面向工程教育的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革探討

面向工程教育的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革探討面向項(xiàng)目教育的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革探討

文章編號：1672-5913〔2022〕05-0038-04

中圖分類號：G642

0引言

?華盛頓協(xié)議》是國際上最具權(quán)威性和影響力的項(xiàng)目教育互認(rèn)協(xié)議之一。我國于2022年參加華盛頓協(xié)議，成為其預(yù)備成員，2022年成為第18個(gè)正式成員。項(xiàng)目教育專業(yè)認(rèn)證強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，以學(xué)習(xí)產(chǎn)出和學(xué)習(xí)成果為目標(biāo)導(dǎo)向，通過質(zhì)量監(jiān)控和反應(yīng)機(jī)制持續(xù)地對教學(xué)過程進(jìn)行改良，促使教育質(zhì)量的改善和提高[1-2]。

我們遵循項(xiàng)目教育的理念，制定可量化的考核方式，通過“評價(jià)―反應(yīng)―改良〞的循環(huán)過程，持續(xù)改良教學(xué)質(zhì)量。我們以離散數(shù)學(xué)課程的項(xiàng)目教育實(shí)踐為切入點(diǎn)，對課程教學(xué)模式做了改變和嘗試，提出了課程達(dá)成度計(jì)算模型。在教學(xué)實(shí)踐中，通過SPOC〔小規(guī)模限制性在線課程〕和翻轉(zhuǎn)課堂的結(jié)合，引入與離散數(shù)學(xué)知識相關(guān)的項(xiàng)目問題和實(shí)例，著重培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜項(xiàng)目問題的能力。在教學(xué)階段，逐項(xiàng)收集各種教學(xué)信息，對教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和研究，持續(xù)改良和提高教學(xué)方式。

1課程達(dá)成度與指標(biāo)點(diǎn)

對于軟件項(xiàng)目專業(yè)，項(xiàng)目教育的培養(yǎng)目標(biāo)是培養(yǎng)軟件項(xiàng)目領(lǐng)域高層次的軟件研發(fā)、管理和技術(shù)效勞人才。在項(xiàng)目教育的實(shí)施過程中，不斷積累學(xué)習(xí)和教學(xué)數(shù)據(jù)，借助數(shù)字化技術(shù)計(jì)算學(xué)習(xí)成果的達(dá)成度[1]。在教學(xué)體系上，采用自頂向下的辦法，建立層次化的達(dá)成度評價(jià)模型：第一級為課程達(dá)成度，第二級為畢業(yè)要求達(dá)成度，第三級為培養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成度。下一級的達(dá)成度撐持上一級的目標(biāo)，以此建立培養(yǎng)目標(biāo)、畢業(yè)要求和課程之間的數(shù)字化對應(yīng)關(guān)系。

宏觀上，達(dá)成度的評價(jià)最終分解為對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的全程跟蹤和持續(xù)性評估。軟件項(xiàng)目專業(yè)整個(gè)培養(yǎng)體系劃分為9條培養(yǎng)目標(biāo)〔PO〕和12條畢業(yè)要求〔GR〕，每項(xiàng)畢業(yè)要求再細(xì)化為多個(gè)指標(biāo)點(diǎn)。在微觀上，課程的達(dá)成度撐持了對應(yīng)畢業(yè)要求的指標(biāo)點(diǎn)。首先以畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)確定課程的教學(xué)目標(biāo)〔CO〕；然后，教師根據(jù)對教學(xué)目標(biāo)的分解確定每個(gè)課程目標(biāo)的權(quán)重〔W〕，課程目標(biāo)權(quán)重反映了該課程教學(xué)和達(dá)成度評價(jià)的側(cè)重點(diǎn)。課程教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度基于所選取的考核評價(jià)方式〔平時(shí)作業(yè)、期中考試、期末考試等〕來進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算公式如下：

