精選有限元法基礎熱傳導和熱應力講義

（優(yōu)選）有限元法基礎熱傳導與熱應力當前1頁，總共53頁。

11傳熱分析與熱應力

本章參考書孔祥謙.有限單元法在傳熱學中的應用.第三版，科學出版社，1998王勖成.有限單元法.清華大學出版社，2003.第12章曾攀.有限元分析及應用.清華大學出版社，2004.第8章

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11.傳熱分析與熱應力

傳熱是廣泛存在的自然現(xiàn)象，只要有溫度差存在，就會有熱量的傳遞，只要有熱量的輸入和輸出，就會引起溫度的變化。傳熱分析的對象是固體、液體和氣體，其應用包括熱量交換、化學反應、材料相變、能量轉換等。溫度的變化和不均勻分布，引起結構出現(xiàn)應力變化，稱為熱應力。當以應力分析為目的時，為確定溫度場，需要對固體進行傳熱計算，以便確定相關的熱應力。

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11傳熱分析與熱應力

11.1傳熱問題的基本方程固體熱傳導的現(xiàn)象

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11傳熱分析與熱應力

術語和單位

在國際標準單位制中，傳熱分析的術語和單位

c比熱容[J/(kg·K)]T溫度（K或°C）Q熱流（W/m2）h對流換熱系數(shù)[W/(m2·K)]t時間（s）k導熱系數(shù)[W/(m·K)]]質量密度（kg/m3）q單位體積熱生成率(W/m3)Stefan-Boltzman常數(shù)[=5.67×10-8W/(m2·K4)]5當前5頁，總共53頁。

11傳熱分析與熱應力

控制方程

對于微元dxdydz，生成的熱量為微元體內的凈流出熱流量為由于熱量的儲存使內能增加，即由能量守恒定律，在微元內有

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11傳熱分析與熱應力

由于方程不封閉，需補充條件。各向同性均勻材料的Fourier定律于是，有第一類邊界條件：邊界上已知溫度T，即第二類邊界條件：邊界上已知熱流密度，即第三類邊界條件：已知與物體相接觸的流體介質的溫度和換熱系數(shù)為已知，即

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11傳熱分析與熱應力

11.2變分原理與有限元

瞬態(tài)熱傳導問題變分泛函為

穩(wěn)態(tài)問題，溫度不隨時間變化泛函的變分取駐值，可得控制方程和第二類和第三類邊界條件

第一類邊界條件應強制滿足，稱為本質邊界條件；

第二、第三類邊界條件是自然邊界條件。

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11傳熱分析與熱應力

有限元法

將物體離散為n個單元體，即，將單元內的溫度場用節(jié)點上的溫度插值，有代入泛函，泛函稱為

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11傳熱分析與熱應力

將單元矩陣組合后，得到物體的總體矩陣，對泛函變分取極值，即

得有限元方程組[KT]稱為熱傳導矩陣，[C]為熱容矩陣，{RT}為等效節(jié)點溫度載荷列陣。對穩(wěn)態(tài)問題，上述方程是線性的，熱傳導方程是對稱正定的，求解類方法似于結構分析。對瞬態(tài)問題，需采用有限差分法，將離散，或采用顯式時間積分，如中心差分，或采用隱式時間積分，如Newmark差分。

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11傳熱分析與熱應力

對線性瞬態(tài)問題，還可采用結構分析中的模態(tài)迭加法

首先求特征問題

每個特征向量{T}i相對于[C]正則化，即令

是模態(tài)矩陣，它的每一列是正則化的特征向量{T}i，于是可將節(jié)點溫度表示為廣義溫度{Z}的關系將其代入有限元方程，并左乘得到n個解耦的方程組積分上述方程組后，得{Z(t)}，由此可得到節(jié)點{T(t)}。11當前11頁，總共53頁。

11傳熱分析與熱應力

11.3熱輻射

考慮兩個無限大的平行平面，由于無限大，不用考慮邊界效應。設每個平面都有均勻溫度，平面1的溫度為T1，平面2的溫度為T2，平面都是理想的黑體，因此每個平面都是理想的吸收體和輻射體，平面表面的熱流量為

