計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)第六章

第四節(jié)限制器的設(shè)計(jì)一、分別性原理限制對象：（1）最優(yōu)反饋限制規(guī)律（限制器）：（2）離散性能指標(biāo)：連續(xù)性能指標(biāo)：（3）（4）1、LQ系統(tǒng)：確定性系統(tǒng)干脆狀態(tài)反饋的最優(yōu)限制系統(tǒng)。限制對象：（5）LQG系統(tǒng)限制器：（6）2、LQG系統(tǒng)：隨機(jī)性估計(jì)狀態(tài)反饋的最優(yōu)限制系統(tǒng)。問題：（1）由上述對象和限制器組成的閉環(huán)限制系統(tǒng)是否仍是最優(yōu)限制系統(tǒng)？（2）假如仍是最優(yōu)限制系統(tǒng)，使何種性能指標(biāo)最優(yōu)？可以證明，由（5）（6）兩式組成的LQG系統(tǒng)仍舊是最優(yōu)限制系統(tǒng)，它使如下的離散性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)：（7）其最小值為：（8）（9）其最小值為：（10）使如下的連續(xù)性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)其中上述便是著名的分別性原理。（11）由分別性原理，LQG限制器的設(shè)計(jì)可以分為兩個獨(dú)立的部分：（1）最優(yōu)限制規(guī)律的設(shè)計(jì)。在設(shè)計(jì)最優(yōu)限制規(guī)律時，可以將系統(tǒng)看作確定性系統(tǒng)而不考慮隨機(jī)的過程干擾何測量噪聲，同時認(rèn)為全部狀態(tài)可用于反饋。（2）狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)的計(jì)算?？紤]隨機(jī)的過程干擾和測量噪聲，狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)的計(jì)算與性能指標(biāo)中加權(quán)矩陣的選擇無關(guān)。分別性原理的運(yùn)用：LQ系統(tǒng)與LQG系統(tǒng)的區(qū)分：（1）在LQ系統(tǒng)中，考慮的是系統(tǒng)對非零初始條件的響應(yīng)性能，性能指標(biāo)Jd

由無窮多項(xiàng)相加，Jc

是在無窮大區(qū)間上積分，但Jd

和Jc皆為有限數(shù)；在LQG系統(tǒng)中，考慮的是系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)時抗隨機(jī)干擾和測量噪聲的性能，由于隨機(jī)干擾和測量噪聲的影響，因此在性能指標(biāo)中只取時的一項(xiàng)，在中只取時一個采樣周期內(nèi)積分的平均值。（2）LQ系統(tǒng)考慮的是確定性系統(tǒng)，Jd

和Jc

表達(dá)式中的各量均為確定量；

LQG系統(tǒng)考慮的是隨機(jī)系統(tǒng)，系統(tǒng)中各量均為隨機(jī)量，因此在性能指標(biāo)和均取數(shù)學(xué)期望。LQG系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的分布狀況：結(jié)合（5）（6）式并整理，得到整個系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：（12）（13）其中從而得到閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：（其次列加到第一列）（其次行減去第一行）（14）其中為LQ系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。由上節(jié)公式（9）（12）得到（15）明顯為狀態(tài)估計(jì)器的極點(diǎn)。因此LQG系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)由兩部分組成：（1）LQ系統(tǒng)的極點(diǎn)；（2）狀態(tài)估計(jì)器的極點(diǎn)。二、積分限制的引入（PI限制器的設(shè)計(jì)）問題的提出：前面所設(shè)計(jì)的調(diào)整系統(tǒng)的限制器（r(k)=0），其目的在于使系統(tǒng)從非零的初始條件回到零狀態(tài)時具有滿足的響應(yīng)性能，即所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)對脈沖型干擾具有很好的抑制作用，但對于階躍或常值干擾，將具有穩(wěn)態(tài)誤差。緣由分析：限制規(guī)律為比例反饋（線性反饋），限制器中沒有積分作用。解決方法：限制規(guī)律中引入積分作用，設(shè)計(jì)成PI限制器。設(shè)限制對象的離散狀態(tài)方程為：（16）其中為階躍型干擾，即（17）（18）定義各量的差分為：明顯，當(dāng)時，有。對式（16）兩邊取差分得到：（22）（19）（20）令，結(jié)合式（19）（21），得到關(guān)于z(k)的狀態(tài)方程：即：（21）其中：（23）設(shè)取二次型性能指標(biāo)為：（24）其中Q1