C=∑〔COi×Wi〕，COi=∑〔Tij×wij〕〔i=1，2，…，n；j=1，2，…，m〕

式中：C《檳趁趴緯痰拇锍啥燃撲闃擔(dān)《COi為某門課程第i個(gè)課程目標(biāo)的達(dá)成度計(jì)算值。Wi為某門課程第i個(gè)課程目標(biāo)達(dá)成度的計(jì)算權(quán)重系數(shù)；Tij為某門課程第i個(gè)課程目標(biāo)在第j種考核方式中的達(dá)成度計(jì)算值；wij為第i個(gè)課程目標(biāo)在第j種考核方式中的權(quán)重系數(shù)。

離散數(shù)學(xué)作為軟件項(xiàng)目專業(yè)的根底理論課，其撐持的畢業(yè)要求包括：

〔1〕GR1.4：掌握專業(yè)知識，能選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型描述復(fù)雜軟件項(xiàng)目問題，能對模型進(jìn)行推理和求解。

〔2〕GR12.2：掌握自主學(xué)習(xí)的辦法，了解拓展知識和能力的途徑。

根據(jù)畢業(yè)要求的指標(biāo)點(diǎn)設(shè)置4項(xiàng)課程目標(biāo)和3個(gè)教學(xué)模塊〔CM〕，主要包括：CO1掌握離散數(shù)學(xué)的根本思想和概念；CO2培養(yǎng)嚴(yán)格的邏輯推理能力；CO3訓(xùn)練抽象思維能力；CO4培養(yǎng)處理離散信息及項(xiàng)目應(yīng)用的能力；CM1匯合與關(guān)系、CM2數(shù)理邏輯和CM3圖論。課程目標(biāo)、教學(xué)模塊和考試考核點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系見表1。

在期末考試后，采集每個(gè)學(xué)生每道題目的得分成績，選定考核點(diǎn)，依據(jù)題目的預(yù)期值〔即每道題目的分?jǐn)?shù)〕和到達(dá)值〔即每道題目的實(shí)際得分〕計(jì)算課程教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度：

COn=∑〔COn考核點(diǎn)預(yù)期值/COn考核點(diǎn)到達(dá)值〕，n=1，2，3，4；

課程達(dá)成度=CO1×0.4+CO2×0.2+CO3×0.2+CO4×0.2

由以上達(dá)成度計(jì)算可以看出，離散數(shù)學(xué)支持多個(gè)畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)的達(dá)成。課程目標(biāo)的達(dá)成情況就是該課程預(yù)期要到達(dá)的學(xué)習(xí)效果，同時(shí)也是本門課程對專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的奉獻(xiàn)。

2教學(xué)信息采集

項(xiàng)目教育專業(yè)認(rèn)證要求通過采集和分析學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)效果來證明學(xué)生能力的達(dá)成度。所有這些達(dá)成度的證據(jù)都建立在各種記錄數(shù)據(jù)和文檔的根底上。除了傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)〔如考試成績和考勤記錄〕，項(xiàng)目教育中更強(qiáng)調(diào)通過實(shí)際的項(xiàng)目訓(xùn)練來培養(yǎng)學(xué)生解決復(fù)雜項(xiàng)目問題的能力。這就需要通過多種方式來收集每一個(gè)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的微觀表現(xiàn)，如課堂、作業(yè)、郵件、實(shí)習(xí)等，以此來了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，建立持續(xù)改良的達(dá)成度評價(jià)體系。

課堂上，教師采用移動教學(xué)方式，根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)效果，選取題庫中相應(yīng)難度的題目，將題目發(fā)給每個(gè)學(xué)生〔如手機(jī)、平板〕，學(xué)生的解答那么通過移動網(wǎng)絡(luò)反應(yīng)到教學(xué)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。課后以郵件和網(wǎng)上答題的方式來收集學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。課后的作業(yè)和綜合性練習(xí)主要是證明題目和主觀性題目，以評分表分析法建立量規(guī)[3]。量規(guī)為主觀性題目或其他表現(xiàn)〔比方證明的步驟、細(xì)節(jié)、敘述等〕確定量化規(guī)范，從優(yōu)到差詳細(xì)規(guī)定評級指標(biāo)。同時(shí)，采取老師評分、同學(xué)互評、助教評分的方式進(jìn)行綜合性學(xué)習(xí)評價(jià)，填寫學(xué)習(xí)評分表。重點(diǎn)獲取學(xué)生的答題情況〔非結(jié)構(gòu)化信息〕，包括：每小題選擇了什么選項(xiàng)，花了多少時(shí)間，是否修改正選項(xiàng)，做題的順序有沒有跳躍等，全面地反映學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和狀態(tài)。

