高中數(shù)學(xué)柯西不等式

關(guān)于高中數(shù)學(xué)柯西不等式第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日說教材說學(xué)情

說目標(biāo)說教法說學(xué)法

說教學(xué)過程柯西不等式（一）第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日

柯西不等式是人教A版選修4－5不等式選講中第三講的內(nèi)容，是學(xué)生繼平均值不等式后學(xué)習(xí)的又一個經(jīng)典不等式，它在教材中起著承前啟后的作用：一方面可以鞏固學(xué)生對不等式的基本證明方法的掌握，另一方面又為后面學(xué)習(xí)三角不等式、排序不等式打下了基礎(chǔ)。運用柯西不等式可以解決中學(xué)數(shù)學(xué)中一些比較典型的數(shù)學(xué)問題，例如：證明不等式、求最值等。本節(jié)課是柯西不等式的第一課時，主要內(nèi)容是柯西不等式的二維形式的推導(dǎo)和應(yīng)用。（一）、教材的地位和作用：一、說教材第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日教學(xué)重點：教學(xué)難點：1、柯西不等式的二維形式的推導(dǎo)和應(yīng)用；2、通過運用柯西不等式的二維形式來解決一些簡單問題，體會運用經(jīng)典不等式的一般方法——發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的聯(lián)系，經(jīng)過適當(dāng)變形，以經(jīng)典不等式為依據(jù)得出具體問題的不等關(guān)系。柯西不等式的二維形式的應(yīng)用關(guān)鍵點：理解柯西不等式的二維形式的結(jié)構(gòu)特點一、說教材

（二）、教學(xué)重點、難點第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（三）、教材處理

一、說教材

向量的數(shù)量積的性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識生長點”。根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)理論，我將課本中通過讓學(xué)生類比不等式猜想關(guān)于的不等關(guān)系得出柯西不等式的二維形式的處理方法改為先讓學(xué)生證明不等式，通過對該不等式作進(jìn)一步探究,發(fā)現(xiàn)了柯西不等式的二維形式，并由此順著學(xué)生思路層層深入地設(shè)計問題來展開教學(xué)，使學(xué)生在探究活動中掌握了柯西不等式二維形式的推導(dǎo)和應(yīng)用。第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日二、說學(xué)情

該班學(xué)生基礎(chǔ)比較扎實，求知欲較強(qiáng)，具備一定的觀察、分析、邏輯推理能力。在學(xué)習(xí)本課前已掌握證明不等式的基本方法，以及向量的數(shù)量積的性質(zhì)。這個性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識生長點”。第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日三、說目標(biāo)通過創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，然后探索解決問題的辦法，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、積極探索的習(xí)慣和邏輯推理能力。

1、知識目標(biāo)：（1）理解柯西不等式的二維形式和向量形式；（2）能運用柯西不等式的二維形式解決一些簡單問題；（3）讓學(xué)生了解柯西的主要貢獻(xiàn)，貫穿數(shù)學(xué)史教育。2、能力目標(biāo)：第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日四、說教法

因為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實際上是學(xué)生完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，教師的職責(zé)就是引導(dǎo)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，“教是為了不教”就是這一思想的反映，而探究式學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是學(xué)生的自主建構(gòu)，所以我在柯西不等式的發(fā)現(xiàn)、證明以及例題的講解中均采用問題探究式教學(xué)法：通過精心設(shè)置問題鏈，使教學(xué)過程活動化，促使學(xué)生積極主動地參與教學(xué)活動。在整個教學(xué)過程中我鼓勵學(xué)生互相討論，合作交流。另外我采用了多媒體進(jìn)行教學(xué)，既提高了教學(xué)效率，使得課堂各個環(huán)節(jié)緊湊，學(xué)生思維連貫順暢；又為師生、生生之間的交流提供了廣闊的平臺。第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日五、說學(xué)法

