上海市虹口區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷(含詳解)

上海市虹口區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題

一、選擇題

1.已知在R/AABC中，NC=9O°,AC=3,8C=4,則tanA的值為（）

3c4C3-4

A.-B?一C.-D.一

4355

2.已知向量M和5都是單位向量，那么下列等式成立是（）

A.a=bB.a+b=2C.a-b=0D

同=同

3.下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）

1I-------

A.y=―j-y=vx2—2Cy=x~9—2P.

x-2

y=（x-2）~—x2

4.將拋物線y=犬-3向右平移2個(gè)單位后得到的新拋物線表達(dá)式是（）

A.y=f_1B.y=x2-5C.y=（x+2）2-3P.

y=（x-2）--3

S.如圖，傳送帶和地面所成斜坡坡度i=l:2.4,如果它把某物體從地面送到離地面10

米高的地方，那么該物體所經(jīng)過的路程是（）

傳送帶

////////////////////////

A.10米3.24米C.25米D.26米

6.如圖，在RS4BC中，ZACB=90°,。是邊AB上一點(diǎn)，過。作CFJ_AB交邊BC于

點(diǎn)、E,交AC的延長線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)AE,如果tan/E4C=‘，S^CEF=\,那么S“BC的值

3

是（)

B

A.3B.6C.9D.12

二、填空題

7.如果a:A=3:2,那么‘一=.

a+b

8.計(jì)算：32—；（2斤-4b）=.

q.如果拋物線y=》2-a經(jīng)過點(diǎn)（2,0）,那么a的值是.

ro.如果拋物線y=（左+l）f有最高點(diǎn)，那么上取值范圍是.

ii.如果拋物線/經(jīng)過點(diǎn)A（—2,0）和8（5,0）,那么該拋物線對(duì)稱軸是直線.

12.沿著x軸正方向看，拋物線y=f-2在），軸左側(cè)的部分是的（填"上升”或“下

降”）.

AP

13.點(diǎn)P是線段A8上的一點(diǎn)，如果4P2=8p.A6，那么f的值是.

AB

14.已知VA6C:VAB'C',頂點(diǎn)A、B、。分別與頂點(diǎn)A',B'，C'對(duì)應(yīng)，A。、

AD分別是BC、8'C'邊上的中線，如果BC=3,AD=2.4,SC=2,那么4。的

長是.

IS.如圖，AB1/CD,AD.BC相交于點(diǎn)E,過E作EF//CD交BD于點(diǎn)F,如果

AB=3,CD=6,那么E/的長是.

16.如圖，梯形ABC。中，AD!IBC,24=90°,ZBDC=90°,AD=4,

BC=9,那么3。=

17.如圖，圖中提供了一種求cotl5°的方法，作RhABC，使NC=90°,

ZABC=30°,再延長CB到點(diǎn)D,使BD=BA,聯(lián)結(jié)A￡＞，即可得NO=15°,如果設(shè)

AC=t,則可得8=(2+6-,那么cotl5°=cot￡>=C2=2+G，運(yùn)用以上方

AC

法，可求得cot22.5°的值是

18.如圖，在NC=90°,AC=6,BC=8,。是8C的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊

A3上，將ABDE沿直線DE翻折，使得點(diǎn)8落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)夕處，線段5'。交邊

45于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)A3',當(dāng)AAB'F是直角三角形時(shí)，破的長為.

三、解答題

2-0.已知二次函數(shù)的解析式為y=-2%.

（1）用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為y=a（x+〃?y+Z的形式;

(2)選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖中所示的平面直角坐標(biāo)系X。)，內(nèi)描點(diǎn)，畫出該函

數(shù)的圖像.

X..........

..........

21.如圖，在AABC中，點(diǎn)G是AABC的重心，聯(lián)結(jié)AG,聯(lián)結(jié)BG并延長交邊AC于

點(diǎn)。，過點(diǎn)G作GE/ABC交邊AC于點(diǎn)E.

(1)如果入萬=￡，=用3、B表示向量86；

(2)當(dāng)AG_L3O,BG=6,NG4D=45°時(shí)，求AE的長.

