專升本資料8線性代數(shù)

四川省普通高等學(xué)?！皩Ｉ尽边x拔《高等數(shù)學(xué)》考試大綱（理工類）總體要求考生應(yīng)理解或了解《高等數(shù)學(xué)》中函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程以及《線性代數(shù)》的行列式、矩陣、向量、方程組的基本概念與基本理論；掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具備一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力空間想象能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高，對(duì)概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次；對(duì)方法和運(yùn)算分為“會(huì)”、“掌握”、“熟練掌握”三人層次?？荚囉脮r(shí)：120分鐘考試范圍及要求一函數(shù)、極限和連續(xù)二一元函數(shù)微分學(xué)三一元函數(shù)積分學(xué)四向量代數(shù)與空間解析幾何五多元函數(shù)微積分學(xué)六無(wú)窮級(jí)數(shù)七微分方程八線性代數(shù)一）行列式1.理解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。（1）行列式的概念①二階行列式:aa21a12①二階行列式:aa21a12a22=aa-aa11221221aiia12a13D=aaa3212223aaa312333②三階行列式：aaAaii121naaAaD=21222nnMMMMaaAan1n2nn③n階行列式：n階行列式的值的特點(diǎn)：（1）一共是有n!項(xiàng)的代數(shù)和；（2）每一項(xiàng)都是n個(gè)元素的乘積,它們來(lái)自于不同的行、不同的列。（3）這n!項(xiàng)中有一半是正項(xiàng)，另一半是負(fù)項(xiàng)。（2）行列式的性質(zhì)變換性質(zhì)轉(zhuǎn)置變換：Dt二D Dt為D的轉(zhuǎn)置行列式。②交換變換：D=-D1D為D互換兩行（列）后所得。r分r②交換變換：D=-D11ijij③倍乘變換：D=k③倍乘變換：D=k-D1D為D的某行（列）元素都乘以k后所得。1kr，ikci④倍乘變換：④倍乘變換：D=D1D為D的某行（列）乘以k加到另外的行（列）后所得。1r+kr，c+kcjiji零值性質(zhì)如果行列式的某行（列）的元素全為零，則此行列式的值為零．如果行列式的某兩行（列）的元素相同，則此行列式的值為零．如果行列式的某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值為零．會(huì)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開(kāi)定理計(jì)算行列式。（1）行列式的余子式和代數(shù)余子式余子式M:劃去a所在的第i行和第j列的全部元素后剩下的元素組成的n-1階ij ij行列式。代數(shù)余子式：A=（―1）i+jMij ij=aA+aAi1i1 i2i2=aA+aAi1i1 i2i2+A+aAininik(-1)i+kMikk=1k=1D=aA+aA+A+aA=工aAnD=aA+aA+A+aA=工aAn1ji1j2j2j njnj kjkjk=1=工a(―1)k+jMkj jkk=1（3）行列式的計(jì)算方法①先利用行列式的性質(zhì)使行列式的某一行（列）列）展開(kāi)。②可將行列式化為特殊行列式后計(jì)算例1計(jì)算下列的行列式的元素盡可能多的化為零，再按該行2―5122310abbb—37―14—4—2—1—1babb?_ 9② C-；③5―927—212bbab4―6120110bbba特別是化為三角形行列式。①二）矩陣1.理解矩陣的概念,了解單位矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣以及它們的性質(zhì)。1）矩陣的定義由mxn個(gè)數(shù)a(i=1,2,A,m;j=1,2,An)排成的m行n列的數(shù)表ij'a11a21Aa12

a22AW1m1am2AAAAa1

a2Aamn矩陣；記為A，或A=(a)mxn ijmxn當(dāng)m=n時(shí)，矩陣A稱為n階方陣.記作An當(dāng)m=1時(shí)，矩陣A稱為行矩陣（或行向量）.記為A=（a）ij1xn廠a、1當(dāng)n=當(dāng)n=1時(shí)，矩陣A稱為列矩陣（或列向量）?記為A二A=(a)jmxl2M2）特殊矩陣零矩陣：矩陣的元素都為0時(shí)。單位矩陣：主對(duì)角線都為1的對(duì)角矩陣。記為E或En在n階方陣中，主對(duì)角線以下的元素都為零。在n階方陣中，主對(duì)角線以上的元素都為零。a在n階方陣中，主對(duì)角線以下的元素都為零。在n階方陣中，主對(duì)角線以上的元素都為零。a=a或AT=Aij ji對(duì)稱矩陣：

