專題72 空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系(解析版)

第七篇立體幾何與空間向量專題7.02空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系【考綱要求】理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.【命題趨勢】空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以位置關(guān)系的判斷為主要考查點(diǎn)，同時也考查邏輯推理能力和空間想象能力.【核心素養(yǎng)】本講內(nèi)容主要考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】1．平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面．公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)，公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)，公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù)．2．空間中兩直線的位置關(guān)系空間中兩直線的位置關(guān)系［平行，共面直線｛如亠〔相父；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi).異面直線所成的角①定義：設(shè)a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aIIa,b‘〃b,把a(bǔ)'與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).②范圍：②范圍：平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

圖形語言符號語言公共點(diǎn)直線與面相交^\~7aA?=A1個平行A, /a〃a0個在平面內(nèi)aa無數(shù)個平面與面平行北一 / 7allB0個相交aOB=l無數(shù)個【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】1．公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面．2．異面直線判定的一個定理過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線3．唯一性定理過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直．過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行．過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直【真題體驗(yàn)】【2019年高考全國II卷理數(shù)】設(shè)aB為兩個平面，則allB的充要條件是A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與B平行 B.a內(nèi)有兩條相交直線與B平行C.aB平行于同一條直線 D.aB垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：a內(nèi)兩條相交直線都與0平行是么〃卩的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若a〃卩，則a內(nèi)任意一條直線都與卩平行，所以a內(nèi)兩條相交直線都與卩平行是a〃卩的必要條件，故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若aua,bu0,a〃b，則a〃卩”此類的錯誤.【2019年高考全國III卷理數(shù)】如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD丄平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn)，則BM=EN,且直線BM，EN是相交直線BM^EN,且直線BM，EN是相交直線BM=EN,且直線BM，EN是異面直線BM^EN,且直線BM，EN是異面直線【答案】B【解析】如圖所示，作EO丄CD于O，連接ON,BD,易得直線BM,EN是三角形EBD的中線，是相交直線.過M作MF丄OD于F，連接BFt平面CDE丄平面ABCD,EO丄CD,EOu平面CDE,:.EO丄平面ABCD,MF丄平面ABCD:.△MFB與AEON均為直角三角形.設(shè)正方形邊長為2,易知EO=運(yùn),ON=1,EN二2MF二遇,BF=5,「.BM=茴，二BM豐EN，故選B.22EBMDAEBMDA【名師點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力和計算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形.解答本題時，先利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問題.3.【2019年高考浙江卷】設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.記直線PB與直線AC所成的角為久直線PB與平面ABC所成的角為〃，二面角P-AC-B的平面角為卩，則A.0<y，a<Y B.B<a，0<YC.B<a，Y<a D.a邙,Y邙【答案】B【解析】如圖，G為AC中點(diǎn)，連接VG,V在底面ABC的投影為O,則p在底面的投影D在線段AO上,過D作DE垂直于AC于E,連接PE,BD,易得PE^VG,過p作PF^AC交VG于F,連接BF,過D作DH^AC，交BG于H，則以=，BPF,P=ZPBD,y=APED，結(jié)合△PFB,△BDH,△PDB均為直PFEGDHBD角三角形，可得cosa= — — < —cos卩，即a>BPBPBPBPBPDPD在RZED中，tany— > —tan卩，即丫>卩，綜上所述，答案為B.EDBD【名師點(diǎn)睛】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯誤有，不能正確作圖得出各種角，未能想到利用“特殊位置法”，尋求簡便解法.【2019年高考北京卷理數(shù)】已知l,m是平面Q外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：l丄m；②m//么；@7丄么.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題： ．【答案】如果l丄Q,m/a，則l丄m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：如果l丄a,m/a,則l丄m,正確；如果l丄a,l丄m,則m/a，不正確，有可能m在平面a內(nèi)；如果l丄m,m/a，則l丄a,不正確，有可能l與a斜交、l/a.故答案為：如果l丄a,m/a,則l±m(xù).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.將所給論斷,分別作為條件、結(jié)論加以分析即可.【2018年高考浙江卷】已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè)SE與BC所成的角為竹，SE與平面ABCD所成的角為乞，二面角S-AB-C的平面角為％,貝VA.華每望 B.&戸列1c.B戸戸2 D.e步1【答案】D【解析】設(shè)O為正方形ABCD的中心，M為AB中點(diǎn)，過E作BC的平行線EF,交CD于F,過O作ON垂直EF于N,連接SO,SN,SE,SM,OM,OE,則SO垂直于底面ABCD,OM垂直于AB,因此zsen,zseo ,zsmo,1 2 3

