弧長(zhǎng)及扇形的面積

第三章

圓第9節(jié)弧長(zhǎng)及扇形的面積當(dāng)前1頁(yè)，總共35頁(yè)。1課堂講解弧長(zhǎng)公式

扇形面積公式2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升當(dāng)前2頁(yè)，總共35頁(yè)。我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)了圓的面積和扇形的面積，也學(xué)習(xí)了圓的周長(zhǎng)，那么圓上一部分的長(zhǎng)，也就是一條弧的長(zhǎng)怎么去求呢？現(xiàn)在重新學(xué)習(xí)圓的面積和扇形面積，比以前是不是有了更深的要求呢？下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容.當(dāng)前3頁(yè)，總共35頁(yè)。1知識(shí)點(diǎn)弧長(zhǎng)公式如圖，某傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm.(1)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A

被傳送多少厘米？(2)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)1°,傳送帶上的物品A被

傳送多少厘米？(3)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？知1－導(dǎo)當(dāng)前4頁(yè)，總共35頁(yè)。歸納知1－導(dǎo)（來(lái)自教材》）

在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為：

l=__________________.當(dāng)前5頁(yè)，總共35頁(yè)。（1）半徑為R的圓，周長(zhǎng)是多少？（2）圓的周長(zhǎng)可以看作是多少度的圓心角所對(duì)的弧？（3）1°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少？（4）n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是1°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的多少倍？（5）n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少？（1）C=2πR（2）360°（3）（4）n倍（5）也可以用ABl表示AB的長(zhǎng).知1－講n°o⌒⌒當(dāng)前6頁(yè)，總共35頁(yè)。知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）1．弧、弧長(zhǎng)、弧的度數(shù)間的關(guān)系：

弧相等表示弧長(zhǎng)、弧的度數(shù)都相等；

度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等；

弧長(zhǎng)相等的弧，弧的度數(shù)不一定相等．2．易錯(cuò)警示：在弧長(zhǎng)公式

l＝

中，n表示1°的n

倍，180表示1°的180倍，n，180不帶單位．當(dāng)前7頁(yè)，總共35頁(yè)。知1－講（來(lái)自教材）制作彎形管道時(shí)，需要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”再下料.試計(jì)算如圖所示的管道的展直長(zhǎng)度，即

的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1mm).例1解：R=40mm，n=110，所以

的長(zhǎng)=76.8(mm).因此，管道的展直長(zhǎng)度約為76.8mm.當(dāng)前8頁(yè)，總共35頁(yè)。知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）〈衡陽(yáng)〉如圖，⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，則劣弧BC的長(zhǎng)為________．例2導(dǎo)引：由切線性質(zhì)可知∠OBA＝90°.因?yàn)椤螦＝30°，所以∠BOA＝60°，因?yàn)锽C∥AO，所以∠CBO＝60°.又因?yàn)镺B＝OC，所以△OBC為等邊三角形，所以∠BOC＝60°，代入公式l＝

＝2π(cm)．2πcm當(dāng)前9頁(yè)，總共35頁(yè)?？?/p>

結(jié)知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）求弧長(zhǎng)需要兩個(gè)條件：(1)弧所在圓的半徑；(2)弧所對(duì)的圓心角．

當(dāng)題中沒(méi)有直接給出這兩個(gè)條件時(shí)，則需利用圓的相關(guān)知識(shí)：弦、弦心距、圓周角、切線等求出圓的半徑或弧所對(duì)的圓心角．當(dāng)前10頁(yè)，總共35頁(yè)。知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）如圖，某田徑場(chǎng)的周長(zhǎng)(內(nèi)圈)為400m，其中兩個(gè)彎道內(nèi)圈(半圓形)共長(zhǎng)200m,直線段共長(zhǎng)200m，而每條跑道寬約1m(共6條跑道).(1) 內(nèi)圈彎道半徑為多少米？(結(jié)果精確到0.1m)一個(gè)內(nèi)圈彎道與一個(gè)外圈彎道的長(zhǎng)相差多少米？(結(jié)果精確到0.1m)1當(dāng)前11頁(yè)，總共35頁(yè)。知1－練（來(lái)自教材）解：(1)設(shè)內(nèi)圈彎道的半徑為rm．由題意知×2πr＝100.

解得r≈31.8.∴內(nèi)圈彎道的半徑約為31.8m.(2)設(shè)外圈彎道的半徑為Rm．

∵共有6條跑道，故外圈彎道的半徑R＝

∴一個(gè)外圈彎道的弧長(zhǎng)為×2πR＝πR＝π＝(100＋6π)(m)．

∴一個(gè)內(nèi)圈彎道與一個(gè)外圈彎道的長(zhǎng)相差約100＋6π－100＝6π≈18.8(m)．當(dāng)前12頁(yè)，總共35頁(yè)。【中考·三明】在在半徑為6的⊙O中，60°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是(

)A．πB．2πC．4πD．6π知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）2B當(dāng)前13頁(yè)，總共35頁(yè)?！局锌肌つ蠈帯咳鐖D，⊙O是△ABC的外接圓，BC＝2，∠BAC＝30°，則BC的長(zhǎng)等于(

)A.B.C.D.知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）3︵A當(dāng)前14頁(yè)，總共35頁(yè)?！局锌肌熍_(tái)】如圖，在?ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD為直徑的⊙O交CD于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為(

)A.πB.πC.πD.π知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）4︵B當(dāng)前15頁(yè)，總共35頁(yè)。2知識(shí)點(diǎn)扇形面積公式知2－導(dǎo)

