浙江省歷年（2018-2022年）真題分類匯編專題二次函數(shù)的應(yīng)用

浙江省歷年（2018-2022年）真題分類匯編專題二次函數(shù)的應(yīng)用

一、填空題（共2題；共2分）

1.（1分）以初速度v（單位：m/s）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過程中，小球的高度

h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h=vt-4.9t2.現(xiàn)將某彈性小球從地面

豎直向上拋出，初速度為VI,經(jīng)過時間L落回地面，運動過程中小球的最大高度為hi（如圖1）；小

球落地后，豎直向上彈起，初速度為V2,經(jīng)過時間t2落回地面，運動過程中小球的最大高度為h2

（如圖2）.若hi=2h2,則t"t2=.

【答案】V2

2

【解析】【解答】解：由題意得，圖1中的函數(shù)圖象解析式為：h=vlt-4.9t,令h=0,口=得或

—2_U]2

「（舍去）,

1=04x(-4.9)=T9^

圖2中的函數(shù)解析式為：h=V2t-4.%2,12=篇或t2=0（舍去），九2=^^4.：）=需

Vhi=2h2,

2?_

v

二需6=2需6，即：%=V2V2或i=-V2V2(舍去)，

."?ti：t2=^g:著=V2>

故答案是：V2.

【分析】利用圖1的函數(shù)解析式，可求出h=0時的t的值，可求出％,利用圖2的函數(shù)解析式，由

h=0求出對應(yīng)的t的值，可求出h2的值；再根據(jù)h|=2h2,可得v的值，然后求出t“t2的值.

2.（1分）己知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（3,4）,M是拋物線y=ax2+bx+2

（aH0）對稱軸上的一個動點。小明經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)2的值確定時，拋物線的對稱軸上能使

a

△AOM為直角三角形的點M的個數(shù)也隨之確定。若拋物線y=ax2+bx+2（a。0）的對稱

軸上存在3個不同的點M,使AAOM為直角三角形，則2的值是

a--------

【答案】2或-8

【解析】【解答】解：以O(shè)A為直徑畫圓O,作直線h_Lx軸，軸于點h,且h,卜與圓O,相切,

作O'D_Lx軸，

?.?點A(3,4),

二OA=V32+42=5

r=1

???OO=|

??OE=]+1=4,OF=1-|=1,

即E(4,0),F(-1,0)

?b人b.

?,一而=4;一而=T

；

CL=—8—Q=2

故答案為：2或-8.

【分析】以O(shè)A為直徑畫圓0,作直線軸，軸于點L,且h,12與圓O'相切，作O'DLx

軸，利用點A,O的坐標(biāo)可求出線段OA的中點0,的坐標(biāo)，可求出OD的長；利用勾股定理求出OA

的長，可求出圓的半徑，再求出OE,OF的長，即可得到點E,F的坐標(biāo)，即可求出b與a的比值.

二、解答題(共1題；共5分)

3.(5分)根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案?

素圖1中

材有一座

1拱橋，

圖2是

其拋物

線形橋

拱的示

意圖，

某時測

得水面

寬

5m

20m,

拱頂離卻圖2

水面

5m.據(jù)

調(diào)查，

該河段

水位在

此基礎(chǔ)

上再漲

1.8m達(dá)

到最

高.

素為迎佳

材節(jié)，擬

2在圖1

/安全距禽最高

橋洞前

面的橋

圖3

拱上懸

掛40cm

長的燈

籠，如

圖3.為

了安

全，燈

籠底部

距離水

面不小

于

1m；為

了實

效，相

鄰兩盞

燈籠懸

掛點的

水平間

距均為

1.6m；

為「美

觀，要

求在符

合條件

處都掛

上燈

籠，且

掛滿后

成軸對

稱分

布.

問題解決

任在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

確定橋

務(wù)

拱形狀

1

任在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值和

探究懸

務(wù)橫坐標(biāo)的取值范圍.

掛范圍

2

任給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左

擬定設(shè)

務(wù)邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo).

計方案

3

【答案】解：【任務(wù)1]

以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系,

圖I

則頂點為（0,0）,且經(jīng)過點（10,-5）.

設(shè)該拋物線函數(shù)表達(dá)式為y=a%3（aH0）,

則—5=100a,：.a=一4，

???該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=-拈2.

【任務(wù)2】

???水位再上漲1.8血達(dá)到最高，燈籠底部距離水面至少1m,燈籠長0.4m,

???懸掛點的縱坐標(biāo)y3—5+1.8+1+0.4=—1.8,

???懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值是一1.8.

當(dāng)y=-1.8時,-1.8=-,解得=6或X2=-6,

.?.懸掛點的橫坐標(biāo)的取值范圍是—6WXW6.

【任務(wù)3】有兩種設(shè)計方案.

方案一：如圖2（坐標(biāo)系的橫軸，圖3同），從頂點處開始懸掛燈籠.

