測(cè)量誤差分析

關(guān)于測(cè)量誤差分析第1頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第一節(jié)隨機(jī)誤差的分布規(guī)律

一、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布性質(zhì)測(cè)定值的隨機(jī)性表明了測(cè)量誤差的隨機(jī)性質(zhì)。隨機(jī)誤差就其個(gè)體來說變化是無規(guī)律的，但在總體上卻遵循一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。第2頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五測(cè)量列中的隨機(jī)誤差：

δi=xi－X0式中,δi——測(cè)量列的隨機(jī)誤差，i=1，2，3，…，n；

xi——測(cè)量列的測(cè)量值；

X0——被測(cè)量的真值。

第3頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

隨機(jī)誤差分布的性質(zhì)有界性：在一定的測(cè)量條件下，測(cè)量的隨機(jī)誤差總是在一定的、相當(dāng)窄的范圍內(nèi)變動(dòng)，絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零。單峰性：絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率大，絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率小，絕對(duì)值為零的誤差出現(xiàn)的概率比任何其它數(shù)值的誤差出現(xiàn)的概率都大。第4頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五對(duì)稱性：絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率相同，其分布呈對(duì)稱性。抵償性：在等精度測(cè)量條件下，當(dāng)測(cè)量次數(shù)不斷增加而趨于無窮時(shí)，全部隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零。第5頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為

式中，——標(biāo)準(zhǔn)誤差（均方根誤差）；

e——自然對(duì)數(shù)的底。如用測(cè)定值x本身來表示，則第6頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第7頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五二、正態(tài)分布密度函數(shù)與概率積分對(duì)于一定的被測(cè)量，在靜態(tài)情況下，X0是一定的，σ的大小表征著諸測(cè)定值的彌散程度。σ值越小，正態(tài)分布密度曲線越尖銳，幅值越大；σ值越大，正態(tài)分布密度曲線越平坦，幅值越小?？捎脜?shù)σ來表征測(cè)量的精密度，σ越小，表明測(cè)量的精密度越高。第8頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第9頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五σ并不是一個(gè)具體的誤差，它的數(shù)值大小只說明了在一定條件下進(jìn)行一列等精度測(cè)量時(shí)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率密度分布情況。在一定條件下進(jìn)行等精度測(cè)量時(shí)，任何單次測(cè)定值的誤差δi可能都不等于σ，但我們認(rèn)為這列測(cè)定值具有同樣的均方根誤差σ；而不同條件下進(jìn)行的兩列等精度測(cè)量，一般來說具有不同的σ值。第10頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)誤差出現(xiàn)的性質(zhì)決定了人們不可能正確地獲得單個(gè)測(cè)定值的真誤差δi的數(shù)值，而只能在一定的概率意義之下估計(jì)測(cè)量隨機(jī)誤差數(shù)值的范圍，或者求得誤差出現(xiàn)于某個(gè)區(qū)間得概率。第11頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五將正態(tài)分布密度函數(shù)積分概率積分第12頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五若令a=zσ，則第13頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第14頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第二節(jié)直接測(cè)量誤差分析與處理子樣平均值：代表由n個(gè)測(cè)定值x1,x2,…,xn組成的子樣的散布中心子樣方差：描述子樣在其平均值附近散布程度第15頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五一、算術(shù)平均值原理

測(cè)定值子樣的算術(shù)平均值是被測(cè)量真值的最佳估計(jì)值。算術(shù)平均值的意義設(shè)x1、x2、…，xn為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值為

第16頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五算術(shù)平均值的性質(zhì) 用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值，則有式中vi——xi的剩余誤差；

xi——第i個(gè)測(cè)量值，i=1，2，…，n。第17頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

（1）剩余誤差的代數(shù)和等于零，即

（2）剩余誤差的平方和為最小，即第18頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五測(cè)定值子樣平均值的均方根誤差是測(cè)定值母體均方根誤差的倍。在等精度測(cè)量條件下對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量，用測(cè)定值子樣平均值估計(jì)被測(cè)量真值比用單次測(cè)量測(cè)定值估計(jì)具有更高的精密度。第19頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五二、貝塞爾公式

因?yàn)檎嬷礨0為未知，所以必須用殘差vi來表示，即此式稱貝塞爾公式。第20頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五三、測(cè)量結(jié)果的置信度

