集合的概念難題匯編之歐陽德創(chuàng)編

歐陽德創(chuàng)編

2013年9月犀利哥的高中學組卷時間：

創(chuàng)作：歐陽德一．選擇題共11小題1．（2011?廣東）設S是數(shù)集Z的非空子集，如果?a，b∈S有∈S，則稱S關數(shù)的乘法是封閉的，若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z，且a，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結論恒成立的是（）AV中少有一個關于乘法是封閉的BT，中多有一個關于乘法是封閉的C．T，V中且只有一個關于乘法是封閉的D．，中一個關于乘法都是封閉的2．（2007?湖北）設P和Q是兩個集合，定義集合P﹣Q={x|x∈P，且x?Q}，如果，Q={x||x＜1}，那么P等于（）A{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x1}{x|1x2}{x|2x3}3．（2010?延慶縣一模）將正偶數(shù)集合2，4，…}從小到大按第n組2n個偶數(shù)進行分組如下：則2010位（）A第B．第8組C第組D第10組4．（2009?閘北區(qū)一模）設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k﹣1?A且k+1?A，那么k是A的一個“孤立元”，給定A={1，3，4，5}，則A的所有子集中，只有一個“孤立元”的集合共有（）A10B．11個C．個D．個5．用C（A表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B=

，若A={1，2}，歐陽德創(chuàng)編

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B={x||x+ax+1|=1}且A*B=1由a的所有可值構成的集合是S，那么C（S）等于（）A4B．．D．16．（2013?寧波模擬）設集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a，a，a}是S子集，且123a，a，a滿足a＜a＜a，a﹣a≤6，那么滿足12312332條件的集合A的個數(shù)為（）A78．C7．下列命題正確的有（）

D．83（1）很小的實數(shù)可以構成集合；（2）集合{y|y=x2﹣1}與集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一個集合；（3）

這些數(shù)組成的集合有5個元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限內的點集．A0個B1個2個D3個8．若x∈A∈A，就稱A是伙伴關系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，4}的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合的個數(shù)為（）A15．C2D．9．定義A?，x∈A，y∈B}．設集合A={0，B={1，2}，C={1}．則集合（A?B）?C的所有元素之和為（）A3B．．18．2710．已知元素為實數(shù)的集A滿足條件：若a，則，那么集合A中所有元素的乘積為（）A﹣1B1C．0D．11．設集合，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若∈P∈Q，a=x+y，0000b=x?y，則（）00Aa，bQBaQbP．P，PD．，Q歐陽德創(chuàng)編

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二．填空題共14小題12．（2004?虹口區(qū)一模）定義集合A，B的一種運算“*”，A*B={p|p=x+y，x，y∈B}．若A={12，3}，B={1，2}，則集合A*B中所有元素的和_________．13．（2011?上海模擬）已知集合，且2∈A，3?A則實數(shù)a的值范圍是_________．14．集合，2，3，5，6}是S的一個集，當x∈A時，若﹣1?A，x+1A則稱x為的一個“孤立元素”，那么S中無“立元素”的4元子集的個數(shù)是_________．15．（2006?四川）非空集合G于運算⊕滿足：（1）對任意的a∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有⊕e=e⊕a=a，則稱G關于運算⊕為“融洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運算：①G={非負整數(shù)，⊕為整數(shù)的加法．②G={偶數(shù)，⊕為整數(shù)的乘法．③G={平面向量，⊕為平面向量的加法．④G={二次三項式，⊕為多項式的加法．⑤G={虛數(shù)，⊕為復數(shù)的乘法．其中G關運算⊕為“融洽集”的是_________．（寫出所有“融洽集”的序號）16．（2012?安徽模擬）給定集合A，若對于任意a，b∈A，有a+b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下五個結論：①集合A={﹣4，﹣2，0，2為閉集合；②正整數(shù)集是閉集合；③集合A={n|n=3k∈Z}是閉集合；④若集合A，A為閉集合，則A∪A為閉集合；1212歐陽德創(chuàng)編

