高考數(shù)學（理）一輪講義第10講函數(shù)的圖象

/12/12/第10講函數(shù)的圖象考綱要求考情分析命題趨勢1．理解點的坐標與函數(shù)圖象的關系．2．會利用平移、對稱、伸縮變換，由一個函數(shù)的圖象得到另一個函數(shù)的圖象．3．會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質，解決方程解的個數(shù)與不等式解的問題．2023·全國卷Ⅲ，112016·全國卷Ⅰ，72016·全國卷Ⅱ，122016·山東卷，151．利用函數(shù)的定義域、值域判斷圖象的左右、上下的位置；利用函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性判斷圖象的對稱性以及變化趨勢．2．利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質；利用函數(shù)的圖形研究不可解方程根的個數(shù)、函數(shù)零點的個數(shù)；利用函數(shù)的圖象求不等式的解集，以及解決已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)問題．分值：5～8分1．利用描點法作函數(shù)圖象基本步驟是列表、描點、連線．首先：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)．其次：列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，右移a個單位),\s\do5(a<0，左移|a|個單位))y＝__f(x－a)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，上移b個單位),\s\do5(b<0，下移|b|個單位))y＝__f(x)＋b__；(2)伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(0<ω<1，縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的eq\f(1,ω)倍,ω>1，縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的\f(1,ω)倍))y＝__f(ωx)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的A倍),\s\do5(0<A<1，橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的A倍))y＝__Af(x)__；(3)對稱變換y＝f(x)關于x軸對稱,y＝__－f(x)__；y＝f(x)關于y軸對稱,y＝__f(－x)__；y＝f(x)關于原點對稱,y＝__－f(－x)__.(4)翻折變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖),\s\do5(將y軸右邊的圖象翻折到左邊去))y＝__f(|x|)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖),\s\do5(將x軸下方的圖象翻折到上方去))y＝__|f(x)|__.1．思維辨析(在括號內打“√”或“×”)．(1)函數(shù)y＝f(x)的圖象關于原點對稱與函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于原點對稱一致．(×)(2)當x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．(×)(3)函數(shù)y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同．(×)(4)將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)y＝f(－x－1)的圖象．(×)解析(1)錯誤．前者是函數(shù)y＝f(x)圖象本身的對稱，而后者是兩個圖象間的對稱．(2)錯誤．例如，函數(shù)y＝|log2x|與y＝log2|x|，當x>0時，它們的圖象不相同．(3)錯誤．函數(shù)y＝af(x)與y＝f(ax)分別是對函數(shù)y＝f(x)作了上下伸縮和左右伸縮變換，故函數(shù)圖象不同．(4)錯誤．將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位得到y(tǒng)＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的圖象．2．函數(shù)y＝x2＋eq\f(ln|x|,x)的圖象大致為(C)解析因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))f(1)<0，故由零點存在定理可得函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))上存在零點，故排除A，D項；又當x<0時，f(x)＝x2＋eq\f(ln?－x?,x)，而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)))＝eq\f(1,e2)＋e>0，排除B項，故選C．3．已知函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象過點(3,2)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于x軸對稱的圖象過點(D)A．(1，－2) B．(2，－2)C．(3，－2) D．(4，－2)解析由已知有f(4)＝2，故函數(shù)y＝f(x)的圖象一定過點(4,2)，函數(shù)y＝f(x)的圖象關于x軸對稱的圖象過點(4，－2)，故選D．4．函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y＝ex關于y軸對稱，則f(x)＝(D)A．ex＋1 B．ex－1C．e－x＋1 D．e－x－1解析依題意，與曲線y＝ex關于y軸對稱的曲線是y＝e－x，于是f(x)的圖象相當于曲線y＝e－x向左平移1個單位得到的，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1．5．若將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移2個單位，再沿y軸對折，得到y(tǒng)＝lg(x＋1)的圖象，則f(x)＝__lg(3－x)__.