新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式

§1.1集合

【考試要求】

1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系，能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列

舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題.

2.理解集合間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.

3.在具體情境中，了解全集與空集的含義.

4.理解兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集、交集與補(bǔ)集.

5.能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算.

【知識(shí)梳理】

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,用符號(hào)且或g表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法

非負(fù)整數(shù)集

集合正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

(或自然數(shù)集)

符號(hào)NN*（或NJZQR

2.集合的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合4B,如果集合4中任意--個(gè)元素都是集合6中的元素,

就稱集合4為集合5的子集，記作力U8或回.

(2)真子集：如果集合力=6,但存在元素xG2且就稱集合力是集合6的真子集，記

作4B或BA.

(3)相等：若AGB,且莖則1=8.

(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

、表示

文字語(yǔ)言集合語(yǔ)言圖形語(yǔ)言記法

運(yùn)

所有屬于集合/現(xiàn)屬于

{x\xGA,或

并集集合6的元素組成的集AUB

了66}00

所有屬于集合4旦屬于

{X\XELA,且

交集集合6的元素組成的集1ATVB

X?必3E

合

全集〃中不屬于集合/

的所有元素組成的集合

補(bǔ)集{x\xRU,且廨力}

稱為集合/相對(duì)于全集UU0

的補(bǔ)集

【思考】

1.若一個(gè)集合］中有〃個(gè)元素，則集合/有幾個(gè)子集，幾個(gè)真子集?

提示子集：2”,真子集：2--1.

2.從ACB=A,中可以分別得到集合48有什么關(guān)系？

提示ADB—A^>AQS,AU8=Ao厄4

【基礎(chǔ)自測(cè)】

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.(X)

(2){x\y—x+l}-{y\y—x+l)—{(x,y)|y=/+l).(X)

⑶若1C{V,*},則*=-1或x=l.(X)

(4)對(duì)任意集合4B,都有(4C庾U(/U⑸.(V)

題組二教材改編

2.(多選)若集合［={x￡N2x+10>3x},則下列結(jié)論正確的是()

A.2出陣4B.8馬

C.{4}ejD.{0}￡j

答案AD

3.己知集合々{1,a},Q={1,3},若P=Q,則a=_.

答案0

4.設(shè)全集〃=R,集合4={x|0<xW2},8={y|lWj<3},則((〃)U6=

答案(一8,0)U［1,+°°)

解析因?yàn)閧x|x>2或KO},B—{y|1WZ3},所以(CMUB—(―°°,0)U[1,+°°).

題組三易錯(cuò)自糾

5.已知集合4={x|x-a>0},8={*|x>l},若{B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(1,+8)

6.已知集合a=0},W{x|ax—1=0},若1獷11=凡則實(shí)數(shù)a的值是

答案0或1或一1

解析易得JU{a}.,:MC\懺N,J.NQM,

；."=0或N=M,

a=0或a=±l.

題型一集合的含義與表示

1.(多選)已知集合［={x|x=34—1,ACZ},則下列表示正確的是()

A.一13B.

C.3N-1C4D.-34CJ

答案BCD

解析當(dāng)衣=0時(shí)，x=-l,所以一164所以A錯(cuò)誤；

令-11=3A—1,得k=—六Z,所以一1144所以B正確；

因?yàn)锳GZ,所以則3芯一1G4,所以C正確；

令-34=3%—1,得k=-11,所以一34G4,所以D正確.

2.已知集合〃={(*,。|六+/<1,x0L,yeZ},則集合〃中的元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析當(dāng)x=-1時(shí)，y=0；

當(dāng)x=0時(shí)，y=-1,0,1;

當(dāng)x—1時(shí)，y—0.

所以〃={(-1,0)，(0,—1),(0,0),(0,1),(1,0)},共有5個(gè)元素.

3.若集合4={a—3,2a—1,才一4},且一3G4,則實(shí)數(shù)a=.

答案0或1

解析①當(dāng)a—3=-3時(shí)，即a=0,

此時(shí)4={-3,-1,-4},

②當(dāng)2a—1=—3時(shí)，即a=—1,

此時(shí)4={-4,-31—3}舍，

③當(dāng)步一4=—3時(shí)，即&=±1,由②可知a=—1舍，則a=l時(shí)，A={—2,1,—3),

綜上，a=0或1.