在課程內(nèi)容方面，對知識體系進(jìn)行梳理，將課程知識按照知識點(diǎn)模塊進(jìn)行數(shù)字化，并且將多門相關(guān)課程聯(lián)系在一起，建立面向問題的知識網(wǎng)絡(luò)。示例，將圖論與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中的樹和圖進(jìn)行關(guān)聯(lián)和比擬；把等價(jià)類的概念與軟件測試辦法相結(jié)合來分析軟件開發(fā)問題?；趯?shí)際軟件工程構(gòu)建對應(yīng)于課程內(nèi)容的知識圖譜和知識數(shù)據(jù)庫。通過引入項(xiàng)目領(lǐng)域的離散問題，分析問題中出現(xiàn)的各種實(shí)時(shí)性數(shù)據(jù)、項(xiàng)目化數(shù)據(jù)和研究性數(shù)據(jù)，將其分類存儲于問題數(shù)據(jù)庫和練習(xí)題庫，為考核評估提供支持。3課程教學(xué)改革

在項(xiàng)目教育的指導(dǎo)思想下，離散數(shù)學(xué)課程除了向?qū)W生描述理論知識“是什么〞和“為什么〞以外，更注重讓學(xué)生學(xué)會“如何運(yùn)用〞理論知識，以解決在軟件開發(fā)中出現(xiàn)的各類問題。改良已有的教學(xué)方式，一方面，在課程內(nèi)容上打破原有專業(yè)課程的講授模式，結(jié)合實(shí)際項(xiàng)目問題，按照CDIO項(xiàng)目教育理念發(fā)展課程建設(shè)[4]。另一方面，采用問題驅(qū)動的教學(xué)方式[5]，通過錄制SPOC[6]和實(shí)施翻轉(zhuǎn)式課堂教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生參與離散項(xiàng)目問題的分析、研究和解決計(jì)劃設(shè)計(jì)。

3.1翻轉(zhuǎn)課堂

翻轉(zhuǎn)課堂是一種“以學(xué)生為中心〞的新的教學(xué)模式[7]。它關(guān)注學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)和成長，能更好地實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目教育的能力和素質(zhì)培養(yǎng)。實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂，首先建立離散數(shù)學(xué)課程的知識圖譜，以思維導(dǎo)圖的方式構(gòu)建整體的知識框架；然后，逐步細(xì)化每個(gè)章節(jié)的內(nèi)容，對概念性知識〔如匯合、關(guān)系的概念〕和過程性知識〔如邏輯的推理、關(guān)系性質(zhì)的判斷與證明〕進(jìn)行梳理，按照不同的教學(xué)方式進(jìn)行組織和關(guān)聯(lián)。

概念性知識劃分為5個(gè)難度級別：A簡單、B適度、C較難、D困難、E綜合。對于簡單和適度的概念按知識點(diǎn)劃分單元模塊，制作8～10分鐘的教學(xué)視頻。示例，將匯合論的開展歷史、匯合的根本概念等內(nèi)容以時(shí)間線〔storyline〕的方式展示給學(xué)生。在制作SPOC視頻時(shí)，不僅講解知識，還突出理論知識的文化觀念和內(nèi)涵。而對于難度較高的內(nèi)容，如析取范式、合取范式等，那么安頓在課堂上進(jìn)行講解。

