2021-2022年彌勒縣高三期末數(shù)學(xué)試卷

彌勒縣2021-2022學(xué)年上學(xué)期期末考試

高三數(shù)學(xué)（理科）

說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.

考試時間120分鐘.

第I卷（共60分）

一、選擇題

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i（l+2i）對應(yīng)的點位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知則|a-6|=

A.1B.石C.D.2

3.從6名女生，4名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生組成課

外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為

A.B.C.C；。D.心號

4.函數(shù)/'。）=*3+，的圖象

x

A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于y軸對稱

C.關(guān)于直線y=x對稱D.關(guān)于坐標(biāo)原點對稱

5.曲線y=ln4在x=e處的切線的斜率為

6.%是（1+x嚴(yán)（〃eN*）的展開式中含/的項的系數(shù)，則++

?2a?

A.1B.2C.3D.4

7.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/((+x)=-/(x),且/(-x)=/(x),則/a)可

以是

A./(x)=2sin；xB.f(x)=2sin3x

f(x)=2cos^xD.f(x)=2cos3x

C.

3,

8.將］,log?3,log,5從小到大排列是

33

A.-<log23<log35B.log35<-<log23,

33

C.5<噫5<1暇3D.log23<log35<-

9.若三個數(shù)sina、^-、2coscz成等差數(shù)列，則tancz=

2

A.1B.2C._1D.-2

22

10.已知公比不為1的正數(shù)等比數(shù)列｛4｝的通項公式為a,,=/(〃)(〃eN*),記其

反函數(shù)為y=/T(x),若尸，(3)+廣|(6)=7,則數(shù)列｛““｝的前六項乘積為

A.33B.36C.63D.183

］22

11.設(shè)一1＜4＜一,，則橢圓，+h匕6=1的離心率的取值范圍是

2a2(a+1尸

A.0,----B.----,1C.0,----D.(0?1)

12.定義：若存在常數(shù)%,使得對定義域D內(nèi)的任意兩個%,無2(芯中々)均有

|/(百)-/(々［＜4彳-耳成立，則稱函數(shù)/(幻在定義域上滿足利普希茨條

件，若函數(shù)/(x)=4(xZl)滿足利普希茨條件，則常數(shù)女的最小值為

A.—B.—C.1D.2

42

第II卷(非選擇題共90分)

二、填空題

13.lim------------=___________o

a。x

14、（2x—_L）6的展開式的常數(shù)項是____________.（用數(shù)字作答）

2x

15.設(shè)S_是等差數(shù)列的前〃項和，若邑=L則&等于

$63幾

16.在半徑為R的球內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐，它的底面三個頂點恰好都在同一個

大圓上，一個動點從三棱錐的一個頂點出發(fā)沿球面運動，經(jīng)過其余三點后

返回，則經(jīng)過的最短路程是o

三、解答題

17.（10分）在AABC中，角A、B、C所對邊分別是。、b、c,月.cosA=L

3

⑴求sin2'+0+cos2A的值；

2

⑵若a=6,求AABC面積的最大值.

18、（12分）袋中裝有4個黑球和3個白球共7個球，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪

流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有

一人取到白球時即終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用自表

示取球終止時所需的取球次數(shù).

（1）求恰好取球3次的概率；

（2）求隨機變量自的概率分布；

19.（12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD

中，ZABC=60\PA=AC=l,PB=PD=>/2

,點E在尸。上，且P￡:￡￡>=2:1

（1）證明：平面A8CO；

（2）求以AC為棱，E4C與。AC為面

的二面角。的大??；

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*-ex.

(1)求函數(shù)/(x)的最小值；

.1I11

(2)求證：e3+〃t">〃+1(〃GN*)；

21.(12分)已知數(shù)歹U{an}中，q=co|s(0<<^|),

a“+i=］匕券(〃=1,2,3,...).

(1)求〃2、的；

(2)求凡；

（3）設(shè)S,為數(shù)列｛1-aJ的前”項和，證明：S?>-|.

