熱傳導(dǎo)方程和定解條件

熱傳導(dǎo)方程和定解條件演示文稿當(dāng)前1頁，總共23頁。優(yōu)選熱傳導(dǎo)方程和定解條件當(dāng)前2頁，總共23頁。3熱的傳播按傅立葉（Fourier）實驗定律進行：物體在無窮小時段內(nèi)流過一個無窮小面積的熱量與物體溫度沿曲面法線方向的方向?qū)?shù)成正比，而熱流方向與溫度升高的其中稱為物體在點處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，為正值.當(dāng)物體為均勻且各向同性時，為常數(shù)，為曲面沿?zé)崃鞣较虻姆ň€.方向相反，即當(dāng)前3頁，總共23頁。4為了導(dǎo)出溫度所滿足的方程,在物體G內(nèi)任取一閉曲面它所包圍的區(qū)域記作則從時刻到時刻經(jīng)過曲面流入?yún)^(qū)域的熱量為其中表示對曲面的外法向?qū)?shù).當(dāng)前4頁，總共23頁。5流入的熱量使區(qū)域內(nèi)部的溫度發(fā)生變化,在時間間隔中物理溫度從變化到所需要的熱量為其中為物體的比熱,為物體的密度.如果所考察的物體內(nèi)部沒有熱源,由于熱量守恒,當(dāng)前5頁，總共23頁。6先對進行變形利用奧-高(Gauss)公式設(shè)函數(shù)關(guān)于變量具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),關(guān)于變量具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),可化為當(dāng)前6頁，總共23頁。7而可化為因此由移項即得（利用牛頓-萊布尼茲公式）當(dāng)前7頁，總共23頁。8由于與區(qū)域都是任意取的,并且被積函數(shù)是連續(xù)的,于是得上式稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程.如果物體是均勻的,此時為常數(shù),記則得齊次熱傳導(dǎo)方程當(dāng)前8頁，總共23頁。9如果所考察的物體內(nèi)部有熱源(例如物體中通有電流,或有化學(xué)反應(yīng)等情況),設(shè)熱源密度(單位時間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量)為則在時間間隔中區(qū)域內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為同樣由于熱量要平衡,當(dāng)前9頁，總共23頁。10其中非齊次熱傳導(dǎo)方程相對應(yīng)的一維、二維熱傳導(dǎo)方程可類似寫出。當(dāng)前10頁，總共23頁。11二、定解條件初始條件：表示初始時刻物體內(nèi)溫度的分布情況其中為已知函數(shù)。1、第一類邊界條件（狄利克雷Dirichlet）設(shè)所考察的物體G的邊界曲面為S，已知物體表面溫度函數(shù)為即當(dāng)前11頁，總共23頁。122、第二類邊界條件（諾伊曼Neumann）

特別地，如果物體表面上各點的熱流量為0,絕熱性邊界條件已知物體表面上各點的熱流量也就是說在單位時間內(nèi)流過單位面積的熱量是已知的，其中由傅里葉實驗定律可知是定義在邊界曲面S，且上的已知函數(shù).則相應(yīng)的邊界條件為當(dāng)前12頁，總共23頁。131.3拉普拉斯方程與定解條件1.三維拉普拉斯(Laplace)方程(1)凡具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并滿足方程(1)的連續(xù)函數(shù)為調(diào)和函數(shù).(調(diào)和方程)方程(1)通常表示成或拉普拉斯方程描述的是穩(wěn)定狀態(tài)下物理量的分布規(guī)律.當(dāng)前13頁，總共23頁。142.泊松方程(非齊次的拉普拉斯方程)(2)方程(2)通常表示成或3.拉普拉斯方程的邊值問題第一邊值問題(狄氏問題)當(dāng)前14頁，總共23頁。15在空間某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)且在內(nèi)調(diào)和,在邊界上與給定的函數(shù)重合,即第二邊值問題(諾伊曼問題)在空間某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)且在內(nèi)調(diào)和,在邊界上法向?qū)?shù)存在,且有其中n是外法線方向.當(dāng)前15頁，總共23頁。161.4基本概念與基本知識1.古典解:如果一個函數(shù)具有某偏微分方程中所需要的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足該方程.2.自由項:偏微分方程中不含有未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的項.例如:齊次偏微分方程(自由項為0)非齊次偏微分方程(自由項不為0)當(dāng)前16頁，總共23頁。173.疊加原理考察二階線性偏微分方程其中都是某區(qū)域上的已知函數(shù).疊加原理設(shè)是方程(1)中第i個方程的解,(1)當(dāng)前17頁，總共23頁。18如果級數(shù)(2)收斂,其中為任意常數(shù),并且它還能夠逐項微分兩次,則級數(shù)(2)是下方程的解特別地,當(dāng)方程(1)中的自由項時,則得相應(yīng)的齊次方程為若是方程(3)的解,則級數(shù)(2)也是方程(3)(3)的解.當(dāng)前18頁，總共23頁。三角函數(shù)系在上正交。4.傅里葉(Fourier)級數(shù)當(dāng)前19頁，總共23頁。20補充：三角函數(shù)積化和差公式當(dāng)前20頁，總共23頁。214.傅里葉(Fourier)級數(shù)設(shè)周期為的函數(shù)可展開成傅里葉級數(shù),則(4)其中傅里葉系數(shù)滿足(5)當(dāng)前21頁，總共23頁。22當(dāng)為奇函數(shù)時當(dāng)為偶函數(shù)時(6)(7)當(dāng)前22頁，總共23頁。234.兩個自變量的二階微分方程的分類一般的二階線性偏微分方程具