-6484.86

圖2

V-6<x<6，相鄰兩燈籠懸掛點的水平間距均為1.66,

若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，貝U1.6x4>6,

若頂點一側(cè)掛3盞燈籠，則1.6x3<6,

???頂點一側(cè)最多可掛3盞燈籠.

???掛滿燈籠后成軸對稱分布，

二共可掛7盞燈籠.

???最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是-4.8.

方案二：如圖3,從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為0.8小，

生6___

X**<5**6**1

圖3

???若頂點一側(cè)掛5盞燈籠，則0.8+1.6X(5-1)>6,

若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，則0.84-1.6X(4-1)<6,

???頂點一側(cè)最多可掛4盞燈籠.

???掛滿燈籠后成軸對稱分布，

二共可掛8盞燈籠.

最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是-5.6.

注：以下為幾種常見建系方法所得出的任務(wù)答案.

任務(wù)1任務(wù)2任務(wù)3

/J體

建立坐標(biāo)系函數(shù)表達(dá)式最小值取值范圍燈籠數(shù)量橫坐標(biāo)

75.2

3y

一

一___1_丫/23.24<x<16

一2084.4

5101520

4-x

y,y7-4.8

V

二13.2-6<%<6

=%2

"208-5.6

-10-5510,

O+5

三3.27-14.8

y—16<x

-__L%2W—48-15.6

a*~

-20-IST。T20

—X

【解析】【分析】【任務(wù)1】以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，可得到拋物線的頂點坐標(biāo)

及拋物線經(jīng)過點（10,-5）,利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.

【任務(wù)2】根據(jù)水位再上漲1.8m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面至少1m,燈籠長0.4m,可得到懸掛

點的縱坐標(biāo)的最小值，將其最小值代入函數(shù)解析式，可得到對應(yīng)的x的值，即可得到懸掛點的橫坐

標(biāo)的取值范圍.

【任務(wù)3】方案一：如圖2（坐標(biāo)系的橫軸，圖3同），從頂點處開始懸掛燈籠.利用x的取值范圍

可知相鄰兩燈籠懸掛點的水平間距均為L6m,可得到頂點一側(cè)最多可掛3盞燈籠；再利用掛滿燈籠

后成軸對稱分布，可得到一共可掛7盞燈籠，由此可得到最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)；方案

二：如圖3,從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為0.8m,可得到頂點一側(cè)

最多可掛4盞燈籠，利用對稱性可知共可掛8盞燈籠，由此可得到最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo).

三、綜合題（共14題；共165分）

4.（15分）某農(nóng)作物的生長率p與溫度t（℃）有如下關(guān)系：如圖1,當(dāng)10<t<25時可近似用

函數(shù)P=白t—/刻畫；

當(dāng)253t<37時可近似用函數(shù)2=一點（1—/1）2+04刻畫.

廣160'）

（1）（5分）求h的值.

（2）（5分）按照經(jīng)驗，該作物提前上市的天數(shù)m（天）與生長率p滿足函數(shù)關(guān)系:

生長率p0.35

提前上市的天數(shù)m（天）051015

①請運用已學(xué)的知識，求小關(guān)于p的函數(shù)表達(dá)式;

②請用含t的代數(shù)式表示m

（3）（5分）天氣寒冷，大棚加溫可改變農(nóng)作物生長速度.在（2）的條件下，原計劃大棚恒溫20℃

時，每天的成本為200元，該作物30天后上市時，根據(jù)市場調(diào)查：每提前一天上市售出（一次售

完)，銷售額可增加600元.因此給大棚繼續(xù)加溫，加溫后每天成本w(元)與大棚溫度t(°C)之

間的關(guān)系如圖2.問提前上市多少天時增加的利潤最大？并求這個最大利潤(農(nóng)作物上市售出后大棚

暫停使用).

【答案】(1)解：把(25,0.3)的坐標(biāo)代入p=-4K(t-h)2+0.4得h=29或h=21

loU

Vh>25,Ah=29

(2)解：①由表格可知m是p的一次函數(shù)，.m=100p-20

②當(dāng)10生25時，p=扣一9Am=100(扣一2)?20=2t~40

當(dāng)25WS37時,p=-A?(t-29)2+0.4.

Ibu

.,..m=10[一焉(t-29)2+0.4]-20=(t-29)2+20

(3)解：(I)當(dāng)20<t<25時，

由(20,200),(25,300),得w=20t-200.

,增力口利潤為600m+[200x30-w(30-m)|-40t2-600t-4000.

當(dāng)t=25時,增加利潤的最大值為600元.

(II)當(dāng)25&W37時，w=300.

增加利潤為

600m+[200x30-w(30-m)]900x(_§)x(t-29)2+15000=一邛^(t-29)2+15000

o2

/.當(dāng)t=29時，增加利潤的最大值為15000元.