對于過程性知識，示例，布置給學(xué)生的課后作業(yè)：“證明某個(gè)關(guān)系R是匯合A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系〞，將批改作業(yè)的過程和演示證明的步驟錄制為視頻。在視頻中，逐項(xiàng)講解解題的思路〔如何使用等價(jià)關(guān)系的定義進(jìn)行證明〕、學(xué)生解題中出現(xiàn)的各種問題〔如對稱和傳遞關(guān)系的理解偏差，不恰當(dāng)使用等〕以及需要注意的關(guān)鍵地方〔如自反性、對稱性、傳遞性都需要證明，證明才完整〕等解決問題的思考過程和經(jīng)驗(yàn)。通過SPOC實(shí)現(xiàn)體驗(yàn)式教學(xué)，讓學(xué)生能從任務(wù)的求解指導(dǎo)中學(xué)會如何應(yīng)用所學(xué)到的知識。

采用問題引入、分析求解、過程探討、理論構(gòu)建的步驟完成SPOC視頻制作。以命題邏輯的講授為例，視頻以斷案推理的例子〔如神探夏洛克〕開始，吸引學(xué)生的注意力，將現(xiàn)實(shí)中的問題與命題、邏輯、推理等知識聯(lián)系起來，把問題進(jìn)行拆解分析，逐步歸納總結(jié)出概念和知識點(diǎn)，納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓他們更加積極主動地投入到自主學(xué)習(xí)中。

在課前，要求學(xué)生根據(jù)前次課布置的學(xué)習(xí)任務(wù)觀看微視頻，通過自主學(xué)習(xí)和思考，理解根本概念，完成一定有針對性的小測驗(yàn)。在課堂上，采用如下多種教學(xué)方式：

〔1〕引導(dǎo)式教學(xué)。如在講解主析取范式和主合取范式時(shí)，讓學(xué)生思考“如何找到主合取〔或主析取〕的極大項(xiàng)和極小項(xiàng)〞，提示學(xué)生考慮采用建立樹結(jié)構(gòu)的方式來求解。

〔2〕體驗(yàn)式教學(xué)。給出真實(shí)的任務(wù)情境，讓學(xué)生協(xié)同完成某一項(xiàng)任務(wù)；或現(xiàn)場對某些有爭議的問題進(jìn)行研討，并且相互展示學(xué)習(xí)成果，實(shí)現(xiàn)同伴互評。示例，讓學(xué)生編寫一段程序，要求對函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行檢查，由此把命題邏輯與程序檢查中的斷言相對應(yīng)進(jìn)行講解；把等價(jià)類的劃分與面向?qū)ο笾蓄惖母拍钸M(jìn)行類比介紹。

〔3〕互動式教學(xué)。如課前以墨經(jīng)中的“有之那么必然，無之那么未必不然，是為大故〞和“無之那么必不然，有之那么未必然，是為小故〞，引出充沛必要條件的知識，指導(dǎo)學(xué)生完成對命題聯(lián)結(jié)詞知識點(diǎn)的復(fù)述，命題公式的化簡等練習(xí)；期間，老師答復(fù)學(xué)生提出的問題，對每位學(xué)生進(jìn)行個(gè)性指導(dǎo)，并參與討論。

通《^引導(dǎo)和檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，把握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和學(xué)習(xí)進(jìn)度。

對于項(xiàng)目素質(zhì)和能力的培養(yǎng)，一方面，將課程的知識點(diǎn)分別對應(yīng)到軟件開發(fā)的各個(gè)階段，如將數(shù)理邏輯對應(yīng)編程實(shí)現(xiàn)、將匯合和關(guān)系對應(yīng)數(shù)據(jù)庫的構(gòu)造、將樹和圖對應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，把理論知識運(yùn)用到軟件開發(fā)實(shí)踐中；另一方面，根據(jù)學(xué)生的個(gè)體學(xué)習(xí)需求，參加具有一定難度的項(xiàng)目任務(wù)和開放性課題，讓學(xué)生可以根據(jù)自身情況進(jìn)行自由選取，如結(jié)合圖論最短路徑的知識點(diǎn)，將2022年華為軟件精英挑戰(zhàn)賽中的問題“未來網(wǎng)絡(luò)《尋路〞引入教學(xué)討論，激勵(lì)學(xué)生積極參與類似的具有研究性質(zhì)的挑戰(zhàn)。

