不定積分論文

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"摘要 1關(guān)鍵詞 1Abstract 1Keywords 2\o"CurrentDocument"1引言 3\o"CurrentDocument"2求不定積分的思想方法 31直接積分的思想方法 3\o"CurrentDocument"2.2換元積分的思想方法 3\o"CurrentDocument"2.2.1第一類換元積分的思想方法 3\o"CurrentDocument"2.2.2第二類換元積分的思想方法 3\o"CurrentDocument"2.3分部積分的思想方法 4\o"CurrentDocument"2.4拆項的思想方法 4\o"CurrentDocument"3常見的不定積分類型 4\o"CurrentDocument"4例題分析 7\o"CurrentDocument"5不定積分的方法與歸類 10\o"CurrentDocument"結(jié)束語 11謝辭 11\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn) 11對不定積分一題多解的分析（咸陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西咸陽）摘要隨著社會進(jìn)入信息時代，積分的語言已經(jīng)滲透到各個領(lǐng)域。積分的出現(xiàn)不僅是數(shù)學(xué)史上也是人類歷史上一個偉大的創(chuàng)舉。它的產(chǎn)生是由于社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步的需要促成的，也是自古以來許多數(shù)學(xué)家長期辛勤發(fā)展起來的一連串?dāng)?shù)學(xué)思想的結(jié)晶。因此，他在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。研究不定積分要重在提高自己的邏輯思維能力、科學(xué)分析能力、運用數(shù)學(xué)語言能力、聯(lián)想運算能力以及應(yīng)用能力。求解不定積分的過程對學(xué)生的科學(xué)思維和文化素質(zhì)的培養(yǎng)所起的作用極為明顯。數(shù)學(xué)與不同學(xué)科的結(jié)合形成新興學(xué)科，都體現(xiàn)了量化方法己經(jīng)成為研究經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會科學(xué)的重要方法。掌握了它，會使我們在以后的學(xué)習(xí)及工作中占有一定的優(yōu)勢。本文的題目是“對不定積分一題多解的分析”。一題多解其實就是培養(yǎng)學(xué)生的多方向性和開放性思維，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維最有效的方法。其主要解法有三種，分別是：直接積分法、換元積分法以及分部積分法。對于同一題可以用不同的方法來解。關(guān)鍵字：積分；直接積分法；換元積分法；分部積分法;一題多解IndefiniteintegralsolutionstoaproblemofexampleanalysisLiuHan(XianyangNormalUniversityCollegeofmathematicsandinformationscience,Shaanxi,Xianyang)AbstractAlongwiththesocietyintotheinformationage,theintegrallanguagehaspenetratedintoallfields?Itisnotonlytheemergenceofmathematicshistoryisalsothehistoryofthelastgreatpioneeringwork?Itiscausedbecauseofthedevelopmentofsocialeconomyandtheprogressofproductiontechnologyoftheneedtofacilityte,alsosinceancienttimes,manymathematicianslong-termharddevelopedaseriesofmathematicalthoughtcrystallization?Therefore,hewasinmathematicsandotherdisciplineshaveawiderangeofapplications?Studyofindefiniteintegralshouldfocusonimprovingtheirabilityoflogicthinking,scientificanalysisability,makinguseofthemathematicslanguageability,operationabilityandapplicationabilityofassociation.Solvingindefiniteintegralprocessonstudents'scientificthinkingandculturalqualitycultivationoftheroleisveryclear?Mathematicsanddifferentdisciplinesarecombinedtoformanewdiscipline,reflectedthequantificationmethodhasbecomethestudyofeconomics,socialscientificimportantmethod?Graspit,wewillinfutureworktooccupycertainadvantages?Thetitleofthispaperison"indefiniteintegralsolutionstoaproblemanalysis".Severalsolutionstooneproblemistocultivatethestudents‘multipiedirectionsandopenthinking,divergentthinkingofstudentsisthemosteffectivemethod?Itsmainmethodhasthreekinds,respectivelyis:thedirectintegralmethod,integrationbysubstitutionandsubsectionintegralmethod?Forthesameproblemcanusedifferentmethodstosolve?Keywords:integral:integralmethod;changingintegralmethod;subsectionintegralmethod：severalsolutionstooneproblem.1引言怎樣計算不定積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的難點和重點?不定積分的求解方法技巧性很強(qiáng),靈活性也比較大，而且對于同一個不定積分可能有多種不同的求解方法.為了開拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力，使學(xué)生能夠更好的理解和使用多種積分方法，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果，教學(xué)中往往要讓學(xué)生進(jìn)行一題多解的練習(xí).在學(xué)生初步掌握不定積分的基本積分方法后，我們不能局限于一題一解，要試圖一題多解。為了正確使用各種積分方法求解不定積分，我們必須掌握它的概念和性質(zhì)以及積分的基本公式，才能夠在以后的解題中做題自如，進(jìn)行同類遷移。2.求不定積分思想方法2.1直接積分的思想方法觀察所求積分的形式是否可用積分基本公式直接求解。2.2換元積分的思想方法2.2.1第一類換元（湊微分法）的思想方法（1） 被積函數(shù)有一個因式，主要是觀察被積函數(shù)與積分基本公式中的哪一個公式的被積函數(shù)相似,即所應(yīng)用的基本積分公式;然后再根據(jù)與基本積分公式相似的形式進(jìn)行湊微分,湊微分的目的是為了應(yīng)用積分基本公式和性質(zhì)求積分。（2） 被積函數(shù)有兩個因式時，先由一個因式找到與基本積分公式相似的公式，余下一個因式與dx結(jié)合湊微分，進(jìn)而可由積分基本公式求出結(jié)果。2.2.2第二類換元的思想方法主要可以分為以下三類：1.三角代換2.根式代換倒數(shù)代換第二類換元積分法主要是通過X=0（f）對所求積分進(jìn)行化簡。（1） 根式代換：如果被積函數(shù)中，含有因子7^市，我們可以通過x=0（f）去掉根式，以便化簡后的積分式能直接積分或使用簡單的變形湊微分后可直接用積分基本公式，故選取x=（p（t）要保證去掉根式。（2） 三角代換法：如果被積函數(shù)中，含有因式后-丘,ylx2-a2, 時,我們由根號下式子的特點，能夠聯(lián)想到三角公式的平方關(guān)系式，sin'a+co『G=1以及1+tan2a=sec2a由此來選擇x=°（f）,以此來去掉根號。當(dāng)遇到Jax'+bx+c時,先將ax2+bx+c進(jìn)行配方成J一￡,Jxf,Jxf三種形式中的一種,再用

