20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換測評新人教A版必修4

第三章三角恒等變換測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每題5分,共60分)1.函數(shù)f()12sin2的最小正周期為()x=-A.2πB.πC.D.4π分析f()12sin2cosx,于是最小正周期為2π.x=-=答案A2.若cos,則cos(π-2α)=()A.B.-C.D.-分析由已知得sinα=,所以cos(π-2α)=-cos2α=2sin2α-1=-.答案B3.函數(shù)f(x)=-cos2的單一增區(qū)間是()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z分析∵f(x)==-cos=-sin2x,令+2kπ≤2x≤π+2kπ,∴+kπ≤x≤π+kπ,∴增區(qū)間為,k∈Z.答案C4.已知α∈,cosα=-,則tan等于()A.7B.C.-D.-71分析由已知得tanα=,則tan.答案B5.函數(shù)f(x)=sin2+cos2-1是()A.周期為π的奇函數(shù)B.周期為π的偶函數(shù)C.周期為2π的奇函數(shù)D.周期為2π的偶函數(shù)分析f(x)=sin2+cos2-1=2sin2-1=-cos=sin2x,所以周期T==π,且函數(shù)是奇函數(shù).答案A6.已知sin,則cos()=A.-B.-C.-D.分析由sin,可得cos=sin,所以cos=2cos2-1=2·-1=-.答案A7.的值等于()A.B.C.1D.2分析.答案A8.三角函數(shù)f(x)=sin+cos2x的振幅和最小正周期分別是()A.B.,πC.D.,π分析f(x)=sin+cos2x=sincos2x-cossin2x+cos2x=cos2x-sin2x=-sin,振幅為,周期為T==π.答案D9.已知A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的兩個實(shí)數(shù)根,則△ABC是()2A.鈍角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形分析由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得∴tan(A+B)=.在△ABC中,tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-<0,∴C是鈍角,∴△ABC是鈍角三角形.應(yīng)選A.答案A10.導(dǎo)學(xué)號68254113已知函數(shù)f(x)=cos4x+sin2x,以下結(jié)論中錯誤的選項是()A.f(x)是偶函數(shù)B.函數(shù)f(x)最小值為是函數(shù)f(x)的一個周期D.函數(shù)f(x)在內(nèi)是減函數(shù)分析由f(-x)cos4(-x)sin2(-x)(x),知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),故A正確;=+=ff(x)=(1-sin2x)2+sin2x=sin4x-sin2x+1=,又sin2x∈[0,1],則當(dāng)sin2x=時,f(x)min=,所以B正確;f=sin4-sin2+1=cos4x+1-cos2x=cos4x+sin2x,則f(x)=f.所以C也正確,選D.答案D11.(2018全國Ⅱ高考)若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是減函數(shù),則a的最大值是()A.B.C.D.π3分析∵f(x)=cosx-sinx=cos,(方法1)作圖如下圖.易知amax=π.(方法2)∵f(x)在2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z上為減函數(shù),∴2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z,令k=0可知x∈,∴amax=π.答案C12.已知sin2(α+γ)=nsin2β,則=()A.B.C.D.分析為方便,記αγδ,則原式變成sin[(δβ)(δβ)]sin[(βδ)(βδ)],睜開得+=++-=n++-sin(δ+β)cos(δ-β)+cos(δ+β)sin(δ-β)=nsin(β+δ)cos(β-δ)+ncos(β+δ)sin(β-δ),等式兩邊同除以cos(δβ)cos(δβ)得tan(δβ)tan(δβ)tan(βδ)-ntan(δβ),于-+++-=n+-是.答案D二、填空題(本大題共4小題,每題5分,共20分)13.若函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x,且函數(shù)y=f(0<φ<π)是一個偶函數(shù),則φ的值等于.分析因?yàn)閒()sin2cos2x=sin,所以y=fsin,則有x=x+++kπ,所以φ=+kπ(k∈Z),當(dāng)k=0時,φ=.