高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容疑難分析與解決

高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容疑難分析與解決第一頁，共五十三頁，2022年，8月28日一、高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容疑難問題對抽象性強(qiáng)的內(nèi)容不適應(yīng)不理解如：函數(shù)及其性質(zhì)；反函數(shù)概念等對涉及多個概念的綜合性問題無思路無辦法如：函數(shù)的奇偶性與周期性問題；函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)與數(shù)列、不等式的綜合性問題等第二頁，共五十三頁，2022年，8月28日一、高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容疑難問題缺乏對學(xué)習(xí)內(nèi)容的作用和意義的認(rèn)識如：為什么引入極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程所學(xué)各部分知識處于分散狀態(tài)，沒有形成有機(jī)聯(lián)系，缺乏對學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性把握對蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)知識之中的數(shù)學(xué)思想體會不深理解不透缺乏數(shù)學(xué)美的感受，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)少有興趣缺乏對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值的認(rèn)識第三頁，共五十三頁，2022年，8月28日二、問題解決途徑和方法深刻理解把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)和特征用聯(lián)系的觀點和整體的視角指導(dǎo)課堂教學(xué)充分認(rèn)識數(shù)學(xué)史的教育價值，將數(shù)學(xué)史有效融入數(shù)學(xué)教學(xué)高度重視數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)作用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力充分認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力第四頁，共五十三頁，2022年，8月28日（一）、數(shù)學(xué)的本質(zhì)恩格斯對數(shù)學(xué)的含義作過如下的表述：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)。（《反杜林論》，第3頁，人民出版社，1970）數(shù)學(xué)是一門撇開內(nèi)容，只研究形式和關(guān)系的科學(xué)，而且首要的是研究數(shù)量的和空間的關(guān)系及其形式。（《哲學(xué)百科全書》）第五頁，共五十三頁，2022年，8月28日（一）、數(shù)學(xué)的本質(zhì)數(shù)學(xué)是關(guān)于模式和秩序的科學(xué)。數(shù)學(xué)是研究思想事物的，它不是鉛筆和粉筆寫下的符號，也不是物質(zhì)的三角形或物質(zhì)的集合，而是思想。（R.Hersh（赫斯），1979）第六頁，共五十三頁，2022年，8月28日（二）、數(shù)學(xué)的本質(zhì)數(shù)學(xué)是一個由概念、命題、公式、法則、問題、方法、思想、符號語言等多種成分組成的復(fù)合體。數(shù)學(xué)是一門演算的科學(xué)。（林夏水）數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。（普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗），中華人民共和國教育部制訂，2003.4）第七頁，共五十三頁，2022年，8月28日（二）、數(shù)學(xué)的特有屬性

1、高度抽象性

2、嚴(yán)格的邏輯演繹性

3、獨立性

4、廣泛應(yīng)用性第八頁，共五十三頁，2022年，8月28日（二）、數(shù)學(xué)的特有屬性

1、高度抽象性

數(shù)學(xué)是研究抽去了具體內(nèi)容的形式或關(guān)系的一門科學(xué)，它用符號語言來表示具有高度概括性的抽象概念

數(shù)學(xué)對象沒有任何物質(zhì)的特征第九頁，共五十三頁，2022年，8月28日（二）、數(shù)學(xué)的特有屬性

2、嚴(yán)格的邏輯演繹性

數(shù)學(xué)的結(jié)果是從一些基本概念和公理出發(fā)采用嚴(yán)格的邏輯演繹方法得到的

數(shù)學(xué)的演繹推理是無須爭辯和確定無疑的第十頁，共五十三頁，2022年，8月28日（二）、數(shù)學(xué)的特有屬性

3、獨立性數(shù)學(xué)不需要昂貴的儀器設(shè)備數(shù)學(xué)很大程度上獨立于政治與社會系統(tǒng)第十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日（二）、數(shù)學(xué)的特有屬性