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⑤若集合A，A為閉集合，且A?R，A?R，則存1212在c∈R，使得c（A∪A）．12其中正確的結論的序號是_________．17．（2011?綿陽三模）設集合A?R，對任意a、b、c∈A，運算“⊕具有如下性質：（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c給出下列命題：①0∈A②若1∈A，則（1⊕1）⊕1=0；③若a∈A，且a⊕0=a，則a=0；④若a、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，則a=c．其中正確命題的序號是_________（把你認為正確的命題的序號都填上）．18．已知集合，a，…，a，n∈N*且n＞2}，12n令T={x|x=a+a}，a∈A∈A，1≤i≤j≤n，Aijijcard（T）表示集合T中元素的個數(shù)．AA①若A={2，8，16}，card（T）=A_________；②若a=c1≤i≤n，c為非零常數(shù)），則i+1icard（T_________．A19．設集合，3，5，6}，S，…，S12k都是M的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的S={a，b}，S={a，b（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，iiijjjk}，都有（min{x表示兩個數(shù)x，y中的較小者），則k的最大值是_________．歐陽德創(chuàng)編

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20．設集合=

，B=，函數(shù)（x）若x∈A，且f[f（x）]∈A，則x的000取值范圍是_________．21．（文）設集合AR，如果x∈R滿足：對任意a0＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x|＜a，那么稱x00為集合A的聚點．則在下列集合中：（1）Z+∪Z（2）R+∪R﹣（3）（4）以0為點的集合有_________（寫出所有你認為正確結論的序號）．22．用描述法表示圖中的影部分（包括邊界）_________．23．設

，則A∩B用列舉法可表示為_________．24．如果具有下述性質的x都是集合M中的元素，即，其中a∈Q．則下列元素：①；②；③；④．其中是集合M的素是_________．（填序號）25．用列舉法表示集合：=_________．三．解答題共5小題26．（2007?北京）已知集合，a，…，a12k（k≥2）}，其中a（i=1，2，…），由A中的i元素構成兩個相應的集合：（a，b）|a，b∈A，a+b∈A}（a，b）|a∈A，b∈A﹣b∈A}．其中（a，b）是有序數(shù)對，集合S和中的歐陽德創(chuàng)編

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元素個數(shù)分別為m和n．若對于任意的a∈A，總有﹣aA則稱集合A具有性質P．（I）檢驗集合{0，1，3}與{﹣1，2，3}是否具有性質P并對其具有性質P的合，寫出相應的集合S和T（II）對任何具有性質P集合A證明：；（III判斷m和n的大小關系，并證明你的論．27．對于集合22∈Z，n∈Z}，因為16=52﹣32，所以∈A，研究下列問題：（1）1，2，3，4，5，6六個數(shù)中，哪些屬于A哪些不屬于A為什么？（2）討論集B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素屬于A試給出一個一般的結論，不必證明．28．已知集合，m，n∈Z}．（1）設x=，x=，x=（1﹣3）2試123判斷x，x，x與集合之間的關系；123（2）任取x，x∈A，試判斷x+x，x?x與A之間121212的關系．29．已知集合的全體元素為實數(shù)，且滿足若a∈A，則∈A．（1）若a=2，求出A中的所有元素；（2）0是為A中的元素？請再舉例一個實數(shù)，求出A中的所有元素；（3）根據(jù)（1）、（2），你能得出什么結論？30．設非空集合具有如下性質：①元素都是正整數(shù)；②若x∈S，則﹣x∈S．（1）請你寫出符合條件，且分別含有一個、二個、三個元素的集合S各一個；歐陽德創(chuàng)編

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（2）是否存在恰有6個元素的集合S？若存在，寫出所有的集合S；若不存在，請說明理由；（3）由（1）、）的解答過程啟發(fā)我們，可以得出哪些關于集合S的一般性結論（要求少寫出兩個結論）？2013年9犀利哥的中數(shù)學組參考答案與題解析一．選擇題共11小題1．（2011?廣東）設S是數(shù)集Z的非空子集，如果?a，b∈S有∈S，則稱S關數(shù)的乘法是封閉的，若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z，且a，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結論恒成立的是（）AV中少有一個關于乘法是封閉的BT，中多有一個關于乘法是封閉的C．T，V中且只有一個關于乘法是封閉的D．，中一個關于乘法都是封閉的考元與集合關系的判斷．點：專壓題；閱讀型；新定義題：分本從正面解比較困難，運用排除法進行作答．考慮把整數(shù)集Z分析：成兩互不相交的非空子集T，V的集，如T為數(shù)集，V為數(shù)集，或T為整數(shù)集V為負整數(shù)集進行分析排除即可．解解若T為數(shù)集，V為偶數(shù)集，滿足題意，此時T與V關乘法都是答：封閉，排除BC；若為整數(shù)集V為負整數(shù)集，滿足題意，此時只有V關乘法是封閉的，排除D；從而可得TV中少有一個關于乘法是封閉的A正故選A點此考查學生理解新定義能力，會判斷元素與集合的關系，是一道比評：較難題型．2．（2007?湖北）設P和Q是兩個集合，定義集合P﹣Q={x|x∈P，且xQ}，如果，Q={x||x＜1}，那么P等于（）A{x|0＜x＜1}B．＜≤1}C．{x|1x＜2}考元素與集合關系的判斷；對值不等式的解法．點：專計算題．