4.已知a,Z?GR,若{a,11={a,a+b,0),則a?必+夕3=__.

答案T

解析由已知得aWO,則絲0,

a

所以6=0,

于是，=1,即a=l或a=—1,

又由集合中元素的互異性知a=l應(yīng)舍去，

故a=-1,

所以a2°2l+b2M=(-i)2M+o2M=—L

思維升華解決集合含義問(wèn)題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限

制條件；三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問(wèn)題.

特別提醒：含字母的集合問(wèn)題，在求出字母的值后，需要驗(yàn)證集合的元素是否滿足互異性.

題型二集合間的基本關(guān)系

例1⑴已知集合仁{xGRf_3x+2=0},8={xWN0＜K5},則滿足條件力U區(qū)8的集合

C的個(gè)數(shù)為.

答案4

解析由題意可得,/={1,2},5={1,2,3,4).

又：區(qū)&氏{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},共4個(gè).

⑵已知集合/={x|—3WxW4},B={x12ffl-K^zw+1),且反4則實(shí)數(shù)卬的取值范圍

是.

答案［-1,+8)

解析,JBQA,

①當(dāng)6=0時(shí)，2m—1〉葉］,解得勿＞2,

2m—1W/z?+1,

②當(dāng)期時(shí)，＜2加一12—3,

77+1W4,

解得一1W〃忘2.

綜上，實(shí)數(shù)加的取值范圍是［—1,+8).

思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問(wèn)題時(shí)，必須考慮空集的情況，否則

易造成漏解.

(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而

轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀解決這類問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(八省聯(lián)考)已知M/V均為R的子集，且卜忙M則#U(［加等于()

A.0B.MC.#D.R

答案B

解析畫(huà)Venn圖即可，注意最后求并集.

⑵己知集合4={x|f—4x—5W0},8={x|〃-5WxW2z?+l},若48,則實(shí)數(shù)股的取值范

圍是_____.

答案[2,4]

解析/={x[（x+1）（4一5）WO}={x|-1W運(yùn)5},

,：AB,

加一5W-1,5<-1,

：.\或《

〔2m+l>5[2勿+1》5,

解得2W辰4.

題型三集合的基本運(yùn)算

命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算

例2⑴設(shè)集合<={x|lW*3},Q{x|2〈水集,則/U6等于（）

A.{x|2〈xW3}B.{X|2WA<3}

C.{x|1WK4}D.{x[l<x<4}

答案C

解析4U6={x|lWxW3}U{x|2〈水4}

={x|1^X4}.

（2）設(shè)集合/=3*2—3x+2=0},則滿足/u8={0,1,2}的集合8可以是.（只要

寫(xiě)出一個(gè)即可）

答案{0}或{0,1}或{0,2}或{0,1,2}

解析4={x|V—3x+2=0}={1,2},

?.3U8={0,1,2},，。6區(qū)...集合8可以是{0}或{0,1}或{0,2}或{0,1,2}.

命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)

例3(1)已知集合［={x|J-3x<0},B={\,a},且4r18有4個(gè)子集，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

A.(0,3)B.(0,1)U(1,3)

C.(0,1)D.(一8,1)U(3,+8)

答案B

解析因?yàn)?n8有4個(gè)子集，所以4n6中有2個(gè)不同的元素，所以aG/,所以才一3水0,

解得0<a<3.又aWl,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)U(1,3),故選B.

⑵設(shè)集合4W0},8={x|2x+aW0},且4A8={x|-2W啟1},則a等于()

A.-4B.-2C.2D.4

答案B

解析4={x|—2WxW2},B=x

由/C8={x|-2WxWl},知一怖=L

所以a=-2.

［高考改編題］已知集合［={x|f—4W0},8={x|2x+aW0},若4U8=8,則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是()

A.a<~2B.aW—2

C.a>—4D.aW—4

答案D

解析集合力={x|-2WxW2},J,

由可得力￡凡作出數(shù)軸如圖.

可知一聲2,即aW—4.

思維升華(1)對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；

如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況.

