2021年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義+分層訓(xùn)練02三角恒等變換與解三角形(解析版)

02三角恒等變換與解三角形A組考點(diǎn)專練一、選擇題1.若sina=3則cos2a等于（ ）A.9b.9c.-9D.-9【答案】B【解析】?「sina=3,.'cos2a=1—2sin2a【解析】?「sina=3,2.tan70°+tan50°—:「tan70°tan50°的值為( )c.一乎【答案】D【解析】因?yàn)閠an120°=tan70°＋tan50°1－tan70°tan50=—、/3,即tan70°+tan50°一\Btan70°tan50°=—\'3.3.已知sina=5sin(a—B)=—吟B均為銳角，則B等于（）5nA一A.12nBQnC—C.4nD-6【答案】C【解析】由aB為銳角，則一三<a—B<n，由sin(a—B)=—，0，得cos(a—B)=彳0^，又sina=亨，所以cosa=2^5,所以sinB=sin[a一(a一￡)]=sinacos(a—B)—cosasin(a—B)=5X10 5Xl10)=2.n所以B=4.

4.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,acosB+bcosA=2ccosC,c=近，且^ABC的面積為早，則^ABC的周長為（）B.2++'7B.2++'7D.5+>7C.4+飛1r7【答案】D【解析】在^ABC中，acosB+bcosA=2ccosC,則sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,即sin(A+B)=2sinCcosC,?「sin(A+B)=sinCW0,AcosC=2,/.C=?,乙 J由余弦定理可得，a2+b2—c2=ab,即(a+b)2-3ab=c2=7,/.ab=6,又.S=2absinC/.ab=6,A(a+b)2=7+3ab=25,a+b=5,:.△ABC的周長為a+b+c=5+??近.5.（多選題）在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b，如且a：b:c=4：5：6,則下列結(jié)論正確的是（）A.sinA：sinB：sinC=4：5：6B.△ABC是鈍角三角形C.^ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D.若c=6,則4ABC的外接圓的半徑為早【答案】ACD【解析】由a：b：c=4：5：6,可設(shè)a=4%,b=5%,c=6%,%>0.根據(jù)正弦定理可知sinA：sinB：sinC=4：5：6,A正確.a2+b2—c216%2+25%2—36%21由c為最大邊，cosC=-Z-T—= TT-T- =a>0,即C為銳角，得△ABC為銳角三角形，B不正TOC\o"1-5"\h\z2ab 2,4%,5% 8確.b2+c2—a225%2+36%2—16%23?, 9 1 ,a為最小邊，cosA=-2bc—= 2.5%,6% =4，則cos2A=2cos2A—1=2X諱一1=g=cosC.由2A,C￡(0,n),可得2A=C,C正確.若c=6,則2R=焉=—4==竿(R為4ABC的外接圓的半徑)，則△ABC的外接圓的半徑為手，sn 1 / /\1—64

D正確.故選ACD.二、填空題6.（2020?江蘇卷）已知sin2（J+a）=3，則sin2a的值是 【答案】【解析】因?yàn)閟in21n【答案】【解析】因?yàn)閟in21n+a）=3，所以1—cos三+2a23,即1+sin2a=2所以sin2a=3.7.(2019?全國H卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=n則4ABC的面積為 .【答案】6V3【解析】 由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.n又：b=6,a=2c,B=3,A36=4c2+c2—2X2c2X2,乙Ac=2<3,c=—2\；3(舍去)，Aa=4%瓦AS△ABC=2acsinB=2*4/X2v3X乎=6點(diǎn)8公ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,bcosC與ccosB的等差中項(xiàng)為acosB，則B=；若a+c=5,△ABC的面積S=小，則b=.【答案】nn小【解析】 因?yàn)閎cosC與ccosB的等差中項(xiàng)為acosB，所以2acosB=bcosB+ccosB.由正弦定理可得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB,即2sinAcosB=sin(B+C)=sin(n—A),即2sinAcosB=sinA.因?yàn)锳G(0,n),所以sinA>0,所以cosB=2.因?yàn)锽G(0,n),所以B號.因?yàn)椤鰽BC的面積S=、/3乙 J所以2acsinB='寸3所以ac=4.由余弦定理，得b="■■,Ja2+c2—2accosB=--..；'(a+c)2—3ac=\:'25—12=、：,：13.三、解答題9在①cosA=|,cosC=^~^；②csinC=sinA+bsinB,B=60°；③c=2,cosA=1三個(gè)條件中任選一個(gè)填55 8至橫線上,并加以解答.已知^ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=3,，求△ABC的面積S.(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分)【解析】選①... 3?cos.. 3?cosA=5,cosC=5,?sinA=4,sinC=個(gè),??sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC42v15_,_3v＞；5 11,運(yùn)=5X5+5X5=25.由正弦定理，得b=a由正弦定理，得b=asinB3X251-33sinA20,?S=2ab?S=2absinC=2X3X3205X乎=40.選②.VcsinC=sinA+bsinB,二結(jié)合正弦定理，得c2=a+b2.Va=3,二b2=c2-3.又VB=60°,二b2=c2+9-2X3XcX2=c2-3,Vc=2Vc=2,1-2

