修改前論文-2009級(jí)6班劉偉new

矩陣分解數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生劉偉指導(dǎo)教師劉軍摘要：矩陣是代數(shù)中一個(gè)應(yīng)用廣泛的重要概念，是代數(shù)中的主要研究對(duì)象。隨著現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展，矩陣知識(shí)逐漸應(yīng)用于工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域中，把矩陣分解為形式比較簡(jiǎn)單或性質(zhì)比較熟悉的一些矩陣的乘積，是在矩陣?yán)碚摰难芯颗c應(yīng)用中，都是十分重要的。當(dāng)某些矩陣滿足一些特定的條件時(shí)可以對(duì)其進(jìn)行一定的分解。矩陣分解后的特殊形式，一方面能明顯地反應(yīng)出原矩陣的某些數(shù)字特征；另一方面，分解的方法與過(guò)程往往提供了某些有效的數(shù)值計(jì)算方法和理論分析依據(jù)。矩陣分解方法在多個(gè)領(lǐng)域得到了很好的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：矩陣分解三角分解法QR分解法奇異值分解法MatrixDecompositionmathematicsandappliedmathematicsLiuweiTutorLiujunAbstract：Matrixisanimportantconceptwidelyusedinalgebra,isthemainresearchobjectinalgebra.Knowledgegraduallywiththedevelopmentofmoderntechnology,matrixusedinmanyfieldssuchasengineeringtechnology,thenatureoftheformofmatrixisdecomposedintosimpleormorefamiliarwithsomeofthematrixproduct,isintheresearchandapplicationofmatrixtheory,isveryimportant.Whencertainmatrixsatisfycertainconditionstoacertainnumberofdecomposition.Specialformafterthematrixdecomposition,ontheonehand,canclearlyreflectacertainNumbersoftheoriginalmatrixcharacteristic;Decomposition,ontheotherhand,oftenprovidessomeeffectivemethodsandprocessofnumericalcalculationandtheoreticalanalysisbasis.Matrixdecompositionmethodisappliedinmanyfields.Keywords:MatrixDecomposition；TriangularDecomposition；QRDecomposition；SingularValueDecompostion引言矩陣分解是研究矩陣性質(zhì)的主要方法，明確矩陣分解的具體定義，探討矩陣分解的三種常見方法，三角分解法、QR分解法、奇異值分解法。這些矩陣的分解方法可以解決高等代數(shù)中的許多問題。例如線性方程組的一些重要性質(zhì)就反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上，而且解線性方程組的過(guò)程也就是變換這種矩陣的過(guò)程。某些復(fù)雜的線性方程組就可以利用矩陣的三角分解法來(lái)求解。除此之外還有求矩陣的逆、行列式的值、矩陣特征值等這些問題，也都利用了矩陣分解的方法。從而可以看出矩陣分解在矩陣?yán)碚摰难芯恐姓加休^為重要的地位。對(duì)矩陣的研究是對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換或進(jìn)行分解以后進(jìn)行研究，當(dāng)矩陣滿足一些特定的條件時(shí)可以對(duì)其進(jìn)行一定的分解，矩陣的分解方法是解決矩陣問題的重要方法之一,它的核心思想就是刪繁就簡(jiǎn),充分體現(xiàn)了解決數(shù)學(xué)問題的“轉(zhuǎn)化”思想。為高效率地處理存放于矩陣中的數(shù)據(jù)信息,采取將矩陣進(jìn)行分解的方法。分解后,不但可將用于描述問題的原始陣的維數(shù)大大消減,同時(shí)也可以對(duì)原始矩陣中存放的大量數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮和概括。