解析把y＝lg(x＋1)的圖象沿y軸對折得到y(tǒng)＝lg(－x＋1)的圖象，再將圖象向右平移2個單位得到y(tǒng)＝lg[－(x－2)＋1]＝lg(3－x)的圖象，∴f(x)＝lg(3－x)．一函數(shù)圖象的作法函數(shù)圖象的作法(1)直接法：當函數(shù)表達式是基本函數(shù)或函數(shù)圖象是解析幾何中熟悉的曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的一部分)時，就可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．(2)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經過平移、翻折、對稱變換得到，可利用圖象變換作出．【例1】作出下列函數(shù)的圖象．(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1．解析(1)作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≥0)的圖象，再將y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x(x≥0)的圖象以y軸為對稱軸翻折到y(tǒng)軸的左側，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的圖象，如右圖中實線部分．(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移1個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如右圖．(3)∵y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖象可由y＝eq\f(1,x)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位而得，如圖．(4)∵y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0))且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據(jù)對稱性作出(－∞，0)上的圖象，即得函數(shù)y＝x2－2|x|－1的圖象，如下圖．二函數(shù)圖象的識別函數(shù)圖象識別的兩種方法(1)直接根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，或者是根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象．(2)利用間接法排除篩選錯誤與正確的選項，可以從如下幾個方面入手：①從函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置，從函數(shù)的值域判斷圖象的上下位置；②從函數(shù)的單調性判斷圖象的上升、下降趨勢；③從函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對稱性；④從函數(shù)的周期性判斷圖象的循環(huán)往復；⑤從特殊點出發(fā)排除不符合要求的選項．【例2】(1)(2023·湖北天門、仙桃、潛江三市聯(lián)考)已知圖(1)是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則圖(2)中的圖象對應的函數(shù)可能是(C)A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,?x＋c?2)的圖象如圖所示，則下列結論成立的是(C)A．a>0，b>0，c>0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<0解析(1)由圖(2)知，圖象對應的函數(shù)是偶函數(shù)，故B項錯誤，且當x>0時，對應的函數(shù)是y＝f(－x)，顯然A項，D項不正確．故選C．(2)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠－c}，由題中圖象可知－c＝xp>0，即c<0，排除A項，B項．令f(x)＝0，可得x＝－eq\f(b,a)，則xN＝－eq\f(b,a)，又xN>0，則eq\f(b,a)<0.所以a，b異號，排除D項．三函數(shù)圖象的應用函數(shù)圖象的兩個應用(1)利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)：當方程與基本函數(shù)有關時，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標．(2)利用函數(shù)的圖象研究不等式：當不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關時，常將不等式問題轉化為兩函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而利用數(shù)形結合求解．【例3】(1)(2023·湖北華師一附中檢測)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,lnx，x>1，))則函數(shù)y＝f(x)－eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(1,2)的零點的個數(shù)為(D)A．1 B．2C．3 D．4(2)(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)與y＝f(x)圖像的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)＝(B)A．0 B．mC．2m D．解析(1)分別作出y＝f(x)與y＝g(x)＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(1,2)的圖象，如圖．顯然直線y＝g(x)與曲線y＝1－x2(x≤1)有兩個交點；對于直線y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(1,2)與曲線y＝lnx(x>1)是否有交點以及交點的個數(shù)，由冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長趨勢來看，當x→＋∞時，直線y＝g(x)的圖象肯定在y＝lnx(x>1)的上方，又f(eq\r(3))＝lneq\r(3)，g(eq\r(3))＝eq\f(1,2)，∴f(eq\r(3))＝lneq\r(3)＝eq\f(1,2)ln3>eq\f(1,2)lne＝eq\f(1,2)，∴f(eq\r(3))>g(eq\r(3))，故兩圖象有4個交點．