22.圖1是一款家用落地式取暖器，如圖2是其放置在地面上時(shí)側(cè)面示意圖，其中矩形

438是取曖器的主體，等腰梯形跳戶C是底座，BE=CF,烘干架連桿G”可繞邊

CO上一點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，以調(diào)節(jié)角度，已知CD=50C7〃，BC^Scm,EF=20cm,

DH=T2cm,GH=T5cm,ZCFE=30°,當(dāng)NG4D=53°時(shí)，求點(diǎn)G到地面的距

離.(精確到0.1cm)【參考數(shù)據(jù)：s譏53°*0.80,cos530*()60,to?53o?1.33,

6=1.731

圖2

23.如圖，在AABC中，點(diǎn)。、G在邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，DB=DC，

EG//AB,AE，BD交于點(diǎn)F,BF=AG.

(1)求證：ABFE?ACGE；

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(diǎn)A(—1,0)、8(3,0)、C(0,3),拋物線

y=ax?+Zzr+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn).

(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)，求該拋物線的表達(dá)式；

(2)在(1)題的條件下，點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，且位于第三象限，當(dāng)

NP6C=NACB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如果拋物線,=0￥2+必+。的頂點(diǎn)。位于430。內(nèi)，求”的取值范圍.

y

2$如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,過點(diǎn)A作射線

點(diǎn)。、E是射線AM上的兩點(diǎn)(點(diǎn)O不與點(diǎn)A重合，點(diǎn)七在點(diǎn)。右側(cè))，連接BD、BE

分別交邊AC于點(diǎn)F、G,ZDBE=NC.

(I)當(dāng)AD=1時(shí)，求FB的長

(2)設(shè)AD=x,FG=y,求V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)聯(lián)結(jié)OG并延長交邊8c于點(diǎn)H,如果是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出AO的

長.

BCB

備用圖

上海市虹口區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題

一、選擇題

1.已知在R/AABC中，NC=9O°,AC=3,8C=4,則tanA的值為（）

3c4C3-4

A.-B.-C--P.-

4355

【答案】B

【解析】

【分析】銳角A的對(duì)邊“與鄰邊b的比叫做/A的正切，記作tan/1,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：在R/AABC中，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，解題時(shí)注意：在心ZiACB中，

ZC=90°,則tanA=@.

b

2.己知向量之和5都是單位向量，那么下列等式成立的是（）

A.a-bB.a+b-2C.a-b-0D.

同=同

【答案】P

【解析】

【分析】根據(jù)向量萬和B都是單位向量，，可知I萬l=lBl=i，由此即可判斷.

【詳解】解：A、向量々和B都是單位向量，但方向不一定相同，則2=5不一定成立，故

本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B、向量5和B都是單位向量，但方向不一定相同，則￡+5=2不一定成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)

誤.

。、向量M和5都是單位向量，但方向不一定相同，則M-B=O不一定成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)

誤.

D、向量方和日都是單位向量，則國|=區(qū)|=1,故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量、單位向量，屬于概念題目，記住概念是解題的關(guān)鍵

3.下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）

1；-----o

Ay=^~2B-y^yJx2-2C.y=x-2D.

y=（X-2）2-x2

【答案】C

【解析】

【分析】形如y=ax2+bx+c（a，0）,a,b,c是常數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次

項(xiàng)系數(shù)，b稱為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，x為自變量，y為因變量，據(jù)此解題.

【詳解】A.y=——右邊不是整式，不是二次函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

x-2

B.y=J%2_2右邊是二次根式,不是整式，不是二次函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

C.y=d—2是二次函數(shù)，故C正確；

D.y=（x—2）~—J?=》2—4x+4—f=^%+4是一次函數(shù)，故D錯(cuò)誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

4.將拋物線y=V-3向右平移2個(gè)單位后得到的新拋物線表達(dá)式是（）

Ay=X2B.y=x2-5C.y=（x+2/-3D.

y=（x-2）2-3

【答案】D

【解析】

【分析】先利用頂點(diǎn)式得到拋物線y=Y—3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）,再利用點(diǎn)平移的坐

標(biāo)規(guī)律得到點(diǎn)（0,-3）平移后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,-3）,然后利用頂點(diǎn)式寫出平移后

得到的拋物線的解析式.

【詳解】解：???原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）,

；?y=3向右平移2個(gè)單位后得到的新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-3）,

，新拋物線表達(dá)式是y=（x-2）2-3.

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的平移；得到新拋物線的頂點(diǎn)是解決本題的突破點(diǎn)，用到的

知識(shí)點(diǎn)為：二次函數(shù)的平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù).

