同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版12-數(shù)列的極限

同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版12_數(shù)列的極限第一頁(yè)，共28頁(yè)。如果按照某一法則，對(duì)每個(gè)，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，這些實(shí)數(shù)按照下標(biāo)n從小到大排列得到的一個(gè)序列就叫做數(shù)列，簡(jiǎn)記為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)。1、數(shù)列定義一、數(shù)列極限的定義第二頁(yè)，共28頁(yè)。例如注意：

(1).數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取(2).數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)第三頁(yè)，共28頁(yè)。(1)有界性數(shù)列{xn}有上界,即存在M,使xn≤M(n=1,2,…).數(shù)列{xn}有下界,即存在m,使xn

≥m(n=1,2,…).2.數(shù)列的性質(zhì)第四頁(yè)，共28頁(yè)。有界有界有界無(wú)界有界判斷下列數(shù)列第五頁(yè)，共28頁(yè)。單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列(2)單調(diào)性單調(diào)增加單調(diào)減少判斷下列數(shù)列的單調(diào)性第六頁(yè)，共28頁(yè)。單調(diào)增加無(wú)單調(diào)性無(wú)單調(diào)性第七頁(yè)，共28頁(yè)。觀察下列數(shù)列當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，LL,,2

1?LL,

0?從上面可以看出:當(dāng)￥?n時(shí),無(wú)限地接近于1,數(shù)列(2)從原點(diǎn)的兩側(cè)無(wú)限地接近于0,一般項(xiàng)的變化趨勢(shì):數(shù)列(1)從的右側(cè)第八頁(yè)，共28頁(yè)。3.數(shù)列極限的定義

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),如果數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)xn無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)a,則常數(shù)a稱為數(shù)列{xn}的極限,或稱數(shù)列{xn}收斂于a,記為axnn=￥?lim，

或如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的．第九頁(yè)，共28頁(yè)。例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散第十頁(yè)，共28頁(yè)。問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)觀察:當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),無(wú)限接近于1.引例觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì).第十一頁(yè)，共28頁(yè)。,1001給定,10011<n由,100時(shí)只要>n,10011<-nx有第十二頁(yè)，共28頁(yè)。數(shù)列極限的精確定義axnn=￥?lim，

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),xn無(wú)限接近于a.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),|xn-a|無(wú)限接近于0.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.當(dāng)n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).或第十三頁(yè)，共28頁(yè)。只要n無(wú)限增大，xn

就會(huì)與1無(wú)限靠近。引入符號(hào)N和來(lái)刻化無(wú)限增大和無(wú)限接近。注：就會(huì)暫時(shí)確定下來(lái),一旦給定,以此來(lái)確定相應(yīng)的N.第十四頁(yè)，共28頁(yè)。記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂

,否則稱數(shù)列發(fā)散.或則稱該數(shù)列的極限為a,定義:設(shè)為一數(shù)列,如果存在常數(shù)a,對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論它多小)總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),不等式都成立，——數(shù)列極限的精確定義第十五頁(yè)，共28頁(yè)。都落在a點(diǎn)的ε鄰域因而在這個(gè)鄰域之外至多能有數(shù)列中的有限個(gè)點(diǎn)注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.數(shù)列極限的幾何意義使得N項(xiàng)以后的所有項(xiàng)注：越小,表示與a接近得越好.第十六頁(yè)，共28頁(yè)。OK!N找到了?。>N目的：NO,有些點(diǎn)在條形域外面！●●●●●●●●●數(shù)列極限的演示第十七頁(yè)，共28頁(yè)。N數(shù)列極限的演示e越來(lái)越小，N越來(lái)越大！第十八頁(yè)，共28頁(yè)。例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當(dāng)時(shí),就有故N

與有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.注：第十九頁(yè)，共28頁(yè)。例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N與有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說(shuō)明:

取機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十頁(yè)，共28頁(yè)。例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N時(shí),就有故的極限為

0.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十一頁(yè)，共28頁(yè)。

練習(xí)1

用定義證明證明對(duì)于任意給定的要使

只要取自然數(shù)

則當(dāng)時(shí)，有,所以注：就會(huì)暫時(shí)確定下來(lái),一旦給定,以此來(lái)確定相應(yīng)的N.第二十二頁(yè)，共28頁(yè)。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十三頁(yè)，共28頁(yè)。2.收斂數(shù)列一定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。

收斂的數(shù)列必有界.

有界的數(shù)列不一定收斂.

無(wú)界的數(shù)列必發(fā)散.

發(fā)散的數(shù)列不一定無(wú)界.第二十五頁(yè)，共28頁(yè)。3.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第二十六