綜上所述，當(dāng)t=29時，提前上市20天，增加利潤的最大值為1500()元.

【解析】【分析】(1)觀察圖像可知拋物線經(jīng)過點(25,0.3),將此點坐標(biāo)代入拋物線的解析式，就

可求出結(jié)果。

(2)①根據(jù)表格中m與p的對應(yīng)值可知m是p的一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出此函數(shù)解析

式；②分段討論：當(dāng)10WK25時，當(dāng)25WK37時，根據(jù)m=100p-20,將p與t的函數(shù)解析式分別代

入，就可得到m與t的函數(shù)解析式。

(3)(I)觀察函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求出當(dāng)20SW25時，w與t的函數(shù)解析式，再求出增加的

利潤與m的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，就可求出增加利潤的最大值及t的值；(II)當(dāng)

25MW37時，w=300,再求出增加的利潤與m的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，就可求出增加利

潤的最大值及t的值，綜上所述，就可得到答案。

5.(10分)某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進(jìn)行

預(yù)測，并建立如下模型：設(shè)第t個月該原料藥的月銷售量為P(單位：噸)，P與t之間存在如

圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖象是函數(shù)P=^(0<tW8)的圖象與線段AB的組合；設(shè)第t個月銷

售該原料藥每噸的毛利潤為Q(單位：萬元)，Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q=

2t+8,0<t<12

.—t+44,12Vt424

(1)(5分)當(dāng)8cts24時，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式；

(2)(5分)設(shè)第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為w(單位：萬元).

①求w關(guān)于t的函數(shù)解析式；

②該藥廠銷售部門分析認(rèn)為，336Ww<513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利

潤范圍，求此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值.

【答案】(1)解：當(dāng)8cts24時，設(shè)P與t的函數(shù)解析式為P=kt+b(20).

?.?函數(shù)P=kt+b的圖象經(jīng)過點(8,10)與(23,26),

...8k+b=10,解得k=1,...函數(shù)解析式為p=t+2(8<t<24).

24k+b=26,b=2.

(2)解：①當(dāng)0ctW8時.，w=PQ=塔?(2t+8)=240;

當(dāng)8<t<12時，貝!Iw=PQ=(t+2)(2t+8)=2t2+12t+16；

2

當(dāng)12<tW24時，貝ljW=PQ=(t+2)(-t+44)=-t+42t+88.

(240,0<t<8

Aw關(guān)于t的函數(shù)解析式為w=]2t2+12t+16,8<t<12

V-t2+42t+88,12<t<24

②(D當(dāng)0<tW8時，w=240；

(II)當(dāng)8<t<12H寸，則w=2t2+12t+16=2(t4-3)2-2，當(dāng)G-3時，w隨t的增大而增

大，當(dāng)t=8時，w=240；當(dāng)t=12時，w=448.則240<w<448；

(III)當(dāng)12<t424時，貝ljw=-產(chǎn)+42t+88=一(t-21)2+529,當(dāng)t=21時，w有最大值

529；當(dāng)t=12時，w=448；當(dāng)t=24時，w=520,貝!j448<w<529.

由上述可知，當(dāng)w=336時，w=2t2+I2t+16=336,解得J=10,t2=-16（舍）；

2

當(dāng)w=513時，w--t+42t+88=513,解得Q=17,t2=25（舍）；

V336<w<513,A10<t<17,VP=t+2（8<t<24）,；.P隨t的增大而增大,.?.當(dāng)6<時,P

有最小值12；當(dāng)t=17時,P有最大值19.

【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法，根據(jù)點（8,10）與（24,26）解答即可；（2）①易知

而函數(shù)P與。都是分段函數(shù)，要分清楚/的取值范圍，由函數(shù)尸，。各自的/的取值范圍，

可分為三段0ctW8；8<t<12；12<t<24,代入對應(yīng)的P,Q函數(shù)即可；

②先要求336<w<513所對應(yīng)的f的取值范圍，可分別求出分段函數(shù)w在每段的取值范圍，可

得出336WWW513所在的是哪一段函數(shù)，并求出當(dāng)w=336和w=513時對應(yīng)t的值，然后確定t

的取值范圍，得到對應(yīng)的函數(shù)P,求出最大值和最小值即可.

6.（15分）溫州某企業(yè)安排65名工人生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)2件甲或1件乙，甲產(chǎn)品

每件可獲利15元.根據(jù)市場需求和生產(chǎn)經(jīng)驗，乙產(chǎn)品每天產(chǎn)量不少于5件，當(dāng)每天生產(chǎn)5件時，每

件可獲利120元，每增加1件，當(dāng)天平均每件獲利減少2元.設(shè)每天安排x人生產(chǎn)乙產(chǎn)品.