假設(shè)用對(duì)μ進(jìn)行估計(jì)的誤差為，那么。對(duì)于某一指定的區(qū)間[－λ,λ]，落在該區(qū)間內(nèi)的概率為。同樣地，可以求得測(cè)定值子樣平均值落在區(qū)間[μ－λ,μ＋λ]的概率為第21頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

表示“測(cè)定值子樣平均值這一隨機(jī)變量出現(xiàn)于一個(gè)固定區(qū)間內(nèi)”這一事件的概率；表示“在寬度一定作隨機(jī)變動(dòng)的隨機(jī)區(qū)間內(nèi)包含被測(cè)量真值”這一事件的概率。第22頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五定義區(qū)間為測(cè)量結(jié)果的置信區(qū)間，也稱為置信限λ為置信區(qū)間半長(zhǎng)，也稱為誤差限概率為測(cè)量經(jīng)過在置信區(qū)間內(nèi)的置信概率。危險(xiǎn)率：第23頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五置信區(qū)間與置信概率共同表明了測(cè)量結(jié)果的置信度，即測(cè)量結(jié)果的可信程度。對(duì)于同一測(cè)量結(jié)果，置信區(qū)間不同，其置信概率是不同的。置信區(qū)間越寬，置信概率越大；反之亦然。第24頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五一列等精度測(cè)量的結(jié)果可以表達(dá)為在一定的置信概率之下，以測(cè)定值子樣平均值為中心，以置信區(qū)間半長(zhǎng)為誤差限的量測(cè)量結(jié)果＝子樣平均值±置信區(qū)間半長(zhǎng)（置信概率P＝？）第25頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五例題1：

在等精度測(cè)量條件下對(duì)某透平機(jī)械的轉(zhuǎn)速進(jìn)行了20次測(cè)量，獲得如下的一列測(cè)定值（單位：r/min）

4753.14757.54752.74752.84752.14749.24750.64751.04753.94751.24750.34753.34752.14751.24752.34748.44752.54754.74650.04751.0

試求該透平機(jī)轉(zhuǎn)速（設(shè)測(cè)量結(jié)果的置信概率P＝95％）。第26頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第27頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五在實(shí)際測(cè)量工作中，并非任何場(chǎng)合下都能對(duì)被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量，而多為單次測(cè)量。如果知道了在某種測(cè)量條件下測(cè)量的精密度參數(shù)，而且在同樣的測(cè)量條件下取得單次測(cè)量的測(cè)定值，那么單次測(cè)量情況下測(cè)量結(jié)果的表達(dá)式為：測(cè)量結(jié)果＝單次測(cè)定值±置信區(qū)間半長(zhǎng)（置信概率P＝？）第28頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五例題2：

對(duì)例1所述的透平機(jī)轉(zhuǎn)速測(cè)量，設(shè)測(cè)量條件不變，單次測(cè)量的測(cè)定值為4753.1r/min，求該透平機(jī)轉(zhuǎn)速（測(cè)量結(jié)果的置信概率P＝95％）。第29頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

在同樣的置信概率下，用單次測(cè)定值表示測(cè)量結(jié)果比用多次測(cè)量所獲得的測(cè)定值子樣平均值表示的誤差大。第30頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五四、測(cè)量結(jié)果的誤差評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)誤差若測(cè)量結(jié)果用單次測(cè)定值表示，誤差限采用標(biāo)準(zhǔn)誤差，則

測(cè)量結(jié)果＝單次測(cè)定值x±標(biāo)準(zhǔn)誤差（P=68.3%）若測(cè)量結(jié)果用測(cè)定值子樣平均值表示，誤差限采用標(biāo)準(zhǔn)誤差，則

測(cè)量結(jié)果＝子樣平均值x±標(biāo)準(zhǔn)誤差（P=68.3%）第31頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五極限誤差測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差的三倍，定義為測(cè)量列的極限誤差子樣平均值的極限誤差與測(cè)量列極限誤差的關(guān)系是第32頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五五、小子樣誤差分析與t分布

當(dāng)測(cè)量次數(shù)很少時(shí)，子樣平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差很不準(zhǔn)確，并且子樣容量愈小，這種情況就愈嚴(yán)重。為了在σ未知的情況下，根據(jù)子樣平均值估計(jì)被測(cè)量真值，就須考慮一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。它的分布只取決于子樣容量n，而與σ無關(guān)。這時(shí)需引入統(tǒng)計(jì)量t。

