2013北京春季普通高中會考數(shù)學(xué)(含解析)

2013年北京市春季普通高中會考(新課程)數(shù)學(xué)試卷第一部分選擇題（每小題3分，共60分）一、在每個小題給出的四個備選答案中，只有一個是符合題目要求的．1．如果集合，，那么集合等于（）．A．B．C．D．2．不等式的解集為（）．A．B．C．D．或3．已知向量，，那么等于（）．A．B．C．D．4．如果直線與直線平行，那么的值為（）．A．B．C．D．5．如果，那么的最小值是（）．A．B．C．D．6．要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象（）．A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單位7．在等差數(shù)列中，已知，，那么等于（）．A．B．C．D．8．在函數(shù)，，，中，奇函數(shù)是（）．A．B．C．D．9．的值為（）．A．B．C．D．10．函數(shù)的最小正周期是（）．A．B．C．D．11．已知函數(shù)在區(qū)間上最大值是，那么等于（）．A．B．C．D．12．在中，，，，則角等于（）．A．B．或C．D．或13．口袋中裝有個大小、材質(zhì)完全相同的小球，球的顏色分別是紅色、黃色、藍(lán)色和白色，從口袋中隨機(jī)摸出個小球，摸到紅色小球和白色小球的概率是（）．A．B．C．D．14．為了解決某學(xué)校門前公路的交通狀況，從行駛過的汽車中隨機(jī)抽取輛進(jìn)行統(tǒng)計分析，繪制出關(guān)于它們車速的頻率分布直方圖（如圖所示），那么車速在區(qū)間的汽車大約有（）．A．B．C．D．15．已知平面、，直線、，下面的四個命題①；②；③；④中，所有正確命題的序號是（）．A．①②B．②③C．①④D．②④16．當(dāng)，滿足條件時，目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）．A．B．C．D．17．針對年全面建成小康社會的宏偉目標(biāo)，十八大報告中首次提出“實現(xiàn)國內(nèi)生產(chǎn)總值和城鄉(xiāng)居民人均收入比年翻一番”的新指標(biāo)．按照這一指標(biāo)，城鄉(xiāng)居民人均收入在這十年間平均增長率應(yīng)滿足的關(guān)系式是（）．A．B．C．D．18．一個空間幾何體的三視圖如右圖所示，該幾何體的體積為（）．A．B．C．D．19．將長度為米的繩任意剪成兩段，其中一段的長度小于米的概率是（）．A．B．C．D．20．記時鐘的時針、分針分別為、（為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）．從點整開始計時，經(jīng)過分鐘，的值第一次達(dá)到最小時，那么的值是（）．A．B．C．D．第二部分非選擇題（共40分）二、填空題（共4個小題，每小題3分，共12分）21．計算的結(jié)果為．22．已知圓，那么圓心到坐標(biāo)原點的距離是．23．某程序框圖如下圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值為．24．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且各項均為正整數(shù)，如果，，那么的最小值為．三、解答題（共4個小題，共28分）25．（本小題滿分7分）如圖，在正方體中，是棱的中點．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）證明：．26．（本小題滿分7分）在平面直角坐標(biāo)系中，角，，的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點，，兩點的縱坐標(biāo)分別為，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面積．27．（本小題滿分7分）已知圓，直線過點且與圓相交于，兩點．（Ⅰ）如果直線的斜率為，且，求的值；（Ⅱ）設(shè)直線與軸交于點，如果，求直線的斜率．28．（本小題滿分7分）已知函數(shù)滿足：①的一個零點為；②的最大值為；③對任意實數(shù)都有．（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)是定義域為的單調(diào)增函數(shù)，且．當(dāng)時，證明：．2013年北京市春季普通高中會考(新課程)數(shù)學(xué)試卷參考答案一、在每個小題給出的四個備選答案中，只有一個是符合題目要求的．1．【答案】C．【解析】由于集合，，因此，故選C．2．【答案】C．【解析】令，解得或，因此不等式的解集為，故選C．3．【答案】D．【解析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，故選D．4．【答案】A．【解析】根據(jù)兩條直線平行的條件可知，，得，故選A．5．