（1）（5分）根據(jù)信息填表

產(chǎn)品種類每天工人數(shù)（人）每天產(chǎn)量（件）每件產(chǎn)品可獲利潤（元）

中15

乙XX

（2）（5分）若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多550元，求每件乙產(chǎn)

品可獲得的利潤.

（3）（5分）該企業(yè)在不增加工人的情況下，增加生產(chǎn)丙產(chǎn)品，要求每天甲、丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量

相等.已知每人每天可生產(chǎn)1件丙（每人每天只能生產(chǎn)一件產(chǎn)品），丙產(chǎn)品每件可獲利30元，求每

天生產(chǎn)三種產(chǎn)品可獲得的總利潤W（元）的最大值及相應(yīng)的%值.

【答案】（1）

產(chǎn)品種類每天工人數(shù)（人）每天產(chǎn)量（件）每件產(chǎn)品可獲利潤（元）

甲65-x2(65-x)15

乙XX130-2x

(2)解：由題意得15x2(65-x)=x(130-2x)+550

.,.x2-80x+700=0

解得x=10,X2=7()(不合題意，舍去)

.?.130-2x=110(元)

答：每件乙產(chǎn)品可獲得的利潤是110元。

(3)解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品m人

W=x(13O-2x)+15x2m+30(65-x-m)=-2x2+100x+1950=-2(x-25)2+3200

*.*2m=65-x-m

Vx,m都是非負(fù)整數(shù)

.,.取x=26時，此時m=13,65-x-m=26,

即當(dāng)x=26時，W屬大的=3198(元)

答：安排26人生產(chǎn)乙產(chǎn)品時，可獲得的最大總利潤為3198元。

【解析】【分析】(1)設(shè)每天安排x人生產(chǎn)乙產(chǎn)品，則每天安排(65-x)人生產(chǎn)甲產(chǎn)品，每天可生產(chǎn)

甲產(chǎn)品2(65-x)件，每件乙產(chǎn)品可獲利(130-2x)元；

(2)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤為：15x2(65-x)元，每天生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤x(130-

2x)元，根據(jù)若每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤比生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤多550元，列出方程，求

解并檢驗即可得出答案；

(3)設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品m人，每天生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤x(130-2x)元，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的

利潤為：15x2m元，每天生產(chǎn)丙產(chǎn)品可獲得的利潤為：30(65-x-m)元，每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品可獲得

的總利潤亞=每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品可獲得的利潤+每天生產(chǎn)乙產(chǎn)品可獲得的利潤+每天生產(chǎn)丙產(chǎn)品可獲得

的利潤，即可列出w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并配成頂點式，然后由每天甲、丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相

等得出2m=65-x-m,從而得出用含x的式子表示m,再根據(jù)x,m都是非負(fù)整數(shù)得出取x=26時，此

時m=13,65-x-m=26,從而得出答案。

7.(15分)某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為

批物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝

飾物處匯合，如圖所示，以水平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標(biāo)系。

X

（1）（5分）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式；

（2）（5分）王師傅在水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師

傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？

（3）（5分）經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進(jìn)；在噴出水柱的形狀不變的前

提下，把水池的直徑擴(kuò)大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）

處匯合，請?zhí)骄繑U(kuò)建改造后水熱水柱的最大高度。

【答案】（1）:拋物線頂點為（3,5）.,.設(shè)y=a（x-3）2+5,

將（8,0）代入得a=

?'-y=—^（x—3）2+5（或y=—■1%2+於+學(xué)）（0<x<8）

（2）當(dāng)y=1.8時，即1.8=-1（x-3）2+5

可得xi=7,X2=-1（舍去）

答：王師傅必須站在離水池中心7米以內(nèi).

（3）由y=-1（X-3）2+5可得拋物線與y軸的交點為（0,受）

???裝飾物高度不變

.?.新拋物線也過點（0,差）

???噴出水柱的形狀不變

???—a——1百

?.?直徑擴(kuò)大到32米，

，新拋物線過點（16,0）

設(shè)新拋物線為y新=T/+bx+c

將（0,善）和（16,0）代入得b=3,c=等

?'4新=一"+3%+等

1.15,，289當(dāng)*_15時7-289

y斯=一耳。-2）+而，當(dāng)X-三肘，yxR。

答：擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為綁（或14.45米）

【解析】【分析】（1）將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，可得出第一象限的拋物線的頂點坐標(biāo)為（3,5）

且圖像經(jīng)過（8,0）,利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式。（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式求出y=1.8

時的自變量x的值，選取符合題意的x的值即可。（3）抓住關(guān)鍵的已知條件：裝飾物高度不變，可

得出新的拋物線經(jīng)過（0,竽）；噴出水柱的形狀不變，則新拋物線與原拋物線的a值相等，再根

據(jù)直徑擴(kuò)大到32米，可得出新拋物線經(jīng)過（16,0）,再利用待定系數(shù)法求出新的函數(shù)解析式，然后

求出當(dāng)x=竽時的函數(shù)值即可求解。

8.（10分）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖.水面寬AB與橋長CD均為24m,在距離D點6

米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m,以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐

（2）（5分）如圖2,橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG,OH,DI,過相鄰兩根支柱頂端的

鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1m.

