2017中考全國(guó)數(shù)學(xué)100份試卷

2013中考全國(guó)100份試卷分類(lèi)匯編

圓的綜合題

1、（2013?溫州）在AABC中,NC為銳角，分別以AB,AC為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)B,A,C

jr

作氤，如圖所示.若AB=4,AC=2,Si-s=—,則s-s的值是（）

2434

C.117TD.如

4~T

考點(diǎn)：圓的認(rèn)識(shí)

分析：首先根據(jù)AB、AC的長(zhǎng)求得S1+S3和S2+S4的值，然后兩值相減即可求得結(jié)論.

解答：⑺

解：,?,AB=4,AC=2,

..S1+S3-2n,S2+S4—-2->

-S|-S2=——,

4

.?.(S1+S3)-(S2+S4)=(S1-S2)+(S3-S4)=1

..S3-84=^71,

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的表示出S1+S3和S2+S4的值.

2、(2013?孝感)下列說(shuō)法正確的是()

A.平分弦的直徑垂直于弦

B.半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角

C.相等的圓心角所對(duì)的弧相等

D.若兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，則這兩個(gè)圓相交

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.

分析：利用圓與圓的位置關(guān)系、垂徑定理、圓周角定理等有關(guān)圓的知識(shí)進(jìn)行判斷即可

解答：解：A、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角，故本選項(xiàng)正確；

C、同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，兩圓相交，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系、垂徑定理、圓周角定理等有關(guān)圓的知識(shí)，牢記這些定

理是解決本題的關(guān)鍵.

3、(2013?溫州)一塊矩形木板，它的右上角有一個(gè)圓洞，現(xiàn)設(shè)想將它改造成火鍋餐桌桌面，

要求木板大小不變，且使圓洞的圓心在矩形桌面的對(duì)角線上.木工師傅想了一個(gè)巧妙的辦法，

他測(cè)量了PQ與圓洞的切點(diǎn)K到點(diǎn)B的距離及相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm),從點(diǎn)N沿折線NF-

FM(NFIIBC,FMIIAB)切割，如圖1所示.圖2中的矩形EFGH是切割后的兩塊木板拼

接成符合要求的矩形桌面示意圖(不重疊,無(wú)縫隙，不記損耗)，則CN,AM的長(zhǎng)分別是18cm、

31cm.

圖1圖2

考點(diǎn)：圓的綜合題

分析：如圖，延長(zhǎng)OK交線段AB于點(diǎn)M，，延長(zhǎng)PQ交BC于點(diǎn)G,交FN于點(diǎn)N-設(shè)圓孔

半徑為r.在RSKBG中，根據(jù)勾股定理，得廠16(cm).根據(jù)題意知，圓心O在矩

形EFGH的對(duì)角線上，則KN'=AB=42cm,OM'=KM'+r=」CB=65cm.則根據(jù)圖中相

2

關(guān)線段間的和差關(guān)系求得CN=QG-QNZ=44-26=18(cm),AM=BC-PD-KM，=130

-50-49=31(cm).

解答：解：如圖，延長(zhǎng)OK交線段AB于點(diǎn)延長(zhǎng)PQ交BC于點(diǎn)G,交FN于點(diǎn)N-

設(shè)圓孔半徑為r.

在RSKBG中，根據(jù)勾股定理，得

BG2+KG2=BK2,即(130-50)2+(44+r)2=1002,

解得，r=16(cm).

根據(jù)題意知，圓心O在矩形EFGH的對(duì)角線上，則

KN,=-AB=42cm,OM'=KM,+r=-CB=65cm.

22

.,.QN'=KN'-KQ=42-16=26(cm),KM'=49(cm),

；.CN=QG-QN'=44-26=18(cm),

.-.AM=BC-PD-KM，=130-50-49=31(cm),

綜上所述，CN,AM的長(zhǎng)分別是18cm、31cm.

故填：18cm、31cm.

點(diǎn)評(píng)：本題以改造矩形桌面為載體，讓學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中，考查了矩形、直角三角形及

圓等相關(guān)知識(shí)，積累了將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)，滲透了圖形變換思想，體現(xiàn)

了數(shù)學(xué)思想方法在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值.

4、（2013四川宜賓）如圖，AB是。。的直徑，弦COLAB于點(diǎn)G,點(diǎn)F是CC上一點(diǎn)，且

滿足基，連接A尸并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連接A。、DE,若C尸=2,AF=3.給出下列結(jié)論：

FD

①AAO尸sAAEZ）；②FG=2；③SME：考；④SME產(chǎn)

其中正確的是①⑵④（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理.