是Stefan-Boltzman常數(shù)。由于實際的輻射面并非理想黑體，也不是無窮大的平面，也不一定平行，因此把面積為A1和溫度T1表面所接收的熱流量表示為

包含了各種因素引起的輻射折減，包括視圖因子和輻射率等。

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11傳熱分析與熱應力

由于輻射面是有限的、非平行的，用視圖因子表示對于兩個無限大的平行面為1，對于兩個相互看不見的平面是013當前13頁，總共53頁。

11傳熱分析與熱應力

與面積為A1交換輻射能的表面有多少個，就有多少個式子。如果A1不是很大，可認為Q1在A1上是個常數(shù)，因此與對流邊界比較，該式與之相同。因此在有限元方程中將h項中換成就可用有限元分析輻射問題。需注意，是與溫度有關的，故輻射問題是高度非線性問題。當材料常數(shù)是溫度的函數(shù)，問題也是非線性的。非線性方程可采用Newton-Raphson法求解，但有一些特殊的適合傳熱問題的處理方法。為了避免輻射的強非線性，實際問題的處理，有時將也處理為常數(shù)，如在熱鍛時的傳熱分析。

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11傳熱分析與熱應力

11.4伴有相變的導熱問題特點：控制方程是非穩(wěn)態(tài)導熱方程，區(qū)域內存在一個隨時間移動的兩相界面，在界面上放出或吸收潛熱。1891年J.Stefan關于地極冰層厚度的研究首次討論這一課題。當越過相變區(qū)間時，熱流密度不連續(xù)，在數(shù)學上是一個強非線性問題，計算發(fā)生困難。

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11傳熱分析與熱應力

相變界面的兩邊各自滿足非穩(wěn)態(tài)導熱控制方程，一般為了簡單略去液相區(qū)的自然對流或強制對流等作用。在相變界面S(t)上，滿足溫度連續(xù)條件

能量守恒條件設L

[J/kg]為物質的相變潛熱，則由于相變界面的移動，給數(shù)值方法帶來困難。

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11傳熱分析與熱應力

焓法模型

采用焓（H＝cT）和溫度同時作為待求函數(shù)。由于相變界面上溫度隨時間的變化曲線是間斷的，但焓隨時間的變化曲線是連續(xù)的，因此用數(shù)值方法求解焓分布時不需跟蹤兩相界面，從而使液相區(qū)和固相區(qū)統(tǒng)一處理稱為可能，焓場解出后，溫度場可容易得到。

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11傳熱分析與熱應力

焓表示的傳熱方程為

其中溫度與焓的關系為

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11傳熱分析與熱應力

有限元法中的處理（1）相變潛熱作為附加比熱

用加權余量法推導有限元方程，有使用T的插值的形函數(shù)作為權函數(shù)，可得Galerkin法的有限元方程。式中fs是固相率,為無因次量,,液相0,固相為1。

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11傳熱分析與熱應力

（2）相變潛熱作為源項

在前面的公式中，相變潛熱項

與內熱源項作相同處理，得有限元方程

是與相變項有關的等效載荷。由于相變得復雜性，在實際數(shù)值模擬中，尤其在大型結構計算時，不考慮相變的兩相問題，相變的影響只考慮潛熱，把它作為一個常熱源處理。

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11傳熱分析與熱應力

11.5熱應力（Thermalstress）大多數(shù)情況下，傳熱問題所確定的溫度場將直接影響物體的熱應力,而熱應力對溫度場的耦合影響不大，因而可將物體的熱問題看成是單向耦合過程。（一）熱應力問題中的物理方程熱膨脹系數(shù)（Thermalexpansioncoefficent）,為Lamé系數(shù)

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11傳熱分析與熱應力

將熱應變看作初始應變，上式寫為其中初應變?yōu)?，矩陣形式（二）虛功原理彈性力學問題的虛功原理為內力虛功等于外力虛功，即將物理方程代入，得

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11傳熱分析與熱應力（三）有限元列式設單元節(jié)點列陣為假設單元內位移由節(jié)點位移表示的插值函數(shù)為應變可表示為虛位移與虛應變?yōu)榇胩摴υ?，得其中組裝到總體矩陣后，由于的任意性，得到有限元方程