(2)運(yùn)算過(guò)程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，能簡(jiǎn)化運(yùn)算.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知全集QR,集合力={x|2">4},B^{x\(x-1)(x-3)<0},則(［Mr)2等

于()

A.(1,2)B.(1,2］

C.(1,3)D.(-8,21

答案B

解析A=[x\2^>4}={x\x>2\,[〃={x|xW2},B—{x\Kx<3}.

???((?)06={x[l<xW2}.

(2)設(shè)集合力={x|—lWx<2},B={x\x<a\,若ZG#。，則a的取值范圍是()

A.-l<a<2B.a>2

C.—1D.a>—1

答案D

解析在數(shù)軸上畫(huà)出集合人庾如圖)，

-1?012x

觀察可知a>-l.

題型四集合的新定義問(wèn)題

例4(1)已知集合4={xeN|x2-2x-3W0},27={1,3},定義集合46之間的運(yùn)算“*”：

4*6=3*=小+如為64在6因，則4*6中的所有元素?cái)?shù)字之和為()

A.15B.16C.20D.21

答案D

解析由2x—3W0,得(x+1)(x—3)W0,得/={0,1,2,3}.因?yàn)?*8={x|矛=為+如

為￡力,&E8},所以/*8中的元素有：0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),

2+3=5,3+1=4(舍去)，3+3=6,所以4*6={1,2,3,4,5,6},所以4*8中的所有元素?cái)?shù)

字之和為21.

(2)若集合4,4滿足41^2=4,則稱(4,④為集合力的一種分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)4

=4時(shí)，(4,4)與(4,4)是集合4的同一種分拆.若集合4有三個(gè)元素，則集合/的不同

分拆種數(shù)是.

答案27

解析不妨令4={1,2,3},也=力,

當(dāng)4=0時(shí)，Ai—{1,2,3},

當(dāng)4={1}時(shí)，4可為{2,3},{1,2,3}共2種,

同理4={2},{3}時(shí)，4各有兩種，

當(dāng)4={1,2}時(shí)，4可為⑶，{1,3},{2,3},{1,2,3}共4種，

同理4={1,3},{2,3}時(shí),也各有4種,

當(dāng)4={1,2,3}時(shí)，4可為4的子集，共8種，

故共有1+2X3+4X3+8=27種不同的分拆.

素養(yǎng)提升解決集合新定義問(wèn)題的關(guān)鍵是

(1)準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決新定義問(wèn)題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)

合題目所給定義，結(jié)合題目的要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.

(2)方法選?。簩?duì)于新定義問(wèn)題，可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)

合集合的相關(guān)性質(zhì)求解.

(3)從新定義出發(fā)，結(jié)合集合的性質(zhì)求解，提升邏輯推理核心素養(yǎng).

跟蹤訓(xùn)練3定義一種新的集合運(yùn)算※：AXB={x\xG/1且痣6}.若集合/={*|f-4x+3<0},

6={x|2WxW4},則按運(yùn)算※，6※/等于()

A.{x|3<^^4}B.{*|3W_r^4}

C.{x|3<K4}D.{x|2Wx<4}

答案B

解析由題意知，A=U|1<X3}，在數(shù)軸上表示出A,8的區(qū)間，可得豚A={X|3WA<4}.

課時(shí)精練

【基礎(chǔ)保分練】

1.已知集合〃={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,5},6={2,3,6,7},則8n([加等于()

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7)

答案C

解析'：[/={1,2,3,4,5,6,7},4={2,3,4,5},

{1,6,7).

又8=⑵3,6,7},...8。(「4)={6,7}.

2.設(shè)集合除={x|f=x},A-{xllgxWO},則機(jī)等于()

A.[0,1]B.(0,1]

C.[0,1)D.(-8,1]

答案A

解析"：M={0,1},N=3(KxW1),

{xIOWxWl}.

3.設(shè)集合/={(x,y)\x+y=2],6={(x,y)\y=x},則4n8等于()

A.{(1,1)}B.{(-2,4))

C.{(1,1),(-2,4)}D.0

答案C

解析首先注意到集合A與集合8均為點(diǎn)集，

\x+y=2,[x=l,(x=-2,

聯(lián)立2解得，或，

[y=x,[y=lty=4.

從而集合［03={(1,1),(-2,4)}.