第33頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五定義t為t不服從正態(tài)分布，而服從t分布，其概率密度函數(shù)為 式中，是特殊函數(shù)，v是正整數(shù)，稱為t分布的自由度。

第34頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)進(jìn)行n次獨(dú)立測(cè)量時(shí)，由于t受平均值的約束，服從自由度為n－1的t分布，所以ν＝n－1。t分布與母體均方根誤差σ無關(guān)，只與子樣容量n有關(guān)。第35頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第36頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

表中列有在各種自由度和置信概率下，滿足式的tp值。它表明自由度為v的t分布在區(qū)間[－tp，tp]內(nèi)的概率為P。假設(shè)一列等精度獨(dú)立測(cè)定值x1，x2，…，xn服從正態(tài)分布，真值和均方根誤差均未知。根據(jù)這一列測(cè)定值可求得算術(shù)平均值及其均方根誤差的估計(jì)值：

第37頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五由于服從自由度v=n－1的t分布，所以可用上式做以下的概率描述或測(cè)量結(jié)果可表示為：

測(cè)量結(jié)果第38頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五例3

用光學(xué)高溫計(jì)測(cè)量某金屬鑄液的溫度，得到如下5個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)（℃）：975，1005，988，993，987

設(shè)金屬鑄液溫度穩(wěn)定，測(cè)溫隨機(jī)誤差屬于正態(tài)分布。試求鑄液的實(shí)際溫度（取P＝95％）。第39頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五解：根據(jù)P＝95％和v＝4，查表得tp＝2.78，則測(cè)量結(jié)果為第40頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五若上例用正態(tài)分布求取給定置信概率下得置信溫度區(qū)間是[980.6,999.0]，這要比由t分布求得得區(qū)間小。這表明，在測(cè)量次數(shù)較少的情況下，用正態(tài)分布計(jì)算誤差限，往往會(huì)得到“太好”的結(jié)果，夸大了測(cè)量結(jié)果的精密度。因此，對(duì)小子樣的誤差分析，應(yīng)采用t分布處理。第41頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第三節(jié)間接測(cè)量誤差分析與處理在間接測(cè)量中，測(cè)量誤差是各個(gè)測(cè)量值誤差的函數(shù)。因此，研究間接測(cè)量的誤差也就是研究函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差有下列三個(gè)基本內(nèi)容：已知函數(shù)關(guān)系和各個(gè)測(cè)量值的誤差，求函數(shù)即間接測(cè)量值的誤差。已知函數(shù)關(guān)系和規(guī)定的函數(shù)總誤差，要求分配各個(gè)測(cè)量值的誤差。確定最佳的測(cè)量條件，即使函數(shù)誤差達(dá)到最小值時(shí)的測(cè)量條件。

第42頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五一、誤差傳布原理設(shè)間接測(cè)量值y是直接測(cè)量值x1，x2，…，xm的函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系的一般形式可表示為y=f（x1，x2，…，xm）假定對(duì)x1，x2，…，xm各進(jìn)行了n次測(cè)量，那么每個(gè)xi都有自己的一列測(cè)定值xi1，xi2，…，xin，其相應(yīng)的隨機(jī)誤差為，，…，。第43頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五若將測(cè)量x1，x2，…，xm時(shí)所獲得的第一個(gè)測(cè)定值代入函數(shù)關(guān)系式，可求得間接測(cè)量值的第一個(gè)測(cè)定值y1，即y1=f（x11，x21，…，xm1）由于測(cè)定值x11，x21，…，xm1與真值之間存在隨機(jī)誤差，所以y1與真值之間也必定有誤差，記為δy1。由誤差的定義，上式可寫為

Y+δy1=f（X1+δ11,X2+δ21,…,Xm+δm1

）

第44頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

若較小，且諸Xi是彼此獨(dú)立的量，將上式按泰勒公式展開，并取其誤差的一階項(xiàng)作為一次近似，略去一切高階誤差項(xiàng)，那么上式可近似寫成第45頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