反對(duì)稱矩陣：a=_a或At二-A

ij ji掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置、方陣乘積的行列式及它們的運(yùn)算規(guī)律。矩陣的線性運(yùn)算設(shè)A=(矩陣的線性運(yùn)算設(shè)A=(a)ij矩陣的和：矩陣的差：數(shù)乘矩陣：矩陣的乘法①定義設(shè)A=(a)ijmxkmxn ijmxnA+B=(a+b)ij ijmxnA-B=(a-b)ij ijmxnkA=(ka)ijmxnB二(b)ijkxnc=(aij i1=B二(b)ijkxnc=(aij i1=ab+ab+A+abi11j i22j ikkjijmxnfb)

ijb2jMb‘kj構(gòu)成的m行n列的矩陣。稱矩陣C=(c)為矩陣A與矩陣B的乘積。記為：C=AB

ijmxna)結(jié)合律：(ABa)結(jié)合律：(AB)C=A(BC)(b)分配律：(A+B)C=AC+BC，A(B+C)=AC+ABC(c)0—1律：AE=EA=A，AO=OA=Onn nn不具備交換律：AB豐BA，兩非0矩陣的乘積可能是0矩陣。即AB=0不能推出：A=0或B=0③矩陣的乘方設(shè)A為n階方陣，稱矩陣A自乘m次稱為矩陣A的m次方。A0=E，A1=A，A2=AAAm=AAAA(m個(gè)A)AkAl=Ak+l，3)矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把A的行、轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)：(Ak)l=Akl，列交換所得得的矩陣叫做矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。記為At①(AT)T=A②(A+B)T=AT+BT(kA)T=kAT

④（AB）t=BtAt4）方陣的行列式定義：由n階方陣A的元素按原來(lái)順序構(gòu)成的行列式稱為方陣A的行列式。記為IAI或det(Adet(A)。矩陣行式的性質(zhì)①I(mǎi)At|=|A|IkAI二knIAI； ③IABI=IBA①I(mǎi)At|=|A|'10-1、'10、例1已知：a=210，b=31<3 2-<0 2>；求AB。理解逆矩陣的概念，掌握矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會(huì)用伴伴隨矩陣求矩陣的逆矩陣。（1）逆矩陣的定義設(shè)A是n階方陣，如果存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=E;則稱矩陣A是可逆的，稱矩陣B是矩陣A的逆矩陣。a的逆矩陣記為a-1，即B二a-12）逆矩陣的性質(zhì)方陣a可逆na的逆矩陣是唯一的。且AA-1二a-1A二EA可逆nA-1也可逆。且（A-1）-1二Aa可逆，數(shù)九h0n九A可逆.且（九A）-1=1A-1九A可逆nAt也可逆，且（At）-1二（A-1）TA可逆,則有IA-1I=IAI-1a、B為同階方陣且均可逆nAB可逆.且（AB）-1二B-1a-1(AAAa)-1二a-1AA-1A-112mm213)矩陣可逆性質(zhì)的判別A可逆oIAIh0.4）求矩陣的逆矩陣的公式①伴隨矩陣： n階方陣A的行列式IAI的各個(gè)元素的代數(shù)余子式A構(gòu)成矩陣ij

(AAAA\11(AAAA\11211nAAAAA*=12222nMMM<A1AAA丿1n2nnn②求矩一陣的逆矩陣的公式若矩陣A可逆，則A-i二稱為矩陣A的伴隨矩陣.|A|（A*為A的伴隨矩陣）.例1判斷A.=32<101是否可逆，如果可逆，求逆矩陣.1丿掌握矩陣的初等變換，了解矩陣秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。1）矩陣的初等變換定義：矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換。(c分cijcxk)(c分cijcxk)i(c+kcij記為A~B.ij倍乘變換：把i行（列）的各元素都乘以非零k常數(shù)。 rxki倍加變換：把j行（列）的若干倍，加到i行（列）上。r+krij矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等行變換轉(zhuǎn)化為矩陣B，則稱矩陣A與矩陣B等價(jià),（2）矩陣的秩矩陣的k階子式在一個(gè)mxn的矩陣A中任意取k行和k列，位于這些行與列相交位置上的元素所構(gòu)成的一個(gè)k階行列式稱為矩陣A的k階子式。矩陣A的k階子式共有Ck?Ck個(gè)。mxn mn矩陣的秩的定義在mxn的矩陣A中，一切非零子式的最高階數(shù)r稱為矩陣A的秩。也就是說(shuō)，若矩陣A中至少有一個(gè)r階子式不等于零，而所有的r+1階子式（如果有的話）都等于零，則稱矩陣A的秩為r,記為R（A）=r注意：R（A）<min（m,n）。 零矩陣的秩為零；非零矩陣的秩一定不為零。（3）矩陣的秩的求法階梯形矩陣及其秩矩陣A若滿足：（1）零行（元素全為0的行）在矩陣的最下方；（2）各非零行的第1個(gè)非零元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大。滿足這樣的條件的矩陣稱為階梯形矩陣。階梯形矩陣的秩為：非全零行的行數(shù)。