4.設(shè)集合#={x|x=4〃+l,〃￡Z},N={x\x=2n-V\,〃￡Z},則()

A.MNB.NMC.MGND.N^M

答案A

解析N={x\x=2n-\~\j〃￡Z},

當(dāng)〃=24,4￡Z時(shí)，4{x|x=4"+Lk￡Z}=M,

當(dāng)〃=24+1,4eZ時(shí)，/V={x|x=44+3,AGZ),

所以〃N.

5.已知集合/=卜ez/GZI，則集合/中的元素個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

答案C

3

解析因?yàn)?;一WZ,且XGZ,所以2—X的取值有-3,—1,1,3,所以X的值分別為5,3,1,

乙一X

-1,故集合4中的元素個(gè)數(shù)為4.

6.(多選)已知集合4={1,2,3,4},B={y\y=2x-^,x^A},則集合力A6的真子集可以為

()

A.0B.{1}C.{3}D.{1,3}

答案ABC

解析由題意，得6={-1,1,3,5},

故集合4C6的真子集可以為0,{1},{3}.

7.(多選)已知集合4={x|V—3x+2W0},6={x|2〈2'W8},則下列判斷正確的是()

A.AUB=B

B.(1曲U4=R

C.Hn6={x［l<xW2}

D.(［由U(￡/)={x|運(yùn)1或x>2}

答案CD

解析因?yàn)閤—3x+2W0,所以1WA^2,

所以A={x|1WXW2}；

因?yàn)?<2*W8,所以1<XW3,所以8={川l〈xW3}.

所以{U5={*|1W后3},4C8={x［l<xW2}.

(C㈤uA={x\xW2或x>3},(C曲U(［加={x\xWl或x>2}.

8.(多選)已知集合A={1,2},B=UImx=1,勿GR},若醫(yī)4則實(shí)數(shù)m可能的取值為()

A.0B.1C.1D.2

答案ABC

解析當(dāng)m=0時(shí)，B=0JA成立;

當(dāng)"WO時(shí)，則，={x|而r=L必WR}={%,

■:歸A,???一=1或一=2,

mm

解得m=1或m=；.

綜上所述，實(shí)數(shù)次可能的取值為0,1,1.

9.已知集合力={1,3,yfm},8={1,血，若為4則勿=.

答案?；?

解析因?yàn)獒t(yī)/,所以勿=3或必.即/=3或加=0或應(yīng)=1,根據(jù)集合中元素的互異性

可知*1,所以勿=0或3.

10.已知集合［={*【一5＜矛＜1},B={AH{x—ni)(x—2)＜0},若4C16=(—1,n),則葉〃=

答案0

解析Vzin5=(-1,n),

m——1,n—1,

m+n=0.

11.己知集合［={川-2〈矛＜3},6={x|欣求葉9},若4C屏0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

答案{屈一11＜冰3}

解析若4。8=0,則有勿+9W-2或心3,

解得—11或小》3,

所以當(dāng)4n院。時(shí)，

實(shí)數(shù)勿的取值范圍為{加一11〈水3}.

12.已知集合A—{1,2,3},B—{3,5},則用列舉法表示A*B={2a—b|aGA,bG&i—.

答案{一1,-3,1,3)

解析當(dāng)a=l,b=3時(shí)，2a—6=—1,

當(dāng)a=l,6=5時(shí)，2a-6=-3,

當(dāng)a=2,6=3時(shí)，2a—6=1,

當(dāng)a=2,6=5時(shí)，2a—2?=-1,

當(dāng)a=3,6=3時(shí),2a—6=3,

當(dāng)a=3,6=5時(shí)，2a—b—1,

：.A*B={2a~b\a^A,=一3,1,3}.

【技能提分練】

13.《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典

小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其

中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位,

閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生

人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

答案C

解析根據(jù)題意閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》《西游記》的人數(shù)用Venn圖表示如圖，所以該校閱讀過(guò)《西

游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為7需0=0.7.

14.已知集合4={x[(x-1)(x—a)20},B—[x\x^a-l},若4U6=R,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍為.