同樣地，將測(cè)量x1，x2，…，xn時(shí)所獲得的第二、第三，直至第n個(gè)測(cè)定值分別代入函數(shù)關(guān)系式，可得

……第46頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

將上述各式相加并除以n，可求得間接測(cè)量值的算術(shù)平均值，也就是Y的最優(yōu)概值

第47頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

式中，正好是測(cè)量xm時(shí)所得一列測(cè)定值的算術(shù)平均值的隨機(jī)誤差，記為，所以

第48頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

另一方面，將直接測(cè)量x1，x2，…，xm所獲得的測(cè)定值的算術(shù)平均值，,…代入函數(shù)關(guān)系式，并將其在x1，x2，…，xm的鄰域內(nèi)用泰勒公式展開，可有

第49頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

將上兩式進(jìn)行比較，可得

由此可得出結(jié)論Ⅰ：間接測(cè)量值的最佳估計(jì)值可以由與其有關(guān)的各直接測(cè)量值的算術(shù)平均值代入函數(shù)關(guān)系式求得。

第50頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

并且可以知道，直接測(cè)量值x1，x2，…，xm第j次測(cè)量獲得的測(cè)定值的誤差，，…，與其相應(yīng)的間接測(cè)量值Y的誤差之間關(guān)系應(yīng)為

第51頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

假定的分布服從正態(tài)分布（只有當(dāng)y與x1，x2，…，xn之間存在線性關(guān)系時(shí)，這種假設(shè)才成立，否則只是近似成立），那么可求得y的標(biāo)準(zhǔn)誤差

第52頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五其中第53頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

根據(jù)隨機(jī)誤差的性質(zhì)，若直接測(cè)量值xi彼此獨(dú)立，則當(dāng)測(cè)量次數(shù)無限增加時(shí)，必有（i≠k）

所以第54頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

則而正好是第i個(gè)直接測(cè)量值xi的標(biāo)準(zhǔn)誤差的平方，因此可得出間接測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差與諸直接測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差之間如下的關(guān)系：第55頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

式中，稱為誤差傳遞系數(shù)，稱為自變量xi的部分誤差，記為Di。由此可得出結(jié)論Ⅱ：間接測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差是各獨(dú)立直接測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差和函數(shù)對(duì)該直接測(cè)量值偏導(dǎo)數(shù)乘積的平方和的平方根。

第56頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

以上兩個(gè)結(jié)論是誤差傳布原理的基本內(nèi)容，是解決間接測(cè)量誤差分析與處理問題的基本依據(jù)。它們還可以推廣到描述間接測(cè)量值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差和各直接測(cè)量值算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差之間的關(guān)系第57頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

有時(shí)，測(cè)量結(jié)果的誤差用相對(duì)誤差的形式描述更合適。如果以間接測(cè)量值的算術(shù)平均值作為約定值，那么間接測(cè)量值y的實(shí)際相對(duì)誤差為式中，是直接測(cè)量值xi的實(shí)際相對(duì)誤差

第58頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

最后，應(yīng)指出以下兩點(diǎn)：

1．上述各公式是建立在對(duì)每一獨(dú)立的直接測(cè)量值xi進(jìn)行多次等精度獨(dú)立測(cè)量的基礎(chǔ)上的，否則，上述公式嚴(yán)格地說將不成立。

2．對(duì)于間接測(cè)量值與各直接測(cè)量值之間呈非線性函數(shù)關(guān)系的情況，上述公式只是近似的，只有當(dāng)計(jì)算y的誤差允許作線性近似時(shí)才能使用。

第59頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五二、函數(shù)誤差的分配

在間接測(cè)量中，當(dāng)給定了函數(shù)y的誤差，再反過來求各個(gè)自變量的部分部分誤差的允許值，以保證達(dá)到對(duì)已知函數(shù)的誤差要求，這就是函數(shù)誤差的分配。誤差分配是再保證函數(shù)誤差再要求的范圍內(nèi)，根據(jù)各個(gè)自變量的誤差來選擇相應(yīng)的適當(dāng)儀表。

第60頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

1．按等作用原則分配誤差 等作用原則認(rèn)為各個(gè)部分誤差對(duì)函數(shù)誤差的影響相等，即

由此可得如果各個(gè)測(cè)量值誤差滿足上式，則所得的函數(shù)誤差不會(huì)超過允許的給定值。第61頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

2．按可能性調(diào)整 因?yàn)橛?jì)算得到的各個(gè)局部誤差都相等，這對(duì)于其中有的測(cè)量值，要保證其誤差不超出允許范圍較為容易實(shí)現(xiàn)，而對(duì)有的測(cè)量值就難以滿足要求，因此按等作用原則分配誤差可能會(huì)出現(xiàn)不合理的情況。 同時(shí)當(dāng)各個(gè)部分誤差一定時(shí)，相應(yīng)測(cè)量值的誤差與其傳遞函數(shù)成反比。所以盡管各個(gè)部分誤差相等，但相應(yīng)的測(cè)量值并不相等，有時(shí)可能相差很大。第62頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

