一類(lèi)有大于1 基本單位的實(shí)三次域

PAGE1一類(lèi)有大于1基本單位的實(shí)三次域姚鐘磊，李江華（蚌埠一中蚌埠233000）摘要：設(shè),是僅有一實(shí)根的方程。由其唯一實(shí)根所形成的三次域是，是三次域的代數(shù)整數(shù)環(huán)，對(duì)于滿足某條件的，可以證明是的唯一基本單位。關(guān)鍵詞：三次域基本單位中圖分類(lèi)號(hào)：O156.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A引言狄利克雷單位定理從理論上說(shuō)明了基本單位是存在的，但是對(duì)于一般的三次域求其基本單位是相當(dāng)困難的，E.Artin在1959年給出了一個(gè)例子[3],設(shè)是方程的實(shí)根，判別式D=-4027，則三次域只有唯一大于1的基本單位。此后，A.Frohlich和M.J.Taylor在1990年給出了更一般的結(jié)果[4]：命題1設(shè)整數(shù)且無(wú)平方因子，是方程的唯一實(shí)根，則是實(shí)三次域大于1唯一的基本單位。E.Artin在1960年提出了一個(gè)問(wèn)題[3],對(duì)于三次方程，是正整數(shù)，且方程僅有一個(gè)實(shí)根，記為。三次域的基本單位是什么？K.S.Williams[1]對(duì)此也進(jìn)行了研究并給出了一個(gè)結(jié)果：命題2設(shè)，，判別式，，則：在中不可約，；設(shè)是滿足∣,,的最大正整數(shù),作者簡(jiǎn)介：姚鐘磊（1983-）,男，安徽蚌埠人，安徽大學(xué)2006級(jí)碩士研究生，研究方向：代數(shù)數(shù)論。 Email：zlyaolive@126.com實(shí)數(shù)滿足，如果，則是基本單位。我們可以對(duì)其推廣，將條件和適當(dāng)改造，可取和獲得更一般的結(jié)果。為了方便，不妨設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式。滿足某條件使僅有一實(shí)根，且是三次域的基本單位。定理設(shè)，，，，則：在中不可約，，設(shè)是滿足∣,,的最大正整數(shù),實(shí)數(shù)滿足，如果，則是基本單位。引理1若，則。證明：因?yàn)?，所以1，得證。引理2設(shè)是有兩個(gè)復(fù)同態(tài)映射的實(shí)三次域，是的基本單位，如果33，則：。證明：設(shè)是的共軛元，且是正實(shí)數(shù)，因?yàn)槭菃挝?，所以，，即，，所以，。又，，所以，，即，。這樣我們就有，，所以，=。因?yàn)镵是三次域，所以，。因此，。這樣，，所以，，即又，由引理1，。這樣，。如果，則3。所以，，和1矛盾。因此0，所以，這樣就有，。定理證明由，我們有，，即不是的根，所以在中不可約。又，所以只有唯一實(shí)根，設(shè)為，其它兩復(fù)根為，，，又，有：；；。因?yàn)?，而?,所以，即，。所以，，即。由，所以，，即。又所以。因?yàn)?，所以。這樣是單位。設(shè)是的基本單位，所以有。又且，所以。由判別式的理論[5]知：，，其中是數(shù)域次數(shù)，是數(shù)域的復(fù)共軛映射的個(gè)數(shù),判別式。由[6],得即，所以。由條件得：。這樣，又是正整數(shù)，所以。又由引理得：；而，所以，即。由于只有唯一大于1的實(shí)根，且由條件，又，由介值定理，所以，所以即,是唯一基本單位。例方程其中，且滿足，，通過(guò)計(jì)算得，又，取，，知，這樣有，所以由定理知方程的唯一實(shí)根是實(shí)三次域的基本單位。參考文獻(xiàn)[1]E.Artin,Theoryofalgebraicnumbers[M],striker,Gottingen,1959.[2]A.frohlich,M.J.Taylor,AlgebraicNumberTheory[M],Cambridge[3]S.Alaca,K.S.Williams,IntroductoryAlgebraicNumberTheory[M],Combridge[4]馮克勤，代數(shù)數(shù)論[M]，科學(xué)出版社，2000.ARealCubicFieldswithaFundamentalUnit>1Yaozhonglei,LijianghuaBengbuNO.1MiddleschoolBengbu233000Abstract:Someconditionsaregivenwhichensurethatequation,hasauniquerealroot.Wecanproveist