教是為了不教。在教學(xué)過程中我注意指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，通過啟發(fā)教給學(xué)生獲取知識的途徑，思考問題的方法。在教學(xué)活動中，我通過肯定學(xué)生的正確，指出學(xué)生的錯誤，引導(dǎo)學(xué)生揭示知識內(nèi)涵，幫助學(xué)生養(yǎng)成獨立思考，積極探索的習(xí)慣。培養(yǎng)學(xué)生主動探究的學(xué)習(xí)方式。第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日六、說教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境初步運用實施探究設(shè)置懸念歸納小結(jié)理解深化第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（一）、創(chuàng)設(shè)情境設(shè)計意圖1、有效的問題能創(chuàng)設(shè)出一個充滿張力的情境，能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

2、向量的數(shù)量積的這個性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識生長點”，是學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”。

師：前面我們學(xué)習(xí)了哪幾種證明不等式的方法？師：在運用這些方法解題時需要注意哪些方面？（要注意每種方法的特點、適用范圍、及解題格式）(比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法)第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（一）、創(chuàng)設(shè)情境設(shè)計意圖1、有效的問題能創(chuàng)設(shè)出一個充滿張力的情境，能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

2、向量的數(shù)量積的這個性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識生長點”，是學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”。

師：前面我們學(xué)習(xí)了哪幾種證明不等式的方法？師：在運用這些方法解題時需要注意哪些方面？（要注意每種方法的特點、適用范圍、及解題格式）(比較法、分析法、綜合法、反證法、放縮法)問題1：當(dāng)滿足什么條件時，不等式取等號？問題2：取消已知中的“非零”，不等式還成立嗎？問題3：第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（二）、實施探究設(shè)計意圖

用數(shù)學(xué)家成才的故事，鼓勵學(xué)生要有敢于克服困難的決心和勇氣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能動性。

柯西（Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857）是法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。1811及1812年向法國科學(xué)院提交了兩篇關(guān)于多面體的論文，在數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。1816年（27歲）成為巴黎綜合工科學(xué)校教授，并當(dāng)選為法國科學(xué)院院士.柯西對高等數(shù)學(xué)的大量貢獻(xiàn)包括：無窮級數(shù)的斂散性，實變和復(fù)變函數(shù)論,微分方程，行列式，概率和數(shù)理方程等方面的研究．目前我們所學(xué)的極限和連續(xù)性的定義，導(dǎo)數(shù)的定義，以及微分、定積分用無窮多個無窮小的和的極限定義，實質(zhì)上都是柯西給出的。他的臨終名言是“人總是要死的，但是，他們的業(yè)績永存．”第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（二）、實施探究設(shè)計意圖

因為不同的學(xué)生在認(rèn)知方式和思維策略上存在著差異。學(xué)生間的交流是學(xué)生完善認(rèn)知建構(gòu)的催化劑。所以我這樣設(shè)計來激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維活動。問題4：能否用不同的方法證明柯西不等式的二維形式？

(要求學(xué)生寫出完整的證明過程，巡堂，將學(xué)生中出現(xiàn)的各種典型證法用投影儀投影出來，讓學(xué)生比較、分析、評價)第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（二）、實施探究設(shè)計意圖1、掌握柯西不等式的二維形式的結(jié)構(gòu)特點是突破本節(jié)難點的關(guān)鍵。2、可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析，歸納能力，同時，讓學(xué)生成為發(fā)現(xiàn)者，可以增加學(xué)生的成就感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。有助于學(xué)生學(xué)習(xí)情緒的進(jìn)一步高漲。問題5：請仔細(xì)觀察柯西不等式的二維形式，想一想，它的結(jié)構(gòu)有什么特點？（引導(dǎo)學(xué)生通過類比基本不等式的結(jié)構(gòu)特點，觀察、分析，相互探討，歸納出：“平方的和的乘積不小于乘積的和的平方”的特點）第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（三）、初步運用設(shè)計意圖1、通過比較各種證明方法，凸顯柯西不等式在解題中的優(yōu)越性。(要求學(xué)生寫出完整的證明過程，巡堂，將學(xué)生中出現(xiàn)的各種典型證法用投影儀投影出來，讓學(xué)生比較、分析、評價)第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（三）、初步運用設(shè)計意圖1、讓學(xué)生在解決問題的過程中體會用柯西不等式的二維形式解決問題的方法。2、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本點，也是形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的核心成分這樣設(shè)計既突出了教學(xué)重點又化解了教學(xué)難點，還使學(xué)生的思維得到了鍛煉