由于存在以上情況，對(duì)等作用原則分配的誤差，必須根據(jù)具體情況進(jìn)行調(diào)整，對(duì)難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)適當(dāng)擴(kuò)大，對(duì)容易實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)盡可能縮小，而對(duì)其余項(xiàng)不予調(diào)整。第63頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

3．驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差 誤差調(diào)整后，應(yīng)按誤差分配公式計(jì)算總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應(yīng)選擇可能縮小的誤差項(xiàng)進(jìn)行補(bǔ)償。若發(fā)現(xiàn)實(shí)際總誤差較小，還可以適當(dāng)擴(kuò)大難以實(shí)現(xiàn)的誤差項(xiàng)。第64頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五例4

已知銅電阻阻值與溫度的關(guān)系為Rt=R20[1+a20(t-20)]，20℃時(shí)銅電阻阻值R20＝6±0.018Ω，a20＝0.004±0.00004℃－1，求銅電阻在30℃時(shí)的電阻值及其誤差。第65頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第五節(jié)粗大誤差粗大誤差是指不能用測(cè)量客觀條件解釋為合理的那些突出誤差，它明顯地歪曲了測(cè)量結(jié)果。含有粗大誤差的測(cè)定值稱為壞值，應(yīng)予以剔除。第66頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五產(chǎn)生粗大誤差的原因：測(cè)量者的主觀原因客觀外界條件的原因第67頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五一、拉伊特準(zhǔn)則拉伊特準(zhǔn)則(3σ準(zhǔn)則)：如果測(cè)量列中某一測(cè)定值殘差vi的絕對(duì)值大于該測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差的3倍，那么可認(rèn)為該測(cè)量列中有粗大誤差存在，且該測(cè)定值為壞值。壞值剔除后，應(yīng)重新計(jì)算新測(cè)量列的算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)誤差，并再次進(jìn)行檢驗(yàn)看余下的數(shù)據(jù)中是否還含有壞值。第68頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五拉伊特準(zhǔn)則是判定粗大誤差存在的一種最簡(jiǎn)單的方法。拉伊特準(zhǔn)則是在重復(fù)測(cè)量次數(shù)n趨于無窮大的前提下建立的，當(dāng)n有限時(shí)，尤其是當(dāng)n很小時(shí)（如n≤10），此準(zhǔn)則就不可靠。第69頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五二、格拉布斯準(zhǔn)則

對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次等精度獨(dú)立測(cè)量，獲得一列測(cè)定值x1，x2，…，xn。為了檢查測(cè)定值中是否含有粗大誤差，將xi由小到大按順序排列為 第70頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五格拉布斯按照數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論導(dǎo)出了統(tǒng)計(jì)量的分布，取定危險(xiǎn)率a，可求得臨界值g0(n,a)，而第71頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第72頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

這樣，得到了判定粗大誤差的格拉布斯準(zhǔn)則：若測(cè)量列中最大測(cè)定值或最小測(cè)定值的殘差有滿足者，則可認(rèn)為含有殘差vi的測(cè)定值是壞值，因此該測(cè)定值按危險(xiǎn)率a應(yīng)該剔除。第73頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五用格拉布斯準(zhǔn)則判定測(cè)量列中是否含有粗大誤差的壞值時(shí)，選擇不同的危險(xiǎn)率可能得到不同的結(jié)果。危險(xiǎn)率的含義是按本準(zhǔn)則判定為異常數(shù)據(jù)，而實(shí)際上并不是，從而犯錯(cuò)誤的概率。危險(xiǎn)率就是誤剔除的概率。第74頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五例5