4、廣泛應(yīng)用性

數(shù)學(xué)在天文、物理、化學(xué)、生物等自然科學(xué)中有廣泛應(yīng)用數(shù)學(xué)在工程技術(shù)，特別是高新技術(shù)中有廣泛應(yīng)用美國前總統(tǒng)科學(xué)顧問艾德華·大衛(wèi)說：“高新技術(shù)在本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)?！钡谑?，共五十三頁，2022年，8月28日（三）、數(shù)學(xué)史的教育價值了解數(shù)學(xué)的發(fā)展過程和來龍去脈認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)培養(yǎng)創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣第十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日（三）、數(shù)學(xué)史的教育價值1、數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展大約從公元前一萬年開始，人類進(jìn)入新石器時代，開始制造和使用磨制石器，發(fā)明了陶器，出現(xiàn)了原始農(nóng)業(yè)、畜牧業(yè)和手工業(yè)。由于生產(chǎn)的發(fā)展和產(chǎn)品的豐富，出現(xiàn)了生活用品的交換，在這一過程中就必須進(jìn)行計算，由此產(chǎn)生了各種不同的記數(shù)和計算方法。第十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日（三）、數(shù)學(xué)史的教育價值原始人用手指、腳趾記數(shù)和計算，如英文單詞“digit”，既有數(shù)字(0到9中的任何一個數(shù)字)的含義，又表示手指、腳趾。記數(shù)方法還有石塊、結(jié)繩、木棒、龜甲、竹片或骨頭上的刻痕等，如1937年在捷克發(fā)現(xiàn)的一根幼狼脛骨，長為18cm，上面有55道刻痕。據(jù)考證，這一文物存在于約三萬年前，它的歷史表明，數(shù)的概念先于文字。第十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日（三）、數(shù)學(xué)史的教育價值約五千多年前，出現(xiàn)了書寫記數(shù)系統(tǒng)：(1)古埃及草片文書上的象形數(shù)字(公元前3400年左右)第十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日（三）、數(shù)學(xué)史的教育價值(2)巴比倫泥板上的楔形數(shù)字(公元前2400年左右)第十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日（三）、數(shù)學(xué)史的教育價值(3)中國的甲骨文數(shù)字(公元前1600年左右)第十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日(4)印度——阿拉伯?dāng)?shù)字(公元六世紀(jì)，印度)(公元十世紀(jì)，阿拉伯)(公元15世紀(jì))(公元16世紀(jì))(現(xiàn)代的國際通用阿拉伯?dāng)?shù)字)第十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日

2、函數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展1）文字語言表述函數(shù)（1608年）伽利略在創(chuàng)立的近代力學(xué)著作《兩門新科學(xué)》中，提出了許多函數(shù)關(guān)系，如：（a）從靜止?fàn)顟B(tài)開始自由下降的物體所經(jīng)過的距離與所用時間的平方成正比；（b）沿著同高度但不同坡度的傾斜平板下滑的物體，其下滑的時間與平板的長度成正比第二十頁，共五十三頁，2022年，8月28日

2、符號表示伽利略在提出上述文字語言表述15年后，給出了它們的符號表示：

s=kt2,t=kl3、具體函數(shù)（曲線）在函數(shù)概念尚未提出時，因動點軌跡的研究，產(chǎn)生了一些具體函數(shù)（曲線），如：

y=logx,y=sinx,y=arctanx等第二十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日4、函數(shù)概念的提出1673年，“函數(shù)”（function）概念首次由萊布尼茲提出，用來表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量，例如：切線，法線，次法線等的長度以及縱坐標(biāo)等

