高三數(shù)學總復習71合情推理與演繹推理教案新人教A版

2014屆高三數(shù)學總復習7.1合情推理與演繹推理教學設計新人教A版考情剖析考點新知能用歸納和類比等方法進行簡單的推理，認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用；掌握演繹推理的基本方法，并能運用它們進行一些簡單的推理；認識合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差別．

①認識合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用.②認識演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.③認識合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差別.1.(選修12P35練習題4改編)“由于指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝1x是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以y＝1x是增函數(shù)33(結論)”，上邊推理錯誤的原由是______________.答案：大前提錯誤分析：y＝ax是增函數(shù)這個大前提是錯誤的，進而致使結論錯．(選修12P35練習題3改編)用三段論的形式寫出“矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線相等．”的演繹推理過程________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：每一個矩形的對角線相等(大前提)正方形是矩形(小前提)正方形的對角線相等(結論)(選修12P29練習題3(2)改編)察看以下各式：1＝12，2＋34＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，，能夠得出的一般結論是________.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋＋(3n－2)＝(2n－1)2分析：等式右側的底數(shù)為左側的項數(shù)．(選修12P29練習題3(2)改編)察看以下等式：223939416416＋2＝4；×2＝4；＋3＝；×3＝；＋4＝3；×4＝；，112222333依據(jù)這些等式反應的結果，能夠得出一個對于自然數(shù)n的等式，這個等式能夠表示為______________________．n＋1n＋1*答案：n＋(n＋1)＝n×(n＋1)(n∈N)n＋1

n＋1＋（n2＋n）分析：由歸納推理得

n

＋

(n

＋

1)

＝

n

＝（n＋1）2n＋1

（n＋1）2

n＋1n

，×(nn

＋1)＝

n

，所以得出結論

n

＋(n1)＝n＋1×(n＋1)(n∈N*)．n5.已知扇形的弧長為l，所在圓的半徑為r，類比三角形的面1積公式：S＝2×底×高，可得扇形的面積公式為________．1答案：2rl歸納推理歸納推理的定義從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理往常稱為歸納推理．歸納推理的思想過程大概如圖實驗、察看―→歸納、推行―→猜想一般性結論歸納推理的特色①歸納推理的前提是幾個已知的特別現(xiàn)象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結論超越了前提所包含的范圍．②由歸納推理獲得的結論擁有猜想的性質，結論能否真切，還需經(jīng)過邏輯證明和實踐查驗，所以，它不可以作為數(shù)學證明的工具．③歸納推理是一種擁有創(chuàng)建性的推理，經(jīng)過歸納推理獲得的猜想，能夠作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題．類比推理依據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相像或相同，推演出它們在其余方面也相像或相同，這樣的推理稱為類比推理．類比推理的思想過程察看、比較―→聯(lián)想、類推―→猜想新的結論演繹推理演繹推理是依據(jù)已有的事實和正確的結論(包含定義、公義、定理等)，依據(jù)嚴格的邏輯法例獲得新結論的推理過程．主要形式是三段論式推理．三段論的常用格式為M—P(M是P)①S－M(S是M)②S—P(S是P)③此中，①是大前提，它供給了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特別對象；③是結論，它是依據(jù)一般原理，對特別情況作出的判斷．[備課札記]題型1歸納推理例1在各項為正的數(shù)列