測(cè)某一介質(zhì)溫度15次，得到以下一列測(cè)定值數(shù)據(jù)（℃）：

20.42，20.43，20.40，20.43，20.42，

20.43，20.39，20.30，20.40，20.43，

20.42，20.41，20.39，20.39，20.40

試判斷其中有無含有粗大誤差的壞值。第75頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五解：(1)按大小順序?qū)y(cè)定值重新排列20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43(2)計(jì)算子樣平均值和測(cè)量列標(biāo)準(zhǔn)誤差第76頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(3)選取a＝5％，查表得g0(15,5％)＝2.41(4)計(jì)算最大與最小測(cè)定值的殘差，并用格拉布斯準(zhǔn)則判定因故x(1)＝20.30在a＝5％下被判定為壞值而剔除。第77頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五(5)剔除含有粗大誤差的壞值后，重新計(jì)算余下測(cè)定值的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差，查表求新的臨界值，再進(jìn)行判定。故余下的測(cè)定值中已無粗大誤差的壞值。第78頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差在性質(zhì)上是不同的，它的出現(xiàn)具有一定的規(guī)律性，不能像隨機(jī)誤差那樣依靠統(tǒng)計(jì)的方法來處理，只能采取具體問題具體分析的方法，通過仔細(xì)的校驗(yàn)和精心的試驗(yàn)才能發(fā)現(xiàn)與消除。第六節(jié)系統(tǒng)誤差的分析與處理第79頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

設(shè)有一列測(cè)定值x1，x2，…，xn，若測(cè)定值xi中含有系統(tǒng)誤差θi，消除系統(tǒng)誤差之后其值為x‘i，則xi=x’i+θi，其算術(shù)平均值為

式中，是消除系統(tǒng)誤差之后的一列測(cè)定值的算術(shù)平均值。

一、系統(tǒng)誤差的性質(zhì)第80頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

測(cè)定值xi的殘差式中，v'i是消除系統(tǒng)誤差之后的測(cè)定值的殘差。第81頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五由此，可以得到系統(tǒng)誤差的兩點(diǎn)性質(zhì)：（1）對(duì)恒值系統(tǒng)誤差，由于，所以vi=v‘i。由殘差計(jì)算出的測(cè)量列的均方根誤差式中，是消除系統(tǒng)誤差后測(cè)量列的均方根誤差。σ‘第82頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

因此，得到系統(tǒng)誤差的性質(zhì)之一：恒值系統(tǒng)誤差的存在，只影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，不影響測(cè)量的精密度參數(shù)。如果測(cè)定值子樣容量足夠大，含有恒值系統(tǒng)誤差的測(cè)定值仍服從正態(tài)分布。第83頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

(2)對(duì)變值系統(tǒng)誤差，一般有，所以vi≠v'i，σ≠σ'。因此，得到系統(tǒng)誤差的第二個(gè)性質(zhì)：變值系統(tǒng)誤差的存在，不僅影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，而且會(huì)影響測(cè)量的精密度參數(shù)。

第84頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五二、系統(tǒng)誤差處理的一般原則

1．在測(cè)量之前，應(yīng)該盡可能預(yù)見到產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源，設(shè)法消除之。或者使其影響減少到可以接收的程度。

系統(tǒng)誤差的來源一般可以歸納為以下幾個(gè)方面：由于測(cè)量設(shè)備、試驗(yàn)裝置不完善，或安裝、調(diào)整，使用不得當(dāng)而引起的誤差。由于外界環(huán)境因素的影響而引起的誤差。由于測(cè)量方法不正確，或者測(cè)量方法所賴以存在的理論本身不完善而引起的誤差。

第85頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

2．在實(shí)際測(cè)量時(shí)，盡可能地采用有效的測(cè)量方法，消除或減弱系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

（1）對(duì)置法：消除恒值系統(tǒng)誤差常用的方法。這種方法的實(shí)質(zhì)是交換某些測(cè)量條件，使得引起恒值系統(tǒng)誤差的原因以相反的方向影響測(cè)量結(jié)果，從而中和其影響。

第86頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

例如，在兩臂為l1,l2的天平上稱重，先將被測(cè)重量x放在左邊，標(biāo)準(zhǔn)砝碼P放在右邊，調(diào)平衡后，有第87頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

若l1與l2不嚴(yán)格相等，則取x＝P必引入恒值系統(tǒng)誤差，此時(shí)，若將x、P交換位置，由于l1≠l2，P需換為P‘才能與x平衡，即于是可取這樣可消除因天平臂長(zhǎng)不等而引入的恒值系統(tǒng)誤差。第88頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