答案(一8,2]

解析當(dāng)a>\時(shí)，/!=(一8,1]u[a,+8),+0°),當(dāng)a-lWl時(shí)，4U8=R,

故l〈aW2；當(dāng)a=l時(shí)，4=R,8={x|x20},AUB—R,滿足題意；當(dāng)a〈l時(shí)，4=(—8,

a\U[1,+8),5=[a-l,+°o),又.?"U8=R,故水1滿足題意,綜上知

aS(—8,2].

【拓展沖刺練】

15.已知集合[={x|V—3x+2=0},6={對(duì)/一ax+3a—5=0},若ACB=B,則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

A.0B.⑵

C.(2,10)D.[2,10)

答案D

解析由題意，可得—3X+2=0}={1,2},

因?yàn)樗葬t(yī)4

（1）當(dāng)6=0時(shí)，方程十—'ax+3a—5=0無(wú)解，則zJ4（3a—5）<0,解得2<a<10,此時(shí)

滿足題意.

⑵當(dāng)屏0時(shí)，若任4則6={1}或⑵或{1,2}.

①當(dāng)6={1}時(shí)，1—a+3a—5=0,得a=2,此時(shí)6={x|2x+1=0}={1},滿足題意；

②當(dāng)6={2}時(shí)，4—2a+3a—5=0,得a=l,此時(shí)6={x|x—2=0}={—1,2},不滿足

題意，即aWl；

l+2=a,

③當(dāng)6={1,2}時(shí)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，°.,此時(shí)無(wú)解.

[lX2=3a—5,

綜上得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2,10）.

16.（多選）由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從

連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建

立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年

的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空的子集"

與M且滿足扒J*=Q,MCA-。，M中的每一個(gè)元素小于小'中的每一個(gè)元素，則稱（M,酌為

戴德金分割.試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（）

A.,仁{x|水0},W={*|x>0}是一個(gè)戴德金分割

B."沒(méi)有最大元素，"有一個(gè)最小元素

C.有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素

D.M沒(méi)有最大元素，上也沒(méi)有最小元素

答案BD

解析對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)?Q{x[;r<0},Ar={x|x>0},1/UAJ{x|xW0}WQ,故A錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B,設(shè),Q{*GQ|x<0},/V'={xGQ|x20},滿足戴德金分割，則材中沒(méi)有最大元素，

M有一，個(gè)最小元素0,故B正確；

對(duì)選項(xiàng)C,若M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素，則不能同時(shí)滿足MJ.M=Q,MAA—0,

故C錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)D,設(shè)A上{xeQ【x,g},滿足戴德金分割，此時(shí)"沒(méi)有最大元

素，M也沒(méi)有最小元素，故D正確.

§1.2充分條件與必要條件

工考試要求3理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.

|]_知識(shí)梳理

充分條件、必要條件與充要條件的概念

若LQ,則。是。的充分條件,。是。的必要條件

P是q的充分不必要條件p=>q且中p

P是q的必要不充分條件爐。且q=>p

。是。的充要條件

P是q的既不充分也不必要條件產(chǎn)4且cfip

1微思考1

若條件P，g以集合的形式出現(xiàn)，即/={x|0（x）},B=[x\q{x）],則由北8可得，。是。的

充分條件，請(qǐng)寫(xiě)出集合46的其他關(guān)系對(duì)應(yīng)的條件p,g的關(guān)系.

提示若4B,則。是q的充分不必要條件；

若QB,則p是g的必要條件；

若]B,則。是。的必要不充分條件；

若力=8,則0是°的充要條件；

若@6且aB,則〃是g的既不充分也不必要條件.

|J_基礎(chǔ)自測(cè)

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“X”）

（1）當(dāng)夕是p的必要條件時(shí)，。是g的充分條件.（V）

（2）己知集合4B,則的充要條件是4=8.（V）

（3）°不是。的必要條件時(shí)，“0g”成立.（V）

（4）若片則"是g的充分不必要條件.（X）

題組二教材改編

2.“x—3=0”是“（>一3）（犬-4）=0”的條件.（選填“充分不必要”“必要

不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案充分不必要

3.“sina=sin￡”是“。=萬(wàn)”的條件.（選填“充分不必要”“必要不充

分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案必要不充分

4.函數(shù)f（x）=*2+wx+l的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱的充要條件是.