22.（12分）已知雙曲線C的中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，其一條漸近線方

程是x+y=0,且雙曲線C過點P（-V2,1）

（1）求此雙曲線C的方程；

（2）設(shè)直線/過點A（0,1）,其方向向量為"=（1,幻（女>0）,令向量:滿足

n-e=0,雙曲線C的右支上是否存在唯一一點B,使得,而卜慟.若存在，

求出對應(yīng)的左值和B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

彌勒縣2021-2022學(xué)年上學(xué)期期末考試

高三數(shù)學(xué)（理科）評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分

題號123456789101112

答案BBADABDBADDB

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

(3171R

13.-14.-2015—16

2103

三、解答題

17.解:(l)sin2'+cos2A=—[l-cos(B+C)]+cos2A

22

=—+—co0+2co%A-l

22

⑵由余弦定理得：

(石)2-a2-b2+c2-2bc-cosA-b2+c2——hc>2bc——be--be

333

/.be<-

4

3o

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=士時，兒有最大值三

24

?、1...192>/23V2s公

??(SABC)max=5bcSmA=5.1.亍=丁.........10分

18.解：(1)恰好取球3次的概率6=勺且叱=9；........5分

17x6x535

(2)由題意知，自的可能取值為1、2、3、4、5,.......6分

P(D=]

4x32

P償=2)=

7^67

4x3<3_(

P("3)=

7x僅§

_4x3x2x3

尸(4=4)

7x6x5x4

_4x3x2xlx3_

*=5)

7x6x5x4x3

所以，取球次數(shù)g的分布列為:

412345

32631

P

77353535

...12分

19.解：解法一：

(1)證明：因為底面A8CD是菱形，NA8C=60°,

所以AB=AZ)=AC=1,在中，

由叢2=2=P32知率_LAB

同理，Q4J_A。所以P4J_平面48CD...6分

(2)解：作￡G〃PA交AO于G,

由R4_L平面ABCD

知EG_L平面ABCD作GH_LAC于“，連接E”，

則EH±AC.ZEHG即為二面角0的平面角。

又產(chǎn)后：￡：。=2:1,所以￡6=1,46=2,。"=465抽60"=走

333

從而tan§=EG=——=30.........12分

GH3

解法二:

E

Dy

B

解：(1)證明：因為底面ABC。是菱形，

ZABC=60\所以AB=AD=AC=1,在AE4B中，

由弘2+.2=2=PB2知

同理，PALAD,所以B4_L平面ABCD.......6分

(2)以A為坐標(biāo)原點，直線相>、AP

分別為y軸，z軸，過A點垂直平面PAD

的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)

分別為

40,0,0),1,0),C*,《,0)

2222

21

D(0,l,0),mo,l),E(0,-,-)

所以AE=(0,—AC=(-^-，―,0)

—?--V31

AP=(O,O,l),PC=(^-,-,-l)

22

設(shè)〃=(x,y,z)是平面ACE的一個法向量。

則〃_!?禧〃_L通

.-.rt-AC=O,rt±A￡=0

工

——x+—1y=0n

22令》=百得y=-3.z=6即〃=(3-3,6),|〃|=4石

—2y+—1z=c0

13-3

又由已知麗=(0,0,1)是平面ACD的一個法向量，且|麗|=1

cAPn6G〃才

/.cos0=,----=—尸=—,..9=30...................12分

\AP\-\n\4V32

20.解：⑴因為/'(x)=e，-e,令/'(x)=e*-e>0,解得x>l,

令尸(x)=e*-e<0,解得x<\,

所以函數(shù)f(x)在(-oo,1)上遞減，(1,+oo)上遞增，

所以f(x)的最小值為/(I)=0.5分

(2)證明：由(I)知函數(shù)/(x)在x=l取得最小直所以/(x)>/(I),即e'Nex

兩端同時乘以，得Nx,把x換成f+1得e'*+l,當(dāng)且僅當(dāng)，=0時

e

等號成立.

113-14

由e'Nf+l得，e1>1+1=2,e2>—+1=—,e3>—+1=—,…

2233

n-\n-\nn

將上式相乘得

1H—?—?—?1—347272+1_ft

e23n-ln>2x-x-x---x—-X--!-=rt+l................12分

23n-1n

21.解：(I)解：由《川=J1^(〃=1,2,3,...),a,=cos|(0<^<|)W

eec八

a2=cos—,Oy=cos—...............3yy

°

(II)由(I)歸納得見=cos會(〃=1,2,3,…)，..............4分

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)〃=1時，4=cos—成立.

2

②假設(shè)〃=%時，％=cos/成立，

所以當(dāng)〃=左+1時，等式也成立.

由①、②得=COS!(046?9對一切〃￡1\"成立......8分

(III)證明：設(shè)/(x)=x-sinx(0〈x《L貝ij/'(x)=l—cosxNO,

所以/(x)=x-sinx在04上是增函數(shù).

故/(x)N/(O)=O.

即sinxVxfo<x<yj.

7107T0

因為?！?cos—=sin<--------