(2)因為f(x)＋f(－x)＝2，y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，所以函數(shù)y＝f(x)與y＝eq\f(x＋1,x)的圖象都關于點(0,1)對稱，所以eq\i\su(i＝1,m,x)i＝0，eq\i\su(i＝1,m,y)i＝eq\f(m,2)×2＝m，故選B．1．(2023·貴州七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是(A)A．f(x)＝eq\f(ln|x|,x) B．f(x)＝eq\f(ex,x)C．f(x)＝eq\f(1,x2)－1 D．f(x)＝x＋eq\f(1,x)解析由函數(shù)圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，應排除B項，C項．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，則x→＋∞時，f(x)→＋∞，排除D項，故選A．2．(2023·遼寧大連測試)函數(shù)f(x)＝2x－4sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的圖象大致是(D)解析因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以排除A項，B項．f′(x)＝2－4cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，令f′(x)＝2－4cosx＝0，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，得x＝±eq\f(π,3)，故選D．3．為了得到函數(shù)y＝log2eq\r(x－1)的圖象，可將函數(shù)y＝log2x圖象上所有點的(A)A．縱坐標縮短為原來的eq\f(1,2)，橫坐標不變，再向右移1個單位B．縱坐標縮短為原來的eq\f(1,2)，橫坐標不變，再向左移1個單位C．橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再向左移1個單位D．橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再向右移1個單位解析把函數(shù)y＝log2x的圖象上所有點的縱坐標縮短為原來的eq\f(1,2)，橫坐標不變，得到函數(shù)y＝eq\f(1,2)log2x的圖象，再向右平移1個單位，得到函數(shù)y＝eq\f(1,2)log2(x－1)的圖象，即函數(shù)y＝log2(x－1)eq\s\up5(\f(1,2))＝log2eq\r(x－1)的圖象．4．(2023·北京東城二模)對任意實數(shù)a，b定義運算“⊙”：a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a－b≥1，,a，a－b<1，))設f(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＋k，若函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有三個交點，則k的取值范圍是(D)A．(－2,1) B．[0,1]C．[－2,0) D．[－2,1)解析令g(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋x，x≤－2或x≥3，,x2－1，－2<x<3，))其圖象如圖所示．f(x)＝g(x)＋k的圖象與x軸恰有三個交點即y＝g(x)與y＝－k的圖象恰有三個交點，由圖可知－1<－k≤2，即－2≤k<1，故選D．易錯點1混淆函數(shù)圖象變換規(guī)律錯因分析：①左右平移只針對x，且“左加右減”；②不能正確認識對稱變換．【例1】設函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，則函數(shù)y＝f(x－1)與y＝f(1－x)的圖象關于()A．直線y＝0對稱 B．直線x＝0對稱C．直線y＝1對稱 D．直線x＝1對稱解析f(x－1)的圖象是f(x)的圖象向右平移1個單位而得到的，又f(1－x)＝f(－(x－1))的圖象是f(－x)的圖象也向右平移1個單位而得到的，因f(x)與f(－x)的圖象關于y軸(即直線x＝0對稱)，因此f(x－1)與f(－(x－1))的圖象關于直線x＝1對稱，故選D．答案D【跟蹤訓練1】已知定義在區(qū)間[0,4]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(1－x)的圖象為(D)解析方法一把函數(shù)y＝f(x)的圖象上的所有的點向左平移1個單位長度．得到y(tǒng)＝f(x＋1)的圖象，再把所得的圖象關于原點對稱，即可得到y(tǒng)＝－f(1－x)的圖象，故選D．方法二取函數(shù)y＝f(x)的圖象上的點(2,4)，則有f(2)＝4，因為－f(1－(－1))＝－f(2)＝－4，所以函數(shù)y＝－f(1－x)的圖象過點(－1，－4)，排除A項，B項，C項，故選D．易錯點2賦值不準，根的范圍或根的個數(shù)產生偏差錯因分析：涉及方程根的個數(shù)問題，通常需要用賦值法討論，看它們圖象的交點有幾個．【例2】已知f(x)＝x2－3，g(x)＝mex，若方程f(x)＝g(x)有三個不同的根，則m的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(6,e3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(6,e3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2e，\f(6,e3))) D．(0,2e)解析當m＝0時，f(x)＝g(x)?x＝±eq\r(3)，只有兩個實根，排除B，C項．對于A項，D項，賦值m＝1，方程f(x)＝g(x)變?yōu)閤2－3＝ex，在同一直角坐標系中，作出f(x)＝x2－3，g(x)＝ex的圖象，由圖可知，兩圖象在y軸左側有且僅有一個交點，很明顯，當x>0時，g(x)＝ex的增長速度較f(x)＝x2－3要快．又由f(eq\r(3))＝0，g(2)＝e2>1＝f(2)，…，故兩圖象只有一個交點，∴排除D項，故選A．