答案勿=一2

題組三易錯(cuò)自糾

5.設(shè)x>0,HR,則“X”'是“x>3”的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案C

解析由推不出x>|y|,由x>3能推出x>y,所以“x>y”是“x>3”的必要不充分

條件.

6.已知0：x>a是g：2<矛<3的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(一8,2]

解析由已知，可得{x|2〈K3}{x|x>a},aW2.

題型一充分、必要條件的判定

例1(1)已知。：◎，(4q：log2A<o,則P是0的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由知所以。對(duì)應(yīng)的片的范圍為(0，+°°),由logzx<0知0<矛〈1,所以。

對(duì)應(yīng)的x的范圍為(0,1),顯然(0,1)(0,+8),所以0是q的必要不充分條件.

(2)“a>2,力2”是“a+6>4,ab>4”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若a>2,b>2,則a+b>4,ab>4.

當(dāng)a=l,6=5時(shí)，滿足a+6>4,ab〉A(chǔ),但不滿足a>2,b>2,所以a+6>4,a6>4#a>2,b>2,

故"a>2,6>2”是“a+6〉4,ab>4n的充分不必要條件.

思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法

(1)定義法：根據(jù)—戶O進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問(wèn)題.

(2)集合法：根據(jù)p,q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍

的推斷問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知a,b,c,d是實(shí)數(shù)，貝ij“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析當(dāng)a=8=c=d=0時(shí)，ad—be,但a,b,c,d不成等比數(shù)列，

當(dāng)a,b,c,d成等比數(shù)列時(shí)，ad=bc,則“ad=6c”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的必要

不充分條件.

⑵設(shè)AGR,則“八=一3”是“直線2"+(才—1)尸1與直線6x+(l—4)尸4平行”

的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若直線24x+(4一l)y=l與直線6x+(1—4)y=4平行，

則2d(1—4)—6(4-1)=0,

解得H=1或八=—3,

經(jīng)檢驗(yàn)a=1或4=-3時(shí)兩直線平行，故選A.

題型二充分、必要條件的應(yīng)用

例2已知集合4={x|8x—20<0},非空集合8={x|1—rWxWI+r}.若是

的必要條件，求加的取值范圍.

解由x—8x—20^0.得一2WxW10,

.'.A—{x\-2WxW10}.

由xW/是的必要條件，知醫(yī)/.

則《1—0》一2,.,.0Wz?W3.

.,.當(dāng)0</?W3時(shí)，是的必要條件,

即所求〃的取值范圍是［0,3］.

■引申探究

若將本例中條件改為“若XG4是XG6的必要不充分條件”，求m的取值范

圍.

解由xC/是的必要不充分條件，知6A,

1一必Wl+必,I-ZZ7^1+ffl,

(1—m2—2,或"1—iW>—2,

,1+/X10U+"忘10，

解得0<RW3或0W?<3,...0W/?W3,

故小的取值范圍是［0,3］.

思維升華充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上.解題時(shí)需注意

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列

出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

9

跟蹤訓(xùn)練2(1)使-成立的一個(gè)充分不必要條件是()

x

A.KX3B.0<X2

C.水2D.0〈xW2

答案B

2

解析由-21得0<xW2,

x

依題意由選項(xiàng)組成的集合是(0,2］的真子集，故選B.

(2)若關(guān)于x的不等式|x-成立的充分不必要條件是0<K4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案［3,+8)

解析|x-l!<^l-a<Kl+a,因?yàn)椴坏仁絴x-l|〈a成立的充分不必要條件是0<求4,所

1—aWO,l-a<0,

以(。,4)(1-a,l+a),所以］+蘇4或解得a23.

l+a24,

題型三充要條件的探求

例3已知兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程加一4x+4=0和V—4期+而一4/—5=0,求兩方程

的根都是整數(shù)的充要條件.

解因?yàn)榧?4x+4=0是一元二次方程，

所以RF盧0.

又另一方程為Z-4zwx+4z?—4z?—5=0,且兩方程都要有實(shí)根,

[4=161-ffl20,

所以22

I^2—16m—4—4z?—520,

解得mG

因?yàn)閮煞匠痰母际钦麛?shù),

故其根的和與積也為整數(shù),

-GZ,

m

所以?