D．x＜3}歐陽德創(chuàng)編

nn89歐陽德nn89

題：分首先分別對Q兩集合進行化簡，然后按照﹣Q={x|xP，且析：xQ}，求出﹣Q即．解答：

解：化簡得＜x＜2}而﹣＜1}化簡得Q={x|1x＜3}定集合﹣Q={x|xP，且xQ}，P﹣Q={x|0x≤1}故選點本題考查元素與集合關系判斷，以及絕對值不等式的解法，考查對集評：合識的熟練掌握，屬于礎題．3．（2010?延慶縣一模）將正偶數(shù)集合2，4，…}從小到大按第n組2n個偶數(shù)進行分組如下：則2010位（）A第B．第．9組D．第考元素與集合關系的判斷；合的表示法；等差數(shù)列；等比數(shù)列．點：專計算題．題：分首先將正偶數(shù)集合按大小序排列是一個等差數(shù)列，先求出2010是數(shù)析：列的第幾項，然后按第n組2個數(shù)進行分組，每組中集合元素的個數(shù)正好是等比數(shù)列，求出解解：正偶數(shù)集按從小到大順序排列組成數(shù)列2，，…2n答：2n=2010，由第一組{，4}的元素是第二組{，，，12}的元素是4個第三組{，16，，20，2224，，28}的元素是8個…第m組元素是…﹣＜1005解得2＜z，2=256，=512256503.5＜所以，m=9，故選C．

=2﹣2點此題表面是一個集合題，際上考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列求評：和式，但過程中一定要路清晰，否則容易出錯．4．（2009?閘北區(qū)一模）設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k﹣1?A且k+1?A，那么k是A的一個“孤立元”，給定A={1，3，4，5}，則A的所有子集中，只有一個“孤立元”的集合共有（）歐陽德創(chuàng)編

2222222歐陽德創(chuàng)編2222222

A10B個．個D個考元素與集合關系的判斷．點：專綜合題；壓軸題．題：分本題考查的是新定義和集知識聯(lián)合的問題．在解答時首先要明確集合析：A的所有子集是什么，然后格按照題目當中孤立的定義逐一驗證即可．當然，如果按照孤元出的情況逐一排查亦可．解解：“孤元是的合{1}{1，，4}；{1，45}{13，答：5}；“孤元是2的合：{2}；{24，5}；“孤元是3的合：{3}；“孤元是4的合：{4}；{12，4}；“孤元是5的合：{5}；{12，5}；{2，，；{1，235}．點本題考查的是集合知識和定義的問題．在解答過程當中應充分體會新評：定問題概念的確定性，集合子集個數(shù)、子集構成的規(guī)律．此題綜合性強，值得同學們認真總結和歸納．5．用C（A表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B=

，若A={1，2}，B={x||x+ax+1|=1}且A*B=1，由a所有可能值構成的集合是S，那么C（S）等于（）A4

B．3

C．

D．考元素與集合關系的判斷．點：專計算題；壓軸題；新定義分類討論．題：分根據(jù)A={12}B={x||x+ax+1|=1}，且A*B=1，知集合B要么是單析：

元素集合，要么是三元素集合，然后對方x的的個數(shù)進行討論，即可求得的有可能值，進而可求（）解解：

x+ax+1=1或x

+ax+1=﹣1答：

即x①或x+ax+2=0，A={1，2}，且，集B要是單元素集合，要么是三元素集合，集B是元素集合，則方有相等實根②無數(shù)根，；集B是元素集合，則方程有不相等實根②有個相等且異①的數(shù)，即，得a=綜上所述a=0或±2，（）．故選．

，點

此題是中檔題．考查元素與集合關系的判斷，以及學生的閱讀能力和對歐陽德創(chuàng)編

39393922歐陽德創(chuàng)編39393922

評：新義的理解與應用．6．（2013?寧波模擬）設集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a，a，a}是S子集，且123a，a，a滿足a＜a＜a，a﹣a≤6，那么滿足12312332條件的集合A的個數(shù)為（）A78