公式或利用三角代換積分。若果遇到我們對它先進(jìn)行分母有理化，在對其分子進(jìn)行配方就可化簡為J/-F,冬2-a2,Jx2+a2三種形式中的一種，可根據(jù)上述方法進(jìn)行求解。（3）倒數(shù)代換：當(dāng)積分表達(dá)式分母中自變量的幕較高于分子時，我們可以采用t進(jìn)行化簡求解2.3分部積分的思想方法分部積分法是運用公式\udv=uv-\vdu進(jìn)行求解不定積分，通常適用于兩類不同函數(shù)相乘的積分。此法的關(guān)鍵是“，旳的選擇。通常來講，先選定辦，使選定的fdx能容易的湊出微分旳且積分后不是很復(fù)雜，“求導(dǎo)后變簡單，一次分部積分后，未積出的部分要比原來的積分J“dv簡單。如果被積函數(shù)是反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)中任意兩類函數(shù)的乘積，那么，我們可以考慮按照反、對、幕、三、指的順序來選取“，另一個函數(shù)想辦法湊成加進(jìn)行分部積分。2.4拆項的思想方法對形如f 4?這種形式的積分,我們很難進(jìn)行用以上公式進(jìn)行求解，那么我們可以J（p（x）u（x）對它進(jìn)行拆項己達(dá)到可以用以上方法求解的效果o我們把對它進(jìn)行拆項己達(dá)到可以用以上方法求解的效果o我們把J處）:心）dx可以分解為例：J吋牯7護(hù)T［忐芻+詁耳心訂專評沽護(hù)-1￥俎ctan豐 d（2+F）+In\x+1|+CV2arctan—x+In2jr+2丿118c（c\和c均為任意常數(shù)）3常見函數(shù)的積分類型（1）有理函數(shù)的積分一般情況下，是把有理函數(shù)變形為有理整函數(shù)與真分式函數(shù)之和的形式，把真分式函