4?GZ,

工”;14/n—5￡Z.

所以卬為4的約數(shù).

5

-

又因?yàn)?G4

所以m——l或1.

當(dāng)必=一1時(shí)，第一個(gè)方程/+4X—4=0的根不是整數(shù)；

而當(dāng)加=1時(shí)，兩方程的根均為整數(shù)，

所以兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是//；=1.

思維升華探求充要條件的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，解題時(shí)要考慮條件包含的各種情況，保

證條件的充分性和必要性.

跟蹤訓(xùn)練3(1)命題“對(duì)任意xG[1,2),V-aWO”為真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是

()

A.a》4B.a>4

C.D.a>l

答案B

解析要使“對(duì)任意xe[1,2),v一aWO”為真命題，只需要a》4,所以a>4是命題為真

的充分不必要條件.

(2)關(guān)于x的方程a^+bx+c=0(aHO)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是.

答案a*0

f4=Z>2—4ac>0,

解析aV+/+c=O(a￥O)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是彳c

-<0,

1a

即ac<0.

課時(shí)精練

國(guó)基礎(chǔ)保分練

1.“Iog2（2x—3）〈1”是“4*>8”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

353

解析由log2（2x-3）<lo（K2L3〈2Q5〈求4〉8=2x〉3=x>5,所以“l(fā)og2（2x—3）〈l”是

“4*>8”的充分不必要條件，故選A.

2.設(shè)a,6GR,則“（a—6）才〈0"是“水的（）

A.充分不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由（a—6）才<0可知才#0,則一定有a一伏0,即水6；但是a<6即a—長(zhǎng)。時(shí),有可能

a=0,所以心一6）成<0不一定成立，故"（a—6）3〈0”是“a〈b”的充分不必要條件，故選

A.

3.“|x—1|<2”是“求3”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由|x-1|<2,可得一

V{x|—KA<3}{x|X3},

...“以一1|<2”是“水3”的充分不必要條件.

4.“x<0”是“l(fā)n（x+l）<0"的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由ln(x+l)<O=O<x+l〈l,

Bp—KKO,

故“水0”是“l(fā)n(x+l)〈O”的必要不充分條件，故選B.

5.若“x>l”是“不等式2'>a-x成立”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.a>3B.水3

C.a>4D.水4

答案A

解析若2'>a—x,即2*+力a.設(shè)/U)=2'+x,則函數(shù)f(x)為增函數(shù).由題意知"2'+x>a

成立，即/'(x)>a成立”能得到“x>l"，反之不成立.因?yàn)楫?dāng)x>l時(shí)，f(x)>3,

6.已知/?：x^k,<7：(x+1)(2—%)<0,如果。是g的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)A■的取值范

圍是()

A.[2,+°°)B.(2,+8)

C.[1,+8)D.(-8,-1]

答案B

解析由g：(x+1)(2—x)〈O,得K—1或x>2,又p是<?的充分不必要條件，所以4>2,

即實(shí)數(shù)4的取值范圍是(2,+o°),故選B.

7.(多選)若x—2〈。是一2CKa的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的值可以是()

A.1B.2C.3D.4

答案BCD

解析由x一x—2<0,解得一KX2.

VX-A—2<0是一2<;Ka的充分不必要條件，

/.(—1,2)(—2,a),a22.

二實(shí)數(shù)a的值可以是2,3,4.

8.(多選)下列說(shuō)法正確的是()

A."ac=bc”是“a=b”的充分不必要條件

B.是“a〈b”的既不充分也不必要條件

C.若“xG/”是“xWB”的充分條件，則點(diǎn)3

D.“a>力0”是"a">Z/'(〃GN,〃22)”的充要條件

答案BC

解析A項(xiàng)，ac=6c不能推出a=6,比如a=l,b=2,c=0,而a=6可以推出ac=6c,

所以“ac=bc”是“a=b”的必要不充分條件，故錯(cuò)誤；

B項(xiàng),另不能推出水4比如g>一，，但是2>—3；水8不能推出另，比如一2<3,一?

