高等數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)

高等數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日1.集合集合(簡(jiǎn)稱集):集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。集合用A，B，M等表示。元素:組成集合的事物稱為集合的元素。a

是集合M的元素表示為aM。集合的表示:(1)A={a,b,c,d,e,f,g}。

(2)M={(x,y)|x，y為實(shí)數(shù)，x2+y2=1}。一、集合常量與變量第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日幾個(gè)數(shù)集:

N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合，稱為自然數(shù)集。

R表示所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，稱為實(shí)數(shù)集。

Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合，稱為整數(shù)集。

Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合，稱為有理集。子集:

若xA，則必有xB，則稱A是B

的子集，記為AB（讀作A包含于B）。顯然，N

Z

，Z

Q

，Q

R

。第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

數(shù)集{x|a<x<b}稱為開(kāi)區(qū)間，記為(a,b)，即(a,b)={x|a<x<b}。xOab(a，b)[a,b]={x|axb}稱為閉區(qū)間。xOab[a，b][a,b)={x|ax<b}及(a,b]={x|a<xb}稱為半開(kāi)區(qū)間。xOab[a，b)xOab(a，b]區(qū)間:

上述區(qū)間都是有限區(qū)間，其中a

和b

稱為區(qū)間的端點(diǎn)，b-a

稱為區(qū)間的長(zhǎng)度。第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

xOa[a，+)xOb(-

，b](-,b]={x|xb}，(-,+)={x||x|<+}。[a,+)={x|ax}，以下區(qū)間稱為無(wú)限區(qū)間：xOb(-

，b)(-,b)={x|xb}，(a,+)={x|ax}，axO(a，+)第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日鄰域:

以點(diǎn)a

為中心的任何開(kāi)區(qū)間稱為點(diǎn)

a

的鄰域，記作U(a)。設(shè)>0，則稱區(qū)間(a-,a+)為點(diǎn)a

的鄰域，記作U(a,)，即U(a,)={x|a-<x<a+}={x||x-a|<}。其中點(diǎn)a

稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑。去心鄰域:(a,)={x|0<|x-a|<}。xOa-da+dU(a,)，xOa-da+d(a，d)a第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日2.常量與變量在觀察自然現(xiàn)象或技術(shù)過(guò)程時(shí)，常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過(guò)程中不起變化始終只取同一數(shù)值，這種量叫做常量。常用字母為a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。

常量與變量用什么符號(hào)不是絕對(duì)的，但應(yīng)尊重?cái)?shù)學(xué)的習(xí)慣。

還有一些量在過(guò)程中是變化著的，也就是可以取不同的數(shù)值，這種量叫做變量。常用字母為x，y，z，u，v，w，s，t

等。

變量x

所取數(shù)值的全體組成的數(shù)集M稱為變量

x

的變域，此時(shí)

x

表示數(shù)集M中任何一個(gè)元素。第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

二、函數(shù)概念1.舉例圓的面積的計(jì)算公式為A=pr2，半徑r可取(0,+)內(nèi)的任意值。

由落體下落距離的計(jì)算公式為s=-

gt2，t可取[0,T]內(nèi)的任意值。12

圓內(nèi)接正n邊形的周長(zhǎng)的計(jì)算公式為

Sn=2nrsin-，n可取3，4，5，

。pn第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日2.函數(shù)的定義設(shè)x

和y

是兩個(gè)變量，D

是一個(gè)給定的數(shù)集。如果對(duì)于每個(gè)數(shù)xD，變量y

按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y

是x

的函數(shù)，記作y=f(x)。定義中，數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量。函數(shù)符號(hào):

函數(shù)y=f(x)中表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的記號(hào)f也可改用其它字母，例如j、F等。此時(shí)函數(shù)就記作y=j(x)，y=F(x)。第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日值域：W={y|y=f(x)，xD}。定義域：

在數(shù)學(xué)中，有時(shí)不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，而抽象地研究用算式表達(dá)的函數(shù)。這時(shí)約定函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值。函數(shù)值：當(dāng)x取數(shù)值x0D時(shí)，與x0對(duì)應(yīng)的y的數(shù)值稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記為f(x0)。第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日求函數(shù)的定義域舉例：

解:要使函數(shù)有意義，必須x0，且x2-430。解不等式得|x|32。函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

D={x||x|32}，或D=(-￥,2][2,+￥)。第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日3.函數(shù)的圖形在坐標(biāo)系xOy內(nèi)，集合

C={(x,y)|y=f(x)，xD}所對(duì)應(yīng)的圖形稱為函數(shù)y=f(x)的圖形。OyxC(x,y)xyWDy=f(x)第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值問(wèn)題只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。以后凡是沒(méi)有特別說(shuō)明時(shí)，函數(shù)都是指單值函數(shù)。4.函數(shù)舉例

例1.

