新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課件新人教A版必修第一冊

1.理解不等式的概念,能用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系.2.梳理等式的性質(zhì),掌握不等式的性質(zhì),并能運用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.3.理解兩實數(shù)大小關(guān)系的基本事實,初步學(xué)會用作差法比較兩實數(shù)的大小.2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)在現(xiàn)實世界和日常生活中,既存在著相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系,不

等關(guān)系常用①

不等式

表示.1|不等關(guān)系不等關(guān)系a大于ba小于ba不大于ba不小于ba不等于b符號表示a②>

ba③

<

ba④

≤

ba⑤

≥

ba⑥

≠

b2|兩實數(shù)大小關(guān)系的基本事實依據(jù)a>b?⑦

a-b>0

;a=b?⑧

a-b=0

;a<b?⑨

a-b<0

結(jié)論確定任意兩個實數(shù)a,b的大小關(guān)系,只需確定它們

的⑩差

與

0

的大小關(guān)系3|等式與不等式的性質(zhì)

等式不等式對稱性a=b?b=aa>b?

b<a

傳遞性a=b,b=c?a=ca>b,b>c?

a>c

加法a=b?a±c=b±ca>b?

a+c>b+c

a>b,c>d?

a+c>b+d

乘法a=b?ac=bc;a=b,c≠0?=

a>b,c>0?

ac>bc

;a>b,c<0?

ac<bc

a>b>0,c>d>0?

ac>bd

a>b>0?

an>bn

(n∈N,n≥2)1.若

>1,則a>b.

(

?)提示:若

>1,則當(dāng)b>0時,a>b;當(dāng)b<0時,a<b.2.a與b的差是非負(fù)實數(shù),可表示為a-b>0.

(

?)3.?x∈R,都有x2>x-1.

(√)提示:因為x2-x+1=

+

>0,所以x2>x-1.4.a,b,c為實數(shù),在等式中,若a=b,則ac=bc;在不等式中,若a>b,則ac>bc.

(

?)提示:在等式中,若a=b,則ac=bc,結(jié)論是正確的.在不等式中,若a>b,則當(dāng)c>0時,ac>

bc;當(dāng)c=0時,ac=bc;當(dāng)c<0時,ac<bc,因此結(jié)論錯誤.5.a,b,c為實數(shù),若ac2>bc2,則a>b.

(√)判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.提示:若ac2>bc2,則c2≠0,因此c2>0,從而

>0,所以ac2×

>bc2×

,即a>b.1|如何比較實數(shù)(代數(shù)式)的大小中國某高中生暑假去加拿大旅行,中午在一景點吃比薩餅,他點了個直徑為9

英寸的比薩餅.過了一會兒,服務(wù)員客氣地端來了兩份直徑5英寸的比薩餅,說:“9

英寸的比薩餅賣完了,給您兩個5英寸的,多送您1英寸表示歉意.”這名中國高中生聽后一愣,客氣地請服務(wù)員叫來了店老板,說:“圓的面積公式為S

=πr2,算下來9英寸的比薩餅面積約是63.62平方英寸,而5英寸的比薩餅面積約是1

9.63平方英寸,兩個5英寸比薩餅的面積加起來約是39.26平方英寸,您給我三個比

薩餅我還虧著呢!怎么能說多送我1英寸呢?”老板聽后無語,最后給了他四個5英寸的比薩餅,并豎起拇指道:“中國高中生真厲

害!”問題1.你能把服務(wù)員犯的錯誤用不等式表示出來嗎?提示:服務(wù)員錯誤地認(rèn)為:若a+b>c,則a2+b2>c2.2.文中的高中生是如何比較出比薩餅的大小的?提示:用作差法比較比薩餅面積的大小.比較實數(shù)(代數(shù)式)大小的方法

作差比較法作商比較法依據(jù)a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=ba>0,b>0且

>1?a>b;a>0,b>0且

<1?a<b應(yīng)用范圍數(shù)(式)的大小不明顯,作差后可化為積或商的形式同號兩數(shù)比較大小步驟①作差;②變形;③判斷符號;④下結(jié)論①作商;②變形;③判斷商與1的大小關(guān)系;④下結(jié)論變形技巧①分解因式;②平方后再作差;③配方法;④分子(分母)有理化按照同類的項進行分組比較下列兩組數(shù)的大小.(1)

+

與

+

;(2)當(dāng)x>1時,x3與x2-x+1.思路點撥(1)平方后作差

整理

判斷符號

確定大小.(2)作差

變形

判斷符號

確定大小.解析

(1)(

+

)2-(

+

)2=17+2

-(17+2

)=2

-2

>0,∴(

+

)2>(

+

)2,∴

+

>

+

.(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),∵x>1,∴x-1>0,又x2+1>0,∴x3-(x2-x+1)>0,∴x3>x2-x+1.已知a>b>0,比較

與

的大小.思路點撥作商

變形

判斷商與1的大小關(guān)系

確定大小.解析

∵a>b>0,∴

>0,

>0,∴

÷

=

·

=

=

=1+

>1,∴

>

.2|如何利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍1.利用幾個代數(shù)式的取值范圍來確定某個代數(shù)式的取值范圍是一類常見的綜合

問題,對于這類問題要注意“同向不等式的兩邊可以相加”,但這種轉(zhuǎn)化不是等

價變形,在一個解題過程中多次進行這種轉(zhuǎn)化后,就有可能擴大真實的取值范圍,

解題時務(wù)必小心、謹(jǐn)慎,同時要注意正確使用不等式的性質(zhì).解決此類問題,可先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系,再通過

一次不等關(guān)系的運算求得待求式的取值范圍,可以避免錯誤.2.利用不等式性質(zhì)求范圍的一般思路:(1)借助性質(zhì),轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進行解答;(2)借助所給條件整體求解,切不可隨意拆分所給條件;(3)結(jié)合不等式的傳遞性進行求解.(1)已知-1<a<b<1,求a-b的取值范圍;(2)已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范圍;(3)已知x,y∈R,且3≤xy2≤8,4≤

≤9,求

的取值范圍.解析

(1)∵-1<b<1,∴-1<-b<1.又-1<a<1,∴-2<a-b<2.又∵a<b,∴a-b<0,∴-2<a-b<0.故a-b的取值范圍為-2<a-b<0.(2)設(shè)m(a+b)+n(a-b)=4a-2b,整理得(m+n)a+(m-n)b=4a-2b,則

解得

∴4a-2b=(a+b)+3(a-b).∵3≤3(a-b)≤6①,2≤a+b≤4②,∴①+②,得5≤4a-2b≤10.故4a-2b的取值范圍為5≤4a-2b≤