分析：①由A8是。。的直徑，弦C￡>_L4B,根據(jù)垂徑定理可得：AD=C&DG=CG,繼而

證得△AO尸SAAEO；

②由*,CF=2，可求得〃尸的長(zhǎng)，繼而求得CG=￡?G=4,則可求得FG=2；

③由勾股定理可求得AG的長(zhǎng)，即可求得3叱AOF的值，繼而求得

④首先求得△/1力廠的面積，由相似三角形面積的比等于相似比，即可求得AAOE的面積,

繼而求得5AD￡F=4'^/5-

解答：解：①,「AB是。。的直徑，弦COJLAB,

.?.AD=CD，DG=CG,

,Z.ADF=Z.AED1

：^FAD=Z.DAE（公共角）,

「.△A。/7—^AED；

故①正確；

②,?哥，c尸=2，

：.FD=6,

.-.CD=DF+CF=8,

.-.CG=DG=4,

：.FG=CG-CF=2；

故②正確；

③.4尸=3,FG=2,

'AG=yjkY2-?G2=^5,

.,.在RtAAGD中，tan/ADG=-^=—,

DG4

故③錯(cuò)誤；

@：DF=DG+FG=6,^=>JAG2+DG

■SMDF^DF*AG-^6'x\[S=3yjS<

"ADFsdAED,

.SAADF（空）2,

XAED川

.際=

^AAED

??5A4E￡>-7'>/5>

?'?SADE產(chǎn)SAAED~

故④正確.

故答案為：①②④.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函

數(shù)等知識(shí).此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

5、(2013年武漢)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC是。。的內(nèi)接三角形，AB=AC,點(diǎn)

C

P是AB的中點(diǎn)，連接PA,PBPC.

(1)如圖①，若NBPC=60°,求證：AC=yf3AP；

4

(2)如圖②，若sin/8PC=：求tanNPAB的值.

AA

匕

第22題圖①

解析：

(1)證明：?.?弧BC=MBC,.,./BAC=/BPC=6O°.

又YAB=AC,.?.△ABC為等邊三角形

.,,ZACB=60°,?.?點(diǎn)P是弧AB的中點(diǎn)，；./ACP=3O°,

又NAPC=/ABC=60°,；.AC=6AP.

(2)解：連接AO并延長(zhǎng)交PC于F,過(guò)點(diǎn)E作EGLAC于G,連接OC.

：AB=AC,AAF1BC,BF=CF.

:點(diǎn)P是弧AB中點(diǎn)，/.ZACP=ZPCB,；.EG=EF.

VZBPC=ZFOC,

24

...sinNFOC=sin/BPC=—.

25:A

設(shè)FC=24a,則OC=OA=25a,

，OF=7a,AF=32〃.

在Rt^AFC中，AC2=AF2+FC2,???AC=40〃.

?&-EGFC

在RtZ\AGE和RtZ\AFC中，sinZFAC=—=——，Bc

AEAC\'Fy

,EG24。

??,—,..EG—12〃.

32a—EG40a第22(2)題圖

EF12。1

??tanNPAB—tanNPCB==-----=-.

CF24。2

6、(2013?常州)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)B(0,6),動(dòng)點(diǎn)C在以

半徑為3的。O上，連接OC,過(guò)O點(diǎn)作OD_LOC,OD與。。相交于點(diǎn)D(其中點(diǎn)C、0、

D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?，連接AB.

(1)當(dāng)OCIIAB時(shí)，NBOC的度數(shù)為45?；?35。；

(2)連接AC,BC,當(dāng)點(diǎn)C在。O上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，aABC的面積最大？并求出AABC

的面積的最大值.

(3)連接AD,當(dāng)OCIIAD時(shí)，

①求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②直線BC是否為。。的切線？請(qǐng)作出判斷，并說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：圓的綜合題.

專(zhuān)題：綜合題.

分析.

⑴根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)易得MAB為等腰直角三角形，則NOBA=45。，由于OCII

AB,所以當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，有NBOC=/OBA=45。；當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，有N

BOC=180°-NOBA=135°；

(2)由ZUDAB為等腰直角三角形得AB=&0A=6&,根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點(diǎn)

C到AB的距離最大時(shí)，AABC的面積最大，過(guò)O點(diǎn)作OE_LAB于E,OE的反向延

長(zhǎng)線交。。于C,

此時(shí)C點(diǎn)到AB的距離的最大值為CE的長(zhǎng)然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出

OE,然后計(jì)算AABC的面積；

(3)①過(guò)C點(diǎn)作CFJLx軸于F,易證Rt^OCFsRtZiAOD,則竺耍，即空且，解

OD0A36

得CF=W再利用勾股定理計(jì)算出OF-孥，則可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；

22

②由于0C=3,0F=^,所以NCOF=30。，則可得到，BOC=60。，ZAOD=60°,然后根

據(jù)"SAS”判斷ABOC當(dāng)AOD,所以NBCO=NADC=90。，再根據(jù)切線的判定定理可確定

直線BC為。O的切線.