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11傳熱分析與熱應力（三）求解熱應力的方法在有限元分析程序中解熱應力問題有兩種方法，即直接法和間接法。直接法直接將傳熱分析和熱應力耦合起來分析的方法。在求解時，直接將傳熱邊界條件、力學邊界條件施加在有限元模型上，以節(jié)點溫度和位移作為未知變量求解。在有限元商業(yè)軟件中，有多場耦合單元，如ANSYS中Solid5和Solid98有熱、電、磁、壓電和結構的耦合場單元，每節(jié)點有6DOF，即溫度、電勢、磁場強度勢函數(shù)，3個方向位移。

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11傳熱分析與熱應力間接法熱應力問題是一個單向耦合問題，在多數(shù)情況下，溫度變化會產生熱應變，但熱應變部不引起溫度變化。這樣，可以將熱應力問題分成兩個過程來計算分析，即傳熱分析和熱應力計算。首先通過傳熱分析獲得結構的溫度場分布，然后在已知溫度分布的情況下求熱應力。優(yōu)點：1）求解規(guī)模比直接法小，有更高的計算效率；

2）在瞬態(tài)問題時，可先求解溫度場，然后在關心的時間點上求熱應力，可節(jié)省大量的存儲空間，即使是非線性問題也可這樣處理。

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11傳熱分析與熱應力例穩(wěn)態(tài)溫度分析一圓柱型容器上，垂直接有一小管道，容器內裝有450F的液體，小管內有100F的流體。假設容器足夠長，遠端的溫度為450F。

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11傳熱分析與熱應力例穩(wěn)態(tài)溫度長分析（續(xù)）

網格圖溫度分布27當前27頁，總共53頁。

11傳熱分析與熱應力例穩(wěn)態(tài)溫度常分析（續(xù)）

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11傳熱分析與熱應力例穩(wěn)態(tài)溫度長分析（續(xù)）

等效應力分布圖

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11傳熱分析與熱應力例液－固相變分析

有厚度為a得液體，初始溫度為T0,在其上表面突加溫度Ts<T0，分析液體的溫度變化及相變情況，假設液體的其他邊界是絕熱的。30當前30頁，總共53頁。

11傳熱分析與熱應力例液－固相變分析（續(xù)）

相變潛熱（latentheat）的影響以焓的快速變化來反映。

焓（enthalpy）與溫度的變化曲線

31當前31頁，總共53頁。例液－固相變分析（續(xù)）

經計算分析，在789s－797s間液體開始完全固化，即節(jié)點2開始降溫至－1。

在501s時溫度沿厚度的分布各節(jié)點溫度隨時間的變化

11傳熱分析與熱應力32當前32頁，總共53頁。

11傳熱分析與熱應力例熱處理分析

將工件放在一定介質中加熱到適宜的溫度、并在此溫度中保持一定時間后、又以不同速度冷卻的一種工藝方法。熱處理不改變工件的形狀和整體化學成分，而是通過改變工件內部的顯微組織，或改變工件的表面的化學成分，賦予或改變工件的使用性能。

特點：1）有熱傳導2）有相變3）熱－力耦合

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11傳熱分析與熱應力例熱處理分析(續(xù))

淬火分析的網格和溫度分布

34當前34頁，總共53頁。

2傳熱分析與熱應力35當前35頁，總共53頁。

11傳熱分析與熱應力熱處理分析（續(xù)）

典型的導熱系數(shù)曲線

36當前36頁，總共53頁。

11傳熱分析與熱應力熱處理分析（續(xù)）

典型的質量密度曲線

37當前37頁，總共53頁。

11傳熱分析與熱應力熱處理分析（續(xù)）

典型的比熱容曲線

38當前38頁，總共53頁。

11傳熱分析與熱應力熱處理分析（續(xù)）

典型的相變焓曲線

39當前39頁，總