如矩陣5-如矩陣5-3有三個(gè)非全零行，則它的秩為3。矩陣的初等變換不改變矩陣的秩方法：先用初等變換將矩陣變?yōu)榕c它等價(jià)的階梯形矩陣，再觀察非全零行的行數(shù)，其行數(shù)即為矩陣的秩。(3)逆矩陣的求法：(A,E)t(E,A-1)nn將矩陣(A,E)經(jīng)過(guò)一系列的初等變換，將前面的部分變成為單位矩陣后，其后面的部份n就變成了A的逆矩陣。(1 -1 3)例：求矩陣A=2 -1 4的逆矩陣。廠1 2 -4,(三)向量理解n維向量的概念，向量的線性組合與線性表示。n維向量的定義n個(gè)數(shù)a,a,A,a組成的有序數(shù)組(a,a,A,a)稱為n維向量。數(shù)a稱為n維向量的第1 2n 1 2n ii個(gè)分量。向量中的個(gè)數(shù)稱為向量的維數(shù)。向量一般用小寫(xiě)黑體的希臘字母a,卩，丫，A表示。行向量：把向量寫(xiě)成一行；可看成一行n列的矩陣。列向量：把向量寫(xiě)成一列；可看成n行一列的矩陣。n維向量的運(yùn)算兩向量相等：兩向量的各分量對(duì)應(yīng)相等。向量的加法：兩向量的各分量對(duì)應(yīng)相加。向量的減法：兩向量的各分量對(duì)應(yīng)相減。數(shù)乘向量：將數(shù)k乘以向量的各分量。例設(shè)^=(2,1,3)，卩=(-2,3,6)，丫=(2,-1,4)，求向量2a+3卩-丫n維向量的線性組合給定向量組A:a,a,A,a，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)k,k,A,k,則稱12m12mka+ka+A+ka1122mm為向量組的一個(gè)線性組合。實(shí)數(shù)k,k,A,k稱為組合系數(shù)。12m向量的線性表示一個(gè)向量由向量組線性表示給定向量組a,a,A,a，如果存在一組數(shù)x,x,A,x使12m12mB=xa+xa+Axa1122mm則稱卩是向量組a,a,A,a的一個(gè)線性組合。也稱向是卩可由向量組a,a,A,a線性表12m12m示。x，x，A,x稱為表出系數(shù)(組合系數(shù))12mn維標(biāo)準(zhǔn)單位向量組：e=(0,A,0,1,0,A,0)，(i=1,2,A,n)i任何一個(gè)向量n維向量a=(a,a,A,a)都可以唯一地由標(biāo)準(zhǔn)單位向量組線性表示。1 2 n線性組合的矩陣方式表示B=xa+xa+Axa=(a,a,A,a)(x,x,A,x)t二AX1122mm12m12m其中A=(a,a,A,a)，X=(x,x,A,x)t12m12m表示系數(shù)的求法求表出系數(shù)x,x,A,x就是求解線性方程組：AX=P。12m若線性方程組AX=卩有唯一解，則表示法是唯一的。若線性方程組AX=B有無(wú)窮多個(gè)解，則表示法不是唯一的。若線性方程組AX=卩無(wú)解，則B不能由向量組a,a,A,a線性表示。12m例問(wèn)0二(—1,1,5)t能否表示成a二(1,2,3)t，a二(0,1,4)t，a二(2,3,6)t的線性123組合。理解向量組線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)的定義，掌握判別向量組線性相關(guān)的方法。(1)向量組線性相關(guān)性的概念向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的定義：給定向量組a,a,A,a，如果存在不全為零的數(shù)k,k,A,k使12m12mka+ka+A+ka=01122mm則稱向量組a,a,A,a是線性相關(guān)的，k,k,A,k稱為相關(guān)系數(shù)。否則稱它線性無(wú)關(guān)。12m12m向量組線性相關(guān)性的判別結(jié)論1：含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。結(jié)論2：?jiǎn)蝹€(gè)非零向量一定線性無(wú)關(guān)。實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔結(jié)論3：兩個(gè)非零向量線線相關(guān)o兩向量的分量對(duì)應(yīng)成比例。結(jié)論4：a,a,A,a線性相關(guān)o至少存在某個(gè)向量a能由其余向量線性表出。12mi結(jié)論5：a,a,A,a線性無(wú)關(guān)o任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表出。12 m結(jié)論6：a,a,A,a線性無(wú)關(guān)，添加一個(gè)向量后a,a,A,a,p線性相關(guān)np一定可由向12 m 12m量組a,a,A,a線性表出，且表示法唯一。12m結(jié)論7：a,a,A,a線性相關(guān)n添加向量后的向量組也一定線性相關(guān)。簡(jiǎn)說(shuō)：部份相關(guān)12m則整體相關(guān)。結(jié)論7：設(shè)有兩個(gè)向量組，它們的前n個(gè)分量對(duì)應(yīng)相同a=(a,a,A,a)，p=(a,a,A,a,a,A,a)，(i=1,2,A,m)i i1i2 in i i1i2 inin+1 in+pa,a,A,a線性無(wú)關(guān)np,p,A,p線性無(wú)關(guān)TOC\o"1-5"\h\z12 m 12 mp,p,A,p線性相關(guān)na,a,A,a線性相關(guān)12 m 12 m簡(jiǎn)說(shuō)：無(wú)關(guān)組接長(zhǎng)后仍無(wú)關(guān)。相關(guān)組截短后仍相關(guān)。(2)向量組線性相關(guān)的判別方法。設(shè)向量a,a,A,a組，如何判別其線性相關(guān)性呢?1 2 ma=(a,a,A,a)t， (i=1,2,A,m)i i1i2 in令A(yù)=(a,a,A,a)，X=(x,x,A,x)T，1 2 m 1 2ma,a,A,a線性相關(guān)o存在不全為零的k,k,A,k使ka+ka+A+ka=01 2 m 1 2m11 22 mmax+ax+A+ax=011 1 12 2 1nmax+ax+A+ax=0 」、二?om個(gè)變?cè)凝R次萬(wàn)程組彳211 222 2mm 有非零解。AAAAAAAAAAAAax+ax+A+ax=0n11 n22 nmmoAX=0是否有非零解。oR(A)<m例1判別向量組a=(1,1,1)，a=(1,1,0)，a=(1,0,0)的線性相關(guān)性。123例2判別向量組a=(1,2,3)，a=(—1,1,4)，a=(3,3,2)，a=(4,5,5)的線性相關(guān)性。結(jié)論1：TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4結(jié)論1：|A|=|(a,a,A,a)|=01 2 nn個(gè)n|A|=|(a,a,A,a)|=01 2 n1 2 n結(jié)論2：當(dāng)向量組中的向量個(gè)數(shù)m大于其維數(shù)n時(shí)n向量組a,a,A,a一定線性相關(guān)。1 2m了解有關(guān)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念，會(huì)求向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩。(1)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組定義設(shè)向量組T由若干個(gè)n維向量構(gòu)成，若存在T的一個(gè)部分向量組a,a,A,a滿足以：12r(1)a,a,A,a線性無(wú)關(guān)；(2)對(duì)于任意向量peT,向量組卩，a,a,A,a線性相關(guān)。12r12r則稱a,a,A,a是向量組T的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。12r向量組的極大無(wú)關(guān)組的性質(zhì)：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含有的向量個(gè)數(shù)相同。向量組的秩定義向量組T的任意一個(gè)極大無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)叫做T的秩。記為：R(T)向量組的秩的性質(zhì)、結(jié)論若向量S可以由向量組T線性表出，則R(S)<R(T)向量組的秩、極大無(wú)關(guān)組的求法向量組的秩的求法設(shè)向量組P,P,A,P是m個(gè)n維列向量，現(xiàn)構(gòu)成一個(gè)nxm矩陣TOC\o"1-5"\h\z1 2 mA二(卩,卩，A,卩)，則有R(P,卩，A,卩)二R(A)1 2 m 1 2 m設(shè)向量組a,a,A,a是m個(gè)n維行向量，現(xiàn)構(gòu)成一個(gè)nxm矩陣1 2 mB=(at,at,A,aT)，則有R(aT,aT,A,aT)=R(B)1 2 m 1 2 m把求向量組的秩的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求矩陣的秩的問(wèn)題。向量組的極大無(wú)關(guān)組的求法第一步：將向量組構(gòu)成一個(gè)矩陣設(shè)S={x,a,A,a}為n維列向量組，現(xiàn)構(gòu)成nxm矩陣A二(a,a,A,a)1 2 m 1 2 m第二步：用初等行變換將其變?yōu)殡A梯形矩陣A=(a,a,A,a)t(p,p,A,p)二B1 2 m 1 2 m