解：(1),:點(diǎn)A(6,0),點(diǎn)B(0,6),

.e.OA=OB=6,

.”O(jiān)AB為等腰直角三角形，

.?.ZOBA=45°,

,.OCIIAB,

.,.當(dāng)C點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，NBOC=NOBA=45。；當(dāng)C點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí)，ZBOC=180°-Z

OBA=135°；

(2)?"OAB為等腰直角三角形，

.,.AB=A/2OA=6,\/2,

，當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大時(shí)，4ABC的面積最大，

過(guò)O點(diǎn)作OE_LAB于E,OE的反向延長(zhǎng)線交。。于C,如圖，此時(shí)C點(diǎn)到AB的距

離的最大值為CE的長(zhǎng)，

?SOAB為等腰直角三角形，

,.AB=A/2OA=6A/2>

...OE寺B=3四,

，CE=OC+CE=3+3?,AABC的面積="|CE?AB=^X(3+3^2)*66=9^+18.

???當(dāng)點(diǎn)C在。0上運(yùn)動(dòng)到第三象限的角平分線與圓的交點(diǎn)位置時(shí),4ABC的面積最大,

最大值為9a+18.

(3)①如圖，過(guò)C點(diǎn)作CFJ_x軸于F,

,/OCIIAD,

/.ZADO=ZCOD=90°,

/.ZDOA+ZDAO=900

WzDOA+zCOF=90°,

.0.ZCOF=ZDAO,

.".RtAOCF^RtAAOD,

,CF=OC即莪解得c嗎

在RtAOCF中,OF=q℃2

，c點(diǎn)坐標(biāo)為（-￥，多；

22

②直線BC是。0的切線.理由如下:

在RSOCF中，OC=3,OF=-,

2

...NCOF=30°,

.,.NOAD=30°,

.,.ZBOC=60",ZAOD=60°,

?.,在ABOC和AAOD中

rOC=OD

■ZB0C=ZA0D.

,BO=AO

.“BOSAAOD(SAS),

?1.ZBCO=ZADC=90°,

.-.OC±BC,

.,?直線BC為。O的切線.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：掌握切線的判定定理、平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判

定與性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算.

7、（2013?宜昌）半徑為2cm的與00邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD在水平直線1的同側(cè)，0

。與1相切于點(diǎn)F,DC在1上.

（1）過(guò)點(diǎn)B作的一條切線BE,E為切點(diǎn).

①填空：如圖1,當(dāng)點(diǎn)A在。O上時(shí)，NEBA的度數(shù)是30。；

②如圖2,當(dāng)E,A,D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求線段OA的長(zhǎng)；

（2）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動(dòng)正方形（圖3）,至

邊BC與OF重合時(shí)結(jié)束移動(dòng)，M,N分別是邊BC,AD與00的公共點(diǎn)，求扇形M0N的

面積的范圍.

考點(diǎn)：圓的綜合題.

分析:

（1）①根據(jù)切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出NEBA的度數(shù)即可；

②利用切線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)得出患器進(jìn)而求

出OA即可；

2

（2）設(shè)NMON=n。，得出SIfl?MON=?Sx2=^n進(jìn)而利用函數(shù)增減性分析①當(dāng)N,

36090

M,A分別與D,B,O重合時(shí)，MN最大，②當(dāng)MN=DC=2時(shí)，MN最小，分別求

出即可.

解答:

解：（1）①?.?半徑為2cm的與。O邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD在水平直線1的同側(cè),

當(dāng)點(diǎn)A在。O上時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作的一條切線BE,E為切點(diǎn)，

.-.OB=4,EO=2,ZOEB=90°,

??.ZEBA的度數(shù)是：30°；

②如圖2,

?直線1與相切于點(diǎn)F,

?1.ZOFD=90",

?.?正方形ADCB中，ZADC=90°,

.1.OFIIAD,

..OF=AD=2,

四邊形OFDA為平行四邊形，

-.1ZOFD=90°,

???平行四邊形OFDA為矩形，

.1.DAXAO,

,正方形ABCD中，DAXAB,

?1.0,A,B三點(diǎn)在同一條直線上；

.,.EAXOB,

.*ZOEB=ZAOE,

.'.△EOA^ABOE,

,OAJE

,OTOB,

.-.OE2=OA?OB,

.-.OA(2+OA)=4,

解得：OA=-1+V5，

■.OA>0,.?.OA='V5-1;

方法二：

在Rt/sOAE中，cosZEOA=—=—,

OE2

在RtAEOB中，COSKEOB=°E-2,

OBOA+2

,0A_2

"2OA-2)

解得：OA=-1士旄，

?.'OA>0,.-.OA=\/5-l;