=SacsinB=3y3.1

cosA=8,，結(jié)合余弦定理，得8=b2x^2x22，即b2—b-5=0,解得b=5或b=-2（舍去）.. 1,? 15_ 3%，'715—??s=2bcsinA=2x2x2xV=it10.(2020-全國H卷)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2c=sinBsinC.(1)求A;（2）若BC=3,求4ABC周長的最大值.【解析】（1）由正弦定理和已知條件得BC2-AC2-AB2=AC-AB①由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC-ABcosA.②

由①②得cosA=—2.2n因?yàn)?<A<n,所以A=丁.(2)由正弦定理及⑴得券|=黑=^^=2、,：3從而AC=2、0sinB,AB=2\l3sin(n—A—B)=3cosB—.；13sinB.故BC+AC+AB=3+小sinB+3cosB=3+2V3sin[+1).又0VB4所以當(dāng)B=2時(shí)，△ABC周長取得最大值3+2。B組專題綜合練11.已知^ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A=60°,b=3c,角A的平分線交BC于點(diǎn)。，且BD=飛'7則cos/ADB的值為（ ）「囪 B畫. 7「囪 B畫. 7 .7【答案】BC2y7

.721口.土寺一【解析】法一如圖，因?yàn)镹BAC=60°,AD為NBAC的平分線，所以NCAD=ZBAD=30°.又b=3c,w 1b.AD?sin30°CD所以CD=BD3CD所以CD=BDS△DAB%D?csin30°因?yàn)锽D=、"，所以CD=3、「，所以a=CB=4\'7.因?yàn)閍2=b2+c2—2bccosNCAB,所以16X7=9c2+c2—2.3c?cq，解得c=4.在^ABD中，由正弦定理，知.BDAn=?"r,sinNBADsinNADB即=1/41.，所以sinNADB=.sinNADB 7因?yàn)閎=3c>c，所以B>C.因?yàn)镹ADB=30°+C,NADC=30°+B,所以/ADB<NADC,又NADB+NADC=180°,所以NADB為銳角，所以cosNADB=\'1—sin2NADB=\：'1-7=、/7=.故選B.法二因?yàn)镹BAC=60°,AD為NBAC的平分線，所以NCAD=NBAD=30°.S 2b-AD-sin30°b又b=3c,所以器=不3=1 =b=3△DAB2AD-csin30°因?yàn)锽D=、「，所以CD=3后，所以a=CB=4\i17.因?yàn)閍2=b2+c2—2bccosNBAC,所以16X7=9c2+c2—2?3c-cf,解得c=4.AD2+c2—BD2由余弦定理，得cosNBAD= ，2AD,c所以AD2—4，。AD+9=0,nrl\'3AD2+16—7即2=-8Ad所以AD2—4，。AD+9=0,所以AD=3\后或AD=\'3.因?yàn)閎=3c>c，所以B>C.又B+C=120°,所以B>60°>NBAD,所以AD>BD=、j7所以AD=3\13,/ DA2+DB2—AB227+7—16丁才生出所以cosNADB=-2DA-DB—=2X3-；3X-.：7=〒?故選B.12.（2020-江蘇卷）在4ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,仁已知a=3,c=、；2,B=45°.B DC⑴求sinC的值；(2)在邊BC上取一點(diǎn)D,使得cosZADC=一；,求tanZDAC的值.【解析】⑴在^ABC中，因?yàn)閍=3,c=-..；2,B=45°,由余弦定理b2=a2+c2—2accosB,得b2=9+2—2X3X2cos45°=5,所以b=、,'5.在^ABC中，由正弦定理sibB=sinC,snsn得高=sinC，所以sinC=興(2)在4ADC中，因?yàn)閏osZADC=—5,所以ZADC為鈍角.而ZADC+C+ZCAD=180°,所以C為銳角.故cosC='i'1—sin2C=含^,貝UtanC=S^n==z.、 5 cosC2因?yàn)閏osZADC=—5,所以sinZADC=\11—cos2ZADC=5,m? , sinZADC3所以tanZADC=cosZADC=—4.從而tanZDAC=tan(180°—ZADC—C) _、 tanZADC+ _、 tanZADC+tanC=—tan(ZADC+C)=~~~777^77771－tanZADCxtanC1-2十41－111x213.已知向量a=(%入in2x，工2cos2x),b=(cosasin0)^10l<2J，若f(x尸a?b，且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=5對稱.⑴求函數(shù)f(x)的解析式，并求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在4ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(A尸\；2且b=5,c=2、/3,求4ABC外接圓的面積．【解析】(1fx)=a?b='■■,22sin2xcos0+''',22cos2xsin0=_22sin(2x+0),???函數(shù)f(x柏勺圖象關(guān)于直線x=n對稱，._n,八.，n.一Z.2X-+6=kn+不 k￡Z,6 2,n???6=kn+7,k￡Z,, ，加一，九一,3n由2e+2W2x+6W2e+工，k￡Z，兀 2n得