非負(fù)矩陣分解（NMF）近年來(lái)快速發(fā)展,是目前國(guó)際上新的矩陣分解方法,并已初步成功地應(yīng)用于一些領(lǐng)域中。如:圖像處理、生物醫(yī)學(xué)、文本聚類和語(yǔ)音信號(hào)處理等.因此,探索矩陣的分解方法一直是非常有意義的。1三種常見的矩陣分解矩陣分解是將矩陣拆解為數(shù)個(gè)矩陣的乘積，可分為三角分解、滿秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇異值）分解等，常見的有三種：1)三角分解法2)QR分解法，3)奇異值分解法。1．1三角分解法對(duì)于n階矩陣A，如果存在n階下三角矩陣L和n階上三角矩陣U，使得A=LU，則稱之為A的三角分解。這樣的分解法又稱為L(zhǎng)U分解法。并不是任何一個(gè)n階矩陣A都能進(jìn)行三角分解，如當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)，A可以進(jìn)行三角分解的充要條件是A的n個(gè)順序主子陣均可逆。不過(guò)要注意這種分解法所得到的上下三角形矩陣并非唯一，還可找到數(shù)個(gè)不同的一對(duì)上下三角形矩陣，此兩三角形矩陣相乘也會(huì)得到原矩陣。LU分解常用于計(jì)算行列式的值，解方程組和求矩陣的逆。當(dāng)矩陣Ａ的各階順序主子式不為零，且不接近零時(shí)，LU分解可以通過(guò)順序高斯消去法得到。例如把方程組寫成矩陣形式Ax=b.第一步消元等價(jià)于用初等矩陣左乘增廣矩陣（A，b),直到矩陣A變?yōu)樯先蔷仃?，因此將現(xiàn)在的增廣矩陣記為（U，）則,于是有據(jù)此得這里是單位下三角矩陣，U是上三角陣。(1)計(jì)算行列式的值：由于LU分解A=LU，則由行列式性質(zhì)推出(2)解方程組：由LU分解，則解方程組等價(jià)于解令Ux=y,則歸結(jié)為解兩個(gè)三角形方程組(3)求矩陣的逆：考慮n階方陣A.設(shè)存在，即記得第i列為,則記的第i列為,則于是即這是以A為系數(shù)陣，為右端項(xiàng)的線性代數(shù)方程組，它的解恰好是的第i列元。據(jù)此分析得求A的步驟：首先作三角分解.然后對(duì)i=1,2,...,n分別解三角形方程組,求出（i=1,2,...,n)后，把裝配起來(lái)得到例1用LU分解求解下列問題：計(jì)算行列式解方程組,其中求逆矩陣解用Gauss消去法可得A的三角分解1)2)先解,得再解,得先解,得再解,得同樣可求出所以1.2QR分解法對(duì)于n階復(fù)（或?qū)崳┚仃嘇，如果存在n階酉矩陣（或正交矩陣）Q和n階上三角矩陣R，使得，則稱之為A的QR分解，也稱之為酉-三角分解（或正交三角分解）。方陣A的QR分解總是存在的。矩陣的QR分解是一種特殊的三角分解，在解決矩陣特征值的計(jì)算、最小二乘法等問題中起到重要的作用，而且得到他們的精確解非常重要，但其計(jì)算一直是很繁瑣的數(shù)學(xué)問題。特別是當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量非常大，且不易求其精確解，故在工程技術(shù)上用QR分解可以得到其在某一精度水平上的近似解。特別地，當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，也可以采用Schmidt正交化方法進(jìn)行QR分解。定理若是可逆矩陣，則存在n階酉矩陣Q和非奇異上三角矩陣，使得A=QR，且這一表示式是唯一的。證明令,其中是A的第i個(gè)列向量，由A可逆知它們線性無(wú)關(guān)。用Schmidt正交化方法將其正交化，即其中.再對(duì)P,P,...,P單位化：,,...,代入上式得于是有令則Q是酉矩陣，R是上三角矩陣，且。再證惟一性，設(shè)A有兩個(gè)分解式,其中Q和Q是酉矩陣，R和是上三角矩陣，則有上式表明是酉矩陣，又它是上三角矩陣，易知上式表明，從而，即分解式是惟一的。例2利用Schmidt正交化方法求矩陣的QR分解。解將正交化得再單位化得于是故1.3奇異值分解法（SVD）奇異值分解法是線性代數(shù)和矩陣論中一種重要的矩陣分解法，該方法的理論基礎(chǔ)的誕生已有百余年的歷史，而被應(yīng)用到技術(shù)領(lǐng)域還是隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展以及信息工程的需要，于20世紀(jì)70年代初開始廣泛應(yīng)用于處理矩陣的有關(guān)秩的問題之中。