數(shù)化成部分分式函數(shù)之和的形式，然后利用積分的一些方法將有理函數(shù)的積分積出來。無理函數(shù)的積分如果所求積分不能用直接積分法、換元法、分部積分法求解的話，可將無理函數(shù)通過一系列的變形化為有理三角函數(shù)或有理函數(shù)。三角函數(shù)的積分所求積分是三角函數(shù)的積分時，通常是運用三角等式進(jìn)行變換。形如fsxn^/A-和Jc。込厶的積分，可直接利用第一類換元積分法進(jìn)行計算；形如J曲皿或卜?！幻蟮姆e分當(dāng)k為正奇數(shù)時,即k=2n+l,則將可將被積函數(shù)化簡成sin2nx與sinx的乘積，再利用三角恒等式sin?+cos?=l可將正弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為余弦或余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦，如:sin*xdx=sin"44xdx=siii2nxsinxdx=—sin"xdcosx=—(1—cos2x)ndcosx或cosAxdx=cos"44xdx=cos"xcosxdx=cos"xdsiii.v=(1-sin2aj"dsiiix進(jìn)仃計算不定積分；當(dāng)代為正偶數(shù)時，即k=2x貝IJ可利用三角恒等式沁'一1一沖2「迪\l+cos2x將被積2，2函數(shù)進(jìn)行先化簡后計算。即被積表達(dá)式可化為sin'xdx函數(shù)進(jìn)行先化簡后計算。即被積表達(dá)式可化為sin'xdx=sin2nxdx=(sin'x/dx=(l-cos2.v~~2)ndxcod皿=cos”皿=(COS：x)ndx=(1+C；s2?［仏進(jìn)行計算不定積分。JsinZrxsin/AY/x、JsinZrxsin/AY/x、[cozkxcoztxdx的積分我們這里只以Jsin^COsMWx型的積分為例進(jìn)行說明，其它積分解法與此相似。當(dāng)時，我們可先利用二倍角公式對其進(jìn)行化簡后再用第一類換元積分法進(jìn)行計算。即JsmkxcQstxdx=iJsinIkxdx=--Lcos2kx+C當(dāng)R刊時，我們可以利用積化和差公式對其進(jìn)行化簡后再用第一類換元積分法進(jìn)行計算，即jsinXr.vcoztxdx=[+[sin(I+/).r+sin伙-1)x]dx=- —cos(k+t)x--^-7-—cos(R-t)x+C④形如fsin^co^xz/x的積分若R=/時，則化為J品皿或卜。/皿型的積分；右&時，如果R為奇數(shù)f為偶數(shù)時‘(sin"Acosfxdx=-j(l-cos2a)，codx(cosx)，dx，此時令/n=cosx就可把上式化為多項式的積分，積分后把w=cosx回代即可；