第三步：考察n維列向量組T=命,P,A,P｝，由于行初等變換不改變矩陣的列秩,12m向量組T=命,P,A,P｝中的極大無(wú)關(guān)組就對(duì)應(yīng)S=,a,A,a｝中的極大無(wú)關(guān)組。12m12m注：只用行初等變換，僅求列向量中的極大無(wú)關(guān)組。例1求出下列向量的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。r1「r1「r1「r1]12432a=，a=，a=，a=，a=1123394755<4‘J6丿J3‘JO‘例2求出下行向量的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。a=(1,1,一2,7)，a=(一1,—2,2,—9)，a=(-1,1,一6,6)123a=(2,4,4,3)，a=(2,1,4,3)，45四)線性方程組1.掌握克萊姆法則?？巳R姆法則：設(shè)含有n個(gè)未知數(shù)x,x，…，x的n個(gè)方程組成的n元線性方程組為:12廠ax+ax+Aax=bTOC\o"1-5"\h\z11 1 12 2 1nn 1ax+ax+Aa x=b211 222 2n2 2AAAAAAAax+ax+Aax=ba11AAAa1nA豐0aAan1nnDD???x= nDnD即D=x=2如果線性方程組的系數(shù)行列式D不等于零，即D=x=2如果線性方程組的系數(shù)行列式D不等于零，則方程組(1.7)有且僅有唯一解：x=D1D其中D(j=1,2,...,n)是把系數(shù)行列式D中的第j列的元素用方程組右端的常數(shù)代替后所得jaAabaAa111,j—111,j+11naAabaAa212,j—122,j+12nAAAAAAAaAabaAan1n,j—1nn,j+1nn當(dāng)常數(shù)項(xiàng)全為零時(shí)，方程組稱為n元齊次線性方程組。到的階行列式記作D=j