并且，在許多領(lǐng)域展現(xiàn)了其魅力，如：信號(hào)處理、系統(tǒng)辨認(rèn)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計(jì)學(xué)等等。定義設(shè)，稱矩陣的n個(gè)特征值（i=1,2,...,n)的算術(shù)平方根為A的奇異值。對(duì)于秩為r(r>0)的矩陣A，存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得其中，而為A的全部非零奇異值，稱上式為A的奇異值分解。證明：設(shè)矩陣A的奇異值分解為則U的列向量是的特征向量，V的列向量是的特征向量。證由于，于是令,,代入上式可得（j=1,2,,r）(j=r+1,,m)(j=1,2,,r)(j=r+1,,n)可見是的特征向量，是的特征向量。例3已知。求A的奇異值分解。解，所以的特征值，A的奇異值，的特征值的單位特征向量因此又的零特征值所對(duì)應(yīng)的次酉矩陣的零特征值所對(duì)應(yīng)的次酉矩陣于是的酉矩陣U與的酉矩陣Ｖ分別為且2矩陣分解的應(yīng)用研究2．1基于矩陣分解的數(shù)字圖像分存技術(shù)隨著現(xiàn)代通訊技術(shù)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，我們可以預(yù)見將會(huì)有大量的國(guó)家、企業(yè)和個(gè)人的信息在國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)和各種不同類型的局域網(wǎng)上傳輸。然而，由于網(wǎng)絡(luò)開放性的特點(diǎn)，使得每一個(gè)人都可以在網(wǎng)絡(luò)上自由地獲得他感興趣的信息，而且也可以很方便地對(duì)信息進(jìn)行編輯、修改和復(fù)制，甚至可以惡意對(duì)某些信息進(jìn)行破壞。這就使得我們對(duì)信息的安全性更加關(guān)注。而圖像信息的安全性就是其中一個(gè)特別重要的研究領(lǐng)域。任何一幅數(shù)字圖像都可以看作一個(gè)矩陣，矩陣元素所在的行與列，就是圖像顯示在計(jì)算機(jī)屏幕像素點(diǎn)的坐標(biāo)，元素的數(shù)值就是像素的灰度（或色彩值）。利用矩陣分解的結(jié)論，可以把表示圖像的矩陣分解為兩個(gè)矩陣的和的形式，從而可以實(shí)現(xiàn)圖像的分存。這種矩陣分解的方式可以無(wú)限迭代，由此可以把一幅圖像分解為任意多個(gè)子圖像的和的形式，達(dá)到隱蔽傳輸圖像的目的。數(shù)字圖像分存技術(shù)把一幅秘密的數(shù)字圖像分解成幾幅無(wú)意義或者雜亂無(wú)章的圖像或者偽裝到幾幅有意義的圖像中進(jìn)行存儲(chǔ)或傳輸。它可以避免由于少數(shù)圖像信息的丟失而造成嚴(yán)重的事故，同時(shí)在通信中個(gè)別圖像信息的泄露不會(huì)引起整個(gè)圖像信息的丟失。2．2矩陣分解算法在生物信息學(xué)中的應(yīng)用研究以芯片技術(shù)為代表的高通量技術(shù)的誕生,標(biāo)志著基因組研究進(jìn)入了新的水平。芯片實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛲瑫r(shí)測(cè)量成千上萬(wàn)個(gè)基因的表達(dá)水平,利用這一技術(shù),研究者可以獲得細(xì)胞在生理、發(fā)育過(guò)程中各個(gè)基因表達(dá)水平的動(dòng)態(tài)變化信息,也可以監(jiān)控外部環(huán)境變化時(shí)細(xì)胞內(nèi)部各個(gè)基因表達(dá)水平的變化狀況,這就提供了一種量化細(xì)胞活動(dòng)過(guò)程的有效途徑。因此,芯片技術(shù)在生命科學(xué)的研究中得到了廣泛應(yīng)用,產(chǎn)生了海量的基因表達(dá)數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)中蘊(yùn)藏著生命活動(dòng)的基本規(guī)律,深入分析這些數(shù)據(jù),有助于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解紛繁多樣的表現(xiàn)型下隱藏的調(diào)控機(jī)理、作用機(jī)制,有助于人們研究各種疾病的病變機(jī)理、確定藥物的作用靶、輔助新藥的研制等,最終幫助人們理解生命的奧秘。針對(duì)這些海量的基因表達(dá)數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)新的算法,識(shí)別蘊(yùn)藏的各種特征,并給出合理解釋,是當(dāng)前生物信息學(xué)研究的主題,來(lái)自不同學(xué)科的研究者提出了各種各樣的計(jì)算方法。