方法三：

/OE±EB,EA±OB,

??.由射影定理，得OE2=OA?OB,

/.OA(2+OA)=4,

解得：OA=-1+V5，

?.'OA>0,

■-OA=>/5-1；

(2)如圖3,設(shè)NMON=n°,Sig?MON=~—x2~=—n(cm-),

36090

S隨n的增大而增大，NMON取最大值時(shí)，S扇形MON最大，

當(dāng)NMON取最小值時(shí)，Sa?MON最小，

過(guò)O點(diǎn)作OK_LMN于K,

/.ZMON=2ZNOK,MN=2NK,

在RtAONK中，sinZNOK=—=—,

ON2

??.ZNOK隨NK的增大而增大，??.NMON隨MN的增大而增大,

，當(dāng)MN最大時(shí)NMON最大，當(dāng)MN最小時(shí)NMON最小，

①當(dāng)N,M,A分別與D,B,O重合時(shí)，MN最大，MN=BD,

7、

ZMON=ZBOD=90°?S扇形MON最大二n(cm-),

②當(dāng)MN二DO2時(shí)，MN最小，

,-.ON=MN=OM,

/.ZNOM=60°,

2

S扇形MON最4、=H（crrT）,

--n<S南形MONSK-

故答案為：30°.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和函數(shù)增減性等知識(shí)，得

出扇形MON的面積的最大值與最小值是解題關(guān)鍵.

8、(2013?包頭)如圖，已知在AABP中，C是BP邊上一點(diǎn)，NPAC=NPBA,OO^AABC

的外接圓，AD是。。的直徑，且交BP于點(diǎn)E.

(1)求證：PA是。O的切線；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CFXAD,垂足為點(diǎn)F,延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G,若AG?AB=12,求AC的長(zhǎng)；

(3)在滿足(2)的條件下，若AF：FD=1：2,GF=1,求。。的半徑及sin/ACE的值.

考點(diǎn)：圓的綜合題.

分析?

'(1)根據(jù)圓周角定理得出NACD=90°以及利用NPAC=NPBA得出NCAD+NPAC=90°

進(jìn)而得出答案；

(2)首先得出ACAGSABAC,進(jìn)而得出AC?=AG?AB,求出AC即可；

(3)先求出AF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得：AG=^AF2+Gp2,即可得出sinNADB=^?,

利用NACE=NACB=NADB,求出即可.

解答：(1)證明：連接CD,

,.AD是。0的直徑，

...NACD=90°,

.-.ZCAD+ZADC=9O°,

X-.ZPAC=ZPBA,NADC=NPBA,

..ZPAC=ZADC,

/.ZCAD+ZPAC=90°,

.-.PA±OA,而AD是OO的直徑，

..PA是。O的切線；

⑵解:由（1）知,PA±AD,X'.CF±AD,/.CFIIPA,

.-.ZGCA=ZPAC,又,?,NPAC=NPBA,

.?.ZGCA=ZPBA,而NCAG=NBAC,

ACAG-ABAC,

,AC_AG

"AB"AC"

即AC2=AG<AB,

/AG*AB=12,

7

.1.AC=12,

:AC=2如;

(3)解：設(shè)AF=x,.；AF：FD=1：2,；.FD=2x,

..AD=AF+FD=3x,

在RtZiACD中，-.CFiAD,/.AC^AFMD,

即3X2=12,

解得；x=2,

；.AF=2,AD=6,二。。半徑為3,

在RSAFG中，?；AF=2,GF=1,

根據(jù)勾股定理得：AG=^22+1

由(2)知，AG?AB=12,

,AR_1212V5

AG5

連接BD,

.AD是。O的直徑，

，/ABD=90°,

SRtAABD41.???sinZADB=—,AD=6,

AD

.,.sinZADB=—V&

5

?.ZACE=ZACB=ZADB,

.-.sinZACE=-|V5

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得

出AG的長(zhǎng)以及AB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

9、(2013?荊門(mén))如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，P是線段MC上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與M、C重合)，以AB為直徑作過(guò)點(diǎn)P作的切線，交AD于點(diǎn)F,

切點(diǎn)為E.

(1)求證：OFIIBE；

(2)設(shè)BP=x,AF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

(3)延長(zhǎng)DC、FP交于點(diǎn)G,連接OE并延長(zhǎng)交直線DC與H(圖2),問(wèn)是否存在點(diǎn)P,

使AEFO-AEHG(E、F、O與E、H、G為對(duì)應(yīng)點(diǎn))？如果存在，試求(2)中x和y的值;

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（圖1）（圖2）

考點(diǎn)：圓的綜合題.

分析?

'(1)首先證明RSFAO合RSFEO進(jìn)而得出NAOF=NABE,即可得出答案;

(2)過(guò)F作FQ_LBC于Q,利用勾股定理求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)M是

BC中點(diǎn)以及BC=2,即可得出BP的取值范圍；

(3)首先得出當(dāng)NEFO=NEHG=2NEOF時(shí)，即NEOF=30。時(shí)，RtAEFO-RtAEHG,求

出y=AF=OA?tan30。*!即可得出答案.