5、函數(shù)概念的第一次抽象概括1718年，約翰·貝努利給出如下定義：“由一個變量x與常量構(gòu)成的任意表達(dá)式，稱為x的函數(shù)”，記為x。這里，任意表達(dá)式的構(gòu)成方式是指算術(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算第二十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日6、第二次抽象概括1748年，歐拉在他的著作《無窮小分析引論》中提出函數(shù)概念的如下定義：“函數(shù)是指由一個變量與一些常量，通過任何方式形成的解析表達(dá)式。”記為f（x）。這里，解析表達(dá)式包括多項式、冪級數(shù)、對數(shù)表達(dá)式、三角表達(dá)式、變量的無理次冪函數(shù)以及用積分表達(dá)的函數(shù)，如1755年，歐拉又給出如下定義：“如果某些量以如下方式依賴于另一些量，即當(dāng)后者變化時，前者本身也發(fā)生變化，則稱前一些量是后一些量的函數(shù)。”第二十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日7、第三次抽象概括

1797年，Lacroix引入了一個更廣的函數(shù)概念：“每一個量，若其值依賴于一個或幾個別的量，就稱它為后者的函數(shù)，不管人們知不知道用何種必要的運(yùn)算可以從后者得到?！钡诙捻?，共五十三頁，2022年，8月28日8、第四次抽象概括1821年，柯西在他的著作《代數(shù)分析教程》中，先給出變量的定義：“人們把依次取許多互不相同的值的量叫做變量?！敝蠼o出函數(shù)的定義：“當(dāng)變量之間這樣聯(lián)系的時候，即給定了這些變量中的一個的值，就可以決定所有其它變量的值的時候，人們通常想象這些量是用其中的一個來表達(dá)的，這時這個量就取名為自變量，而由這個自變量表示的其它量就叫做這個自變量的函數(shù)?！钡诙屙?，共五十三頁，2022年，8月28日9、第五次抽象概括1837年，狄利克雷在一篇論文中給出函數(shù)的定義如下：“如果對于給定區(qū)間上的每一個x的值，有唯一的一個y的值同它對應(yīng)，那么y就是x的一個函數(shù)。至于在整個區(qū)間上y是否按照一種或多種規(guī)律依賴于x，或者y依賴于x是否可用數(shù)學(xué)運(yùn)算來表達(dá)，那是無關(guān)緊要的?！彼o出了一個x的函數(shù)的例子：第二十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日10、第六次抽象概括19世紀(jì)末至20世紀(jì)初，出現(xiàn)了函數(shù)概念的推廣，即取消了自變量的取值范圍都是區(qū)間的限制，自變量x的取值可以是任一數(shù)集第二十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日11、第七次抽象概括20世紀(jì)初至三十年代，維布倫等在更廣意義的變量概念基礎(chǔ)上定義函數(shù)。所謂變量，就是代表事物的集合中任一事物的記號。由變量所代表的任一事物稱為該變量的值。據(jù)此，函數(shù)的定義如下：“若在變量y的集合與另一變量x的集合之間，有這樣的關(guān)系成立，即：對x的每一個值，有完全確定的y值與之對應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)”第二十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日（四）高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想

首先，我們給出數(shù)學(xué)思想的涵義

思想：1、客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。（《現(xiàn)代漢語詞典》）

2、思維活動的結(jié)果，屬于理性認(rèn)識，亦稱“觀念”。（《辭?！罚┑诙彭摚参迨?，2022年，8月28日

數(shù)學(xué)思想：是對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識，是在數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點，它在認(rèn)識活動中被反復(fù)運(yùn)用，并帶有普遍的指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)理論及用數(shù)學(xué)解決問題的指導(dǎo)數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識的關(guān)系：數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)知識之中。數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)這個有機(jī)體的軀干，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。第三十頁，共五十三頁，2022年，8月28日（四）高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想

（1）符號思想（2）集合思想（3）函數(shù)與方程思想（4）數(shù)形結(jié)合思想（5）分類思想（6）逼近思想第三十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日（四）高中數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想

（7）變換與轉(zhuǎn)化思想（8）特殊化與一般化思想（9）統(tǒng)計思想（10）概率思想（11）歸納思想（12）類比思想第三十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日（五）、數(shù)學(xué)的科學(xué)和人文價值

主要體現(xiàn)在如下四個方面：數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)在技術(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用數(shù)學(xué)在社會科學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)在人的發(fā)展中的作用第三十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日1、數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的應(yīng)用