在直角坐標(biāo)系中，由方程x2+y2=r2確定了一個(gè)函數(shù)。對(duì)于任意x(-r,r)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有兩個(gè)：第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

例2.

函數(shù)y=2。函數(shù)的定義域?yàn)镈=(-,+)。函數(shù)的值域?yàn)閃={2}。函數(shù)的圖形為一條平行于x

軸的直線。yOxy=22第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

函數(shù)的定義域?yàn)镈=(-,+)。函數(shù)的值域?yàn)閃=[0,+)。yxOy=|x|

x,x0-x,x<0y=|x|=稱為絕對(duì)值函數(shù)。

例3.

函數(shù)第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

函數(shù)的定義域?yàn)镈=(-,+)。函數(shù)的值域?yàn)閃={-1,0,1}。

O

xy21-1-2y=sgnx1,當(dāng)x>00,當(dāng)x=0-1,當(dāng)x<0

例4.

函數(shù)y

=sgnx

=

稱為符號(hào)函數(shù)。

第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

例5.

函數(shù)y=[x]稱為取整函數(shù)。

函數(shù)的定義域?yàn)镈=(-,+)，函數(shù)的值域?yàn)閃

=Z-5-4-3-2-1O12345

xy54321-1-2-3-4-5y=[x]第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

函數(shù)的定義域?yàn)镈=[0,1](0,+)=[0,+)。f

(3)=1+3=4。xy=2y=1+xy=f(x)y321O123x第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D形特點(diǎn)：y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方。y=K1y=f(x)Oxy1.函數(shù)的有界性設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義。如果存在數(shù)K1，使對(duì)任一xX，有f(x)K1，則稱函數(shù)f(x)在X上有上界，而稱K1為函數(shù)

f(x)在X上的一個(gè)上界。三、函數(shù)的幾種特性第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

如果存在數(shù)K2，使對(duì)任一xX，有f(x)K2，則稱函數(shù)f(x)在X上有下界，而稱K2為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界。圖形特點(diǎn)：函數(shù)y=f(x)的圖形在直線y=K2的上方y(tǒng)=K1y=f(x)Oxy第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日有界函數(shù)的圖形特點(diǎn)：函數(shù)y=

f(x)的圖形在直線y=

-M和y=

M的之間。

如果存在數(shù)M，使對(duì)任一xX，有|f(x)|M，則稱函數(shù)f(x)在X上有界；如果這樣的M不存在，則稱函數(shù)f(x)在X上是無(wú)界函數(shù)，就是說(shuō)對(duì)任何M，總存在x1X，使|f(x)|>M。y=f(x)Oxyy=-Ky=K第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日函數(shù)的有界性舉例：f(x)=sinx在(-,+)上是有界的：

|sinx|1。-11yxO-2p-pp2py=sinx第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日Oxy12y=1/x

函數(shù)f(x)=1/x在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)是無(wú)界的。無(wú)界函數(shù)舉例：

函數(shù)f(x)=1/x在(0,1)內(nèi)有下界，無(wú)上界。這是因?yàn)?，任取M>1，總有0<x1<M-1<1，使f(x1)>M，所以函數(shù)無(wú)上界。

此函數(shù)在(1,2)內(nèi)是有界的。第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日2.函數(shù)的單調(diào)性x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)

設(shè)函數(shù)y=

f(x)在區(qū)間I上有定義。如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的。第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的。f(x1)>f(x2)，

如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，恒有

單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日3.函數(shù)的奇偶性O(shè)xy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函數(shù)舉例：y=x2，y=cosx都是偶函數(shù)

偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱。

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果對(duì)于任意的xD，有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。第二十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日奇偶函數(shù)舉例：

y=x3