3.2教學(xué)數(shù)據(jù)分析

項(xiàng)目教育關(guān)注學(xué)生完成學(xué)習(xí)的過程，因此對教學(xué)活動中的各類數(shù)據(jù)，如教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容〔知識點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)〕、常規(guī)練習(xí)、挑戰(zhàn)性練習(xí)等，進(jìn)行量化，并建立彼此之間的聯(lián)系。采用成績分析法[8]，細(xì)分教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)模塊，按照撐持畢業(yè)要求的指標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集、計(jì)算均值、方差、信度、效度等統(tǒng)計(jì)參數(shù)，在評價(jià)每個(gè)指標(biāo)點(diǎn)達(dá)成度的根底上，獲得課程掌握情況的評價(jià)結(jié)果[9]。

利用學(xué)生學(xué)習(xí)的行為檔案創(chuàng)立自適應(yīng)的學(xué)習(xí)系統(tǒng)，反映學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。利用學(xué)生“如何〞學(xué)習(xí)的信息，依據(jù)教學(xué)數(shù)據(jù)的分析結(jié)果，為學(xué)生量身定制適合學(xué)生的個(gè)性化練習(xí)。通過分析學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，自動創(chuàng)立一系列難度逐漸增加且互相關(guān)聯(lián)的問題，示例，從匯合到關(guān)系、從關(guān)系到特殊關(guān)系、從特殊關(guān)系到樹結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生圍繞一個(gè)共同的知識點(diǎn)來求解問題，從中分析學(xué)生的學(xué)習(xí)模式。同時(shí)，老師根據(jù)自己的教學(xué)需要來調(diào)整教學(xué)任務(wù)，示例，給課堂練習(xí)和作業(yè)規(guī)定完成的時(shí)間，讓移動教學(xué)系統(tǒng)在“自動計(jì)時(shí)〞的情況下，考察學(xué)生的學(xué)習(xí)過程；而在學(xué)生做錯(cuò)題目需要幫忙時(shí)，系統(tǒng)自動給出提示并確定問題出錯(cuò)的位置。系統(tǒng)記錄學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，包括在哪個(gè)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)上遇到了問題、哪些習(xí)題完成花費(fèi)時(shí)間較長等。老師對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立相關(guān)的教學(xué)模型為學(xué)生推薦更為適宜的學(xué)習(xí)路徑。

確保教學(xué)數(shù)據(jù)的正確性、可用性是進(jìn)行教學(xué)數(shù)據(jù)分析的關(guān)鍵。制定教學(xué)數(shù)據(jù)檢測體系和軟件系統(tǒng)對數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)的檢測以保證數(shù)據(jù)的質(zhì)量，盡可能減少對數(shù)據(jù)分析和挖掘帶來的不利影響。首先制定各種數(shù)據(jù)的錄入和維護(hù)標(biāo)準(zhǔn)，最大限度地自動錄入各種結(jié)構(gòu)化和非結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)，包括考試成績的每項(xiàng)評分、主觀評價(jià)打分等。其次，制定數(shù)據(jù)檢測規(guī)那么并實(shí)現(xiàn)自動檢測，應(yīng)用不同的數(shù)據(jù)配置策略，對靜態(tài)、動態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控和定期檢查以發(fā)現(xiàn)并處理有問題的數(shù)據(jù)。最后，建立可靠的教學(xué)數(shù)據(jù)質(zhì)量評估體系，通過各種評估辦法，如基于異常值的評估辦法、邏輯性評估辦法等，對數(shù)據(jù)質(zhì)量的改良效果進(jìn)行評估，為數(shù)據(jù)質(zhì)量改良提供策略。此外，還需要實(shí)現(xiàn)缺失數(shù)據(jù)的完善、篩選等數(shù)據(jù)處理工作，將數(shù)據(jù)規(guī)范化、去重復(fù)化，最后形成標(biāo)準(zhǔn)化的格式。

4結(jié)語