2023屆高考數(shù)學(xué)專題十七圓錐曲線的幾何性質(zhì)精準(zhǔn)培優(yōu)專練理

PAGEPAGE1培優(yōu)點(diǎn)十七圓錐曲線的幾何性質(zhì)1．橢圓的幾何性質(zhì)例1：如圖，橢圓的上頂點(diǎn)、左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為、、，中心為，其離心率為，那么〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得而，所以，應(yīng)選B．2．拋物線的幾何性質(zhì)例2：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在直線上的射影為，且直線的斜率為，那么的面積為〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以，由拋物線定義知，，且，所以是以4為邊長(zhǎng)的正三角形，其面積為．應(yīng)選C．3．雙曲線的幾何性質(zhì)例3：點(diǎn)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，那么的最大值為_(kāi)________．【答案】15【解析】在雙曲線中，，，，，，，，，．對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、單項(xiàng)選擇題1．拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值為1，那么〔〕A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值即到準(zhǔn)線的最小值，很明顯滿足最小值的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，據(jù)此可知：，．此題選擇C選項(xiàng)．2．設(shè)點(diǎn)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，假設(shè)，那么的面積等于〔〕A． B． C． D．【答案】B【解析】據(jù)題意，，且，解得，．又，在中由余弦定理，得．從而，所以，應(yīng)選B．3．經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為的直線l，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么等于〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】橢圓方程為，，，，取一個(gè)焦點(diǎn)，那么直線方程為，代入橢圓方程得，，，所以，應(yīng)選C．4．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，假設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，，那么〔〕A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】設(shè)的坐標(biāo)分別為，，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，那么，，由此解得．應(yīng)選B．5．雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形〔為原點(diǎn)〕，那么雙曲線的方程為〔〕A． B．C． D．【答案】B【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形〔為原點(diǎn)〕，可得，，即，，解得，，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸，所得雙曲線的方程為，應(yīng)選B．6．如下圖，“嫦娥一號(hào)〞探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道繞月飛行．橢圓軌道和的中心與F在同一直線上，設(shè)橢圓軌道和的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)分別為，，半焦距分別為，，那么有〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓形軌道的半徑為，，，，由知，應(yīng)選C．7．雙曲線，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)，且雙曲線，的離心率相同，那么雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是〔〕A．32 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】雙曲線的離心率為，設(shè)，雙曲線一條漸近線方程為，可得，即有，由，可得，即，又，且，解得，，，即有雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為16．應(yīng)選D．8．是拋物線的焦點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)，線段與拋物線相交于點(diǎn)，假設(shè)，那么〔〕A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由題意得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，所以向量：，，由向量線性關(guān)系可得：，，解得：，代入拋物線方程可得：，那么，由兩點(diǎn)之間的距離公式可得：．應(yīng)選D．9．橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，，分別是和的離心率，假設(shè)，那么的最小值為〔〕A． B．4 C． D．9【答案】A【解析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸為，令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，①由橢圓定義，②又∵，∴，③，得，④將④代入③，得，∴，應(yīng)選A．10．為拋物線的焦點(diǎn)，，，為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，稱為“和諧三角形〞，那么“和諧三角形〞有〔〕A．0個(gè) B．1個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】D【解析】拋物線方程為，，，為曲線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為的重心，用如下方法構(gòu)造，連接并延長(zhǎng)至，使，當(dāng)在拋物線內(nèi)部時(shí)，設(shè)，假設(shè)存在以為中點(diǎn)的弦，設(shè)，，那么，，，那么，兩式相減化為，，所以總存在以為中點(diǎn)的弦，所以這樣的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，應(yīng)選D．11．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，橢圓的離心率為，直線過(guò)點(diǎn)與雙曲線交于，兩點(diǎn)，假設(shè)，且，那么雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為〔〕A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】由題，，，由雙曲線的定義可得|，∵橢圓的離心率為：，∴，，，在中，由余弦定理的，在中，由余弦定理可得：，∵，，即，整理得2a設(shè)雙曲線的離心率為，，解得或〔舍〕．∴，，即．∴雙曲線的漸近線方程為，∴漸近線的傾斜角為，．應(yīng)選C．12．為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是，，那么的取值范圍為〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，由題意設(shè)，那么，∴，設(shè)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)．又當(dāng)點(diǎn)在橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，，∴，此時(shí)最大，且最大值．∴的取值范圍是，應(yīng)選C．二、填空題13．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，那么__________．【答案】【解析】由知，由焦點(diǎn)弦性質(zhì)，而．14．橢圓的左、右焦點(diǎn)為、，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在橢圓上，那么的周長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)，，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，那么：，那么，，那么，故的周長(zhǎng)為：．15．為雙曲線右支上一點(diǎn)，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，直線交軸于點(diǎn)，那么的內(nèi)切圓半徑為_(kāi)_________．【答案】2【解析】∵，的內(nèi)切圓半徑為，∴，∴，∴，∵由圖形的對(duì)稱性知：，∴．故答案為2．16．直線與橢圓相切于第一象限的點(diǎn)，且直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，當(dāng)(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小時(shí)，(、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn))，假設(shè)此時(shí)在中，的平分線的長(zhǎng)度為，那么實(shí)數(shù)的值是__________．【答案】【解析】由題意，切線方程為，直線與軸分別相交于點(diǎn)，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，〔為坐標(biāo)原點(diǎn)〕的面積最小，設(shè)，，由余弦定理可得，，，，，，，的內(nèi)角平分線長(zhǎng)度為，，，，，故答案為．三、解答題17．設(shè)常數(shù)．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線：，曲線：．與軸交于點(diǎn)、與交于點(diǎn)．、分別是曲線與線段上的動(dòng)點(diǎn)．〔1〕用表示點(diǎn)到點(diǎn)距離；〔2〕設(shè)，，線段的中點(diǎn)在直線，求的面積；〔3〕設(shè)，是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在上？假設(shè)存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕存在，．【解析】〔1〕方法一：由題意可知：設(shè)，那么，∴；方法二：由題意可知：設(shè)，由拋物線的性質(zhì)可知：，∴；〔2〕，，，那么，∴，∴，設(shè)的中點(diǎn)，，，那么直線方程：，聯(lián)立，整理得：，解得：，〔舍去〕，∴的面積；〔3〕存在，設(shè)，，那么，，直線方程為，∴，，根據(jù)，那么，∴，解得：，∴存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在上，且．18．與橢圓相交于、兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上．斜率為的直線與線段相交于點(diǎn)，與橢圓相交于、兩點(diǎn)．〔1〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)