①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值.

【答案】（1）解：設(shè)為=的％2,由題意得戶（6,—1.5）,

??,—1.5=36al,

1

%=一源’

12

■?-yi=-24x>

2

.?.當(dāng)x=12時，y1=-12=-6?

二橋拱頂部離水面高度為6m

(2)解：①由題意得右邊的拋物線頂點為(6,1),

**?設(shè)3/2=。2(%—6)2+1,

???H(0,4),

?,*4=。2(。-6產(chǎn)+1,

1

???=宜'

]

72=彩。-6尸+1，

(左邊拋物線表達(dá)式：V=今(％+6)2+1)

②設(shè)彩帶長度為h,

111

則h=y2~y-1—^2(x—6)123+1_(—=g/—x+4，

?1?當(dāng)x=4時，hmin=2,

答：彩帶長度的最小值是2m

【解析】【分析】(1)根據(jù)在距離D點6米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m,可知點F的

坐標(biāo)；觀察此函數(shù)的頂點坐標(biāo)在原點，關(guān)于y軸對稱，因此設(shè)函數(shù)解析式為y產(chǎn)a，2,將點F的坐標(biāo)

代入函數(shù)解析式，可求出a的值；然后將x=12代入函數(shù)解析式求出對應(yīng)的函數(shù)值，即可求解.

(2)①由題意得右邊的拋物線頂點為(6,1),因此設(shè)函數(shù)解析式為頂點式，利用待定系數(shù)法求出

此函數(shù)解析式；再求出左邊拋物線的解析式；②設(shè)彩帶長度為h,根據(jù)h=y2-yi,可得h與x之間的

函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求解.

9.(15分)某游樂場的圓形噴水池中心0有一雕塑0A,從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物

線，且形狀相同.如圖，以水平方向為x軸，點。為原點建立直角坐標(biāo)系，點A在y軸上，x軸上的

點C,D為水柱的落水點，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)表達(dá)式為y=-1(x-5)2+6.

(1)(5分)求雕塑高OA.

(2)(5分)求落水點C,D之間的距離.

(3)(5分)若需要在0D上的點E處豎立雕塑EF,0E=10m,EF=1.8m,EF1OD.H：

頂部F是否會碰到水柱？請通過計算說明.

【答案】(1)解：由題意得，A點在圖象上.

當(dāng)X=0時，y=-1(0-5)2+6

2511

=一百+6=石

11

：?OA=(m)

6

(2)解：由題意得，D點在圖象上.

令y=0，得一點(x-5尸+6=0.

解得：=11,x2=-1(不合題意，舍去).

???OD=11

??.CD=2OD=22(m)

(3)解：當(dāng)％=10時，y=-1(10-5)2+6,

=-金+6=號＞1,8,

66

...不會碰到水柱

【解析】【分析】(1)由x=0求出對應(yīng)的y的值，可得到點A的坐標(biāo)，即可求出OA的長.

(2)由y=0可求出對應(yīng)的x的值，可求出OD的長，再利用二次函數(shù)的對稱性，可求出CD的長.

(3)將x=0代入函數(shù)解析式，可求出對應(yīng)的y的值，再與1.8比較大小即可.

10.(10分)今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加。據(jù)統(tǒng)計，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4

萬人，五月份為5.76萬人。

(1)(5分)求四月和五月這兩個月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；

(2)(5分)若該景區(qū)僅有A,B兩個景點，售票處出示的三種購票方式如下表所示：

購票方式甲乙丙

可游玩景點ABA和B

門票價格100元/人80元/人160元/人

據(jù)預(yù)測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬，并且當(dāng)甲、乙兩

種門票價格不變時，丙種門票每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客和400人原計劃

購買乙種門票的游客改為購買丙種門票。

①若丙種門票下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；

②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元?

【答案】(1)解：解：該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長的百分率為X,根據(jù)題意得

4(1+x)2=5.76

解之：xi=20%,X2=-2.2(不符合題意，舍去).

答：該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長20%.

(2)解:①由題意得

(2-0.6)X100+(3-0.4)x80+(2+0.6+0.4)x(160-10)=140+208+450=798萬.

答：若丙種門票下降10元，景區(qū)六月份的門票總收入為798萬.

②設(shè)將丙種門票價格下降x元時，景區(qū)六月份的門票總收入為w元，根據(jù)題意得

w=100(2-0,06x)+80x(3-0.04x)+(160-x)(2+0,6x+0.4x)

整理得

w=-0.1x2+4.8x+760=-0.1(x-24)2+817.6

■=-0.1<0,

???拋物線的開口向下，

...當(dāng)x=24時,w最大做=817.6萬元.