如果R為偶數(shù)『為奇數(shù)時‘Jsin"xcodxdx=Jsini:a(1-sin2a)2(sin.vjWx此時令m=sinx就可把上式化為多項式的積分，積分后把WI=sm.v回代即可；如果R、f均為奇數(shù)時，我們?nèi).t中比較小的數(shù)按上述方法進(jìn)行計算；如果R、/均為偶數(shù)時，我們利用三角恒等式2ssg=sm2xsin*上沁cos—廿竺空可22將被積函數(shù)降次化簡，然后再用上述方法換元進(jìn)行計算。⑤形如出皿的積分如果R為正偶數(shù)時，則Jsec*xtan'xdx=J(1+tan2x)2"tan/x(tan.v)rJ.v'此時令in=tanx就可把上式化為多項式的積分；如果—0時，則得積分Jt出皿，此時可利用tanU=secJ-l將積分化為上面的情形和積分価nxdx上去?；蛘咭部衫脫Q元公式,H=tan.v化為分母為1+〃的有理函數(shù)的積分；如果R為奇數(shù)，/為偶數(shù)時，利用恒等式tair.r=sec=A-l以及不定積分的線性性，最后可化為形如陸嚴(yán)皿的積分；如果『為奇數(shù)時，則(sec*xtan'xdx=jsec1-1.x(sec'x-l)^(sec.vyj.v，此時令t=secx就把上式化為多項式的積分。⑥形如[secnxdx>Jcsc"xdx、[tan,'xdx-Jcot"皿的積分~般利用tan2a=sec2x-1或cot，x=esc，x-l化簡進(jìn)彳丁求解如果“為偶數(shù)時，由jtan'xdx=[tail'--2Ataii2xdx=[tail'*-2A(sec:x-l)clx=(tan,,_:xdtaiix-[tan,,_:xdx=-Ltan1-1a-[tan17-2xdx得一遞推公式，則Jtan"皿的積分問題即得解決。解決Jcofxdx的積分類似于[tan"xdx的積分jsec"xdx=jsec/,-:xsec2xdx=((tan:x+1)2Jtan.vjese11ay￡v=jesd1"2xcsc2Az￡v=-f(cot2x+1)2dcotx如果〃為奇數(shù)時，[sec'如果〃為奇數(shù)時，[sec'1xdx=jsecw~2xsec2xdx=secn~2xdtanx=sec,,-:xtanx一(/?一2)jsec"-2xtan2xdxjesd*xdx=jcsd,-2xcsrxdx=-jesd1-2az/cot.v=-esd1'2xcot.r+(/?-2)jcsd,':.rcot2xclxjtan"7xdx=[taii,?-2xtaii2xdx=[taiiz,"2x(sec2x-l)dx=[tan71"2xdtana-[tan/,-2xdx=

4例題分析例］求丿卅寸解：（方法1）（分析：所求積分可以看做兩個分式的乘積的積分，那么我們可把它拆成兩個分式的差的積分）x2Q+l-x2Q.嚴(yán)=20—20—存X+i)+c（方法2）（分析：嚴(yán)+1的導(dǎo)數(shù)為20疋，而x乘以疋恰巧也等于干。因此我們可以對其進(jìn)行換元，然后再進(jìn)行拆項求解）“2其進(jìn)行換元，然后再進(jìn)行拆項求解）“2（方法3）（分析：所求積分的分母的次數(shù)大于分子的次數(shù)，因此我們可以考慮用倒代換法）irl20u-XU=-irl20u-XU=-尋|+(=丄加弓二+C20J20 x20+11詁(1+1詁(1+廠)X-(X20+lfA_Jx21一和a+嚴(yán)）+—和去+。

解（方法I）（所求積分包含拆其導(dǎo)數(shù)等于小，恰好可利用此特點對其進(jìn)行湊微分）原式=2( dV7=2jaictail (arctan=^iictanVx）2+C（方法2）（分析：所求積分含有根式，因此我們可以考慮用根式代換求解）原式令x=尸j*；d?2tdt=2J 力=2Jaictantdarctant=(aictan/)'+C=(aictan低j+C原式=*J* 4(i+疋)=JaictanxdJl+F=arctailx?J1+F一[Jl+x，—dxJ 1+廠=y/l+x2-aictanx-J.dx=J1+x，?arctanx-加@+Jl+x，)+CJyjl+X2（此解法釆用了分部積分法八治）原式訂空巴Jsect方法2令x=tantdx=sec2原式訂空巴Jsect+Jl+F)+c?sec2/d/=J/tan/sec/d/=J/dsect=tsect-Jsectdt+Jl+F)+c=tsect-/z?|sec/+tan/|+C=aictaii.v?\ll+x2（此解法釆用了三角代換進(jìn)行求解。當(dāng)積分表達(dá)式中含有徧匸7,后莊，后疋時,可分別令x=asmt,x=atanf,x=ascct進(jìn)行換元計算）例4求［——_dxJsiiix+cosx解：方法1（因為被積函數(shù)是三角有理式，所以我們很自然地想到用7J能代換進(jìn)行換元，轉(zhuǎn)化成有理函數(shù)的不定積分來做?）

