2021屆高三大一輪復(fù)習(xí)40分鐘單元基礎(chǔ)小練 34 拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)

40分鐘單元基礎(chǔ)小練34拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)一、選擇題1．過(guò)點(diǎn)F(0,3)且和直線y＋3＝0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為()A．y2＝12xB．y2＝－12xC．x2＝－12yD．x2＝12y答案：D解析：由拋物線的定義知，過(guò)點(diǎn)F(0,3)且和直線y＋3＝0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡是以點(diǎn)F(0,3)為焦點(diǎn)，直線y＝－3為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為x2＝12y.2．拋物線x＝4y2的準(zhǔn)線方程為()A．y＝eq\f(1,2)B．y＝－1C．x＝－eq\f(1,16)D．x＝eq\f(1,8)答案：C解析：將x＝4y2化為標(biāo)準(zhǔn)形式為y2＝eq\f(1,4)x，所以2p＝eq\f(1,4)，p＝eq\f(1,8)，開(kāi)口向右，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(1,16).3．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)P(－4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y答案：D解析：設(shè)拋物線為y2＝mx，代入點(diǎn)P(－4，－2)，解得m＝－1，則拋物線方程為y2＝－x；設(shè)拋物線為x2＝ny，代入點(diǎn)P(－4，－2)，解得n＝－8，則拋物線方程為x2＝－8y.故選D.4．拋物線x2＝4y上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為()A．2eq\r(2)B．1C．2D．3答案：A解析：根據(jù)拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.根據(jù)拋物線定義，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入拋物線方程求得xP＝±2eq\r(2)，∴點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2eq\r(2).故選A.5．已知雙曲線eq\f(y2,4)－x2＝1的兩條漸近線分別與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB的面積為1，則p的值為()A．1B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4答案：B解析：雙曲線eq\f(y2,4)－x2＝1的漸近線y＝±2x與拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)的交點(diǎn)分別為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，p))，則|AB|＝2p，△AOB的面積為eq\f(1,2)×2p×eq\f(p,2)＝1，p>0，解得p＝eq\r(2).6．已知點(diǎn)Q(0,2eq\r(2))及拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，則x＋|PQ|的最小值為()A．4B．2C．6D.eq\r(2)答案：B解析：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，則由拋物線的定義得其準(zhǔn)線方程為x＝－1.設(shè)d為點(diǎn)P(x，y)到準(zhǔn)線的距離．∴x＋|PQ|＝d－1＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1，∴x＋|PQ|的最小值是|QF|－1.∵點(diǎn)Q(0,2eq\r(2))，∴|QF|＝3.∴x＋|PQ|的最小值是|QF|－1＝3－1＝2.故選B.7．直線x－y＋1＝0與拋物線y2＝2px的對(duì)稱軸及準(zhǔn)線相交于同一點(diǎn)，則該直線與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A．－1B．1C．2D．3答案：B解析：由題意可得，直線x－y＋1＝0與拋物線y2＝2px的對(duì)稱軸及準(zhǔn)線交點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，代入x－y＋1＝0，得－eq\f(p,2)＋1＝0，即p＝2，故拋物線的方程為y2＝4x.將y2＝4x與直線方程x－y＋1＝0聯(lián)立可得交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2)．故選B.8．[2019·廣東中山一中統(tǒng)測(cè)]過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)．如果x1＋x2＝6,那么|AB|＝()A．6B．8C．9D．10答案：B解析：由題意知，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程是x＝－1.∵過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，∴|AB|＝x1＋x2＋2.又∵x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故選B.9．[2019·重慶酉陽(yáng)月考]已知F是拋物線C：y＝2x2的焦點(diǎn)，點(diǎn)P(x，y)在拋物線C上，且x＝1，則|PF|＝()A.eq\f(9,8)B.eq\f(3,2)C.eq\f(17,8)D.eq\f(5,2)答案：C解析：由y＝2x2，得x2＝eq\f(y,2)，則p＝eq\f(1,4).由x＝1得y＝2.