【答案】B．【解析】根據(jù)題意，求的最小值可應(yīng)用均值不等式，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選B．6．【答案】A．【解析】根據(jù)圖象平移左加右減的原理，要得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)的圖象向左平移個單位，故選A．7．【答案】A．【解析】由等差數(shù)列前和的計算公式，知，解得，故選A．8．【答案】B．【解析】對于A，定義域為，，是偶函數(shù)；對于B，定義域為，，是奇函數(shù)；對于C，定義域，，因此是非奇非偶函數(shù)；對于D，定義域，不關(guān)于原點對稱，因此是非奇非偶函數(shù)，故選B．9．【答案】D．【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，，故選D．10．【答案】B．【解析】根據(jù)輔助角公式，，最小正周期，故選B．11．【答案】C．【解析】①當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)，那么當(dāng)時，取得最大值，不符合題意；②當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)，那么當(dāng)時，取得最大值，即，故選C．12．【答案】A．【解析】根據(jù)正弦定理：，可得，即，那么或，因為，所以，所以，故選A．13．【答案】A．【解析】根據(jù)題意符合古典概型的條件，基本事件空間{（紅色，黃色），（紅色，藍(lán)色），（紅色，白色），（黃色，藍(lán)色），（黃色，白色），（藍(lán)色，白色）}基本事件總數(shù)為，摸到紅色小球和白色小球的事件為{（紅色，白色）}，事件數(shù)為，摸到紅色小球和白色小球的概率是，故選A．14．【答案】D．【解析】根據(jù)頻率分布直方圖可知，車速在區(qū)間的概率為，車輛數(shù)為：，故選D．15．【答案】A．【解析】若兩條直線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面①正確；若兩條都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行，②正確；若兩個面垂直，兩個面內(nèi)的直線不一定互相垂直，③錯誤；若兩個平面平行，兩個面內(nèi)的直線平行或異面，④錯誤，故選A．16．【答案】C．【解析】根據(jù)題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由圖可知，當(dāng)過點時，取得最大值，故選C．17．【答案】C．【解析】根據(jù)題意可知，設(shè)原收入為，則十年后為，因此，即，故選C．18．【答案】B．【解析】由三視圖可知該空間幾何體的直觀圖為橫著放的直三棱柱，，故選B．19．【答案】B．【解析】根據(jù)題意，符合幾何概型的條件，因此將概率轉(zhuǎn)化為長度的比，那么長度小于米的概率是，故選B．20．【答案】B．【解析】因為，所以要使的值第一次達(dá)到最小時，對應(yīng)的夾角，因為時針一分鐘轉(zhuǎn)的角度為：，分針一分鐘旋轉(zhuǎn)的角度為：，經(jīng)過分鐘后，有，即，解得，故選B．第二部分非選擇題（共40分）二、填空題（共4個小題，每小題3分，共12分）21．【答案】．【解析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算法則，，故答案為：．22．【答案】．【解析】由題知，圓心，因此圓心到坐標(biāo)原點的距離，故答案為：．23．【答案】．【解析】第一次循環(huán)，當(dāng)時，；第二次循環(huán)，當(dāng)時，；第三次循環(huán)，當(dāng)時，；第四次循環(huán)，當(dāng)時，；當(dāng)時，循環(huán)結(jié)束，輸出的值為，故答案為．24．【答案】．【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，且各項均為正整數(shù)，即，只有當(dāng)，或，解得，或，，有最小值，故答案為：．三、解答題（共4個小題，共28分）25．證明：（Ⅰ）連接交于，連接，因為是正方形，所以為的中點，因為是棱的中點，所以．又因為平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因為是正方形，所以因為平面，且平面，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以．26．解：（Ⅰ）因為在單位圓中，點的縱坐標(biāo)為，所以，因為，所以，所以．（Ⅱ）因為在單位圓中，點的縱坐標(biāo)為，所以．因為，所以．由（Ⅰ）得，，所以．又因為，，所以的面積．27．解：（Ⅰ）由已知，直線的方程為，圓心到直線的為．因為，所以，解