（2）對(duì)稱觀測(cè)法：消除線性變化的累進(jìn)系統(tǒng)誤差最有效的方法。 若在測(cè)量過程中存在某種隨時(shí)間呈線性變化的系統(tǒng)誤差，則可以通過對(duì)稱觀測(cè)法來消除。它就是將測(cè)量以某一時(shí)刻為中心對(duì)稱地安排，取各對(duì)稱點(diǎn)兩次測(cè)定值的算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，即可達(dá)到消除線性變化的累進(jìn)系統(tǒng)誤差的目的。

第89頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五由于許多系統(tǒng)誤差都隨時(shí)間變化，而且在短時(shí)間內(nèi)可認(rèn)為是線性變化。因此，如果條件許可均宜采用對(duì)稱觀測(cè)法。第90頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

（3）半周期偶數(shù)觀測(cè)法：可以很好地消除周期性變化的系統(tǒng)誤差。 周期性系統(tǒng)誤差可表示為其中α為常數(shù)，t為決定周期性誤差的量，T為周期性系統(tǒng)誤差的變化周期。第91頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

當(dāng)t=t0時(shí)，周期性誤差θ0為 當(dāng)時(shí)，而?？梢?，測(cè)得一個(gè)數(shù)據(jù)后，相隔t的半個(gè)周期再測(cè)一個(gè)數(shù)據(jù)，取二者的平均值，即可消去周期性系統(tǒng)誤差。第92頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

3．在測(cè)量之后，通過對(duì)測(cè)定值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，檢查是否存在尚未被注意到的變值系統(tǒng)誤差。

4．最后，要設(shè)法估計(jì)出未被消除而殘留下來的系統(tǒng)誤差對(duì)最終測(cè)量結(jié)果的影響。

第93頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五三、系統(tǒng)誤差存在與否的檢驗(yàn)一般情況下，人們不能直接通過對(duì)等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理來判斷恒值系統(tǒng)誤差的存在，除非改變恒值系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的測(cè)量條件；但對(duì)于變值系統(tǒng)誤差，有可能通過對(duì)等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)處理來判定變值系統(tǒng)誤差的存在。第94頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五在容量相當(dāng)大的測(cè)量列中，如果存在著非正態(tài)分布的變值系統(tǒng)誤差，那么測(cè)定值的分布將偏離正態(tài)，檢驗(yàn)測(cè)定值分布的正態(tài)性，將揭露出變值系統(tǒng)誤差的存在。在實(shí)際測(cè)量中，往往不必作煩冗細(xì)致的正態(tài)分布檢驗(yàn)，可以借助于考察測(cè)定值殘差的變化情況和利用某些較為簡(jiǎn)捷的判據(jù)來檢驗(yàn)變值系統(tǒng)誤差的存在。第95頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

1．根據(jù)測(cè)定值殘差的變化判定變值系統(tǒng)誤差的存在若對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次等精度測(cè)量，獲得一系列測(cè)定值x1，x2，…，xn，各測(cè)定值的殘差表示為

第96頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

如果測(cè)定值中系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大，那么，殘差vi的符號(hào)將主要由項(xiàng)的符號(hào)來決定。因此，如果將殘差按照測(cè)量的先后順序排列起來。這些殘差的符號(hào)變化將反映出的符號(hào)變化，進(jìn)而反映出θi的符號(hào)變化。由于變值系統(tǒng)誤差θi的變化具有某種規(guī)律，因而殘差vi的變化也具有大致相同的規(guī)律性。第97頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五由此可得：

準(zhǔn)則Ⅰ：將測(cè)量列中諸測(cè)定值按測(cè)量的先后順序排定，若殘差的大小有規(guī)律地向一個(gè)方向變化，由正到負(fù)或者相反，則測(cè)量列中會(huì)有累進(jìn)的系統(tǒng)誤差。

準(zhǔn)則Ⅱ：將測(cè)量列中諸測(cè)定值按測(cè)量的先后順序排定，若殘差的符號(hào)呈有規(guī)律的交替變化，則測(cè)量列中含有周期性的系統(tǒng)誤差。第98頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五例6

對(duì)某恒溫箱內(nèi)的溫度進(jìn)行了10次測(cè)量，一次獲得如下測(cè)定值（℃）：

20.06，20.07，20.06，20.08，20.1020.12，20.14，20.18，20.18，20.21

試判定該測(cè)量列中是否存在變值系統(tǒng)誤差。第99頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五解：計(jì)算各測(cè)定值的殘差，并按先后順序排列如下：-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09