所以弓>1”是“a<b”的既不充分也不必要條件，故正確；

C項(xiàng)，因?yàn)椤皒G/”是“xWB”的充分條件，所以可以推出即/U6,故正確；

D項(xiàng)，a">6"(〃GN,〃22)不能推出a>6>0,比如a=l,6=0,1">O"(〃WN,〃22)滿足，但是

a>6>0不滿足，所以必要性不滿足，故錯(cuò)誤.

9.已知命題p-.命題<7：VxCR,aV+ax+l>0,則p成立是g成立的條件.(選

填“充分不必要”“必要不充分“''充要”“既不充分也不必要”)

答案充分不必要

,(3=0,

解析命題p等價(jià)于0〈a〈4.命題q：對(duì)VxCR,a?+ax+l>0等價(jià)于或

fa>0,

2則0Wa<4,所以命題。成立是命題。成立的充分不必要條件.

(a-4a<0,

10.己知f(x)是R上的奇函數(shù)，則“汨+尼=0”是"/■(M)+F(*2)=0"的條

件.(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

答案充分不必要

解析?.,函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，，若%+抱=0,則Xl=-X2,則/'(為)=/'(一X2)=—/1(就，

即/+/U)=0成立，即充分性成立；若f(x)=0,滿足f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)為=抱=2時(shí)，

滿足F(X|)=￡(七)=0,此時(shí)滿足F(*I)+F(及)=0,但為+及=4#0,即必要性不成立.故

“小+生=0”是“f(/i)+f(X2)=0”的充分不必要條件.

11.若xG{—1,4是不等式2/—x—3W0成立的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

答案[1，1

33

解析不等式可轉(zhuǎn)化為(x+l)(2x-3)W0,解得一iWxWg,由于在{一1,4是一IWXW]

的充分不必要條件，結(jié)合集合元素的互異性，得到加G(一1，1.

12.若實(shí)數(shù)a,6滿足a>0,b>0,則“a>6”是“a+lna>Z>+lnb”成立的條件.(填

“充分不必要”“必要不充分”“充要”“即不充分也不必要”)

答案充要

解析設(shè)f(x)=>+lnx,顯然f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

Va>b,.?.f(a)>f(6),

Aa+lna>b+lnb,充分性成立；

V5H-Ina〉6+Inb,

a>b,必要性成立，

故ua>bn是“a+lna>b+Inbn成立的充要條件.

注技能提升練

13.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,〈力表示不小于x的最小整數(shù)，例如〈1.1〉=2,(-1.1)=-1,那

么u\x-y\<-L^^是“〈力=<y)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析令x=1.8,y—0.9,滿足|x—但〈1.8〉=2,〈0.9〉=1,〈X)#(y),可知

充分性不成立.當(dāng)〈*〉=(y)時(shí)，設(shè)〈X〉—x+m,(y)=y+n,m,/?￡[0,1),則|x—

=l〃一加<1,可知必要性成立.所以“l(fā)x—是“〈x〉=<y)”的必要不充分條件.故

選B.

V2/

14.己知0：實(shí)數(shù)/滿足3a〈欣4a(a〉0),q-.方程---—=1表示焦點(diǎn)在y軸上的桶圓，

m-1Z-m

若夕是g的充分條件，則a的取值范圍是.

答案區(qū)外

口術(shù)[_38_

「341,

33

解析由2—/〃>/〃一1>0,得1</?<-,即Q：K//K-因?yàn)橄κ莙的充分條件，所以彳3

乙乙4a

13

解得不

6o

手拓展沖刺練

15.己知集合<1B={x|log3(x+a)>1},若"xG"'是"xGB"的必

要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(一8,0]

解析由W1,得x—620,解得xW—2或x》3,則<={*|xW—2或x23}.由

log3(x+a)》l,得x+a23,即x23—a,則戶={x|x23—a}.由題意知6A,所以3—

a》3,解得a<0.

16.已知r>0,x,p：|x|+~^Wl,q：x+y^r,若夕是q的必要不充分條件，則

實(shí)數(shù)r的取值范圍是.

答案（0,孚]

解析畫(huà)出3+皆IT忘1表示的平面區(qū)域（圖略），由圖可得。對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是一個(gè)菱形及

其內(nèi)部，當(dāng)x>0,y>0時(shí)，可得菱形的一邊所在的直線的方程為x