原式=8sill—cos—228tanic?XX X ?、X2sin—cos—+原式=8sill—cos—228tanic?XX X ?、X2sin—cos—+cos"—一suit—22222tan|+l-tan^x+In1+tan2—X Ytan2——2tan——1+C12丿22=ln(ir+1)+2arctaiiw-Inu2-2w-1+C方法2（因為被積函數(shù)的分母是一個和式，如果能化成一個整體再拆成部分分式之和可能有助于問題的解決，所以我們自然地想到用倍角公式來試一下.）原式=jsinx（cos—sin%」J（^2x-sec2x+l>/xcos2.i 2-^-(/7z|cos2x|+//?|sec2x+tan2x|-2x)+C方法3（湊微分法是不定積分的常用方法，通過觀察將被積函數(shù)適當(dāng)變形，再進(jìn)行湊微分是我們應(yīng)該掌握的技巧?）‘snix-cosx1+ siiix+cosx)dx=*(x-〃2|sinx+cosx|)+C方法4（此法是通過三角函數(shù)的恒等變形（分子與分母同時除以sufx）轉(zhuǎn)化成的湊微分法,結(jié)合了有理真分式拆分成部分分式之和.）原式=-]*1 申cotx=--Ji——i——4--_S2LLcotXJy+corx)(l+cotAj 2Jvcotx+11+colx丿+cotX+cotx|+C例5求f— dxJX"-3x-10解（方法1）（分析：因為分母可以分解為兩個因式的乘積，因此我們可以聯(lián)想到用拆項法可以對其進(jìn)行化簡）原式訂（-5^+2產(chǎn)弓（士-召片粕士"「J出呵呂d(x—5)—J-^|yd(x+2呂d(x—5)—J-^|yd(x+2)=i[/n|x-5|-//?|x+2|]+c*x-5（方法2）（分析：因為分母為一元二次式，因此，我們可以對其進(jìn)行配方，然后觀察其特點，又用了第一類換元法）—卅43Y49X--

、2丿1—卅43Y49X--

、2丿17

t+—2丿_27/+—23y .7A223y7_LA2l2+C+C申原式訂，3x949心卜JT + 2 4 4亠戸+C7|x+2|5不定積分的方法與歸類.^=dx=2d(y/x)=2d(yfx+c)(x>0).^=dx=2d(y/x)=2d(yfx+c)(x>0)含>la2-x2令x=asmti&x=acost三角代換\lx2-a2令x=asecf三角代換ylx2+a2令x=otan/三角代換y/x+1令Jx+l=t根式代換lax+bQcx+d人lax+b令\——=f根式代換X令X=1t倒數(shù)代換我們在求積分時遇見與如下形式相似的，可釆用湊微分法。1.dx=d(x+c)=—d(ax+c)=—d(ax+c)=—d(ax)2a a3?如扭宀山痔dg+心押4.dx=d(y/xj=3?如扭宀山痔dg+心押4.dx=d(y/xj=2y[xd(y/x)5.—dx=d{ln\x^=d^Inx)6.dx=—=d(l+x2)=d(x/I+x2)2yll+X27-占zD8.ex(\^x)dx=cl(xex7-占zD8.ex(\^x)dx=cl(xex^9.10.1±A-dx=d對丿x±+)11.(1+Inx)dx=d^xlnx)結(jié)束語為什么一道題會有多種解法呢？這是因為同一道題兼有不同類型的積分的特點，因而兼屬于兒種不同的積分類型；或同一個積分類型兼有不同的積分方法。對于一些簡單的基本的不定積分，我們可以通過基本的積分公式直接進(jìn)行求解。對于難以直接用基本積分公式的積分，我們有第一類換元積分法和第二類換元積分法，以及分部積分法。對于某些特殊類型的不定積分，如一些有理函數(shù)的和可以化為有理函數(shù)的不定積分，無論不定積分有多么復(fù)雜，我們都可以按照一定的步驟求解。對于有理函數(shù)的不定積分，我們可以用待定系數(shù)法把它拆成一些分式的和，再按照基本積分公式求解；對于高階的積分，我們可以運用多次分部積分法遞推公式，也