B．

C．

D．考元素與集合關系的判斷．點：專計算題．題：分從集合S任選元素組成集合A一個能組成個，再把不符合析：條的去掉，就得到滿足件的集合A的數(shù)．解解：從集合S中選3元素組成集合A一個能組成個，答：其A={12，9}不合條件，其它的都符合條件，所以滿足條件的集合A的數(shù)C﹣．故選．點本題考查元素與集合的關，解題時要認真審題，仔細思考，認真解評：答7．下列命題正確的有（）（1）很小的實數(shù)可以構成集合；（2）集合{y|y=x2﹣1}與集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一個集合；（3）

這些數(shù)組成的集合有5個元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限內的點集．A0個B．1個C．個D3個考集合的含義．點：專計算題．題：分（1（3）中由集合元素的性質：確定性、互異性知錯誤；2）中注析：意合中的元素是什么；4中注意x=0或的況．解解：（1）中很小的實數(shù)沒有確定的標，不滿足集合元素的確定性；答：（）中集合{

﹣1}的元素為實數(shù)，而集合{xy

﹣1}元素是點；（3有集合元素的互異性這些數(shù)組成的集合有元素；（4集合{x，）|xyx中還包括實軸上的點．故選A點本題考查集合元素的性質集合的表示，屬基本概念的考查．評：歐陽德創(chuàng)編

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8．若x∈A∈A，就稱A是伙伴關系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，4}的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合的個數(shù)為（）A15

B．

C．

8

D．考元素與集合關系的判斷．點：專綜合題；壓軸題；新定義題：分析：解答：

先找出具有伙伴關系的元素：，1、，、3四組，它們中任一組、二組、三組、四組均可組成非空伙伴關系集合，利用組合知識求解即可．解：具有伙伴關系的元素組有，1、，、3四組，它們中任一組、二組、三組、四組均可組成非空伙伴關系集合，個數(shù)為C+C+C=15故選A點本題考查集合的子集問題排列組合等知識，考查學生利用所學知識分評：析題、解決問題的能力9．定義A?，x∈A，y∈B}．設集合A={0，B={1，2}，C={1}．則集合（A?B）?C的所有元素之和為（）A3

B．9

C．

D．考元素與集合關系的判斷．點：專新定義．題：分首先根據(jù)題意，求出AB中元素，然后求出AB）C中所含的析：元，最后求和即可．解解：由題意可求答：（AB中所含的元素有，4，5則（AB）所含的元素有0，10，故所有元素之和為18．故選C點本題考查元素與集合關系判斷，通過集合間的關系直接判斷最后求和評：即，屬于基礎題．10．已知元素為實數(shù)的集A滿足條件：若a，則，那么集合A中所有元素的乘積為（）A﹣1B．考元素與集合關系的判斷．點：專計算題；新定義．

C．

D．歐陽德創(chuàng)編

00000000000000000000

題：分析：

根據(jù)若A，則

，依據(jù)定義令a=

代入

進行求解，依次進行賦值代入

進行化簡，把集合A中素所有的形式全部求解答：

出，再求出它們的乘積．解：由題意知，若A，，代入令=

，

；令

代入==

，令

，代入

=A={a，，，，}，則所有元素的積為，故選．點本題主要考查集合的應用題目比較新穎，以及閱讀題意的能力，有一評：定難度，主要對集合元的理解．11．設集合，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若∈P∈Q，a=x+y，0000b=x?y，則（）00Aa，bQBa，PCab．，b考元素與集合關系的判斷．點：專計算題．題：分據(jù)集合中元素具有集合中素的屬性設出，y，出x，y并析：將化簡，判斷其具有，中一個集的公共屬性．解解：∵x，y0，答：設x0=2k﹣1y=2n，k，則x﹣1+2n=2（n+k）P，xy（﹣1）（）=2（2nkn），故xyQ．故a，Q故選A點本題考查集合中的元素具集合的公共屬性、元素與集合關系的判斷、評：等礎知識，考查化歸與化思想．屬于基礎題．二．填空題共14小題歐陽德創(chuàng)編

歐陽德創(chuàng)編

12．（2004?虹口區(qū)一模）定義集合A，B的一種運算“*”，A*B={p|p=x+y，x，y∈B}．若A={12，3}，B={1，2}，則集合A*B中所有元素的和14．考集合的含義．點：專新定義．題：分由A*B={p|p=x+yxA，yB}，A={1，，3}，2}，知析：A*B={2，，4，5}，由此能求出集合A*B所有元素的和．解解：A*B=