由拋物線的性質(zhì)，得|PF|＝2＋eq\f(p,2)＝2＋eq\f(1,8)＝eq\f(17,8).故選C.10．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為K，P是拋物線上一點(diǎn)，若|PF|＝5，則△PKF的面積為()A．4B．5C．8D．10答案：A解析：通解由拋物線y2＝4x，知eq\f(p,2)＝1，則焦點(diǎn)F(1,0)．設(shè)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0))，則由|PF|＝5，得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)－1))2＋y\o\al(2,0))＝5，解得y0＝±4，所以S△PKF＝eq\f(1,2)×p×|y0|＝eq\f(1,2)×2×4＝4，故選A.優(yōu)解由題意知拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－1.過(guò)點(diǎn)P作PA⊥l于點(diǎn)A，由拋物線的定義知|PF|＝xp＋eq\f(p,2)＝xp＋1＝5，所以xp＝4，代入拋物線y2＝4x，得yp＝±4，所以S△PKF＝eq\f(1,2)×p×|yp|＝eq\f(1,2)×2×4＝4，故選A.11．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p，則直線MF的斜率為()A．±eq\f(\r(3),3)B．±eq\f(3,4)C．±1D．±eq\r(3)答案：D解析：設(shè)M(x，y)，由題意知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由拋物線的定義，可知x＋eq\f(p,2)＝2p，故x＝eq\f(3p,2)，由y2＝2p×eq\f(3p,2)，知y＝±eq\r(3)p.當(dāng)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，\r(3)p))時(shí)，kMF＝eq\f(\r(3)p－0,\f(3p,2)－\f(p,2))＝eq\r(3)，當(dāng)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)，－\r(3)p))時(shí)，kMF＝eq\f(－\r(3)p－0,\f(3p,2)－\f(p,2))＝－eq\r(3)，故kMF＝±eq\r(3).故選D.12．[2018·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝()A．5B．6C．7D．8答案：D解析：由題意知直線MN的方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))不妨設(shè)M為(1,2)，N為(4,4)．又∵拋物線焦點(diǎn)為F(1,0)，∴eq\o(FM,\s\up6(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up6(→))＝(3,4)．∴eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0×3＋2×4＝8.故選D.二、填空題13．拋物線x2＝－2py(p>0)的焦點(diǎn)到直線y＝2的距離為5，則p＝________.答案：6解析：由題意得2＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝6.14．已知圓C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物線C2：y2＝2px(p>0)，C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝eq\f(8\r(5),5)，則拋物線C2的方程為_(kāi)_______．答案：y2＝eq\f(32,5)x解析：由題意得圓C1與拋物線C2的其中一個(gè)交點(diǎn)B為原點(diǎn)，設(shè)A(x，y)，圓C1的圓心為C(0,2)．∵|AB|＝eq\f(8\r(5),5)，∴sineq\f(1,2)∠BCA＝eq\f(\f(|AB|,2),|BC|)＝eq\f(2\r(5),5)，coseq\f(1,2)∠BCA＝eq\f(\r(5),5).∴y＝|AB|sineq\f(1,2)∠BCA＝eq\f(8\r(5),5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(16,5)，x＝|AB|·coseq\f(1,2)∠BCA＝eq\f(8\r(5),5)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(8,5)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(16,5))).∵點(diǎn)A在拋物線C2上，∴2p×eq\f(8,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))2，解得p＝eq\f(16,5)，∴拋物線C2的方程為y2＝eq\f(32,5)x.15．已知焦點(diǎn)為F的拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)A(m，2eq\r(2))，若以A為圓心，|AF|為半徑的圓A被y軸截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(5)，則m＝________.答案：2解析：因?yàn)閳AA被y軸截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(5)，所以eq\r(m2＋5)＝|AF|＝m＋eq\f(p,2)①，又A(m,2eq\r(2))在拋物線上，故8＝2pm②由①與②可得p＝2，m＝2.16．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x，y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)A(－1,0)，則eq\f(|PF|,|PA|)的最小值是________．答案：eq\f(\r(2),2)解析：根據(jù)拋物線