{a

n}中，數(shù)列的前

n項和

Sn知足

Sn＝1an＋an.求a1，a2，a3；由(1)猜想數(shù)列{an}的通項公式；求Sn.解：(1)當＝時，1＝1a1＋1，即2－＝，解得1＝n1S2a1a110a1.∵a1>0，∴a1＝1；當n＝21a2＋1a2＋2a2－＝時，2＝，即2Sa210.2∵a2>0,∴a2＝2－1.同理可得，a3＝3－2.由(1)猜想an＝n－n－1.(3)Sn＝1＋(2－1)＋(3－2)＋＋(n－n－1)＝n.變式訓練1＋an*已知數(shù)列{an}知足a1＝2，an＋1＝1－an(n∈N)，則a3＝________，a1·a2·a3··a2007＝________．13答案：－2分析：(解法1)分別求出a＝－3、a＝－112、a＝3、a＝2，可2345以發(fā)現(xiàn)a＝a，且a·a·a·a＝1，故a·a·a··a＝a·a251123412320072005006·a2007＝a1·a2·a3＝3.1＋an(解法2)由an＋1＝，聯(lián)想到兩角和的正切公式，設a1＝21－an＝tanθ，則有2＝tanπ＋θ3＝tanπ4＝a4，a2，atan3π＋θ511234＝1，4，a＝tan(π＋θ)＝a，.則a·a·a·a故a1·a2·a3··a2007＝a2005·a2006·a2007＝a1·a2·a3＝3.題型2類比推理例2現(xiàn)有一個對于平面圖形的命題：以下圖，同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，此中一個的某極點在另一個的中a2心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為

4.

類比到空間，有兩個棱長均為a的正方體，此中一個的某極點在另一個的中心，個正方體重疊部分的體積恒為________．

則這兩a3答案：

8分析：在已知的平面圖形中，中心O到兩邊的距離相等(如圖1)，即OM＝ON.四邊形OPAR是圓內(nèi)接四邊形，Rt△OPN≌Rt△ORM，12所以S四邊形OPAR＝S正方形OMAN＝4a.相同地，類比到空間，如圖2.13兩個棱長均為a的正方體重疊部分的體積為8a.備選變式（教師專享）已知橢圓擁有性質：若M、N是橢圓C上對于原點對稱的兩個點，點P為橢圓上隨意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN，那么kPM與kPN之積是與點P地點沒關的定值．試對雙曲x2y2線a2－b2＝1寫出擁有近似特征的性質，并加以證明．x2y2解：近似的性質為：若M、N是雙曲線：a2－b2＝1上對于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上隨意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P地點沒關的定值．證明以下：2m設點M的坐標為(m，n)，則點N的坐標為(－m，－n)，此中a2n2－b2＝1.又設點P的坐標為(x，y)，由kPM＝y(tǒng)－ny＋n，kPN＝，得kPM·kPNx－mx＋my－ny＋ny2－n2＝·＝22，x－mx＋mx－m2b2222b222將y＝a2x－b，n＝a2m－b代入得

b2kPM·kPN＝a2.題型3演繹推理例3設同時知足條件：①bn＋bn＋2≤bn＋1(n∈N*)；②bn≤2M(n∈N*，M是與n沒關的常數(shù))的無量數(shù)列{bn}叫“特界”數(shù)列．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn是其前n項和，a3＝4，S3＝18，求Sn；判斷(1)中的數(shù)列{Sn}能否為“特界”數(shù)列，并說明理由．解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，則a1＋2d＝4，3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，Sn＝na1＋n（n－1）d＝－n2＋9n.2(2)Sn＋Sn＋2（Sn＋2－Sn＋1）－（Sn＋1－Sn）由2－Sn＋1＝2an＋2－an＋1dSn＋Sn＋2＝2＝2＝－1<0，得2<Sn＋1，故數(shù)列{Sn}合適條件29281*①，而Sn＝－n＋9n＝－n－2＋4(n∈N)，則當n＝4或5時，Sn有最大值20.即Sn≤20，故數(shù)列{Sn}合適條件②.綜上，數(shù)列{Sn}是“特界”數(shù)列．備選變式（教師專享）設數(shù)列{an111＝1.}知足a＝0且1－an＋1－1－an求{an}的通項公式；1－an＋1(2)n＝，記nnknnk＝1(1)解：由題設1－1＝1，1－an＋11－an1是公差為1即1－an的等差數(shù)列．111又1－a1＝1，故1－an＝n.所以an＝1－n.證明：由(1)得1－an＋1n＋1－n11bn＝＝＝－，nn＋1·nnn＋1nn111Sn＝bk()11k1k1kk1n1察看以下不等式：1311511171＋2＜2；1＋2＋3＜3；1＋2＋3＋4＜4；；照此規(guī)律，222222第五個不等式是________．1111111答案：1＋22＋32＋42＋52＋62<6察看以下各式：a＋b＝1；a2＋b2＝3；a3＋b3＝4；a4＋b4＝7；a5＋b5＝11；；則a10＋b10＝________．答案：123分析：(解法1)由a＋b＝1；a2＋b2＝3得ab＝－1代入后三個等式中切合，則a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123.(解法2)令an＝an＋bn，易得an＋2＝an＋an＋1，進而a6＝18，a729，a8＝47，a9＝76，a10＝123.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，近似地，在空間內(nèi)，若兩個正四周體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．答案：1∶8113S1h11h1111分析：考察類比的方法，VS＝1＝·h＝×＝，所以體VS242823S2h22積比為1∶8.(選修12P31練習題2改編)在平面幾何里能夠得出正確結1論：“正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這正三角形的高的3”．拓展到空間，類比平面幾何的上述結論，則正四周體的內(nèi)切球半徑等于這個正四周體的高的________.答案：

