講函數(shù)可積條件

第講

可積條件及積函數(shù)類授題

可積條件及可積函數(shù)類教內(nèi)1.函可積的必要條件函可積的第一充條件；3.可積函數(shù)（最基本三種4.黎（）數(shù)的可積.教學(xué)目的和求教學(xué)重點及點教學(xué)方法及教材處理示

通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生能理解函數(shù)可積的必要條件，函數(shù)可積的第一、二充要條件，學(xué)會證明連續(xù)函數(shù)有有限多個斷點的函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的可積性問題解（Rieman）函數(shù)的可積性的證明方法.教學(xué)重點：函數(shù)可積的第一、二充要條件，可積函數(shù)類（三種教學(xué)難點：函數(shù)可積的第一、二充要條.(1)理定積分的第一、二充要條件是本節(jié)的重點．(2通證明連續(xù)函數(shù)只有有限多個間斷點的函數(shù)和單調(diào)函數(shù)的可積性化生對積分第一、二充要條件的理解和掌握.(3關(guān)黎曼（Rieman）函數(shù)的積性的證明只作出一些提示，要求較好學(xué)生能理解，在習(xí)題課種再討.作布

作業(yè)內(nèi)容：教材

:1，，，4.講內(nèi)一、可的必要條件定9．2若數(shù)f在在證用反證法．若f在

上無界，則對于

的任一分割

T

，必存在屬于的個小區(qū)間,fk

k

上無界．在

i

各個小區(qū)間

i

上任意取定，記i

iii現(xiàn)對任意大的正數(shù)

M

，由于

f

在

k

上無界，故存在

k

k

，使得

f

k

MGk

.于是有

fii

i

fii

i

Mk

k由此可見，對于無論多小的T，上述方選取點集

i

使積分和的絕對值大任何預(yù)先給出的正數(shù)，這與f在．例1（界函數(shù)不一定可積）明狄利克雷函數(shù)

Dxx理數(shù)

，在

證顯

D性屬于/

T

nnnnnnnnnn的任一小區(qū)間上，當取全為有理數(shù)時，ii

D全為無理數(shù)時，iiiiiii

i

0

．所以不論

多么小，只要點集

或全取無理)，積分和有不同ii極限，即

D件．以后討論函數(shù)的可積性時，總是設(shè)函數(shù)是有界的．二、可的充要條件要判斷一個函數(shù)是否可積，固然可以根據(jù)定義，直接考察積分和是否能無限接近某一常數(shù)，但于積分和的復(fù)雜性和那個常數(shù)不易預(yù)知，因此這是極其困難的．下面即將給出的可積準則只與被積函本身有關(guān)，而不涉及定積分的值．設(shè)

,在個上在上、下確：iiMi

f,ixi

inffxi

1,2,

,

作和

Siiiiii

分別稱為

f

關(guān)于分割T

的上和與下和(或稱達布上與布和，稱布和)．任給

i

i

,i

1,2,

,,

，顯然有siii

與積分和相比較，達布和只與分有，而與點集i與下和當

時的極限來揭示

f

在

以，可積性理論總是從討論上和與下和的性質(zhì)入手的．定9．3可積準)函

f

在

件是：任給

總在相應(yīng)的一個分割

T

，使得

S設(shè)

ii

i

稱為

f

在

i

上的振幅要也記為

fi

S(

)－

i

i

(或記為

i

i

)，因此可積準則又可改述如下：定

i

函數(shù)f在條件是：任給，存在相應(yīng)的某一分割T，使得

ii幾何意義是：若

f

在

曲線

的一系列小矩形面積之和可以達到任意小，只要分割充分地細；反之亦然．三、可函數(shù)類根據(jù)可積的充要條件，我們證明下面一些類型的函數(shù)是可積(即可積的充分條件．定9．4若

f

為

，則

f

在

/

n,n,證由f在區(qū)間

說給0在

中任意兩點

x

`

x

，只要

，便有

f

b

所以只要對

滿足

，在丁所屬的任一小區(qū)間

i

上，就能使

f

的振幅滿足

fiii

b從而導(dǎo)致

ii

i

，由定理

，證得f在定9．5若f是間

間斷點的有界函數(shù)，則在證不失一般性，這里只證明

f

在

點的情形，并設(shè)該間斷點即為端點

b

．任給

0

，取

，滿足

，且

，其中

M

與

分別為

f

在

界與下確界設(shè)m，否則f為常量函數(shù)，顯然可．記f在區(qū)間

，因在知f在由定理9，(必要性)，存在對

T

1

n

ii

令

n

，則

T12

n

,

n

T

，有iii

i

.根據(jù)定理9.3(充分性，得f在定9.6若

f

是

則

f

在

證

f

為增函數(shù)，且

f

，則

f

為常量函數(shù)，顯然可積．對

割

T

，由

f

的增性，

f

在

T

所屬的每個小區(qū)間

i

上的振幅為

ii

i

于是有

iiiiTi由此可見，任給

，只要

T

f

這時就有

ii

,

所以

f

在

注：調(diào)函數(shù)即使有無限多個間斷點，仍不失其可積性．/

,,12i,,12ii0ii例2試用兩種方法證明函數(shù)x1在區(qū)間

,

1,2,證[證法一]由

f

是一增函數(shù)雖然它在

點x

1n

,n

但由定理9.5仍保證它在

[證法二(僅利用定理9.3定理任給由于

1n

，因此當n充分大時

1n2

這明

f

在

上只有有限個間斷點用定理9定理．3，推知f在

,1上積，且存在對

的某一分割

ii

在把小區(qū)間

與T成對的一個分割T.由f在

上的振幅

，因此得到22T

所

f

在

例3證明黎曼函數(shù)

1px,互素qpfxqx以在區(qū)間

f分析：已知黎曼函數(shù)在

x，x

，以及一切無理點處連續(xù)，而在間斷．證明它在

下