對(duì)向量加法及兩個(gè)法則的理解，領(lǐng)會(huì)并能利用數(shù)學(xué)思想和方法解決相關(guān)問題。今天探究了向量的加法運(yùn)算，接下來還要探究向量的減法、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算，但這些運(yùn)算的基礎(chǔ)都是加法運(yùn)算，其實(shí)整個(gè)“和、差、倍、分”都可以歸結(jié)為“和”的思想即加法思想，加法思想也貫穿了整個(gè)小學(xué)到大學(xué)的學(xué)習(xí)，小學(xué)整數(shù)、分?jǐn)?shù)加法，初中有理數(shù)、實(shí)數(shù)加法，解二元一次方程組，高中向量的加法，復(fù)數(shù)的加法，兩直線的位置關(guān)系，大學(xué)矩陣的加法等等。這樣既給學(xué)生梳理了“加法”的學(xué)習(xí)軌跡，同時(shí)也讓本堂課的主題得到了升華。）重慶市66中劉強(qiáng)中國(guó)教育學(xué)會(huì)2018年度課堂教學(xué)展示與觀摩（培訓(xùn)）系列活動(dòng)重慶市66中劉強(qiáng)（七）、課后作業(yè)、鞏固延伸（1）作業(yè)：P91習(xí)題2.2的1.2.3.4.5.（2）拓展探究：數(shù)有減法，向量是否有減法呢？結(jié)合本節(jié)課的探究方法，請(qǐng)大膽的提出猜想，并結(jié)合三角形法則與平行四邊形法則進(jìn)行探究.（設(shè)計(jì)意圖：課本習(xí)題5個(gè)習(xí)題，主要是為了鞏固課堂所學(xué)知識(shí)；拓展探究，主要是讓學(xué)生掌握這類新知的探究方法，這既是為下節(jié)的學(xué)習(xí)作鋪墊，也在自主探究預(yù)習(xí)中潛移默化的培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這樣布置作業(yè)的方式，可以使學(xué)生在完成基本學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)，也讓每一個(gè)學(xué)生的思維得到釋放和拓展，使學(xué)生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學(xué)生飽滿的學(xué)習(xí)興趣。）回歸本質(zhì)聚焦素養(yǎng)提升素質(zhì)----評(píng)《向量加法運(yùn)算及其幾何意義》本節(jié)課劉老師以問題的形式引領(lǐng)學(xué)生探究，用類比的方法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)生成和發(fā)展，既注重“四能”的培養(yǎng)，又重視“素養(yǎng)”的發(fā)展，從而提升學(xué)生素質(zhì)，助推素質(zhì)教育。1回歸本質(zhì)回歸本質(zhì)有兩層含義，一是回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，二是回歸教學(xué)本質(zhì)，本課以生為本，先做后說，問題設(shè)在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，學(xué)在前，講在后，每個(gè)問題都是先由學(xué)生探究、交流、分享后，老師再點(diǎn)撥、評(píng)講。向量加法的法則都是學(xué)生自己概括、提煉出來的。在探究?jī)蓚€(gè)法則結(jié)果一致性時(shí)，生生互助互學(xué)，充分體現(xiàn)合作學(xué)習(xí)和探究學(xué)習(xí)。在向量加法的生成過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，在向量加法的運(yùn)算和作圖驗(yàn)證猜想（運(yùn)算律）的過程中，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。用實(shí)數(shù)運(yùn)算類比向量運(yùn)算，用位移和力的合成類比向量加法的兩個(gè)法則，體現(xiàn)了教師重視數(shù)學(xué)研究方法的引導(dǎo)。本節(jié)課滲透了類比、特殊與一般、分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想。如向量加法分共線和不共線，共線分同向和反向來討論，向量的加法用兩個(gè)法則來計(jì)算。2聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)劉老師整合教材內(nèi)容，目的就是更能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，重點(diǎn)發(fā)展的是直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。位移的加法、力的合成、兩個(gè)法則及作圖驗(yàn)證運(yùn)算律都充分發(fā)展了直觀想象；為探究出向量的加法運(yùn)算，建立了三角形和平行四邊形模型；類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算律猜想向量加法的運(yùn)算律，發(fā)展了學(xué)生邏輯推理；用位移求和