是非負(fù)定對稱陣，Q2

是正定對稱陣。假定是能穩(wěn)定的，且設(shè)D

為能使DTD=Q1

成立的任何矩陣，同時假定是能檢測的。式（22）和（24）是標(biāo)準(zhǔn)的最優(yōu)調(diào)整器問題，依據(jù)定理1可以求得：（25）（26）（27）由式（25）得到其中是相應(yīng)的分塊矩陣。（28）由式（22）和（24）組成的標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)調(diào)整器問題，由于假設(shè)了是能穩(wěn)定的，是能檢測的，因此依據(jù)定理1，該最優(yōu)反饋限制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即從而（29），即系統(tǒng)對常值干擾無穩(wěn)態(tài)誤差。對（28）式兩邊做求和運(yùn)算，得到：（30）忽視初始條件x(0)與u(0)，實(shí)際限制規(guī)律為：（31）可見，u(k)由兩部分組成，一部分是狀態(tài)的比例調(diào)整，另一部分是輸出量的積分反饋，通常稱這樣的調(diào)整器為PI最優(yōu)調(diào)整器，其結(jié)構(gòu)圖如下圖所示：Cu(k)+x(k)y(k)+-L2-L1PI調(diào)整器圖1接受最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)器（Kalman濾波）來重構(gòu)系統(tǒng)的全部狀態(tài)后，PI調(diào)整器變?yōu)椋簎(k)+y(k)+-L2-L1PI調(diào)整器圖2最優(yōu)估計(jì)器限制對象基于二次型性能指標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)調(diào)整系統(tǒng)PI限制器步驟如下：（1）按式（23）組成矩陣；（2）給定二次型性能指標(biāo)函數(shù)，并合適地給定加權(quán)矩陣Q1，Q2；（3）針對狀態(tài)方程式（22），按最優(yōu)限制設(shè)計(jì)出限制規(guī)律；（4）選擇最優(yōu)估計(jì)器的類型（預(yù)報估計(jì)器，現(xiàn)時估計(jì)器）；（5）應(yīng)用Kalman濾波公式計(jì)算出最優(yōu)估計(jì)器增益矩陣K；（6）按圖2的結(jié)構(gòu)圖組成PI調(diào)整器。由第三章的內(nèi)容可知，引入?yún)⒖驾斎牒笙拗破鞯臉?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程為：（32）當(dāng)接受現(xiàn)時的Kalman濾波時（相當(dāng)于現(xiàn)時預(yù)報觀測器）有：（33）（一）一般跟蹤系統(tǒng)第五節(jié)跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì)當(dāng)接受一步預(yù)報的Kalman濾波時有：（34）依據(jù)一般結(jié)構(gòu)限制器標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程，按如下三種方式引入?yún)⒖驾斎耄鲆婢仃嘙和N的選擇方法如下：1、方式1，即參考輸入的引入不影響觀測器的狀態(tài)重構(gòu)的狀況。對于現(xiàn)時Kalman濾波器，有（35）對于一步預(yù)報的Kalman濾波器，有（36）（1）的選擇：（2）N的選擇：（37）若對象中包含積分環(huán)節(jié)，上式簡化為：（38）2、方式2，即僅用誤差進(jìn)行限制，此時有（39）3、方式3（只適合單輸入/輸出系統(tǒng)）：隨意選擇M和N，以滿足零點(diǎn)配置及靜態(tài)精度的要求。若給定D1(z)的零點(diǎn)多項(xiàng)式，則有由此得到：（40）（41）N值由（37）式或（38）式確定。（二）積分限制的引入問題的提出：系統(tǒng)對脈沖型干擾具有很好的抑制作用，但對于階躍或常值干擾，將具有穩(wěn)態(tài)誤差。緣由分析：限制規(guī)律為比例反饋（線性反饋），限制器中沒有積分作用。解決方法：限制規(guī)律中引入積分作用。由前述積分限制的引入內(nèi)容（參考圖1），不考慮狀態(tài)估計(jì)器，可以得到引入?yún)⒖驾斎霑r相應(yīng)的跟蹤系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3。Cu(k)+x(k)y(k)_L2L1限制器圖3包含積分限制的跟蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖ue(k)+_e(k)r(k)依據(jù)圖3，得到限制器方程為：（49）其中L1和L2仍按第一節(jié)介紹的PI調(diào)整器的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。對于這樣的限制器結(jié)構(gòu)，對于常值參考輸入以及在常值干擾作用下，均不存在穩(wěn)態(tài)誤差。圖5中，仍舊要求全部狀態(tài)干脆反饋，這在實(shí)