大題專練訓(xùn)練19：圓錐曲線（橢圓：最值范圍問題1）-2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

二輪大題專練19—圓錐曲線（橢圓：最值范圍問題1）1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，，，是橢圓上互異的四點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），其中，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，關(guān)于軸對(duì)稱，且，求四邊形面積的最大值．解：（1）由已知條件可得，解得，，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，則點(diǎn)，，，，，，直線的斜率為，因?yàn)?，則直線的方程為，聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理可得，因?yàn)?，所以四邊形的面積為，所以令，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，所以四邊形的面積的最大值為．2．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為上一點(diǎn)，△面積的最大值為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，不與軸垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，且．試問：△的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，說明理由．解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題，△面積最大值為，則，解得所以橢圓方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，，，將代入，得，△，由△得，，，由，得，即，，整理得，即，所以，，所以直線經(jīng)過，且△恒成立，，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)，△的面積取最大值為6．3．已知圓，點(diǎn)，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，若線段的垂直平分線和相交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為曲線．曲線與軸的正半軸交于點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，動(dòng)直線交曲線于，兩點(diǎn)，且始終滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求曲線的方程；（2）求的取值范圍．解：（1）由圓，可得圓心，半徑，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)，又由點(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以，所以，由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，，所以曲線的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)：設(shè)的方程為：，則易得，即，點(diǎn)的坐標(biāo)為：；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為：，，，，，聯(lián)立，可得．由△得，且，，又因?yàn)?，所以，即，即，代入解得，，綜上：點(diǎn)的軌跡方程為．記線段的中點(diǎn)為，，直線與圓相切，則，，，的取值范圍為．4．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）已知點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，過點(diǎn)的直線，與橢圓均僅有一個(gè)公共點(diǎn)，分別記為，，求面積的最大值．解：（1）依題意，得，解得，，故橢圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，，，點(diǎn)，在圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線，的斜率分別為，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，消去得，則，令△，整理得，，又，所以，．代入上式得，即，所以，故直線的方程為，化簡可得，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或也滿足；同理，直線的方程為；因?yàn)椋谥本€、上，故，，故直線的方程為；當(dāng)，直線的方程為或，代入橢圓方程解得，此時(shí)三角形面積，當(dāng)，聯(lián)立，消去，得，故，，故；又點(diǎn)到直線的距離，故，令，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．則的面積的最大值為1．5．如圖，已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，，分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與圓相切，若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．解：（1）根據(jù)題意可得解得，，所以橢圓的方程為．（2）圓的圓心為坐標(biāo)系原點(diǎn)，半徑，由直線與圓相切，得，即③，由，得，設(shè)，，，，則，④，所以，所以令，則，，所以，，所以方，則，解得時(shí)，取得最大值為1．6．已知橢圓的離心率是，兩條準(zhǔn)線間的距離為4．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓的長軸上（不包含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，過作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于、和、，求四邊形的面積的最大值．解：（1）由題意知，解得，，所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)斜率不存在或斜率為0時(shí)，此時(shí)，一個(gè)