3

解答：（1）證明：連接0E

FE、FA是。0的兩條切線

.1.ZFAO=ZFEO=90°

在RtAOAF和RtAOEF中,

[FO=FO

l0A=0E

.-.RtAFAO^RtAFEO(HL),

.-.ZAOF=ZEOF=-ZAOE,

2

.-.ZAOF=ZABE,

..OFIIBE,

(2)解：過(guò)F作FQ_LBC于Q

..PQ=BP-BQ=x-y

PF=EF+EP=FA+BP=x+y

「在RtAPFQ中

.-.FQ2+QP2=PF2

.,.22+(x-y)(x+y)2

化簡(jiǎn)得：y=-,(l<x<2);

X

(3)存在這樣的P點(diǎn)，

理由：?..NEOF=NAOF,

.,.NEHG=NE0A=2NE0F,

當(dāng)NEFO=NEHG=2NEOF時(shí)，

即NEOF=30。時(shí)，RtAEFO-RtAEHG,

此時(shí)RtAAFO中，

y=AF=OA?tan30°=^^,

y

.,.當(dāng)x=Vi，y=^寸，AEFOSAEHG.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定

與性質(zhì)等知識(shí)，得出FQ2+QP2=PF2是解題關(guān)鍵.

10、(2013?萊蕪)如圖，。0的半徑為1,直線CD經(jīng)過(guò)圓心0,交。O于C、D兩點(diǎn)，直

徑AB_LCD,點(diǎn)M是直線CD上異于點(diǎn)C、0、D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AM所在的直線交于。。于

點(diǎn)N,點(diǎn)P是直線CD上另一點(diǎn)，且PM=PN.

(1)當(dāng)點(diǎn)M在。O內(nèi)部，如圖一，試判斷PN與。。的關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程；

(2)當(dāng)點(diǎn)M在。O外部，如圖二，其它條件不變時(shí)，(1)的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)M在。O外部，如圖三，ZAMO=15°,求圖中陰影部分的面積.

考點(diǎn)：圓的綜合題.

分析?

(1)根據(jù)切線的判定得出NPNO=NPNM+NONA=NAMO+NONA進(jìn)而求出即可；

(2)根據(jù)已知得出ZPNM+NONA=90。，進(jìn)而得出NPNO=180。-90。=9。。即可得出答案;

(3)首先根據(jù)外角的性質(zhì)得出ZAON=30。進(jìn)而利用扇形面積公式得出即可.

解答:

(1)PN與。0相切.

證明：連接ON,

則NONA="AN,

?1,PM=PN,.-.ZPNM=ZPMN.

-.'ZAMO=ZPMN,/.ZPNM=ZAMO.

.?.ZPNO=ZPNM+ZONA=ZAMO+ZONA=90°.

即PN與。0相切.

(2)成立.

證明：連接ON,

貝]NIONA=NOAN,

,；PM=PN,；.NPNM=NPMN.

在RtAAOM中，

.1.ZOMA+ZOAM=90°,

.1?ZPNM+ZONA=90°.

..NPNO=180°-90°=90°.

即PN與。0相切.

(3)解：連接ON,由(2)可知NONP=90。.

..NAM0=15°,PM=PN,...NPNM=15°,NOPN=30°,

?.ZPON=60°,NAON=30°.

作NE_LOD,垂足為點(diǎn)E,

則NE=ON-sin60°=lx立-5.

22

S陰影=SAAOC+Sa?AON_SACON=OC?OA+-^^-X7TX1~-^CO?NE

3602

]V3

=xlxlH-----n-xlx----

122

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了扇形面積公式以及切線的判定等知識(shí)，熟練根據(jù)切線的判定得出對(duì)應(yīng)

角的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

11、(2013?遂寧)如圖，在OO中，直徑AB_LCD,垂足為E,點(diǎn)M在OC上，AM的延長(zhǎng)

線交。O于點(diǎn)G,交過(guò)C的直線于F,N1=N2,連結(jié)CB與DG交于點(diǎn)N.

(1)求證：CF是。0的切線;

(2)求證：AACM-^DCN；

(3)若點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，OO的半徑為4,cosNBOC='，求BN的長(zhǎng).

4

考點(diǎn)：圓的綜合題.

分析?

(1)根據(jù)切線的判定定理得出N1+NBCO=90。，即可得出答案；

(2)利用已知得出N3=N2,N4=ND,再利用相似三角形的判定方法得出即可；

(3)根據(jù)己知得出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理得出EC,AC,BC的長(zhǎng)，即可得出

CD,利用(2)中相似三角形的性質(zhì)得出NB的長(zhǎng)即可.

解答.