5如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度i=1:2.4,如果它把某物體從地面送到離地面10

米高的地方，那么該物體所經(jīng)過的路程是（）

傳送帶

/^777777777777777777777

A.10米B.24米C.25米D.26米

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)坡度的定義，由勾股定理即可求得答案.

【詳解】解：如圖，

4_____________c

RED

由題意得：斜坡AB的坡度：i=l：2.4,AE=10米，AE1BD,

1

?I—----=-----,

BE2.4

；.BE=24米，

...在RjABE中，AB=yjAE2+BE2=26（米）?

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了坡度坡角問題.此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意

理解坡度的定義.

6.如圖，在RSABC中，NACB=90。，。是邊A8上一點(diǎn)，過。作。交邊BC于

點(diǎn)E,交AC的延長線于點(diǎn)G聯(lián)結(jié)AE,如果tan/EAC=』，S〃CEF=1,那么SMBC的值

3

是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

1yyx-1-I[

【分析】根據(jù)tan/E4C=—,可得——=一,由△EFC'SAABC，可得相似比為一，

3AC33

從而得到面積比為進(jìn)而求出答案.

【詳解】VZACB=90°,

???NB4C+N8=90。，

XVDF1AB,

JZADF=90°,

：.ZBAC+ZF=90°,

:?/B=4F,

又「ZECF=ZACB=90°,

:?△ECFs/\ACB,

.ECCF1

??=---=tanN￡i4C=一,

ACBC3

qi

??7―Q'

又>*,SAECF=1，

??S&ABC=9,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的意義，相似三角形的性質(zhì)和判斷，掌握相似三角形的

性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.如果。：〃=3:2,那么----=_________.

a+b

3

【答案】-

【解析】

【分析】設(shè)a=3k,然后用k表示出b,最后代入」一計(jì)算即可.

a+b

【詳解】解：設(shè)a=3k

a\b=3:2

3"：b=3：2,即3b=6k,解得b=2k

.a3k3k3

a+b3k+2k5k5

3

故答案為一.

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例化簡求值，設(shè)出中間量、分別表示出a、b成為解答本題的關(guān)

鍵.

8.計(jì)算：3M-/（2萬-4。）=.

【答案】2%+2?

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，從而可得答案.

【詳解】解：3d——^2a—4h^—3a-a+2b=2a+2b.

故答案為：2a+2九

【點(diǎn)睛】本題考查的向量的線性運(yùn)算，掌握向量的加，減，數(shù)乘運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

9.如果拋物線y=——。經(jīng)過點(diǎn)（2,0）,那么〃的值是.

【答案】4

【解析】

【分析】將點(diǎn)（2,0）代入拋物線解析式y(tǒng)=f—。即可求得a的值.

【詳解】解：：拋物線y=a經(jīng)過點(diǎn)（2,0）,

得:0=4-a.

解得，a=4,

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，代入已知量即可求得未知量.

如果拋物線y=(Z+l)f有最高點(diǎn)，那么上的取值范圍是.

【答案】k<-l

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)卜=(%+1)1有最高點(diǎn)，得出拋物線開口向下，即k+i<o,即可得

出答案.

詳解】解：???拋物線yH4+l)%2有最高點(diǎn)，

???拋物線開口向下，

Ak+KO,

**-k<—1,

故答案為：k<—\.

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的最值與開口

方向的特點(diǎn).

il.如果拋物線/經(jīng)過點(diǎn)4(-2,0)和B(5,O),那么該拋物線的對(duì)稱軸是直線.

3

【答案】x=一

2

【解析】

3

【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得對(duì)稱軸為直線1=二.

2

【詳解】,?,拋物線/經(jīng)過點(diǎn)A(—2,0)和3(5,0),

-2+53

.?.該拋物線的對(duì)稱軸是直線》=——-=

22

3

故答案為：%=-.

2

【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的對(duì)稱性，掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.沿著x軸正方向看，拋物線y=/-2在)’軸左側(cè)的部分是的(填“上升”或“下

降”).

【答案】下降

【解析】

【分析】畫出函數(shù)圖象，直觀判斷即可.

【詳解】拋物線y=/-2的圖象如圖所示:

可以看出，在y軸左側(cè)部分下降，

故答案為：下降

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出正確圖象是解決問題關(guān)鍵.

