新教材高中數(shù)學(xué)第4章冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)5.2形形色色的函數(shù)模型提升訓(xùn)練含解析湘教版必修第一冊

PAGEPAGE7形形色色的函數(shù)模型基礎(chǔ)過關(guān)練題組一一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)模型1.(2020陜西渭南高一上期中)網(wǎng)上購鞋常?？吹较旅孢@樣一張表,第一行可以理解為腳的長度,第二行是我們習(xí)慣稱呼的“鞋號”.中國鞋碼實際標準(mm)220225230235240245250255260265中國鞋碼習(xí)慣稱呼(號)34353637383940414243從上述表格可以推算出,“30號”的鞋對應(yīng)的腳的長度為()A.150mm B.200mm C.180mm D.210mm2.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體,當溫度不變時,氣球內(nèi)氣體的氣壓P(千帕)是氣球體積V(立方米)的反比例函數(shù),其圖象如圖所示,則這個函數(shù)的解析式為 ()A.P=96V B.P=-96V C.P=69V D.3.(多選)某雜志以每冊2元的價格發(fā)行時,發(fā)行量為10萬冊.經(jīng)過調(diào)查,單冊價格每提高0.2元,發(fā)行量就減少5000冊.要使該雜志的銷售收入不少于22.4萬元,則每冊雜志的定價可以為 ()A.2.5元 B.3元 C.3.2元 D.3.5元4.國慶期間,高郵市清水潭旅游景點的團隊收費方案如下:不超過40人時,人均收費100元;超過40人且不超過m(40<m≤100)人時,每增加1人,人均收費降低1元;超過m人時,人均收費都按照m人時的標準收費.設(shè)景點接待有x名游客的某團隊,收取的總費用為y元.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式;(2)景點工作人員發(fā)現(xiàn):當接待某團隊人數(shù)超過一定數(shù)量時,會出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費用反而減少的現(xiàn)象.為了讓收取的總費用隨著團隊中人數(shù)的增加而增加,求m的取值范圍.題組二冪函數(shù)模型5.(2020山東臨沂期中)我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從1998年到2018年的20年間翻了兩番,設(shè)1998年總產(chǎn)值為1,平均每年的增長率為x,則有 ()A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=46.(2020湖南常德一中高一上月考)某水廠的蓄水池中有400噸水,每天零點開始由池中放水向居民供水,同時以每小時60噸的速度向池中注水,當池中有水400噸后將維持400噸水量不變,若t小時內(nèi)向居民供水總量為1006t噸(0≤t≤24),則t為何值時蓄水池中的存水量最少題組三指數(shù)型函數(shù)模型和對數(shù)型函數(shù)模型7.醫(yī)學(xué)家們?yōu)榱私沂舅幬镌谌梭w內(nèi)吸收、排出的規(guī)律,常借助恒速靜脈滴注一室模型來進行描述.在該模型中,人體內(nèi)藥物含量x(單位:mg)與給藥時間t(單位:h)近似滿足函數(shù)關(guān)系式x=k0k(1-e-kt),其中k0,k分別為給藥速率和藥物消除速率(單位:mg/h).經(jīng)測試發(fā)現(xiàn),當t=23時,x=k02k,則該藥物的消除速率k的值約為(ln2≈0A.3100 B.310 C.1038.(2021江蘇連云港高一期末)某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后排放,規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過原污染物總量的0.25%.已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P(單位:毫克/升)與過濾時間t(單位:小時)之間的函數(shù)關(guān)系為P=P0·ekt(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),k為常數(shù),P0為原污染物總量).若前4個小時廢氣中的污染物被過濾掉了80%,則k=;要能夠按規(guī)定排放廢氣,還需要過濾n小時,則正整數(shù)n的最小值為.(參考數(shù)據(jù):log52≈0.43)

9.(2021浙江杭州二中高一期中)某心理學(xué)研究小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中發(fā)現(xiàn),其注意力指數(shù)p與聽課時間t(單位:分鐘)之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當t∈(0,14]時,曲線是二次函數(shù)圖象的一部分;當t∈(14,40]時,曲線是函數(shù)y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當注意力指數(shù)p大于或等于80時,聽課效果最佳.(1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式;(2)一道數(shù)學(xué)難題,講解需要22分鐘,問老師能否經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時講完?請說明理由.題組四函數(shù)模型的擬合10.