'(1)證明：中，BO=CO,

.,.ZB=ZBCO,

在RtZkBCE中，N2+NB=90°,

又..N1=N2,.1.Z1+ZBCO=90°,BPZFCO=90°,

；.CF是。0的切線；

(2)證明：.AB是。O直徑，；.NACB=AFCO=90。,

.-.ZACB-ZBCO=ZFCO-ZBCO,

即N3=N1,.N3=N2,

,.24=ND,."ACMSADCN；

(3)解：的半徑為4,即AO=CO=BO=4,

在Rt^COE中，cosZBOC=-,

4

■.OE=CO*cosZBOC=4x—=1,

4

由此可得：BE=3,AE=5,由勾股定理可得：

CE=VcO2-E02=^42-]2=\R,

AC=VCE2+AE2=7(/15)2+52=2^^>

BC=VCE2+BE2=7(V15)2+32=2^

.AB是。0直徑，ABXCD,

J.由垂徑定理得：CD=2CE=2后,

,SACMSADCN,

.CM_AC

ciTcD,

?.,點(diǎn)M是CO的中點(diǎn)，CM=AO=X4=2,

._CM?CD_2X2V15

?LCN------------7=--VR

AC2V10

?,BN=BC-CN=2找-岳返

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定和勾股定理的應(yīng)用等知識(shí),

根據(jù)己知得出AACMSADCN是解題關(guān)鍵.

12、(2013濟(jì)寧)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y*(x

>0)圖象上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B.

(1)求證：線段AB為0P的直徑；

(2)求AAOB的面積；

(3)如圖2,Q是反比例函數(shù)y=』2(x>0)圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，以Q為圓心，QO

x

為半徑畫(huà)圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、D.

分析：(1)NAOB=90。，由圓周角定理的推論，可以證明AB是0P的直徑:；

(2)將^AOB的面積用含點(diǎn)P坐標(biāo)的表達(dá)式表示出來(lái)，容易計(jì)算出結(jié)果；

(3)對(duì)于反比例函數(shù)上另外一點(diǎn)Q,OQ與坐標(biāo)軸所形成的ACOD的面積，依然不變，與

△AOB的面積相等.

解答：(1)證明：,.NAOB=90。，且NAOB是。P中弦AB所對(duì)的圓周角,

?.AB是。P的直徑.

(2)解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n)(m>0,n>0),

19

?「點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=-(x>0)圖象上一點(diǎn)，「.mn=12.

如答圖，過(guò)點(diǎn)P作PMJ_x軸于點(diǎn)M,PN，y軸于點(diǎn)N,則OM=m,ON=n.

由垂徑定理可知，點(diǎn)M為0A中點(diǎn)，點(diǎn)N為OB中點(diǎn)，

/.OA=2OM=2m,OB=2ON=2n,

??SAAOB-BO*OA=x2nx2m=2mn=2x12=24.

(3)證明：若點(diǎn)Q為反比例函數(shù)y=^(x>0)圖象上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn),

參照(2),同理可得：SACOD=DO?CO=24,

則有：SACOD=SAAOB=24,即BO?OA=DO?CO,

解答圖

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)，難度不大.試

題的核心是考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義.對(duì)本題而言，若反比例函數(shù)系數(shù)為k,則可以

證明0P在坐標(biāo)軸上所截的兩條線段的乘積等于4k；對(duì)于另外一點(diǎn)Q所形成的0Q,此結(jié)論

依然成立.

13、(2013?攀枝花)如圖，PA為00的切線，A為切點(diǎn),直線PO交OO與點(diǎn)E,F過(guò)點(diǎn)A

作PO的垂線AB垂足為D,交00與點(diǎn)B,延長(zhǎng)BO與00交與點(diǎn)C,連接AC,BF.

(1)求證：PB與相切；

(2)試探究線段EF,0D,0P之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)若AC=12,tanNF=1，求cosNACB的值.

考點(diǎn)：圓的綜合題.

分析：(1)連接0A,由0P垂直于AB,利用垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，即0P垂直

平分AB,可得出AP=BP,再由OA=OB,OP=OP,利用SSS得出三角形AOP與三

角形BOP全等，由PA為圓的切線，得到OA垂直于AP,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角

相等及垂直的定義得到OB垂直于BP,即PB為圓O的切線；

(2)由一對(duì)直角相等，一對(duì)公共角，得出三角形AOD與三角形OAP相似，由相似

得比例，列出關(guān)系式，由0A為EF的一半，等量代換即可得證.

(3)連接BE,構(gòu)建直角ABEF.在該直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股

定理可設(shè)BE=x,BF=2x,進(jìn)而可得EF=d^x；然后由面積法求得所以根

5

據(jù)垂徑定理求得AB的長(zhǎng)度，在RSABC中，根據(jù)勾股定理易求BC的長(zhǎng)；最后由余

弦三角函數(shù)的定義求解.