（1）數(shù)學(xué)與物理學(xué)近代科學(xué)之父伽利略（1564—1642）說：“數(shù)學(xué)符號就是上帝用來書寫自然這一偉大著作的統(tǒng)一語言，不了解這些文字就不可能懂得自然的統(tǒng)一語言，只有用數(shù)學(xué)概念和公式所表達(dá)的物理世界性質(zhì)才可認(rèn)識。”伽利略應(yīng)用數(shù)學(xué)知識首次提出慣性、加速度等概念，發(fā)現(xiàn)自由落體定律并用數(shù)學(xué)公式表述。第三十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日開普勒（1571—1630）發(fā)現(xiàn)的行星運(yùn)動三大定律都是用數(shù)學(xué)語方表述的：1、行星的運(yùn)行軌道是橢圓，太陽居其焦點；2、在相等的時間內(nèi)，行星與太陽之間的連線掃過的面積相等；3、行星公轉(zhuǎn)周期的平方與行星和太陽之間的平均距離成正比。牛頓（1643—1727）的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（1687）就是用數(shù)學(xué)刻畫萬有引力定律、動力學(xué)定律以及宇宙體系。第三十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日電磁場理論幾乎是純數(shù)學(xué)理論。愛因斯坦相對論的創(chuàng)立與數(shù)學(xué)緊密相關(guān)，閔可夫斯基幾何為狹義相對論提供了合適的數(shù)學(xué)模型，張量分析是建立廣義相對論的數(shù)學(xué)工具?；艚鹩脭?shù)學(xué)方法嚴(yán)格證明了愛因斯坦方程中奇點的存在性，并由此提出宇宙大爆炸和黑洞學(xué)說。規(guī)范場是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)（楊振寧，1975）第三十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日（2）數(shù)學(xué)與生物學(xué)德國哲學(xué)家康德曾經(jīng)這樣說道：“我堅決認(rèn)為，任何一門自然科學(xué)，只有當(dāng)它數(shù)學(xué)化之后，才能稱得上是真正的科學(xué)?！瘪R克思也說過：“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了真正完善的地步?！?0世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)與生物學(xué)建立了緊密聯(lián)系，產(chǎn)生了許多新的學(xué)科，例如，數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)量生理學(xué)、數(shù)量遺傳學(xué)、細(xì)胞動力學(xué)、人口動力學(xué)等。第三十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日1926年，意大利數(shù)學(xué)家伏爾泰拉提出著名的伏爾泰拉方程，用以成功解釋了生物學(xué)家在地中海觀察到的不同魚類周期消長的現(xiàn)象描述神經(jīng)脈沖傳導(dǎo)過程的數(shù)學(xué)模型是Hodgkin-Huxley方程（1952），這項工作獲得1963年諾貝爾醫(yī)學(xué)和生理學(xué)獎。第三十八頁，共五十三頁，2022年，8月28日描述視覺系統(tǒng)側(cè)抑制作用的數(shù)學(xué)模型是Hartline-Rutliff方程（1958），這項工作獲得1967年度諾貝爾醫(yī)學(xué)和生理學(xué)獎。DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)和DNA鏈中堿基的排序方面的新成就，是數(shù)學(xué)家與生物學(xué)家共同合作的成果，其中用到代數(shù)拓?fù)?、統(tǒng)計學(xué)、組合數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的知識。第三十九頁，共五十三頁，2022年，8月28日（3）數(shù)學(xué)與化學(xué)

數(shù)學(xué)在化學(xué)中的作用日益廣泛和深入數(shù)學(xué)與化學(xué)的結(jié)合產(chǎn)生了許多交叉學(xué)科，如數(shù)理化學(xué)、化學(xué)動力學(xué)、分子拓?fù)鋵W(xué)、計算化學(xué)等。群論在化學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，如分子對稱性、晶體結(jié)構(gòu)的研究都使用了群論方法。第四十頁，共五十三頁，2022年，8月28日2、數(shù)學(xué)在技術(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用