答：將丙種門票價格下降24元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，最大值,817.6萬元.

【解析】【分析】(1)三月份的游客人數(shù)x(1+增長率)2=五月份的游客人數(shù)，設(shè)未知數(shù)，列方程求

出方程的解.

(2)①抓住已知條件：丙種門票每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客和400人原

計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票，列式計算，可求解；

②設(shè)將丙種門票價格下降x元時，景區(qū)六月份的門票總收入為w元，根據(jù)題意列出w與x之間的函

數(shù)解析式，將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求解.

11.(10分)如圖1,排球場長為18m,寬為9m,網(wǎng)高為2.24m,隊員站在底線O點處發(fā)球，球從

點O的正上方1.9m的C點發(fā)出，運動路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運動到最高點A時，高度為

2.88m,即BA=2.88m,這時水平距離OB=7m,以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角

坐標(biāo)系,如圖2。

(1)(5分)若球向正前方運動(即x軸垂直于底線)，求球運動的高度y(m)與水平距離x(m)之間

的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x取值范圍)，并判斷這次發(fā)球能否過網(wǎng)？是否出界？說明理由。

(2)(5分)若球過網(wǎng)后的落點是對方場地①號位內(nèi)的點P(如圖1,點P距底線1m、邊線

0.5m),問發(fā)球點O在底線上的哪個位置？(參考數(shù)據(jù)：V2取1.4)

【答案】(1)解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x-7)2+2.88,

將％=0,y=1.9代入上式并解得：。=一擊，

故拋物線的表達(dá)式為：y=-擊(％-7)2+2.88;

當(dāng)尤=9時，y=一點0-7)2+2.88=2.8>2.24,

當(dāng)久=18時，y=-7)2+2.88=0.64>0.

故這次發(fā)球過網(wǎng)，但是出界了；

當(dāng)y=0時，y=-京(％—7)2+2.88=0,解得：久=19或—5(舍去—5),

0P=19,而0Q=17,

故PQ=6V2=8.4,

???9-8.4-0.5=0.1,

???發(fā)球點0在底線上且距右邊線01米處.

【解析】【分析】(1)利用頂點坐標(biāo)設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x-7)2+2.88,將x=0,y=1.9代入函數(shù)解析

式，就可求出a的值，可得到函數(shù)解析式；再分別將x=9和x=18代入函數(shù)解析式求出對應(yīng)的函數(shù)

值，由此可做出判斷。

(2)分別過點作底線、邊線的平行線PQ,OQ交于點Q,利用已知求出OQ的長，再由y=0求出對

應(yīng)的x的值，即可得到OP,OQ的長，然后求差即可做出判斷。

12.(10分)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-/+從；+c(c>0)的頂點為D,

與y軸的交點為C,過點C的直線CA與拋物線交于另一點A(點A在對稱軸左側(cè))，點B在AC的

延長線上，連結(jié)OA,OB,DA和DB.

圖1圖2

(1)(5分)如圖1,當(dāng)AC〃x軸時.①已知點A的坐標(biāo)是(-2,1),求拋物線的解析式；②若

四邊形AOBD是平行四邊形，求證：b2=4c.

(2)(5分)如圖2,若b=-2,第，是否存在這樣的點A,使四邊形AOBD是平行四邊

形？若存在，求出點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)①?；4C〃x軸，點＞1(-2,1),

???C(O,1),

將點71(-2.1),C(O,1)代入拋物線解析式中，得「4-0?=1,

IC=1

拋物線的解析式為y=-x2-2x+l；

②證明：如圖1,過點。作DE_Lx軸于E,交于點F,

圖1

vAC//x軸，

:.EF=0C=c，

???點D是拋物線的頂點坐標(biāo)，

c+3），

,22

：.DF=DE-EF=c+^-c=h

v四邊形AOBD是平行四邊形,

/.AD=DO,AD“OB,

???Z.DAF=Z-OBC,

???^AFD=乙BCO=90°,

/.AAFD=ABCO(AAS),

???DF=OC,

??彳

即b2=4c;

(2)解：如圖2,

???b=-2.