從而ta叫二ENSO從而ta叫二ENSOEO,tan0SOOM因?yàn)镾N>SO,EO>OM，所以ta叫>ta叫>tan%即耳迄這故選D.【名師點(diǎn)睛】分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.【2017年高考全國III卷理數(shù)】a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角;直線AB與a所成角的最小值為45°；直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是 .（填寫所有正確結(jié)論的編號）【答案】②③【解析】設(shè)AC=BC=1?由題意，AB是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線，由AC丄a,AC丄b又AC丄圓錐底面，所以在底面內(nèi)可以過點(diǎn)B,作BD〃a，交底面圓C于點(diǎn)D,如圖所示，連接DE,貝DE1BD:.DE〃b，連接AD,等腰AABD中，AB=AD=邁,當(dāng)直線AB與a成60°角時，乙ABD二60O故BD=、邁，又在RtABDE中，BE二2,「.DE二邁，過點(diǎn)B作BF〃DE,交圓C于點(diǎn)F,連接AF,由圓的對稱性可知BF=DE=J2,???△ABF為等邊三角形，:.厶ABF二60,即AB與b成60°角，②正確,0①錯誤.由圖可知③正確；很明顯，可以滿足平面ABC丄直線a,則直線AB與a所成角的最大值為90°,④錯誤.故正確的是②③.【名師點(diǎn)睛】(1)平移直線法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計算：求該角的值，常利用解三角形；r0n取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是［°，2」，可知當(dāng)求出的角為鈍角時，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角.(2)求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.【考法拓展題型解碼】考法一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用解題技巧用平面的基本性質(zhì)證明共點(diǎn)、共線、共面的方法證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.證明點(diǎn)共線問題的兩種方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．【例1】以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是( )不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，貝A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面．【答案】B【解析】①顯然是正確的，可用反證法證明；②中若A,B,C三點(diǎn)共線，則A,B,C,D,E五點(diǎn)不一定共面；③構(gòu)造長方體或正方體，如圖所示，顯然b,c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面．故只有①正確．故選B.【例2】已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),11E,F,G,H四點(diǎn)共面；直線FH,EG,AC共點(diǎn)．【答案】見解析1【解析】證明⑴連接EF,GH.因?yàn)镋,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，所以EF//BD.又因?yàn)镃G?BC,CH=13DC,所以GH〃BD,所以EF〃GH,所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.⑵由(1)知FH與直線AC不平行，但共面，所以設(shè)FH^AC=M,所以MW平面EFHG,MW平面ABC.又因?yàn)槠矫鍱FHGA平面ABC=EG,所以MWEG.所以FH,EG,AC三線共點(diǎn).考法二空間兩條直線的位置關(guān)系解題技巧判斷空間兩條直線的位置關(guān)系的方法異面直線,可采用直接法或反證法.平行直線,可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決．【例3】(1)若直線l］和l2是異面直線，l］在平面a內(nèi)，l2在平面B內(nèi)，l是平面a與平面B的交線，則下列命題正確的是( )l與l］，12都不相交l與l］，l2都相交l至多與l1，l2中的一條相交l至少與l］，l2中的一條相交【答案】D【解析】A項，如圖1所示，l2與l相交，故A項錯誤；B項，如圖1所示，l］〃l,人與l不相交，故B項錯誤；C項，如圖2所示，l分別與l1，l2相交，故C項錯誤；D項，假設(shè)l與l1，l2不相交，因?yàn)閘與l1共面且l與l2共面，所以l］〃l〃l2，這與l1，l2為異面直線相矛盾，故l至少與l1，l2中的一條相交，故D項正確.故選D.(2)如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB,CD，EF，GH所在的直線在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為 對.【答案】3【解析】平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行.故互為異面直線的有且只有3對.考法三兩條異面直線所成角歸納總結(jié)兩異面直線所成角的作法及求解步驟找異面直線所成角的三種方法：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移.求異面直線所成角的三個步驟：

①作：通過作平行線，得到相交直線;證：證明相交直線所成的角或其補(bǔ)角為異面直線所成的角;算：通過解三角形，求出該角.【例4】（1）（2018-全國卷II）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC］的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為（ ）2A.2D.￥【答案】C【解析】取DD1中點(diǎn)F,連EF,AF,AE,易知EF〃DC,所以ZAEF為兩異面直線所成的角.在RtMEF運(yùn) AF逅中，令正方體棱長為1,則EF=1,AF=2，所以tanZAEF=EF=2.故選C.I I A B⑵（2017?全國卷II）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZABC=120。，AB=2,BC=CC=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（ ）\115B.\115B.53

D.3A.2C.5答案】C【解析】如圖所示，將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接AD,BD,則AD1//BC,所以ZBg或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC所成的角.因?yàn)閆ABC=120°,AB=2,BC=CC=1,所以AB=X'5,AD]=￡.在△B1D1C1中,ZB1C1D1=60°,B1C1=1,DC=2,所以Bp=5+2—3 \；1012+22—2x1x2xcos60。=\''3,所以cosZB1AD1=2^1,5^2=5.故選C.易錯警示】易錯警示】易錯點(diǎn)忽視異面直線所成角的范圍而出錯【典例】如圖所示，已知空間四邊形ABCD,AD=BC,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn)，且直線BC與MN所成的角為30。，求BC與AD所成的角.