AP

13.點(diǎn)P是線段A3上的一點(diǎn)，如果Ap2=BPA6，那么——的值是.

AB

【答案】叵11

2

【解析】

AD

【分析】設(shè)AB=1,AP=x,則BP=l-x,代入AP2=BP?AB求出x的值，最后代入——即

AB

可.

【詳解】解：設(shè)AB=1,AP=x,則BP=l-x,

VAP2=BP?AB

X2=(l-x),1,即x2+x-l=0,解得_!＞或X=—!~(舍)

22

V5-1

AP_2_逐T.

AB--1-2

故答案為避二1.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段，設(shè)出合適的未知數(shù)、根據(jù)比例列式求出未知數(shù)成為解答

本題的關(guān)鍵.

14.已知VABC:VA'B'C,頂點(diǎn)A、B、。分別與頂點(diǎn)A',B'，C'對(duì)應(yīng)，A。、

AD分別是BC、6'C'邊上的中線，如果8C=3，AD=2.4,BC=2,那么4。的

長是.

o

【答案】I

【解析】

【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出相似比等于對(duì)應(yīng)邊上的中線的比進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：如圖，

1.,△ABC-AA^ICI,BC=3,AD=2.4,B'C'=2,

BCAD32.4

----=-----即H一n=------

B'CA'D'2A'D'

o

A'D'=~.

5

o

故答案為：一.

5

【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

1$如圖，AB//CD,AD，8C相交于點(diǎn)E，過E作EF//CD交BD于點(diǎn)、F,如果

AB=3,CD=6,那么EE的長是―

【答案】2

【解析】

AfAD31

［分析］選證明△ABEsADEC得到—=—=—=—,利用比例性質(zhì)得到

EDCD62

DE2

—=一，再證明砂〃AB,則可判斷△￡)￡足心7%8,然后利用相似比可得到

DA3

EF2

——=—，問題可解.

AB3

【詳解】解：?.?AB〃CD,

.△ABEsADEC

?_A___E____A___B_____3_____1

"ED~CD~6~2

DE2

???_一_f

DA3

□EF〃CD,AB〃CD,

UEF//AB,

:ADEFSADAB，

EFDE2

AS-AD-3

22

EF=—AB=—x3=2,

33

故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形時(shí)，應(yīng)注意利用圖中已

有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方

法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.

16.如圖，梯形ABC。中，AD//BC,ZA=90°,ZBDC=90°,AD=4,

BC=9,那么即=

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知aABDsaDCB,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出答案.

【詳解】解：在直角梯形A8CO中，

VAD//BC,ZA=90°,ZBDC=90°,

NADB=NDBC,NA=NBDC,

.".△ADB^ADCB,

.ADBD

又：AD-4,,BC=9,

；.BD=6

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考察了直角梯形和相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出

△ABD^ADCB.

17.如圖，圖中提供了一種求cot15°的方法，作放AABC,使NC=90°,

ZABC=30°,再延長CB到點(diǎn)。，使BD=BA,聯(lián)結(jié)AO，即可得"=15°,如果設(shè)

AC=t,則可得CO=（2+6）f,那么cotl50=cotO=C2=2+6,運(yùn)用以上方

AC

法，可求得cot22.5。的值是一

【答案】V2+1

【解析】

【分析】作R〃ABC,使NC=90°,ZABC=45°,再延長BC到點(diǎn)。，使BD=BA,

聯(lián)結(jié)AO，即可得/￡>=22.5°，設(shè)AC=r,然后用t表示出CD,最后根據(jù)余切的定義

作答即可.

【詳解】解：如圖：作R/AABC,使NC=90°,ZABC=45°,再延長CB到點(diǎn)。，使

應(yīng))=54,聯(lián)結(jié)AO，即可得NO=22.5°

設(shè)AC=t,則BC=t,AB=BD=V2t

所以DC=BC+AB=t+J^t=(1+72)t

所以cot22.5。=明(1+可

=1+V2-

ACt

故答案為1+a.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形和三角函數(shù)，構(gòu)造出含45。的直角三角形，再作

輔助線得到22.5。角的直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵.