在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長(zhǎng)3m的繩子，繩子的另一端拴著一只狗.（1）這只狗的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？（2）如果這只狗只能繞柱子轉(zhuǎn)過(guò)n°角，

那么它的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？當(dāng)前16頁(yè)，總共35頁(yè)。知2－講1.半徑為R的圓,面積是多少？2.圓面可以看作是多少度的圓心角所對(duì)的扇形？3.1°圓心角所對(duì)扇形面積是多少？1.S=πR22.360°3.若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對(duì)的扇形面積為S，則ABO思考1：當(dāng)前17頁(yè)，總共35頁(yè)。知2－講思考2：扇形面積的大小與哪些因素有關(guān)系？扇形面積的大小與扇形的半徑和圓心角有關(guān).當(dāng)前18頁(yè)，總共35頁(yè)。知2－講比較扇形面積公式與弧長(zhǎng)公式，可以用弧長(zhǎng)表示扇形面積：其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)，R為半徑.當(dāng)前19頁(yè)，總共35頁(yè)。知2－講（來(lái)自教材）扇形AOB的半徑為12cm，

∠

AOB=120°，求

的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1cm)和扇形AOB的面積(結(jié)果精確到0.1cm2).例3解：

的長(zhǎng)=

25.1(cm).S扇形=

150.7(cm2).因此，

的長(zhǎng)約為25.1cm，扇形AOB的面積約為150.7cm2.當(dāng)前20頁(yè)，總共35頁(yè)。知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）〈廣東〉如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長(zhǎng)為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細(xì))，則所得的扇形DAB的面積為(

)A．6

B．7

C．8

D．9例4D當(dāng)前21頁(yè)，總共35頁(yè)。知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）導(dǎo)引：由正方形的邊長(zhǎng)為3，可得弧BD的弧長(zhǎng)為6，然后利用扇形的面積公式：S扇形DAB＝

lR，計(jì)算即可．由條件可知：扇形的弧DCB的長(zhǎng)就是正方形的邊BC與CD長(zhǎng)的和，為6，半徑為3，則S扇形＝×6×3＝9.當(dāng)前22頁(yè)，總共35頁(yè)?？?/p>

結(jié)知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）扇形的面積計(jì)算有兩個(gè)公式：1.當(dāng)已知扇形的圓心角時(shí)，用公式S扇形＝

較為簡(jiǎn)便；2.當(dāng)知道扇形的弧長(zhǎng)時(shí)，用公式S扇形＝

lR較為簡(jiǎn)便．當(dāng)前23頁(yè)，總共35頁(yè)。知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）如圖，在⊙O中，弦BC垂直于半徑OA，垂足為點(diǎn)E，D是優(yōu)弧BC上的一點(diǎn)，∠ADB＝30°.(1)求∠AOC的度數(shù)；(2)若弦BC＝6，求圖中陰影部分的面積．例5當(dāng)前24頁(yè)，總共35頁(yè)。知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）導(dǎo)引：(1)根據(jù)垂徑定理得到相等的弧，再由同圓或等圓中，弧、圓心角、圓周角之間的關(guān)系求得∠AOC的度數(shù)；(2)先求出⊙O的半徑，再求出圓心角∠BOC的度數(shù)，利用面積差求出陰影部分的面積．當(dāng)前25頁(yè)，總共35頁(yè)。知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）解：(1)∵弦BC垂直于半徑OA，∴BE＝CE，.

又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠BOA＝60°.(2)∵BC＝6，∴CE＝

BC＝3.

在Rt△OCE中，∠OCE＝30°，

設(shè)OE＝x，則OC＝2x，CE＝

x＝3，解得x＝.∴OE＝

，OC＝2.∵，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，∴S陰影＝S扇形OBC－S△OBC

＝×π×(2)2－×6×＝4π－3.當(dāng)前26頁(yè)，總共35頁(yè)?？?/p>

結(jié)知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）本例中求弓形面積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)規(guī)則的基本圖形(扇形、三角形)面積的差來(lái)解決．將所求面積轉(zhuǎn)化為其他幾個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差，是求陰影面積最常用的方法．當(dāng)前27頁(yè)，總共35頁(yè)。知2－練（來(lái)自《教材》）如圖，水平放置的一個(gè)油管的橫截面半徑為12cm，其中有油的部分油面高6cm，求截面上有油部分的面積(結(jié)果精確到0.1cm2).1當(dāng)前28頁(yè)，總共35頁(yè)。知2－練（來(lái)自教材）解：如圖，連接OA，OB.設(shè)OC⊥AB于點(diǎn)C，交圓O于點(diǎn)D.∵CD＝6cm，OD＝OA＝12cm，∴OC＝12－6＝6(cm).在Rt△AOC中，AC＝∴AB＝12cm，cos∠COA＝∴∠COA＝60°.∴∠AOB＝120°.∴截面上有油部分的面積為S扇形AOB－S△AOB

＝≈88.4(cm2)．當(dāng)前29頁(yè)，總共35頁(yè)?！局锌肌ぬm州】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于半徑為2的⊙O，則圖中陰影部分的面積為(

)A．π＋1B．π＋2C．π－1D．π－2知2－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）2D當(dāng)前30頁(yè)，總共35頁(yè)。【中考·桂林】如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，將Rt△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△FOE，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED，分別以O(shè)，E為圓心，OA，ED長(zhǎng)為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD，則圖中陰影部分的面積是(

)A．πB.C．3＋