【錯解】：如圖，連接BD,并取中點(diǎn)E,連接EN,EM,則EN//BC,ME^AD，故ZENM為BC與MN所成的角，/MEN為BC與AD所成的角，所以ZENM=30°.又由AD=BC,知ME=EN,所以ZEMN=ZENM=30°,所以ZMEN=180。一30。一30。=120。，即BC與AD所成的角為120°.【錯因分析】：異面直線所成的角的范圍是（0°,90°],因此在未判斷出ZMEN是銳角或直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩異面直線所成的角，如果ZMEN為鈍角，那么它的補(bǔ)角才是異面直線所成的角.【正解】：以上同錯解，求得ZMEN=120°,即BC與AD所成的角為60°.誤區(qū)防范求異面直線所成的角的時候,要注意它的取值范圍是（0°,90°]．兩異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為一個三角形的內(nèi)角時,容易忽略這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角,也可能等于其補(bǔ)角．B．45°【跟蹤訓(xùn)練】（2019?浙江普通高中學(xué)業(yè)水平考試）如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1±AB,AA]丄AC.BC—1'2，則異面直線A1C與B1C1所成的角為B．45°C．60° D．90°【答案】C【解析】根據(jù)題意，得BC/B1C1，故異面直線A1C與B1C1所成的角即BC與A&所成的角.在題圖中，連接A]B,在△ABC中，BC=A]C=A]B=V2，故ZA1CB=60°,即異面直線A1C與B^所成的角為60°【遞進(jìn)題組】1．下列命題中正確的個數(shù)是（ ）過異面直線a,b外一點(diǎn)P有且只有一個平面與a,b都平行；異面直線a,b在平面a內(nèi)的射影相互垂直，則a丄b；直線a,b分別在平面a,B內(nèi)，且a丄b,則a丄〃.A．0 B．1D．3C．2D．3【答案】A【解析】對于①，當(dāng)點(diǎn)P與兩條異面直線中的一條直線確定的平面與另一條直線平行時，就無法找到過點(diǎn)P且與兩條異面直線都平行的平面，故①錯誤；對于②，在如圖所示的三棱錐P—ABC中，PB丄平面ABC,BA丄BC,滿足PA，PC兩邊在底面的射影相互垂直，但PA與PC不垂直，故②錯誤；對于③，直線a，b則a，B可以平行，故③錯誤.所以正確命題的個數(shù)為則a，B可以平行，故③錯誤.所以正確命題的個數(shù)為0?故選A.2．兩條異面直線在同一個平面上的正投影不可能是( )兩條相交直線 B.兩條平行直線C.兩個點(diǎn) D.—條直線和直線外一點(diǎn)【答案】C【解析】如圖，在正方體ABCD—EFGH中，M，N分別為BF,DH的中點(diǎn)，連接MN,DE，CF，EG?當(dāng)異面直線為EG，MN所在直線時，它們在底面ABCD內(nèi)的射影為兩條相交直線；當(dāng)異面直線為DE，GF所在直線時，它們在底面ABCD內(nèi)的射影分別為AD，BC,是兩條平行直線；當(dāng)異面直線為DE，BF所在直線時，它們在底面ABCD內(nèi)的射影分別為AD和點(diǎn)B,是一條直線和一個點(diǎn).故選C.H GRNA B3.已知正方體ABCD-ABCDV(1)求AC與A1D所成角的大??；⑵若E,F分別為AB,AD的中點(diǎn)，求A1Cl與EF所成角的大小.【答案】見解析【解析】⑴如圖1所示，連接B1C.由ABCD—A1B1ClD1是正方體易知AD^BC,從而ABCA(或其補(bǔ)角)就是AC與AD所成的角.因?yàn)锳B1=AC=B1C,所以ZB1CA=60°,即AC與AD所成的角為60°.圖1 圖2(2)如圖2所示，連接AC,BD,在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AC丄BD,AC〃A]C].因?yàn)镋,F分別為AB,AD的中點(diǎn)，所以EF〃BD.所以EF丄AC.所以EF丄A^，即A^與EF所成的角為90°.考卷送檢】