ax+ax+Aax-0iii1221nnax+ax+Aax二0Q2112222nnAAAAAax+ax+Aax二0n11n22nnn齊次線性方程組的系數(shù)行列式D豐0o齊次方程組只有零解。

齊次線性方程組的系數(shù)行列式D=0o齊次方程組有非零解。例1用克拉默法則解線性方程組x例1用克拉默法則解線性方程組x-x+2x1243x+2x-x-2x12344x+3x-x-x12342x-x13-56002.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。ax+ax+Aax=biiii22inniax+ax+Aax二b設(shè)m個(gè)方程組n個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組Q2ii2222nn2AAAAAax+ax+Aax=bmiim22mnnm'aaAa、(aaAab、ii12iniii2inaaAaaaAaA=21222nA=2i222n2AAAAAAAAA、aaAa‘.aaAab丿m1m2mnmim2mnmX=rx)1x2Ab=rb)1bA<x丿me丿m齊次線性方程組R(A)=n時(shí)n齊次線性方程組AX二0只有唯一零解；R(A)<n時(shí)n齊次線性方程組AX二0有無(wú)窮多組非零解。齊次線性方程組R(A)二R(A)oAX二b有解。若R(A)二R(A)二n，則線性方程組AX二b有唯一一組解.若R(A)二R(A)<n，則次線性方程組AX二b有無(wú)窮多組解.當(dāng)AX二b有無(wú)窮多解時(shí)，其一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為n-r