可見，殘差由負(fù)變正，其數(shù)值逐漸增大，故測(cè)量列中存在累進(jìn)系統(tǒng)誤差。第100頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

2．利用判據(jù)來判定變值系統(tǒng)誤差的存在根據(jù)殘差變化情況來判定變值系統(tǒng)誤差的存在，只有在測(cè)定值所含系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況下才是有效的。否則，殘差的變化情況并不能作為變值系統(tǒng)誤差存在與否的依據(jù)。為此，還需要進(jìn)一步依靠統(tǒng)計(jì)的方法來判別。下面給出幾個(gè)變值系統(tǒng)誤差存在與否的判據(jù)。這些判據(jù)的實(shí)質(zhì)是以檢驗(yàn)分布是否偏離正態(tài)為基礎(chǔ)的。

第101頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

判據(jù)1：對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次等精度測(cè)量，獲得一列測(cè)定值x1，x2，…，xn，各測(cè)定值的殘差依次為v1，v2，…，vn。把前面k個(gè)殘差和后面（n－k）個(gè)殘差分別求和（當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取k=n/2；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取k=(n+1)/2），并取其差值

若差值D顯著地異于零，則測(cè)量列中含有累進(jìn)的系統(tǒng)誤差。第102頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

判據(jù)2：對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次等精度測(cè)量，獲得一列測(cè)定值x1，x2，…，xn，各測(cè)定值的真誤差依次為δ1，δ2，…，δn。設(shè)，若，則可認(rèn)為該測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。其中σ是該測(cè)量列的均方根誤差。判據(jù)2是以獨(dú)立真誤差的正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。在實(shí)際計(jì)算中，可以用殘差vi來代替δi。第103頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五例7

試用判據(jù)1、2來判定例6中的測(cè)量列是否含有系統(tǒng)誤差。第104頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五解：計(jì)算得到各測(cè)定值的殘差：-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09第105頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五用判據(jù)1檢驗(yàn)因?yàn)榭梢?，│D│顯著地異于零，故可認(rèn)為測(cè)量列中含有累進(jìn)系統(tǒng)誤差。這與準(zhǔn)則1判定的結(jié)論相同。第106頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)測(cè)量次數(shù)無窮大時(shí)，只要D≠0，一般就可認(rèn)為測(cè)量列中含有累進(jìn)系統(tǒng)誤差。當(dāng)測(cè)量次數(shù)n有限時(shí)，D≠0不能說明累進(jìn)誤差的存在，一般采用│D│>│vmax│作為判定測(cè)量列中累進(jìn)系統(tǒng)誤差存在的依據(jù)。第107頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五用判據(jù)2檢驗(yàn)因?yàn)楣士膳卸y(cè)量列內(nèi)含有周期性系統(tǒng)誤差。這一結(jié)果在例6中未曾得到。這說明，在判定一個(gè)測(cè)量列中是否會(huì)有變值系統(tǒng)誤差時(shí)，聯(lián)合運(yùn)用上述判定變值系統(tǒng)誤差存在與否的準(zhǔn)則和判據(jù)是有益的。第108頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五3.利用數(shù)據(jù)比較判定任意兩組數(shù)據(jù)間系統(tǒng)誤差的存在設(shè)對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行m組測(cè)量，其測(cè)量結(jié)果為任意兩組測(cè)量數(shù)據(jù)之間不存在系統(tǒng)誤差的條件是第109頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五第六節(jié)測(cè)量結(jié)果的不確定度

一、測(cè)量不確定度定義及其構(gòu)成由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能確定的程度稱為測(cè)量不確定度，在數(shù)值上為：由一個(gè)測(cè)量列得到的測(cè)量結(jié)果中，如在其算術(shù)平均值中，已按已知的系統(tǒng)誤差進(jìn)行了修正，則它與被測(cè)量的真值之間的差，存在某一估算的間隔（區(qū)間）范圍。這個(gè)范圍的上限與修正過的平均值的差，或修正過的平均值與這個(gè)范圍的下限之差，即為測(cè)量的不確定度。通常這兩個(gè)差是相等的，但并非總是相等。第110頁，共121頁，2023年，2月20日，星期五

測(cè)量不確定度包括兩個(gè)部分：第一部分涉及隨機(jī)的誤差，稱隨機(jī)分量或A類分量；另一部分涉及未掌握的系統(tǒng)誤差，稱系統(tǒng)分量或B類