(留給學(xué)生足夠的思考時間，鼓勵學(xué)生合作交流。一段時間后，請做出來的同學(xué)談?wù)勈窃鯓诱业浇忸}思路的，再讓未做出來的學(xué)生談?wù)勊悸氛系K之處，其他同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充，教師適時點撥，最終體會到解題的方法。)第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（四）、理解深化設(shè)計意圖1、讓學(xué)生在反思中加深了對用柯西不等式的二維形式解題的方法的理解。2、讓學(xué)生在歷練中暴露了思維障礙之處，教師在此適當(dāng)加予點撥，就能取得很好的教學(xué)效果。這是本節(jié)課的升華之處。

問題6：例1和例2都可以用柯西不等式進(jìn)行證明，但證明過程有何區(qū)別？（引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，然后個別提問，再和其他學(xué)生分析、評價）

（引導(dǎo)學(xué)生思考、交流，然后個別提問，再和其他學(xué)生分析、評價）不等式①：不等式②：問題7：第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（四）、理解深化設(shè)計意圖及時鞏固所學(xué)知識和方法體會第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（五）、歸納小結(jié)設(shè)計意圖

讓學(xué)生在歸納小結(jié)的過程中將所學(xué)的知識條理化、系統(tǒng)化。而注重數(shù)學(xué)方法的提煉，可幫助學(xué)生逐漸把經(jīng)驗內(nèi)化成能力。問題8：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？體驗到什么？1、知識總結(jié)：2、思想方法總結(jié)：

認(rèn)識事物的過程實質(zhì)就是“觀察－發(fā)現(xiàn)、猜想－論證－應(yīng)用－再發(fā)現(xiàn)－再論證－再應(yīng)用…”的過程第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（六）、設(shè)置懸念設(shè)計意圖這是本節(jié)課的一個升華之處。以問題的形式引出柯西不等式的三維、n維形式的推導(dǎo)，為下節(jié)課作好了鋪墊。既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高。問題9：柯西不等式的三維、四維、n維的形式是怎樣的？如何推導(dǎo)？問題10：還有沒有其他方法來證明柯西不等式的二維形式？第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日七、評價分析

在教學(xué)過程中我始終面對全體學(xué)生，尊重學(xué)生的個體差異。在教學(xué)中我選擇了問題探究的教學(xué)方法，，鼓勵與提倡學(xué)生用多樣化的策略解決問題。對于問題的設(shè)計、教學(xué)過程的展開、練習(xí)的安排等都盡可能地讓所有學(xué)生主動參與，提出各自解決問題的方法，并引導(dǎo)學(xué)生合作交流，吸取他人的經(jīng)驗，從而豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，提高他們的思維水平。同時這節(jié)課也是我對個性化教育的初步嘗試。第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日1、附板書設(shè)計不等式①：不等式②：第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日Bye!第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期日（一）、創(chuàng)設(shè)情境設(shè)計意圖探究的第一步是有效的問題。有效的問題能創(chuàng)設(shè)出一個充滿張力的情境，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的極大興趣。向量的數(shù)量積的這個性質(zhì)正是柯西不等式的向量形式，是這節(jié)課內(nèi)容最佳的“知識生長點”。根據(jù)知識建構(gòu)理論和“最近發(fā)展區(qū)”的教學(xué)理論我設(shè)計了這樣的引入。先讓學(xué)生證明不等式，然后通過引導(dǎo)學(xué)生對該不等式進(jìn)行探究,發(fā)現(xiàn)了柯西不等式的二維形式，問題1：當(dāng)滿足什么條件時，不等式取等號？問題2：取消已知中的“非零”，不