茶文化博大精深,茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明,某種綠茶用85℃的水泡制,再等到茶水溫度降至60℃時飲用,可以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感的茶水所需時間,某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度,根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出如圖所示的散點圖.觀察散點圖的分布情況,下列函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y(℃)隨時間x(min)變化規(guī)律的是 ()A.y=mx2+n(m>0)B.y=mx+n(m>0)C.y=max+n(m>0,a>0,且a≠1)D.y=mlogax+n(m>0,a>0,且a≠1)11.某學(xué)習(xí)小組在暑期社會實踐活動中,通過對某商店一種商品銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn):該商品在過去的一個月內(nèi)(以30天計)的日銷售價格P(x)(元)與時間x(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足P(x)=1+kx(k為正常數(shù)).該商品的日銷售量Q(x)(個)與時間x(天)的部分數(shù)據(jù)如下表所示x/天10202530Q(x)/個110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元.(1)求k的值;(2)給出以下四種函數(shù)模型:①Q(mào)(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)來描述該商品的日銷售量Q(x)與時間x的關(guān)系,并求出該函數(shù)的解析式;(3)求該商品的日銷售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)(元)的最小值.答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.B設(shè)腳的長度為ymm,對應(yīng)的鞋號為x號,由題中表格可得,y=5x+50.當x=30時,y=5×30+50=200.故選B.2.D因為氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣球體積的反比例函數(shù),所以可設(shè)P=kV(k≠0),由題圖可知,點A(1.5,64)在函數(shù)圖象上,所以64=k1.5,解得k=96,故P=3.BC設(shè)每冊雜志定價為x(x>2)元,則發(fā)行量為10-x-20.2×0.5萬冊,所以銷售收入為10-x-20.2×0.5x萬元4.解析(1)當0<x≤40時,y=100x;當40<x≤m時,y=[100-(x-40)]x=-x2+140x;當x>m時,y=(140-m)x.∴y=100(2)當0<x≤40時,y=100x,y隨x的增大而增大;當40<m≤100時,140-m>0,此時對于y=(140-m)x,y隨x的增大而增大;當40<x≤m時,y=-x2+140x=-(x-70)2+4900,∴當40<x≤70時,y隨x的增大而增大;當x>70時,y隨x的增大而減小.∵x≤m,∴40<m≤70.綜上所述,當40<m≤70時,景點收取的總費用隨著團隊中人數(shù)的增加而增加.5.D6.解析設(shè)t小時后,蓄水池中的存水量為y噸,則y=400+60t-1006t(0≤t≤24)設(shè)u=t,則u∈[0,26],y=60u2-1006u+400=60u-∴當u=566,即t=257.A將t=23,x=k02k代入x=k0得k02k=k0k(1-e-23k),化簡得即ln12=-23k,解得k=ln223≈0.698.答案-ln54解析由題意得(1-80%)P0=P0·e4k,即0.2=e4k,所以k=14ln0.2=-ln5設(shè)經(jīng)過m小時后能夠按規(guī)定排放廢氣,則P0·e-ln54m≤0.25%P0,即-ln54m≤ln0.25%,所以m·ln5≥8ln20,解得m≥8ln20ln5=8log5所以正整數(shù)n的最小值為15-4=11.9.解析(1)當t∈(0,14]時,設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),將點(14,81)代入得c=-14∴當t∈(0,14]時,p=f(t)=-14(t-12)2當t∈(14,40]時,將點(14,81)代入y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1),得a=13∴當t∈(14,40]時,p=f(t)=log13(t綜上,p=f(t)=-(2)當t∈(0,14]時,令-14(t-12)2+82≥80,得12-22≤t當t∈(14,40]時,令log13(得14<t≤32.綜上,當t∈[12-22,32]時,學(xué)生聽課效果最佳.∵32-(12-22)=20+22>22,∴老師能夠經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時講完.10.C選項A中函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸,開口向上的拋物線,與散點圖不符;選項B中函數(shù)的圖象是直線,與散點圖不符;選項D中,當x>0時,函數(shù)圖象無限接近y軸,與散點圖不符.故選C.11.解析(1)由題意得P(10)·Q(10)=1+k10×110=121,解得k(2)由題表中的數(shù)據(jù)知,當時間變化時,該商品的日銷售量有增有減,并不單調(diào),而①,③,④中的函數(shù)均為單調(diào)函數(shù),故只能選②,即Q(x)=a|x-25|+b.由題表可得Q(10)=110,Q(20)=120,即15a+故Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N+).(3)由(2)知Q(x)=