解答：(1)證明：連接0A,

:PA與圓。相切，

.-.PA±OA,即NOAP=90°,

,,OP±AB,

，D為AB中點(diǎn)，即OP垂直平分AB,

...PA=PB,

?.,在ZiOAP和AOBP中，

rAP=BP

?OP=OP，

,OA=OB

."OAP斗OBP(SSS),

.?.ZOAP=ZOBP=90",

r.BPJLOB,

則直線PB為圓0的切線;

(2)答：EF2=4DO?PO.

證明：?.?NOAP=NADO=90。，ZAOD=ZPOA,

.“OAD5AopA,

.,坐=@,apOA2=OD?OP,

OPOA

.?,EF為圓的直徑，即EF=2OA,

.-.-EF2=OD?OP,即EF2=4OD?OP；

4

(3)解：連接BE,則NFBE=90°.

,.,tanZF=—,

2

一.-B-E--1,

BF2

可設(shè)BE=x,BF=2x,

則由勾股定理，得

22

EF=7BF+BE=V5X-

■.-BE?BF=-EF?BD,

22

5

又?.,AB_LEF,

，AB=2BD=&線，

5

「.RtZkABC中，BC=、'，

AC2+AB2=BC2,

...1212+(喳)2=(屆2,

5

解得：x=4泥，

.?.BO4V§><倨20,

.-.cosZACB=-^=-^=-.

BC205

c

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似及全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)

系等知識(shí)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

14、(2013年南京)如圖，AD是圓。的切線，切點(diǎn)為4,AB是圓O

的弦。過(guò)點(diǎn)8作8C//A。，交圓。于點(diǎn)C,連接AC,過(guò)

點(diǎn)C作CD//4B,交4。于點(diǎn)￡>。連接40并延長(zhǎng)交BC

于點(diǎn)M,交過(guò)點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P,且NBCP=NACD。/—

(1)判斷直線PC與圓。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：f

(2)若AB=9,BC=6,求PC的長(zhǎng)。

解析：解法一：(1)直線PC與圓。相切。飛法//

如圖①，連接CO并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)N,連接BMX

■：AB//CD,:.NBAC=/ACD。P

；NBAC=NBNC,:.NBNC=NACD。

,:NBCP=NACD,：.ZBNC=ZBCPo

,「CN是圓O的直徑，.?.NCBN=90。。

：.ZBNC+ZBCN=90°,：.ZBCP+ZBCN=9Q0°

：.ZPCO=90°,即PClOCo

又點(diǎn)C在圓。上，.?.直線PC與圓。相切。(4分)

(2)是圓。的切線,：.AD1OA,即NOA￡>=90。。

■：BC//AD,...NOMC=180°-NO4D=90°,即OM_LBC。

:.MC=MB。：.AB=AC.

在RtA4MC中，ZAA/C=90°,AC=AB=9,MC^~^-BC=3,

由勾股定理，得AAg/AC?-MC?大中—32=6日。

設(shè)圓O的半徑為八

在Rt/kOMC中，NOMC=90。，OM=AM-A0=6^2-r,MC=3,OC=r,

27

由勾股定理，得OA/2+MC2=OC2,即(6隹-萬(wàn)+32=/。解得尸丁詆。

在△0MC和△(?”中，

?:NOMC=NOCP,NMOC=NCOP,

6A/2--

OMCM

:AOMC?LOCP。：

?ocPC'PC°

：.PC=（8分）

解法二：(1)直線尸C與圓O相切。如圖②，連接OC。

,「A。是圓。的切線，.,.4ZXLOA,

即"4。=90°。

■.BC//AD,：.ZOMC=180°-NOAD=90°，

即OM1BC。

:.MC=MB。：.AB=AC.：.ZMAB=ZMACo

：.ZBAC=2AMAC.又；NMOC=2NM4C,：.^MOC=ZBAC.

,:AB//CD,:.NBAC=NACD。：.ZMOC=NACD。又,：NBCP=NACD,

:2MOC=NBCP。?.1ZMOC+ZOCM=90°,，NBCP+NOCM=90°.

：.ZPCO=90°,BPPCIOCo又..?點(diǎn)C在圓。上，直線PC與圓。相切。

（2）在RtZ\AMC中，ZAMC=90°,AC=AB=9,MC=+BC=3,

由勾股定理，得AM4AC2-MC?492-32=6隹。

設(shè)圓。的半徑為「。

在Rt/SOMC中，NOMC=90。，OM=AM-AO=6\fT-r,MC=3,OC=r,

27

由勾股定理，得。加2+跖：2=。。2,即（6隹_42+32=/。解得尸彘~隹。

在△OMC和△OCP中，:NOMC=NOCP,NMOC=NCOP,

6y12--y-V2-

OMCM

:AOMC?AOCP,：

,OCPC'PC°

：.PC=-^~.（8分）

15、(2013?曲靖)如圖，。。的直徑AB=10,C、D是圓上的兩點(diǎn)，且蕊=而=定.設(shè)過(guò)

點(diǎn)D的切線ED交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.連接OC交AD于點(diǎn)G.