14分析：運用切割法思想，設正四周體的高為h，底面面積為S，正四周體SABC的內(nèi)切球的半徑為R，球心為O，連接OS、OA、OB、OC，將四周體分紅四個三棱錐，則VSABC＝VOSAC＋VOSAB＋VOSBC＋VOABC11114113SR＋3SR＋3SR＋3SR＝3SR＝3Sh，所以R＝4h.5.(2013·鎮(zhèn)江期末)察看以下等式：3113×＝1－2，×1×2221×214113141512＋2×3×22＝1－3×22，1×2×2＋2×3×22＋3×4×23＝1－1*34×2，，由以上等式推斷到一個一般的結論：對于n∈N，3141n＋2×1＝________．×＋×＋＋n22×32n（n＋1）221答案：1－（n＋1）·2n(2012·江西文)察看以下事實|x|＋|y|＝1的不一樣整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4,|x|＋|y|＝2的不一樣整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8,|x|＋|y|＝3的不一樣整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12.則|x|＋|y|20的不一樣整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為________．答案：80|x|＋|y|＝n(n∈N*)的整數(shù)解(x，y)個分析：由已知條件，得數(shù)為4n，故|x|＋|y|＝20的整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為80.Sn若等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項的和為Sn，則數(shù)列n為等差數(shù)列，公差為d的公2.近似地，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列n比為q，前n項的積為nT}為等比數(shù)列，公比為T，則數(shù)列{nn________．答案：qnn（n－1）nq)n－1分析：Tn＝b1q，Tn＝b1(.23.若一個n面體有m個面是直角三角形，則稱這個n面體的mABCDABCD中，四周體A1ABC的直度為直度為n，如圖，在長方體1111________．答案：14分析：n＝4，m＝4，n＝4＝1.2y2若P0(x0，y0)在橢圓a2＋b2＝1(a＞b＞0)外，過P0作橢圓的x0x兩條切線的切點分別為P1、P2，則切點弦P1P2所在的直線方程是a2y0yx2＋b2＝1.那么對于雙曲線則有以下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)外，過

P0作雙曲線的兩條切線的切點分別為

P1、P2，則切點弦P1P2所在的直線方程是________．x0xy0y答案：a2－b2＝1分析：設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，則過P1、P2的切x1xy1yx2xy2y線方程分別是a2－b2＝1，a2－b2＝1.由于P0(x0，y0)在這兩條切x1x0y1y0x2x0y2y0線上，故有

a2

－

b2

＝1，

a2

－

b2

＝1.x0x

y0y這說明

P1(x

1，y1)，P2(x2，y2)在直線

a2－

b2

＝1

上，故切點弦x0x

y0yP1P2所在的直線方程是

a2

－

b2

＝1.合情推理主