第21計 圖表開門 信息傳送

數(shù)學(xué)破題36計數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義圖表也是一種數(shù)學(xué)語言.這種語言以圖形和表格的形式傳送信息，它有立意新穎，設(shè)計靈活，構(gòu)思精巧，內(nèi)涵豐富，解法多樣等特點，因而備受當(dāng)今命題人的青睞，許多創(chuàng)新題型每每在圖表上打主意.解圖表型題目應(yīng)在讀圖表，識圖表和用圖表上找竅點，通過觀察找到其中的關(guān)鍵點，有效地實現(xiàn)圖表語言到文字語言的轉(zhuǎn)化，從而在思考上引起質(zhì)的飛躍，從而達到破題的目的.●典例示范【例1】如圖，甲、乙兩人分別位于方格中A、B兩處，從某一時刻開始，兩人同時以每分鐘一格的速度向東或西或南或北方向行走，已知甲向東、西行走的概率均為，向南、北行走的概率分別為和p；乙向東、西、南、北行走的概率均為q.例1題圖(1)求p和q的值；（2）試判斷最少幾分鐘，甲、乙兩人可以相遇，并求出最短時間內(nèi)可以相遇的概率.【分析】同時進行兩個相互獨立事件，因為概率的總和為1，因此有以下解答.【解答】（1）甲向四個方向行走是一個必然事件，∴+++p=1,∴p=.同理4q=1，∴q=.【分析】甲、乙二人到底在哪兒相遇沒有定數(shù)，但我們可以看到，甲、乙二人在一個正方形的兩個對角頂點上.他們要在最短時間內(nèi)相遇，他們必須沿著這個正方形的邊行走.【解答】(2)如解圖，設(shè)甲、乙兩人在C、D、E處相遇的概率分別為pC、pD、pE.【插語】從圖形中來，回到圖形中去，在圖上標明這三點，讓我們的思路一目了然，才會有下面的解答.【繼解】甲、乙兩人最少需要2分鐘可以相遇.【插語】每人朝對方走2步，因為他們的速度相同（每分鐘都是一格）.例1題解圖【繼解】則pC=，pD=2，pE=×=∴pC+pD+pE=即所求的概率為.【評說】這是一個幾何圖形信息題，具有多樣性、直觀性的特征，充分挖掘圖形內(nèi)涵，全方位地審視圖形，全面掌握圖形所提供的信息，以形助數(shù)是解決信息題的關(guān)鍵.函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分數(shù)值如下：x-3-2-10123456y-80-2404001660144280則函數(shù)y=lgf(x)的定義域為.【分析】所求函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，只需f(x)>0即可，但f(x)中含有四個系數(shù)a，b，c，d，所以先確定它們的值.【解答】設(shè)f(x)=a(x+1)(x-1)(x-2)，而f(0)=4，∴a=2.【插語】為什么這樣設(shè)?這來源于表格中y有三個0值點，關(guān)鍵點的選取，使我們的系數(shù)一下減少了3個.此設(shè)是本題的一個突破口.【續(xù)解】∴f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2).要使y=lgf(x)有意義，則有f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2)>0,由數(shù)軸標根法解得-1<x<1或x>2.∴函數(shù)y=lgf(x)的定義域為(-1，1)∪(2，+∞).【評說】本題把求函數(shù)解析式與高次不等式的解法巧妙地結(jié)合在一起，而且給出了多余的條件信息，屬開放問題，這些正是題目命制的創(chuàng)新之處.解答這類信息過剩的問題時，要注意從眾多的信息中，觀察、分析、篩選，放棄無用的信息，挑選出與解題有關(guān)的信息，找到解題的突破口，這種能力正是在當(dāng)今“信息大爆炸”的社會所需要的能力.●對應(yīng)訓(xùn)練1.甲、乙兩射擊運動員進行射擊訓(xùn)練比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運動員射擊的環(huán)數(shù)穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán).他們的這次成績畫成頻率分布直方圖如圖所示.(1)根據(jù)這次訓(xùn)練比賽的成績頻率分布直方圖，推斷乙擊中8環(huán)的概率P（ξ乙＝8），并求甲，乙同時擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）的概率；（2）根據(jù)這次訓(xùn)練比賽的成績估計甲，乙誰的水平更高（即平均每次射擊的環(huán)數(shù)誰大）.第1題圖2.如圖，小正六邊形沿著大正六邊形的邊，按順時針方向滾動.小正六邊形的邊長是大正六邊形邊長的一半，如果小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動一周后返回出發(fā)時的位置，在這個過程中向量圍繞著點O旋轉(zhuǎn)了θ角，其中O為小正六邊形的中心，則sin=.第2題圖●參考答案1.（1）由圖乙可知P（ξ乙＝7）＝0.2,P(ξ乙＝9）=0.2，P(ξ乙＝10）＝0.35,∴P(ξ乙=8）=1-0.2-0.2-0.35=0.25.由圖甲可知P（ξ甲＝7）＝0.2，P(ξ甲＝8）=0.15，P(ξ甲＝9）＝0.3,∴P(ξ甲＝10）＝1－0.2-0.15-0.3=0.35.∵P(ξ甲≥9)=0.3+0.35=0.65，P(ξ乙≥9)=0.2+0.35=0.55.∴甲、乙同時擊中9環(huán)以上（包括9環(huán)）的概率為：P＝P（ξ甲≥9)×P(ξ乙≥9）=0.65×0.55=0.3575.(2)∵Eξ甲=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,Eξ乙=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7,∴Eξ甲>Eξ乙，所以估計甲的水平更高.【評說】條形統(tǒng)計圖能直觀反映各種數(shù)據(jù)，具有可比性、規(guī)律性.理解圖形內(nèi)容,找出變化趨勢和規(guī)律,是解答條形圖信息的關(guān)鍵.2.從第一圖的開始位置變化到第二圖時，向量繞點O旋轉(zhuǎn)了(注意繞點O是順時針方向旋轉(zhuǎn)），從第二圖位置變化到第三圖時，向量繞點O旋轉(zhuǎn)了，則從第一圖的位置變化到第三圖位置時，正好小正六邊形滾過大正六邊形的一條邊，向量繞點O