數(shù)學(xué)上,芯片實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)一般表現(xiàn)為的矩陣,其中N表示基因數(shù)目,M表示樣本數(shù)目(如基于時(shí)間順序的采樣點(diǎn)、不同的實(shí)驗(yàn)條件、組織類型等),M<<N,即樣本的數(shù)目遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于基因數(shù)目。針對(duì)這一特點(diǎn),奇異值分解(SVD)及各種成分分析技術(shù)先后被用于芯片實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析和處理,這些方法能夠有效地降低表達(dá)數(shù)據(jù)的維數(shù),識(shí)別數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的全局特征,但卻難以識(shí)別細(xì)胞活動(dòng)過(guò)程中特定條件下存在的局部特征。而非負(fù)矩陣分解算法(NMF)最大優(yōu)點(diǎn)是能夠在一定程度上識(shí)別數(shù)據(jù)的局部特征,定量地刻畫局部與整體之間潛在的、可加的非線性組合關(guān)系。近年來(lái),非負(fù)矩陣分解算法已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于圖像處理、人臉識(shí)別、文本信息處理、音頻處理等多個(gè)領(lǐng)域,產(chǎn)生了大量快速實(shí)用的有效算法,這就使得非負(fù)矩陣分解算法特別適合于分析大規(guī)模的基因芯片數(shù)據(jù)。許多研究者利用非負(fù)矩陣分解算法能夠分析和處理生物信息學(xué)領(lǐng)域的多種問題,包括基因表達(dá)數(shù)據(jù)聚類、調(diào)控模式及功能模塊識(shí)別、生物醫(yī)學(xué)文本挖掘、序列模式與基因功能分析等,取得了諸多有意義的研究成果。2.3矩陣分解解決線性代數(shù)問題的應(yīng)用線性代數(shù)中將一個(gè)矩陣分解為若干個(gè)矩陣的和或乘積,是解決某些線性代數(shù)問題的重要方法,其技巧性、靈活性以及實(shí)用性都很強(qiáng),通過(guò)例題從以下幾方面說(shuō)明矩陣分解的簡(jiǎn)單應(yīng)用。1.“無(wú)”中生“E”分解的應(yīng)用例1若A滿足,證明E-A非奇異,并求。證明:由方程兩端同時(shí)加一單位陣E，即非奇異，且。例2已知A、B、A+B都為n階可逆陣,求證也可逆并求其逆。證明:因?yàn)橛忠驗(yàn)锳、B、A+B都可逆，則、也可逆，因此可逆。故為可逆矩陣，并且=。2.矩陣乘積分解的應(yīng)用若一矩陣A可分解為兩個(gè)矩陣的乘積(如矩陣A的秩為1),或可以相似對(duì)角化(如A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量),則可以利用分解式計(jì)算A的冪次。例1設(shè)矩陣求。解:因?yàn)閞(A)=1,顯然，令，，故3小結(jié)與展望本文首先介紹了矩陣分解的三種常見方法，矩陣的三角分解法又稱LU分解，可以利用這種分解方法求解矩陣的逆、方程組的解、行列式的值。矩陣的QR分解又稱為酉-三角分解，這種分解法解決矩陣特征值的計(jì)算、最小二乘法等問題中起到重要的作用。了解三種方法的具體定義，探究它們的分解過(guò)程，并用具體的例子加以說(shuō)明。然后介紹了矩陣分解在數(shù)字圖像分存技術(shù)、生物信息學(xué)中的應(yīng)用研究，還介紹了矩陣分解為解決某些線性代數(shù)問題提供的方法。由于近代數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)理論管理科學(xué)等諸多領(lǐng)域中，大量涉及到了矩陣?yán)碚撝R(shí)。因此，矩陣?yán)碚撟匀痪褪菍W(xué)習(xí)和研究上述學(xué)科必不可少的基礎(chǔ)之一。然而矩陣分解是解決矩陣問題的重要方法之一,分解的方法與過(guò)程提供了某些有效的數(shù)值計(jì)算方法和理論分析依據(jù)。這些分解在數(shù)值代數(shù)和最優(yōu)化問題的解決中都有著十分重要的角色以及在其他領(lǐng)域方面也起著必不可少的作用。非負(fù)矩陣分解（NMF）近年來(lái)快速發(fā)展,是目前國(guó)際上新的矩陣分解方法,并已初步成功地應(yīng)用于一些領(lǐng)域中.如:圖像處理、生物醫(yī)學(xué)、文本聚類和語(yǔ)音信號(hào)處理等.因此,探索矩陣的分解方法一直是非常有意