???拋物線的解析式為y=—x2—2x+c,

*,?頂點坐標(biāo)0(-1,c4-1),

假設(shè)存在這樣的點A使四邊形A0BD是平行四邊形,

設(shè)點A(m，—m2-2m+c)(m<0),

過點。作DE，工軸于點E,交4B于產(chǎn)，

???^AFD=Z.EFC=乙BCO,

v四邊形AOBD是平行四邊形，

AAD=BO,AD//OB,

???Z.DAF=Z-OBC,

AAFD=ABCO{AAS),

/.AF=BC,DF=OC,

過點4作4M_Ly軸于M,交DE于N,

DEIICO,

AAANFsAAMC,

.AN_FN_AF_BC_3

：，AM=CM=AC=AC=5'

???AM=—m,AN=AM-NM=-m—1,

7n

?.?_----_-1=_u3，

—m5

???m=-5,

二點A的縱坐標(biāo)為—(一32—2x(—1)+c=c—^<c，

?1,AM//x軸，

點M的坐標(biāo)為(0,c—3，N(—1,c—^)，

CM=c—(c—4)=彳,

???點D的坐標(biāo)為(-Lc+l),

59

ON=(c+1)-(c-4)=4，

vDF=OC=c,

9

:.FN=DN—DF=4—c,

FN3

'''CM=5；

:.c=5>

51

???點A縱坐標(biāo)為1,

，1），

二存在這樣的點A,使四邊形AOBD是平行四邊形.

【解析】【分析】（1）①由AC〃x軸及點A的坐標(biāo)，可得到點C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函

數(shù)解析式；②過點D作DELx軸有對岸E,交AB于點F,由已知可得至ijEF=OC=c,利用函數(shù)解

析式求出頂點D的坐標(biāo)，再證明△AFDs^BCO,可以推出DF=OC,代入化簡可證得結(jié)論。

（2）由b=-2,可得到拋物線的解析式為y=-x2-2x+c,求出拋物線的頂點坐標(biāo)，利用函數(shù)解析式設(shè)點

A的橫坐標(biāo)為m,可表示出點A的坐標(biāo)，利用平行四邊形的性質(zhì)，可得AD=BO,ZDAF-ZOBC,

就可證得△AFD四△BCO,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，可證得AF=BC,DF=OC；過點A作

AMJ_y軸于點M,交DE于點N,易證△ANFsaAMC,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，建立關(guān)

于m的方程，解方程求出m的值，再表示出點M,N,D的坐標(biāo)，用含c的代數(shù)式三邊長CM,

DN,DF的長，即可得到FN的長，然后建立關(guān)于c的方程，解方程求出c的值，即可得到點A的

坐標(biāo)。

13.(10分)在籃球比賽中，東東投出的球在點A處反彈，反彈后球運動的路線為拋物線的一部分

(如圖1所示建立直角坐標(biāo)系)，拋物線頂點為點B。

(1)(5分)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式。

(2)(5分)當(dāng)球運動到點C時被東東搶到，CD，x軸于點D,CD=2.6m。

①求OD的長。

②東東搶到球后，因遭對方防守?zé)o法投籃，他在點D處垂直起跳傳球，想將球沿直線快速傳給

隊友華華，目標(biāo)為華華的接球點E(4,1.3)。東東起跳后所持球離地面高度hi(m)(傳球前)與東東起跳

后時間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系式hi=-2(t-O5)2+2.7(0WKl)；小戴在點F(L5,0)處攔截,他比東東晚0.3s垂

直起跳，其攔截高度h2(m)與東東起跳后時間t(s)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示(其中兩條拋物線的形狀相

同)。東東的直線傳球能否越過小戴的攔截傳到點E?若能，東東應(yīng)在起跳后什么時間范圍內(nèi)傳球？

若不能，請說明理由(直線傳球過程中球運動時間忽略不計)。

【答案】(1)解：?.?拋物線的頂點坐標(biāo)為(0.4,3.32)

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-0.4)2+3.32.

將點(0,3)代入得

a(0-0.4)2+3.32=3

解之：a=-2.

該拋物線的解析式為y=-2(x-0.4)2+3.32.

(2)解：①；CD=2.6,

，y=2.6即-2(x-0.4)2+3.32=2.6

解之:xi=-0.2(舍去)，X2=l

點C(1,2.6)

.*.OD=1；

②如圖

東東的直線傳球能越過小戴的攔截傳到點E.

由圖2可知

當(dāng)0WtW0.3時，h2=2.2,

當(dāng)0.3MW1.3,h2=-2(t-0.8)2+2.7,

當(dāng)hi-h2=0時,t=0.65；

東東在點D處跳起傳球與小熊在點F處攔截的示意圖如圖3,

設(shè)MD=hi,NF=h2,

當(dāng)點M,N,E三點共線時，過點E作EGLMD于點G,交NF于點H,過點N作NPLMD于點

P,

，MD〃NF,PN〃EG,

，/M=/HEN,ZMNP=ZNEH

MPN^ANHE

.MP_NH

?,麗=砥

VPN=0.5,HE=2.5

.?.NH=5MP；

當(dāng)0W60.3時，

MP=-2(t-0.5)2+2.7-2.2=-2(t-0.5)2+0.5

NH=2.2-1.3=0.9

5[-2(t-0.5)2+0.5]=0.9

解之：〃=白(舍去),t2=心；

當(dāng)05區(qū)0.3時一，MF隨t的增大而增大,

AT0<twTH；

當(dāng)0.32.3時，

MF=MD-NF=-2(t-0.5)12+2.7-[-2(t-0.8)2+2.7]=-1.2t+0.78

NH=NF-HF=-2(t-0.8)2+2.7-1.3=-2(t-0.8)2+1.4

：.-2(t-0.8)2+1.4=5(-12+0.78),

解之：tl=23+2785(舍去)心=23；段;

當(dāng)0060.3時,MF隨t的增大而減小

.3“，23-2/85.