(1)求證：DF±AF.

(2)求OG的長(zhǎng).

考點(diǎn)：切線的性質(zhì).

'(1)連接BD,根據(jù)AC=CD=DB，可得NCAD=/DAB=30。，NABD=60。，從而可得n

AFD=90°；

(2)根據(jù)垂徑定理可得0G垂直平分AD,繼而可判斷OG是AABD的中位線，在

RSABD中求出BD,即可得出OG.

解答：解：(1)連接BD,

-.AC=CT=DB，

..NCAD=NDAB=30°,NABD=60",

...NADF=NABD=60°,

.?.ZCAD+ZADF=9O°,

,-.DF±AF.

(2)在R/ABD中，ZBAD=3O°,AB=10,

.-.BD=5,

??,AC=CD.

,?OG垂直平分AD,

/.OG是AABD的中位線，

15

.?QG=&D=2.

22

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理及垂徑定理的知識(shí)，解答本題要求同學(xué)們熟練掌

握各定理的內(nèi)容及含30。角的直角三角形的性質(zhì).

16、(2013?六盤(pán)水)(1)觀察發(fā)現(xiàn)

如圖(1)：若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P,使AP+BP的值最小，做

法如下：

作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，，連接AB，，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,線段AB，

的長(zhǎng)度即為AP+BP的最小值.

如圖(2)：在等邊三角形ABC中，AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找

一點(diǎn)P,使BP+PE的值最小，做法如下：

作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)

P,故BP+PE的最小值為

(2)實(shí)踐運(yùn)用

如圖(3)：已知OO的直徑CD為2,前的度數(shù)為60。，點(diǎn)B是記'的中點(diǎn)，在直徑CD

上作出點(diǎn)P,使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為

(3)拓展延伸

如圖(4)：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M,點(diǎn)N,使PM+PN

的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.

考點(diǎn)：圓的綜合題；軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題.

分析：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：利用作法得到CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值；由AB=2,點(diǎn)E是AB

的中點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CE_LAB,ZBCE=/BCA=30。，BE=1,再根據(jù)含

30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=V3：

(2)實(shí)踐運(yùn)用：過(guò)B點(diǎn)作弦BE_LCD,連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、

PB,根據(jù)垂徑定理得到CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，則AE的長(zhǎng)就是

BP+AP的最小值；

由于菽的度數(shù)為60°,點(diǎn)B是正"的中點(diǎn)得到NBOC=30。，ZAOC=60°,所以N

AOE=60°+30°=90°,于是可判斷AOAE為等腰直角三角形，貝UAE=&OA=&；

(3)拓展延伸：分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB和BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E和F,然后連結(jié)EF,EF交

AB于M、交BC于N.

解答：解：(1)觀察發(fā)現(xiàn)

如圖(2),CE的長(zhǎng)為BP+PE的最小值，

?.,在等邊三角形ABC中，AB=2,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)

.-.CE±AB,NBCE=NBCA=30°,BE=1,

??,CE=\/^E=V3;

故答案為百；

(2)實(shí)踐運(yùn)用

如圖(3),過(guò)B點(diǎn)作弦BEJLCD,連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB,

,.BEXCD,

「.CD平分BE,即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，

,??京的度數(shù)為60。，點(diǎn)B是正''的中點(diǎn)，

.?.ZBOC=30°,ZAOC=60°,

.1.ZEOC=30°,

...NAOE=6(r+30°=90°,

?.'OA=OE=1,

.-.AE=\/2PA=V2>

'.AE的長(zhǎng)就是BP+AP的最小值.

故答案為

(3)拓展延伸

如圖(4).

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何

證明中經(jīng)常用到，同時(shí)熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)-最短路徑問(wèn)題.

17、(2013?衡陽(yáng)壓軸題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(8,0),B(0,6),OM經(jīng)

過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A、B.

(1)求。M的半徑及圓心M的坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)B作。M的切線1,求直線1的解析式；

(3)NBOA的平分線交AB于點(diǎn)N,交。M于點(diǎn)E,求點(diǎn)N的坐標(biāo)和線段OE的長(zhǎng).

考點(diǎn)：圓的綜合題.

專(zhuān)題：綜合題.

分析?

'(1)根據(jù)圓周角定理NAOB=90。得AB為OM的直徑，則可得到線段AB的中點(diǎn)即點(diǎn)

M的坐標(biāo)，然后利用勾股定理計(jì)算出AB=10,則可確定。M的半徑為5；

(2)點(diǎn)B作。M的切線1交x軸于C,根據(jù)切線的性質(zhì)得AB_LBC,利用等角的余

角相等得至UNBAO=NCBO,然后根據(jù)相似三角形的判定方法有RtAABO-RtABCO,

所以膽空，可解得o