答案A【跟蹤訓練2】已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝(C)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．1解析由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1為f(x)圖象的對稱軸．由題意，f(x)有唯一零點，所以f(x)的零點只能為x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝eq\f(1,2)，故選C．課時達標第10講[解密考綱]數(shù)形結合是數(shù)學中的重要思想方法．利用函數(shù)圖象可以解決很多與函數(shù)有關的問題，如利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)性質的應用問題，解決函數(shù)的零點、方程的解的問題，解決求解不等式的問題等．一、選擇題1．函數(shù)y＝eq\f(2x,lnx)的圖象大致為(D)解析由題意知x≠1，∵0<x<1時，2x>0，lnx<0.∴y<0，圖象在x軸下方，排除B項，C項；當x>1時，2x>0，lnx>0，∴y>0，圖象在x軸上方，當x→＋∞時，y＝eq\f(2x,lnx)→＋∞，故選D．2．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,ln?x＋a?，x≥－1))的圖象如圖所示，則f(－3)＝(C)A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(5,4)C．－1 D．－2解析由圖象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5，x<－1，,ln?x＋2?，x≥－1，))故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故選C．3．設函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－a|的圖象關于直線x＝1對稱，則a＝(A)A．3 B．2C．1 D．－1解析∵函數(shù)f(x)圖象關于直線x＝1對稱，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(2)＝f(0)，即3＋|2－a|＝1＋|a|，排除D項，C項，又f(－1)＝f(3)，即|a＋1|＝4＋|3－a|，用代入法知選A．4．(2023·四川成都模擬)設奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式eq\f(f?x?－f?－x?,x)<0的解集為(D)A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)解析f(x)為奇函數(shù)，所以不等式eq\f(f?x?－f?－x?,x)<0化為eq\f(f?x?,x)<0，即xf(x)<0，則f(x)的大致圖象如圖所示，所以xf(x)<0的解集為(－1,0)∪(0,1)．5．(2023·河南統(tǒng)考)若函數(shù)y＝f(2x＋1)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(2x)的圖象的對稱軸方程是(C)A．x＝－1 B．x＝－eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2) D．x＝1解析∵f(2x＋1)是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，而f(2x＋1)＝feq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))))，∴f(2x)的圖象可由f(2x＋1)的圖象向右平移eq\f(1,2)個單位得到，即f(2x)的圖象的對稱軸方程是x＝eq\f(1,2).6．(2023·廣東名校模擬)已知函數(shù)f(x)＝4－x2，函數(shù)g(x)(x∈R且x≠0)是奇函數(shù)，當x>0時，g(x)＝log2x，則函數(shù)f(x)·g(x)的大致圖象為(D)解析易證函數(shù)f(x)＝4－x2為偶函數(shù)，又g(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)·g(x)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，排除A項、B項．當x>0時，f(x)·g(x)＝(4－x2)log2x有兩個零點1,2，且0<x<1時，f(x)·g(x)<0，因此排除C項，故選D．二、填空題7．若函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|1－x|＋m的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是__[－1,0)__.解析首先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|1－x|的圖象(如圖所示)，欲使y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|1－x|＋m的圖象與x軸有交點，則－1≤m<0.8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0))且關于x的方程f(x)－a＝0有兩個實根，則實數(shù)a的取值范圍是__(0,1]__.解析當x≤0時，0<2x≤1，所以由圖象可知要使方程f(x)－a＝0有兩個實根，即f(x)＝a有兩個交點，所以由圖象可知0<a≤1．9．定義在R上的函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg|x|，x≠0，,1，x＝0))關于x的方程f(x)＝c(c為常數(shù))恰有三個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3＝__0__.解析函數(shù)f(x)的圖象如圖，方程f(x)＝c有三個根，即y＝f(x)與y＝c的圖象有三個交點，易知c＝1，且一根為0，由lg|x|＝1知另兩根為－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.三、解答題10．已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求實數(shù)m的值；(2)作出函數(shù)f(x)的圖象；(3)根據(jù)圖象指出f(x)的單調遞減區(qū)間；(4)若方程f(