若R（A）豐R（A），則非齊次線性方程組AX二b無(wú)解了解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解的概念。(1)齊次線性方程組的解向量ax+ax+A+ax=0111 122 1nn設(shè)有齊次線性方程組<ax+ax+A+ax=0設(shè)有齊次線性方程組<'aaAa、rx)iii2iniaaAax21222n，x=2AAAAM、aa—cAa丿<x”丿記A=mn記A=mnax+am11x+A+ax=0m22 mnn則上述方程組可寫(xiě)成向量方程Ax二0.若x=g，x=g，A，x=g為方程Ax=0的解,1 112 21n n1a、a為方程Ax=為方程Ax=0的解向量，它也就是向量方程Ax=0的解.21Mn1丿2）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系如果（1）耳，耳,A，耳是Ax二0的一組線性無(wú)關(guān)的解，（2）Ax二0的任意一個(gè)解都可以由12t耳，耳,A，耳線性表示；則稱耳，耳,A，耳為齊次方程組Ax二0的基礎(chǔ)系。12t12t3）齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的確定定理：設(shè)A是mxn矩陣，r（A）=r，貝UAx=0的基礎(chǔ)系中解向量的個(gè)數(shù)為：n-r;Ax=0的任意n—r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量都是基礎(chǔ)解系。Ax=0只有零解Or（A）=nOAx=0沒(méi)有基礎(chǔ)解系；Ax=0有非零解Or（A）<nOAx=0有無(wú)窮多個(gè)基礎(chǔ)解系。Ax=0的基礎(chǔ)系：⑴必須是Ax=0的解，（2）必須是線性無(wú)關(guān)向量組，（3）必須有n—r個(gè)向量。（4）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)如果，耳，A，耳｝為齊次方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)系，12 n—r

那么Ax=0的通解可表示為：=kn+kn+A+kn，其中k,k,A,k是任意常數(shù)。11 22 n-rn-r 12 n一r了解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念。(1)解向量的概念設(shè)有非齊次線性方程組q設(shè)有非齊次線性方程組qa x+a x +A+a x =b11 1 12 2 1n n 1a x+a x +A+a x =b21 1 22 2 2n n 2AAAAAAAAAAAAax+ax+A+ax=bm1ax+ax+A+ax=bm1mnnm'a11a21AIam1am2a12a22A1 m22簡(jiǎn)寫(xiě)成向量方程Ax二b.稱A為方程組Ax=b的系數(shù)矩陣；x為n維未知列向量；b為m維常數(shù)向量；A二(A,b)為方程組Ax二b的增廣矩陣;滿足An=b的n維列向量H稱為Ax二b的解向量，簡(jiǎn)稱為解。(2)非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1:設(shè)n，n都是非齊次方程組Ax=b的解，則n-n是對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的1212解。性質(zhì)2:設(shè)n是非齊次方程組Ax=b的解，g是對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的解，則g+n必是非齊次方程組Ax=b的解。非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)設(shè)A是mxn矩陣，且r(A,b)=r(A)=r，n*是非齊次方程組Ax=b的一個(gè)解，屯,gAg｝是對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系。則非齊次方程組Ax=b的通解為：12 n-rx=n*+kg+kg+A+kg；其中k,k,A,k是任意常數(shù)。1122 n-rn-r 12 n-r掌握用矩陣的行初等變換求線性方程組通解的方法。(1)齊次線性方程組的通解的求法用行初等變換將齊次方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A化為階梯開(kāi)矩陣T寫(xiě)出矩陣T對(duì)應(yīng)的齊次方程組Tx=0得出齊次方程組的解，指明自由未知量讓自由未知量取成標(biāo)準(zhǔn)單位向量，得到基礎(chǔ)解系的各向量

(111—1]r10—14]0—1—25(—1)r2—j(1r2>012—510000J10000丿叩(1)『2 >實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔⑤寫(xiě)出通解例1求解線性方程組〈3x+2實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔⑤寫(xiě)出通解例1求解線性方程組〈3x+2x2x+x-2x+3x=01 2 3 4—x1 2 3+2x=0的通解。4=0(111-1]r111—1]r2+(—2)r121-23—彳|(3)彳>0—1—25132-12J10-1—45丿解：A=x+x+x—x1234Ix—x簡(jiǎn)化后的階梯形矩陣T對(duì)應(yīng)的方程組為\ 1 3I—x—2x+5x=0

234x=x-4xx=x-4x即〈 1 3 4Ix=-2x+5x2，這里34x3，x為自由未知量。4x=0得x=141=-2x=1得x=x=1得x=—4，x=54 1 23于是得到原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系:1=(1,-2,1,0)T ，匚1=(-4,5,0,1)T因此所給齊次方程的通解為：匚=k匚+k匚，其中k,k為任意常數(shù)。1122122)非齊次線性方程組的通解的求法求給出的非齊次方程組Ax=b的通解，用初等變換將增廣矩陣(A,b)化為行階梯形矩陣(T,d)，這樣Ax=b與Tx=d是同解方程組，于是Tx=d的通解就是Ax=b的通解了。求Ax=b的通解步驟：用行初等變換將增廣矩陣(A,b)化為行階梯形矩陣(T,d)寫(xiě)出矩陣(T,d)對(duì)應(yīng)的非齊次方程組Tx=d，并得出其解。讓自由未知量都取0得到方程組的