高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元檢測六數(shù)列提升卷單元檢測文含解析新人教A版

/07/7/單元檢測六數(shù)列(提升卷)考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁．2．答卷前，考生務(wù)必用藍(lán)、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學(xué)號填寫在相應(yīng)位置上．3．本次考試時間100分鐘，滿分130分．4．請在密封線內(nèi)作答，保持試卷清潔完整．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，若S21＝63，則a7＋a11＋a15等于()A．6B．9C．12D．15答案B解析設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則由S21＝63，得21a1＋210d＝63，即a1＋10d＝3，所以a7＋a11＋a15＝3a1＋30d＝3(a1＋10d)＝9，故選B.2．已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－1，則數(shù)列{log2an}的前12項和為()A．66B．55C．45D．65答案A解析由題得an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝S1＝1也滿足an＝2n－1，所以an＝2n－1(n∈N*)，則log2an＝n－1，所以數(shù)列{log2an}的前12項和為eq\f(0＋11,2)×12＝66.故選A.3．已知{an}為遞增的等比數(shù)列，且a2a5＝128，eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＝eq\f(3,16)，則an等于()A．2n2nC.eq2n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))nD.eq\f(n,2)答案A解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q·a1q4＝a1q2·a1q3＝128，,\f(1,a1q2)＋\f(1,a1q3)＝\f(3,16)，))又{an}遞增，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝8，,a1q3＝16，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝2，))所以an＝2n(n∈N*)，故選A.4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an2＋bn，若a<0，則()A．nan≤na1≤Sn B．Sn≤na1≤nanC．na1≤Sn≤nan D．nan≤Sn≤na1答案D解析由Sn知{an}為公差d<0的等差數(shù)列，∴{an}為遞減數(shù)列，∴nan≤Sn≤na1.5．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))的前n項和為()A.eq\f(n2＋5n,2) B.eq\f(n2＋5n,4)C.eq\f(n2＋3n,2) D.eq\f(n2＋3n,4)答案D解析由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝eq\f(n?n＋1?,2)，故eq\f(an,n)＝eq\f(n＋1,2)，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))的前n項和為eq\f(1,2)(2＋3＋…＋n＋1)＝eq\f(n?n＋3?,4)，故選D.6．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，且滿足a1010＋a1011＝π，b6·b9＝2，則taneq\f(a1＋a2020,1＋b7b8)等于()1C.eq－1C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)答案D解析由題意得taneq\f(a1＋a2020,1＋b7b8)＝taneq\f(a1010＋a1011,1＋b6b9)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，故選D.7．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1,2Sn＝an＋1－1，則數(shù)列{an}的通項公式為()A．a(chǎn)n＝3n B．a(chǎn)n＝3n－1C．a(chǎn)n＝2n D．a(chǎn)n＝2n－1答案B－1＝an－1，所以2an＝an＋1－an，易知an≠0，所以eq\f(an＋1,an)＝3(n≥2)，當(dāng)n＝1時，也符合此式，所以{an}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以an＝3n－1(n∈N*)，故選B.8．已知數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，且對任意的n∈N*，都有an＋1＝eq\f(1－an,1＋an)成立，則a2020的值為()1B.eq1B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案C解析由題得a1＝eq\f(1,2)；a2＝eq\f(1－a1,1＋a1)＝eq\f(1,3)；a3＝eq\f(1－a2,1＋a2)＝eq\f(1,2)；a4＝eq\f(1－a3,1＋a3)＝eq\f(1,3)，數(shù)列{an}為周期數(shù)列，且a1＝a3＝a5＝…＝a2n－1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a2＝a4＝a6＝…＝a2n＝eq\f(1,3)(n∈N*)，所以a2020＝eq\f(1,3)，故選C.9．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n3－eq\f(21,2)n2＋24(n∈N*)，則當(dāng)an取得最小值時，n等于()A．5B．6C．7D．8答案C解析令f(x)＝x3－eq\f(21,2)x2＋24(x≥1)，則f′(x)＝3x2－21x＝3x(x－7)．在區(qū)間(1,7)內(nèi)，f′(x)<0；在區(qū)間(7，＋∞)內(nèi)，f′(x)>0.故當(dāng)x＝7時，f(x)取得最小值，即n＝7時，an取得最小值，故選C.10．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(3,8)，且對任意的n∈N*，都有an＋2－an≤3n，an＋4－an≥10×3n，則a2021等于()A.eq\f(32021,8) B.eq\f(32021,8)＋2C.eq\f(32022,8) D.eq\f(32022,8)＋2答案A解析因為對任意的n∈N*，滿足an＋2－an≤3n，an＋4－an≥10×3n，所以10×3n≤(an＋4－an＋2)＋(an＋2－an)≤3n＋2＋3n＝10×3n，所以an＋4－an＝10×3n.因為a2021＝(a2021－a2017)＋(a2017－a2013)＋…＋(a5－a1)＋a1＝10×(32017＋32013＋…＋3)＋eq\f(3,8)＝10×eq\f(32021－3,81－1)＋eq\f(3,8)＝eq\f(32021,8).11．記f(n)為最接近eq\r(n)(n∈N*)的整數(shù)，如：f(1)＝1，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝2，f(5)＝2，….若eq\f(1,f?1?)＋eq\f(1,f?2?)＋eq\f(1,f?3?)＋…＋eq\f(1,f?m?)＝4038，則正整數(shù)m的值為()A．2018×2019 B．20192C．2019×2020 D．2020×2021答案C解析設(shè)x，n∈N*，f(x)＝n，則n－eq\f(1,2)<eq\r(x)<n＋eq\f(1,2)，所以n2－n＋eq\f(1,4)<x<n2＋n＋eq\f(1,4)，則n2－n＋1≤x≤n2＋n，故滿足f(x)＝n的x的值共有2n個，分別為n2－n＋1，n2－n＋2，…，n2＋n，且eq\f(1,f?n2－n＋1?)