（1）20世紀(jì)最偉大的技術(shù)成就是電子計算機(jī)的發(fā)明與應(yīng)用，而計算機(jī)的產(chǎn)生源于數(shù)學(xué)，其創(chuàng)始人是數(shù)學(xué)家圖林（1936）和馮·諾依曼（1945），計算機(jī)科學(xué)的每一步進(jìn)展都與數(shù)學(xué)緊密相關(guān)。第四十一頁，共五十三頁，2022年，8月28日(2)20世紀(jì)醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中最偉大的發(fā)明是CT技術(shù)，CT理論的核心是數(shù)學(xué)中的Radon變換，創(chuàng)立CT理論的柯馬克和第一臺CT研制者洪斯菲爾德獲得了1979年諾貝爾醫(yī)學(xué)和生理學(xué)獎。20世紀(jì)80年代后期興起的核磁共振顯像（MRI）的主要技術(shù)之一也是數(shù)學(xué)方面的，用到傅立葉變換的快速精確的反演。第四十二頁，共五十三頁，2022年，8月28日

(3)王選的“漢字激光照排系統(tǒng)”是畢昇活字印刷術(shù)后中國印刷技術(shù)的第二次革命，其中的核心思想是數(shù)學(xué)思想。

(4)運(yùn)用數(shù)學(xué)的現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)還有很多，如，數(shù)值天氣預(yù)報、數(shù)字地球、安全技術(shù)、現(xiàn)代軍事、飛行器設(shè)計等。第四十三頁，共五十三頁，2022年，8月28日3、數(shù)學(xué)在社會科學(xué)中的應(yīng)用

（1）數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)

20世紀(jì)40年代以來，經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的數(shù)學(xué)化開始出現(xiàn)，1944年，馮·諾伊曼與摩根斯坦合著的《博弈論與經(jīng)濟(jì)行為》提出競爭的數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)問題，由此創(chuàng)立了一門新的學(xué)科——數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)

第四十四頁，共五十三頁，2022年，8月28日

（1）數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)20世紀(jì)50年代以來，數(shù)學(xué)方法在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中占據(jù)了主要地位

自1969年設(shè)立諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎以來，至今共有獲獎?wù)?0位，其中近80%獲獎?wù)叩墓ぷ髋c數(shù)學(xué)緊密相關(guān)第四十五頁，共五十三頁，2022年，8月28日

（2）數(shù)學(xué)與語言學(xué)從19世紀(jì)中葉開始，許多數(shù)學(xué)家和語言學(xué)家進(jìn)行了用數(shù)學(xué)方法研究語言學(xué)問題的實踐，數(shù)學(xué)與語言學(xué)的結(jié)合形成了一門新興學(xué)科——數(shù)理語言學(xué)數(shù)理語言學(xué)用數(shù)學(xué)方法研究語言現(xiàn)象，并加以定量化和形式化的描述，它包括三個主要分支：

第四十六頁，共五十三頁，2022年，8月28日

（2）數(shù)學(xué)與語言學(xué)

a、統(tǒng)計語言學(xué)：主要是應(yīng)用統(tǒng)計程序處理語言資料，如統(tǒng)計語言單位（音素、字母或詞匯項）的出現(xiàn)頻率；研究作者的文體風(fēng)格（計算風(fēng)格學(xué)）

b、代數(shù)語言學(xué)

c、算法語言學(xué)第四十七頁，共五十三頁，2022年，8月28日

（2）數(shù)學(xué)與語言學(xué)數(shù)理語言學(xué)中使用了概率論與數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)理邏輯、集合論、圖論等多個數(shù)學(xué)理論，取得了許多重要的研究成果。例如，使用計算風(fēng)格學(xué)方法，確認(rèn)了肖洛霍夫就是《靜靜的頓河》的原作者，解決了蘇聯(lián)文壇的一大疑案，使用