18.如圖，在R/AABC,NC=90°,AC=6,BC=8,。是6c的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊

ABh,將△由把沿直線OE翻折，使得點(diǎn)8落在同一平面內(nèi)的點(diǎn)8'處，線段5'。交邊

AB于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)A3',當(dāng)AABR是直角三角形時(shí)，8E的長為

【答案】2或一

17

【解析】

【分析】分兩種情況討論，當(dāng)NAF*=9()。時(shí)，則N3ED=90°，利用銳角三角函數(shù)先

求解。E,BF，B'F,設(shè)再表示夕瓦后尸，再利用勾股定理求解x即可得到答

案；當(dāng)NAB'F=90°時(shí)，如圖，連接A￡>,過E作EHLBD于H，先證明:

RSADC沿AADB',再證明NAOE=￡>0°,設(shè)BE=5x,利用B8的銳角三角函數(shù)可得

EH=3,BH=4x,DH=4—4x,AE=10-5%,利用勾股定理求解x可得答案.

【詳解】解：?.?AC=6,BC=S,ZC=90°,

..AB=10,

。是BC的中點(diǎn)，

.-.BD=CD=B'D=4,

當(dāng)乙4/8'=90。時(shí)，則N3ED=90°，

AB5DB

：.DF=—,

5

Lfl2V16

?，Dr寸2一⑷二

B'F=4--=~,

55

m

cDB

6

設(shè)BE=x,則6'￡=X,EF=BF-X=-------X9

5

M眇蜃」

x-2,

即：BE=2.

當(dāng)NAB'E=9()°時(shí)，如圖，連接AO，過E作￡H_L5O于H,

同理可得：CD=BD=BD=4,

\AD=AD，NC=90°，

Rt^ADC^^ADB'(HL)

：.ZADC=ZADB',

'：ZBDE=Z￡DE，

：.ZADB'+ZB'DE=90°=ZADE,

設(shè)BE=5x,

由sE八"二=生

AB5BE

：.EH-3x,BH-4x,

.-.DH=4-4x,

.-.D￡2=(3^)2+(4-4X)2,

AE2=(10-5x)2,

AD2=62+42=52,

.-.(10-5x)2=52+(3x『+(4-旬2,

8

17

當(dāng)ZB'A尸=90°,不合題意，舍去.

40

綜上：破的長為2或，.

17

40

故答案為：2或—.

17

【點(diǎn)睛】本題考查的是折疊的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)

用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論.

三、解答題

tai?45°

19.計(jì)算:-2sin60°.

cot300-2cos45°

【答案】72

【解析】

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案.

j-2(二高市

【詳解】解：原式="2.烏=6+叵應(yīng)=6.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)

鍵.

2.0.己知二次函數(shù)的解析式為了二3/一？》.

(1)用配方法把該二次函數(shù)解析式化為y=a(x+m)2+Z的形式;

(2)選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖中所示的平面直角坐標(biāo)系xQy內(nèi)描點(diǎn)，畫出該函

數(shù)的圖像.

X..........

..........

【答案】(1)y=g(x—2>—2；(2)見解析.

【解析】

【分析】（1）直接利用配方法即可把該二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式;

（2）列表、描點(diǎn)、連線，畫出函數(shù)的圖象即可.

【詳解】解：（1）y^-x2-2x

=1（X2-4X）

1,

=-（X2-4X+4-4）

《（I）;

?*-y=3（x-2）--2；

（2）填表如下：

......-20246......

......60-206......

圖像如下:

y

17.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象,正確掌握配方法以及畫二次

函數(shù)圖象的步驟是解題關(guān)鍵.

21.如圖，在AABC中，點(diǎn)G是AABC的重心，聯(lián)結(jié)AG,聯(lián)結(jié)BG并延長交邊AC于

點(diǎn)。，過點(diǎn)G作GE//6C交邊AC于點(diǎn)E.

（1）如果入月=￡,AC=b＞用￡、B表示向量的；

(2)當(dāng)AGJ_8O,BG=6,NG4T>=45°時(shí)，求AE的長.

A

D

G

B

—21-「

【答案】(1)BG=——a+—h；(2)AE=45/2?

【解析】

—、1~?->2~>

【分析】(1)由G是重心，可得58，BG^-BD,因?yàn)?^=己+&>，可得

TT1T一

BD=-a+-b,進(jìn)而求出8方；

(2)根據(jù)G是重心，求出DG=3,因?yàn)椤鰽GO是等腰直角三角形，勾股定理計(jì)算出A￡>=

372>由4D=OC,DC=3DE求出DE=O，相加即可.