答案14.化簡=.分析原式=tan(90°-2α)·4=.答案15.(2018全國Ⅱ高考)已知tan,則tanα=.分析∵tan=,∴5tanα-5=1+tanα.∴tanα=.答案16.若函數(shù)f()2sincosx在x=處獲得最大值,則f(x)在上的最小值等x=x+b于.分析依題意有f=2sin+bcos,即3+,解得b=2,于是f(x)=2sinx+2cosx=4sin,因?yàn)閤∈,所以x+,故最小值等于4sin=2.答案2三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=Asin(A>0,ω>0)的最小值為-2,其圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為.求f(x)的最小正周期及對稱軸方程;(2)若f,求f的值.解(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小值為-2,所以2A=.由圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為,得最小正周期T=,所以,即ω=2,于是f(x)=2sin.由4x-=kπ+,得x=(k∈Z),5故其圖象的對稱軸方程為x=(k∈Z).(2)由f=1,可得2sin(θ-π)=,于是sinθ=-,所以f=2sin=2sin2.=-2cos2θ=4sinθ-2=-18.(本小題滿分12分)已知cos=-,sin,且α∈,β∈.求:(1)cos;(2)tan(α+β).解(1)∵<α<π,0<β<,∴<α-<π,--β<.∴sin,cos.∴cos=coscos·cossin·sin=-=+.(2)∵,∴sin.∴tan=-.∴tan(α+β)=.19.(本小題滿分12分)已知向量a=(cosωx,1),b=,函數(shù)f(x)=a·b,且f(x)圖象的一條對稱軸為x=.(1)求f的值;6(2)若f,f,且α,β∈,求cos(α-β)的值.解(1)∵向量a=(cosωx,1),b==((sinωx+cosωx),-1),∴函數(shù)f()a·b2cosω(sinωcosω)-12sinωcosω2cos21sinx-=2ωcos2ωx=sin.x+∵f(x)圖象的一條對稱軸為x=,∴2ω×+kπ(k∈Z).又≤ω≤,∴ω=1,∴f(x)=sin,∴fsin=-cos=-1.(2)∵f,f,∴sinα=,sinβ=.∵α,β∈,∴cosα=,cosβ=,∴cos(αβ)cosαcosβsinαsinβ=.-=+20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=tan.求f(x)的定義域與最小正周期;(2)設(shè)α∈,若f=2cos2α,求α的大小.解(1)由2x++kπ,k∈Z,得x≠,k∈Z,所以f(x)的定義域?yàn)閤∈Rx≠,k∈Z.f(x)的最小正周期為.(2)由f2cos2α,得tan2cos2α,==即=222(cosα-sinα),7整理得=2(cosα+sinα)(cosα-sinα).因?yàn)棣痢?所以sinα+cosα≠0.所以(cosα-sinα)2=,即sin2α=.由α∈,得2α∈,所以2α=,即α=..(本小題滿分12分)如圖,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的單位圓與x軸正半軸訂交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,P在單位圓上,且B,∠AOB=α.(1)求的值;(2)設(shè)∠AOP=θ,四邊形OAQP的面積為S,f(θ)=(-1)2+S-1,求f(θ)的最值及此時θ的值.解(1)依題意,tanα==-2,∴=-10.由已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(cosθ,sinθ),又,||=||,∴四邊形OAQP為菱形,∴S=2S△OAP=sinθ,∵A(1,0),P(cosθ,sinθ),∴=(1+cosθ,sinθ),∴=1+cosθ,∴f(θ)(1cosθ1)2sinθ1=+-+-=cos2θ+sinθ-18=-sin2θ+sinθ=-.∵≤sinθ≤1,∴當(dāng)sinθ=,即θ=時,f(θ)=;max當(dāng)sinθ=1,即θ=時,f(θ)min=-1.22.導(dǎo)學(xué)號68254114(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=4sincosx+.求函數(shù)f(x)的最小正周期和單一遞加區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-m區(qū)間在上有兩個不一樣的零點(diǎn)x1,x2,務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍,并計算tan(12)的值.x+x解(1)f(x)4sincosx+=4cosx+2sinxcosx-2cos2sin2x-cos==x+=2x=2sin.∴函數(shù)f(x)的周