一、選擇題（2019?武邑中學(xué)月考）下列命題正確的是（）兩個平面如果有公共點(diǎn)，那么一定相交兩個平面的公共點(diǎn)一定共線兩個平面有3個公共點(diǎn)一定重合過空間任意三點(diǎn)，一定有一個平面【答案】D【解析】如果兩個平面重合，則排除A，B兩項；兩個平面相交，則有一條交線，交線上任取三個點(diǎn)都是兩個平面的公共點(diǎn)，故排除C項；而D項中的三點(diǎn)不論共線還是不共線，則一定能找到一個平面過這三個點(diǎn).設(shè)a，b是平面a內(nèi)兩條不同的直線，l是平面a外的一條直線，貝V“1丄a,l丄b”是“l(fā)丄龍啲（ ）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】直線a，b平行時，由“1丄a,1丄b”n/“1丄a”；“1丄a”h1丄a，1丄b”，所以“1丄a，1丄b”是“1丄a”的必要不充分條件.C.A，M，C，O不共面3?如圖所示，ABCDA1B1C1D1是長方體，O是BRC.A，M，C，O不共面B.A，M，O，A1不共面D.B，B1，O，M共面答案】A【解析】連接A1C1，AC,則A]C]〃AC,所以A],C1，C，A四點(diǎn)共面.所以AQu平面ACC*].因?yàn)镸GA1C，所以MG平面ACC*].又MG平面AB1D1，所以M為平面ACC^A1與ABR的公共點(diǎn).同理，O,A為平面ACC*]與平面AB1D1的公共點(diǎn).所以A,M,O三點(diǎn)共線.4?正方體A1C中，E,F分別是線段BC,CD]的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（）A.相交 B.異面C.平行DC.平行【答案】A【解析】如圖所示，直線A]B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A]BCD1，EFu平面A]BCD],且兩直線不平行，故兩直線相交.

5.（2017?全國卷I）如圖，在下列四個正方體中，A,B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（ ）DD【答案】A【解析】對于B項，如圖所示，連接CD,因?yàn)锳B〃CD,M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ〃CD,所以AB〃MQ,又AB?平面MNQ,MQu平面MNQ,所以AB〃平面MNQ,同理可證，C,D項中均有AB〃平面MNQ.故選A.6.（2019?綿陽二中月考）空間四邊形ABCD中，AB,BC,CD的中點(diǎn)分別為P,Q,R,且AC=4,BD=2^5,PR=3,則AC和BD所成的角為（A.90°B.60°A.90°B.60°C.45°D.30°答案】A【解析】如圖，P【解析】如圖，P,Q,R分別為AB,BC,CD中點(diǎn),所以PQ〃AC,QR〃BD,所以ZPQR為AC和BD所成的角.又PQ所成的角.又PQ=2AC=2,QR=2bD=\^，RP=3,所以PR2=PQ2+QR2，所以ZPQR=90°,即AC和BD所成的角為90°?故選A.已知a,b為異面直線，直線c〃a,則直線c與b的位置關(guān)系 .【答案】相交或異面【解析】直線的位置關(guān)系有三種：相交、異面、平行.因?yàn)閍,b為異面直線，c〃a,所以c與b不平行,故c與b可能相交或異面.（2019?長治二中月考）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列說法正確的 （填序號）.直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)；設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O,O1，則平面AA&&與平面BBRD的交線為OO^由A,C1，B1確定的平面是ADC1B1；由A,C1，B1確定的平面與由A,C1，D確定的平面是同一個平面.【答案】②③④②正確，如圖所示，因?yàn)镺W直線ACu平面AA1C1C,OW直線BDu平面BBRD,O占直線A^u平面AA1C1C,O占直線B1D1U平面BB1D1D，所以平面AA1C1C與平面BBRD的交線為OO］；③④都正確，因?yàn)锳D〃B］C］且AD=B1C1，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以A,B1，C1，D共面.9?如圖所示，正方形ABCD中，E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，將此正方形沿EF折成直二面角后，異面直線AF與BE所成角的余弦值為 【答案】2【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)H連接FH,AH所以BE//FH，所以ZAFH即為異面直線AF與BE所成的角.過A作AG丄EF于G,則G為EF的中點(diǎn).連接HG,HE,貝△HGE是直角三角形.設(shè)正方形邊長返 /__1血 /51為2,則EF=、h,HE=V2,EG=2，所以HG=2+2=2，所以AH=\；2+2h月.由余弦定理知AQ+HF2—AH2 12+22—3 1cosZAFH= 2^AFHF~=2x1x2=2..4三、解答題10.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn)，求異面直線A^M與DN所成的角的大?。鸢浮恳娊馕觥窘馕觥咳鐖D，連接D]M,可證D]M丄DN.又因?yàn)锳p丄DN,A1D1，MD1平面A1MD1，AD^CMD^D,所以DN丄平面A1MD1，所以DN丄A]M，即異面直線A