【詳解】解：(1).??際=函+心，

??,點(diǎn)G是由AABC的重心，

：.AD=^AC,

?.->->->->

,AB=a，AC=bf

T1T

AD=-a,

2

fT1T

:.BD=-a+-b

2

T2T2T1f

:.BG=—BD=—(—a+3b),

-2Tl丁

BG=一一a+-b.

33

(2)???G是三角形的重心，

:?BG=2GD,AD=DC,

?：BG=6,

：.GD=3,

VAG1BD,NGA￡>=45°，

?*.AG=GD=3f

,,AD=132+3'=3\/2,

,:GEHBC,

.DEGD1

??------------——,

DCBD3

:.DE=&,

：.AE^AD+DE^4y/2

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行線分線段成比例定理；

熟練掌握三角形重心的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，能夠熟練運(yùn)用向量的運(yùn)算、勾

股定理解題是關(guān)鍵.

22.圖1是一款家用落地式取暖器，如圖2是其放置在地面上時(shí)的側(cè)面示意圖，其中矩形

ABC。是取暖器的主體，等腰梯形BEFC是底座，BE=CF,烘干架連桿G”可繞邊

CO上一點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，以調(diào)節(jié)角度，已知C￡)=5()c7〃，BC=8cm,EF=20cm,

DH=12cm,GH=15cm,ZCFE=30°,當(dāng)NG”Z)=53°時(shí)，求點(diǎn)G到地面的距

離.(精確到0.1cm)【參考數(shù)據(jù)：si〃53°a0.80,cos53°?06(),tan53°?1.33,

73?1.73】

圖1圖2

【答案】點(diǎn)G到地面的距離為50.5cm.

【解析】

【分析】過H作HRLAB,在R3HGR中，利用三角函數(shù)求出GR的長，再根據(jù)

RB=CH=DC-DH,求出RB長，即可求出G到B的長度，過C作CTLEF,過B作

BQ±EF,通過證明ABEQ會(huì)得出EQ=FT,在RsCFT中，利用三角函數(shù)求出

CT=BQ的長，由GQ=GB+BQ即可求出答案；

【詳解】解：如圖，過H作HRJ_AB,

VZGHD=53°,且AB〃CD,

???NHGR=53。，

在RtAHGR中，GR=cos53°xGH=cos53°x15=9,

AGB=GR+RB=9+(50-12)=47,

過C作CT_LEF,過B作BQ_LEF,則NCTF=NBQE=90。,

VBE=CF,

AZE=ZF,

AABEQ^ACFT,

.'.EQ=FTBQ=CT,

BC=8cm,EF=20cm,

EQ=FT=6cm,

在RtZkCFT中，ZCFT=30°,

CT=BQ=tan30°xFT=立x6=2也,

GQ=GB+BQ=47+2g247+2x1.73=50.46a50.5(cm),

答：點(diǎn)G到地面的距離約為50.5cm.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用、銳角三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)

造直角三角形利用三角函數(shù)值求線段長.

23.如圖，在AABC中，點(diǎn)。、G在邊AC上，點(diǎn)E在邊8C上，DB=DC,

EG//AB.AE、BD交于點(diǎn)、F,BF=AG.

(1)求證：△BFEYCGE；

(2)當(dāng)ZA￡G=NC時(shí)，求證：AB2=AGAC.

【答案】（1）證明見詳解：（2）證明見詳解.

【解析】

【分析】（1）由EG//AB易證△CGEs/XCAB,由性質(zhì)得但=任由比例性質(zhì)得

CACB

—,由已知BF=AG比例式變?yōu)槭?笠，由已知=利用等邊對(duì)等角

AGBEBFBE

得/FBE=NGCE,利用兩邊成比例夾角相等知ABFEsMGE；

（2）由￡G〃AB,利用性質(zhì)內(nèi)錯(cuò)角相等NBAE=NAEG,由已知NAEG=NC,推出

ABBE

ZBAE=ZC,又NABE=/CBA共用，可證AABES/\CBA,由性質(zhì)一=——，

BCAB

ZBEA=ZBAC,把比例變等積得AB'BOBE，由。）利用性質(zhì)

ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,推出NBAC=/GEC=NABC=NEGC,利用等角對(duì)等邊

得AC=BC,GC=EC,利用等量代換得AG=BE,可證AB2=AC-AG.