??瓦<t<-JQ-，

當(dāng)0.65WK1時,hi<h2,不可能；

，東東應(yīng)在起跳后傳球的時間范圍喘<t<型等藥.

【解析】【分析】(1)利用頂點式設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-0.4)2+3.32,將點A的坐標(biāo)代入就可

求出a的值，即可得到函數(shù)解析式。

(2)①由CD=2.6可知y=6,代入函數(shù)解析式可求出對應(yīng)的x的值，即可得到點C的坐標(biāo)，根據(jù)點

2

C的坐標(biāo)求出OD的長;②由圖2可知當(dāng)gtMO.3時，h2=2.2,當(dāng)0.3WW1.3,h2=-2(t-0.8)+2.7,當(dāng)

h「h2=0時，求出t的值；設(shè)MD=h"NF=h2,易證△MPNs/\NHE,利用相似三角形的性質(zhì)，可證

得NH=5MP,當(dāng)OWtWO.3時，建立關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，可得到t的取值范圍；當(dāng)

0.3生1.3時，建立關(guān)于t的方程，解方程求出t的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得到當(dāng)0莊0.3時，

MF隨t的增大而減小t的取值范圍；當(dāng)0.6500時，h1<h2,不可能；綜上所述可得答案。

14.(10分)有一塊形狀如圖的五邊形余料ABCDE,AB=AE=6,BC=5,ZA=ZB=90°,ZC=135°.

/E>90。.要在這塊余料中截取一塊矩形材料，其中一條邊在AE上，并使所截矩形材料的面積盡可

能大。

(1)(5分)若所截矩形材料的一條邊是BC或AE,求矩形材料的面積。

(2)(5分)能否數(shù)出比(1)中更大面積的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大

值；如果不能，說明理由.

【答案】(1)解:如圖1,SI=ABBC=6X5=30.

如圖2,過點C作CHLFG于點H,

則四邊形BCHG為矩形，

△CHF為等腰直角三角形，

.\HG=BC=5,BG=CH,FH=CH,

/.BG=CH=FH=FG-HG=AE-HG

=6-5=1,

AAG=AB-BG=6-1=5,

AS2=AE-AG=6X5=30.

(2)解:能。

如圖3,在CD上取點F,過點F作FMLAB于點M.

FNLAE于點N,過點C作CGLFM于點G,

則四邊形AMFN,BCGM為矩形，

△CGF為等腰直角三角形，

，MG=BC=5,BM=CG,FG=CG.

設(shè)A.M=x,則BM=6-x,

.*.FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x,

S=AM-FM=x(ll-x)=-(x-5.5)12+30.25.

當(dāng)x=5.5時,S的最大值為30.25.

【解析】【分析】(1)由題意添加輔助線，過點F作CFJ_AE于點F,利用矩形的面積公式求出矩形

ABCF的面積，再過點E作EFLAENDC于點F,過點F作FG,AB于點G,過點C作CH_LFG于

點H,易證ACFH是等腰直角三角形，再利用矩形的性質(zhì)，分別求出AE、AG的長，然后求出矩形

AEFG的面積。

(2)添加輔助線，在CD上取一點F,過點F作FMJ_AB于點M,FNLAE于點N,過點C作

CGJ_FM于點G,利用矩形的判定和性質(zhì)及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，可得到MG=BC,

BM=CG,FG=CG,設(shè)AM=x,用含x的代數(shù)式表示出BM、FM,再利用矩形的面積公式，根據(jù)矩

形AMFN的面積與x的函數(shù)解析式，將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，就可求

解。

15.(10分)如圖1,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點

A,C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上.拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過A,C兩點，與x軸交于另

一個點D.

(1)(5分)①求點A,B,C的坐標(biāo)；

②求b,c的值.

(2)(5分)若點P是邊BC上的一個動點，連結(jié)AP,過點P作PMLAP,交y軸于點M(如圖

2所示).當(dāng)點P在BC上運動時，點M也隨之運動.設(shè)BP=m,CM=n,試用含m的代數(shù)式表示

n,并求出n的最大值.

【答案】(1)解：①???正方形OABC的邊長為3,

二點A,B,C的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(3,3),C(0,3),

②把點A(3,0),C(0,3)的坐標(biāo)分別y=-x2+bx+c,

得1—9+3b+c=0

“Ic=3

解得｛112

(2)解：由題意，得NAPB=90"NMPC=NPMC,ZB=ZPCM=90°,

/.RtAABP