＋eq\f(1,f?n2－n＋2?)＋…＋eq\f(1,f?n2＋n?)＝2n×eq\f(1,n)＝2.因為4038＝2×2019，所以m＝20192＋2019＝2019×2020，故選C.12．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1≠0，常數(shù)λ>0，且λa1an＝S1＋Sn對一切正整數(shù)n都成立，則數(shù)列{an}的通項公式為()A.eq\f(2n,λ)B.eq\f(2n＋1,λ)C.eq\f(2n＋1,λ)D.eq\f(2n＋1＋1,λ)答案A解析令n＝1，則λaeq\o\al(2,1)＝2S1＝2a1，即a1(λa1－2)＝0，因為a1≠0，所以a1＝eq\f(2,λ)，所以2an＝eq\f(2,λ)＋Sn，①當(dāng)n≥2時，2an－1＝eq\f(2,λ)＋Sn－1，②①－②，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是以eq\f(2,λ)為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝eq\f(2,λ)×2n－1＝eq\f(2n,λ)(n∈N*)，故選A.第Ⅱ卷(非選擇題共70分)二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知等差數(shù)列{an}的前9項和等于前4項和，若ak＋a4＝0，則k＝________.答案10解析由S9－S4＝0，得a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，故a7＝0，由ak＋a4＝0＝2a7，得k＋4＝14，所以k＝10.14．已知正項等比數(shù)列{an}滿足a6＝a5＋2a4，若存在兩項am，an，使得eq\r(am·an)＝2a1，則eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值為________．答案eq\f(7,3)解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，則由a6＝a5＋2a4，可得q＝2或q＝－1(舍去)，又eq\r(am·an)＝2a1，∴m＋n＝4，又∵m，n∈N*，經(jīng)驗證m＝1，n＝3時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))min＝eq\f(7,3).15．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,3)＋eq\f(a3,4)＋…＋eq\f(an－1,n)＝an－2(n≥2)，則{an}的通項公式為______________．答案an＝n＋1解析因為eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,3)＋eq\f(a3,4)＋…＋eq\f(an－1,n)＝an－2(n≥2)，①所以eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,3)＋eq\f(a3,4)＋…＋eq\f(an－1,n)＋eq\f(an,n＋1)＝an＋1－2(n≥2)，②②－①，得eq\f(an,n＋1)＝(an＋1－2)－(an－2)＝an＋1－an(n≥2)，整理得eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋2,n＋1)(n≥2)，又a1＝2，且eq\f(a1,2)＝a2－2，所以a2＝3，則eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an,an－1)＝eq\f(3,2)×eq\f(4,3)×eq\f(5,4)×…×eq\f(n,n－1)×eq\f(n＋1,n)，整理得eq\f(an,a1)＝eq\f(n＋1,2)，所以an＝n＋1(n∈N*)(經(jīng)檢驗n＝1也符合)．16．商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品的銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價a、最高銷售限價b(b>a)以及常數(shù)x(0<x<1)確定實際銷售價格c＝a＋x(b－a)，這里，x被稱為樂觀系數(shù)．經(jīng)驗證表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得c－a是b－c和b－a的等比中項，據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值為________．答案eq\f(\r(5)－1,2)解析由題意知c－a＝x(b－a)，b－c＝(b－a)－x(b－a)，又c－a是b－c和b－a的等比中項，∴[x(b－a)]2＝(b－a)2－x(b－a)2，∴x2＋x－1＝0，解得x＝eq\f(－1±\r(5),2).∵0<x<1，∴x＝eq\f(\r(5)－1,2).三、解答題(本題共4小題，共50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(12分)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝a2＋4，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè){bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{an＋bn}的前n項和Sn.解(1)設(shè)q為等比數(shù)列{an}的公比，q>0，則由a1＝2，a3＝a2＋4，得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2.所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.(2)由題意得Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)＝eq\f(2?1－2n?,1－2)＋n×1＋eq\f(n?n－1?,2)×2＝2n＋1＋n2－2.18．(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足3Sn＝4an－2(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝logan，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n項和Tn.解(1)當(dāng)n≥2時，3Sn＝4an－2，①3Sn－1＝4an－1－2，②①－②得3an＝4(an－an－1)，所以an＝4an－1，即eq\f(an,an－1)＝4.又3S1＝4a1－2，所以a1＝2，所以數(shù)列{an}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以an＝2×4n－1＝22n－1(n∈N*)．(2)因為bn＝logan＝log22n－1＝1－2n，所以eq\f(1,bnbn＋1)＝eq\f(1,?1－2n??1－2n－2?)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，所以Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1)(n∈N*)．19．(13分)已知數(shù)列{an}滿足an≠0，a1＝1，n(an＋1－2an)＝2an.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)＋3n－5))的前n項和Sn.解(1)因為n(an＋1－2an)＝2an，故an＋1＝eq\f(2?n＋1?,n)an，得eq\f(an＋1,n＋1)＝2·eq\f(an,n).設(shè)bn＝eq\f(an,n)，所以bn＋1＝2bn.因為an≠0，所以bn≠0，所以eq\f(bn＋1,bn)＝2.又因為b1＝eq\f(a1,1)＝1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項，公比為2的等比數(shù)列，故bn＝2n－1＝eq\f(an,n)，an＝n·2n－1(n∈N*)．(2)由(1)可知eq\f(an,n)＋3n－5＝2n－1＋3n－5，故Sn＝(20＋3×1－5)＋(21＋3×2－5)＋…＋(2n－1＋3n－5)＝(2