【詳解】（1）EG//AB,

；./CGE=/CAB,ZCEG=ZCBA,

.,.△CGE^ACAB,

.CGCE

"CA"CB'

CGCE??CGCE

?.-------=-------即----=—,

CA-CGCB-CEAGBE

；BF=AG

CG_CE

BF^BE

???DB=DC,

：.ZDBC=ZDCB,即NFBE=/GCE,

ABFESACGE,

(2)?/EG//AB,

；./BAE=NAEG,

又?；ZAEG=NC,

NBAE=/C,

又?.,/ABE=NCBA共用，

.,.△ABE^ACBA,

ABBE

，——=——，NBEA=NBAC,

BCAB

???AB2=BC.BE,

由⑴ABFESACGE,

：.ZBEF=ZCEG,/BFE=NCGE,

?:EG//AB,

：.NABC=NGEC,ZBAC=ZEGC,

NBAC=/GEC=/ABC=/EGC,

；.AC=BC,GC=EC,

；.AG=BE,

AB2=BC.BE=AC.AG.

BE

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形

的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，會(huì)利用換比的方法證三角形相似，會(huì)利用相似

證角等轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系M刀中，已知點(diǎn)A(—1,0)、3(3,0)、C(0,3),拋物線

y=ax?+bx+c經(jīng)過A、8兩點(diǎn).

(1)當(dāng)該拋物線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求該拋物線的表達(dá)式；

(2)在(1)題的條件下，點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，且位于第三象限，當(dāng)

=時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如果拋物線y="2+云+。的頂點(diǎn)。位于ABOC內(nèi)，求”的取值范圍.

X

【答案】(1)y--x2+2x+3；(2)-g<a<0.

【解析】

【分析】⑴將點(diǎn)A(—1,0)、8(3,0)、。(0,3)代入拋物線丁=依2+"+以利用待定

系數(shù)法即可求解；

(2)先證明△AOC會(huì)4EOBIASA)得出E(0,-1),利用待定系數(shù)法求出直線PB的解析

式，根據(jù)P是直線與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)拋物線,=辦2+辰+。經(jīng)過A(T,。)、3(3,0),求得拋物線解析式，從而表

示出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，當(dāng)x=l時(shí)，y=2,根據(jù)D位

于ABOC內(nèi)部，列出關(guān)于a的不等式即可求解.

【詳解】(1)將點(diǎn)A(T,0)、B(3,0)、C(0,3)代入拋物線y=ax2+bx+c

a—b+c-0

得：<9a+30+c=0,

c=3

a=-1

解得："=2,

c=3

拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3.

(2)如圖：

；.OB=OC

ZOBC=ZOCB

當(dāng)NPBC=NACB時(shí)，U!lJZPBC-ZOBC=ZACB-ZOCB

即/PBO=NACO

設(shè)PB交y軸于點(diǎn)E,

在4AOC^DAEOB中

NPBO=NACO

<OB=OC

ZEOB=ZAOC

：.ZXAOC絲△EOB(ASA)

.\OE=OA=1

AE(O,-1)

設(shè)PB的解析式為y=mx+n

將B(3,0),E(0,-1)代入

3m+n=0

得《

n=-1

1

m=—

解得,3,

n=-1

直線PB的解析式為y=gx-l,

'1,

y=-x_1

聯(lián)立解析式《，3,

y--x2+2x+3

4

x.=33

解得c

IM=0

(3)如圖，

y=ax2+bx+c經(jīng)過A(T,0)>B(3,0)

y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a

—2a

???對(duì)稱軸為直線x=-——=1,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4a)

2a

由B(3,0)、C(0,3)易得BC解析式為y=-x+3

當(dāng)x=l時(shí)，y=2

因此當(dāng)D位于ABOC內(nèi)時(shí)

0<-4a<2

解得一一VaVO

2

即a的取值范圍是-L<a<0.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次

函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定，證得△AOC名aEOB,從而得到E

的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

2$如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,過點(diǎn)A作射線

點(diǎn)。、E是射線AM上的兩點(diǎn)(點(diǎn)O不與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E在點(diǎn)。右側(cè))，連接BD、BE

分別交邊AC于點(diǎn)/、G,ZDBE=NC.

(I)當(dāng)AD=1時(shí)，求F8的長

(2)設(shè)AD=x,FG=y,求V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)聯(lián)結(jié)OG并延長交邊