求極限的方法與例題總結(jié)

可編輯版/1．定義：說明：〔1一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限〔極限值可以觀察得到都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明,例如：；〔2在后面求極限時,〔1中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運(yùn)用,而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限這種方法要求熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的定義。2．極限運(yùn)算法則定理1已知,都存在,極限值分別為A,B,則下面極限都存在,且有〔1〔2〔3說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件,當(dāng)條件不滿足時,不能用。.

利用極限的四則運(yùn)算法求極限這種方法主要應(yīng)用于求一些簡單函數(shù)的和、乘、積、商的極限。通常情況下,要使用這些法則,往往需要根據(jù)具體情況先對函數(shù)做某些恒等變形或化簡。8.用初等方法變形后,再利用極限運(yùn)算法則求極限例1解：原式=。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例2解：原式=。例3解：原式。3．兩個重要極限〔1〔2；說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個重要極限本身,還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式,例如：,,；等等。利用兩個重要極限求極限例5解：原式=。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例6解：原式=。例7解：原式=。4．等價無窮小定理2無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小〔即極限是0。定理3當(dāng)時,下列函數(shù)都是無窮小〔即極限是0,且相互等價,即有：～～～～～～。說明：當(dāng)上面每個函數(shù)中的自變量x換成時〔,仍有上面的等價關(guān)系成立,例如：當(dāng)時,～；～。定理4如果函數(shù)都是時的無窮小,且～,～,則當(dāng)存在時,也存在且等于,即=。利用等價無窮小代換〔定理4求極限例9解：～,～,原式=。例10解：原式=。注：下面的解法是錯誤的：原式=。正如下面例題解法錯誤一樣：。例11解：,所以,原式=?！沧詈笠徊接玫蕉ɡ?五、利用無窮小的性質(zhì)求極限有限個無窮小的和是無窮小,有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小。用等價無窮小替換求極限常常行之有效。例1.2.5．洛比達(dá)法則定理5假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值〔或無窮大時,函數(shù)和滿足：〔1和的極限都是0或都是無窮大；〔2和都可導(dǎo),且的導(dǎo)數(shù)不為0；〔3存在〔或是無窮大；則極限也一定存在,且等于,即=。說明：定理5稱為洛比達(dá)法則,用該法則求極限時,應(yīng)注意條件是否滿足,只要有一條不滿足,洛比達(dá)法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件〔1是否滿足,即驗證所求極限是否為""型或""型；條件〔2一般都滿足,而條件〔3則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外,洛比達(dá)法則可以連續(xù)使用,但每次使用之前都需要注意條件。利用洛比達(dá)法則求極限說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時,也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時,洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。例12〔例4解：原式=。〔最后一步用到了重要極限例13解：原式=。例14解：原式==?！策B續(xù)用洛比達(dá)法則,最后用重要極限例15解：例18解：錯誤解法：原式=。正確解法：應(yīng)該注意,洛比達(dá)法則并不是總可以用,如下例。例19解：易見：該極限是""型,但用洛比達(dá)法則后得到：,此極限不存在,而原來極限卻是存在的。正確做法如下：原式=〔分子、分母同時除以x=〔利用定理1和定理26．連續(xù)性定理6一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點處都連續(xù),即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點,則有。利用函數(shù)的連續(xù)性〔定理6求極限例4解：因為是函數(shù)的一個連續(xù)點,所以原式=。7．極限存在準(zhǔn)則定理7〔準(zhǔn)則1單調(diào)有界數(shù)列必有極限。四、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性,再求解方程可求出極限。例1.設(shè),求極限。定理8〔準(zhǔn)則2已知為三個數(shù)列,且滿足：〔1〔2,則極限一定存在,且極限值也是a,即。10.

夾逼定理利用極限存在準(zhǔn)則求極限例20已知,求解：易證：數(shù)列單調(diào)遞增,且有界〔0<<2,由準(zhǔn)則1極限存在,設(shè)。對已知的遞推公式兩邊求極限,得：,解得：或〔不合題意,舍去所以。例21解：易見：因為,所以由準(zhǔn)則2得：。9.

洛必達(dá)法則與等價無窮小替換結(jié)合法對于一些函數(shù)求極限問題,洛必達(dá)法則和等價無窮小結(jié)合御用,往往能化簡運(yùn)算,收到奇效。11.

泰勒展開法12.

利用定積分的定義求極限法積分本質(zhì)上是和式的極限,所以一些和式的極限問題可以轉(zhuǎn)化為求定積分的問題。8.

利用復(fù)合函數(shù)求極限十、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限級數(shù)收斂的必要條件是：若級數(shù)收斂,則,故對某些極限,可將函數(shù)作為級數(shù)的一般項,只須證明此技術(shù)收斂,便有。例十一、利用冪級數(shù)的和函數(shù)求極限當(dāng)數(shù)列本身就是某個級數(shù)的部分和數(shù)列時,求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級數(shù)的和,此時?？梢暂o助性的構(gòu)造一個函數(shù)項級數(shù)〔通常為冪級數(shù),有時為Fourier級數(shù)。使得要求的極限恰好是該函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)在某點的值。例求7等比等差數(shù)列公式應(yīng)用〔對付數(shù)列極限〔q絕對值符號要小于18各項的拆分相加〔來消掉中間的大多數(shù)〔對付的還是數(shù)列極限可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)9求左右求極限的方式〔對付數(shù)列極限例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系,已知Xn的極限存在的情況下,xn的極限與xn+1的極限時一樣的,應(yīng)為極限去掉有限項目極限值不變化11還有個方法,非常方便的方法就是當(dāng)趨近于無窮大時候不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！?。。。。。。。。。。。。?！x的x次方快于x！快于指數(shù)函數(shù)快于冪數(shù)函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)〔畫圖也能看出速率的快慢!!!!!!

當(dāng)x趨近無窮