2023高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式教師用書理

PAGEPAGEPAGE2第七章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))不等式第一節(jié)不等式的性質(zhì)及一元二次不等式本節(jié)主要包括2個(gè)知識點(diǎn)：1.不等式的性質(zhì)；2.一元二次不等式.本節(jié)主要包括2個(gè)知識點(diǎn)：1.不等式的性質(zhì)；2.一元二次不等式.突破點(diǎn)(一)不等式的性質(zhì)根底聯(lián)通抓主干知識的“源〞與“流〞1．比擬兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>ba，b∈R，,a－b＝0?a＝ba，b∈R，,a－b<0?a<ba，b∈R.))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>ba∈R，b>0，,\f(a,b)＝1?a＝ba∈R，b>0，,\f(a,b)<1?a<ba∈R，b>0.))2．不等式的根本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bc注意c的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd>0?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)a，b同為正數(shù)可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)3.不等式的一些常用性質(zhì)(1)倒數(shù)的性質(zhì)①a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).②a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).③a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).④0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)假設(shè)a>b>0，m>0，那么：①eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．②eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0).考點(diǎn)貫穿抓高考命題的“形〞與“神〞比擬兩個(gè)數(shù)(式)的大小[例1](1)a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，那么M與NA．M<N B．M>NC．M＝N D．不確定(2)假設(shè)a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，那么a________b(填“＞〞或“＜〞)．[解析](1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>(2)易知a，b都是正數(shù)，eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝log89＞1，所以b＞a.[答案](1)B(2)<[方法技巧]比擬兩個(gè)數(shù)(式)大小的兩種方法不等式的性質(zhì)[例2](1)如果a<b<0，那么以下不等式成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a(chǎn)b<b2C．－ab<－a2 D．－eq\f(1,a)<－eq\f(1,b)(2)以下命題中，正確的選項(xiàng)是()A．假設(shè)a>b，c>d，那么ac>bdB．假設(shè)ac>bc，那么a>bC．假設(shè)eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，那么a<bD．假設(shè)a>b，c>d，那么a－c>b－d(3)(2022·西安八校聯(lián)考)“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析](1)法一(性質(zhì)判斷)：對于A項(xiàng)，由a<b<0，得b－a>0，ab>0，故eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，由a<b<0，得b(a－b)>0，ab>b2，故B項(xiàng)錯誤；對于C項(xiàng)，由a<b<0，得a(a－b)>0，a2>ab，即－ab>－a2，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，由a<b<0，得a－b<0，ab>0，故－eq\f(1,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,b)))＝eq\f(a－b,ab)<0，－eq\f(1,a)<－eq\f(1,b)成立，故D項(xiàng)正確．法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，那么eq\f(1,a)＝－eq\f(1,2)>eq\f(1,b)＝－1，ab＝2>b2＝1，－ab＝－2>－a2＝－4，－eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)<－eq\f(1,b)＝1.故A、B、C項(xiàng)錯誤，D項(xiàng)正確．(2)取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A錯誤；當(dāng)c<0時(shí)，ac>bc?a<b，∴B錯誤；∵eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，∴c≠0，又c2>0，∴a<b，C正確；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D錯誤．(3)x1>3，x2>3?x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝eq\f(1,2)，x2＝20，x1＋x2＝eq\f(41,2)>6，x1x2＝10>9，但x1<3.故“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的充分不必要條件．[答案](1)D(2)C(3)A[方法技巧]不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)不等式成立問題．熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是根底，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件．(2)與充分、必要條件相結(jié)合問題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用．(3)與命題真假判斷相結(jié)合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得〞與“失〞1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])設(shè)a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，那么A，B的大小關(guān)系是()A．A≤B B．A≥BC．A<B D．A>B解析：選B由題意得，B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])假設(shè)m＜0，n＞0且m＋n＜0，那么以下不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：選D法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分別代入各選項(xiàng)檢驗(yàn)即可．法二：m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])假設(shè)a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，那么以下結(jié)論：①ad＞bc；②eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中，成立的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C解析：選C∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①不成立．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＝eq\f(ac＋bd,cd)＜0，故②成立．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③成立．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④成立．成立的個(gè)數(shù)為3.4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，那么“a>b>1”是“a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)〞的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A因?yàn)閍＋eq\f(1,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＝eq\f(a－bab－1,ab)，假設(shè)a>b>1，顯然a＋eq\f(1,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＝eq\f(a－bab－1,ab)>0，那么充分性成立，當(dāng)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)時(shí)，顯然不等式a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．突破點(diǎn)(二)一元二次不等式根底聯(lián)通抓主干知識的“源〞與“流〞1．三個(gè)“二次〞之間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的條件(1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))考點(diǎn)貫穿抓高考命題的“形〞與“神〞一元二次不等式的解法[例1]解以下不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．[解](1)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤eq\f(4,3)，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(4,3))))).(2)原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－2≤4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－6≤0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x＋1＞0，,x－3x＋2≤0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞2或x＜－1，,－2≤x≤3.))借助于數(shù)軸，如下圖，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x＜－1或2＜x≤3)).(3)原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)＜0，因?yàn)閍＞0，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.所以當(dāng)a＞1，即eq\f(1,a)<1時(shí)，解為eq\f(1,a)＜x＜1；當(dāng)a＝1時(shí)，解集為?；當(dāng)0＜a＜1，即eq\f(1,a)>1時(shí)，解為1＜x＜eq\f(1,a).綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a)))))；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1)))).[方法技巧]1．解一元二次不等式的方法和步驟(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)判：計(jì)算對應(yīng)方程的判別式．(3)求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實(shí)根．(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間〞寫出不等式的解集．2．解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)(1)二次項(xiàng)中假設(shè)含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無實(shí)根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，要討論兩實(shí)根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．由一元二次不等式恒成立求參數(shù)范圍對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．另外，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用別離參數(shù)求最值．考法(一)在實(shí)數(shù)集R上恒成立[例2]不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在實(shí)數(shù)m使得對所有的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立？假設(shè)存在，求出m的取值范圍；假設(shè)不存在，請說明理由．[解]不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1的圖象全部在x軸下方．當(dāng)m＝0時(shí)，1－2x＜0，那么x＞eq\f(1,2)，不滿足題意；當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1為二次函數(shù)，需滿足開口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0無解，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝4－4m1－m＜0，))不等式組的解集為空集，即m無解．綜上可知不存在這樣的實(shí)數(shù)m使不等式恒成立．考法(二)在某區(qū)間上恒成立[例3]設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，假設(shè)對于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍．[解]要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，那么mx2－mx＋m－6＜0，即meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．法一：令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．當(dāng)m＞0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)＝7m所以m＜eq\f(6,7)，那么0＜m＜eq\f(6,7).當(dāng)m＜0時(shí)，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，那么m＜0.綜上所述，m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜\f(6,7)或m＜0)))).法二：因?yàn)閤2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，又因?yàn)閙(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜eq\f(6,x2－x＋1).因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值為eq\f(6,7)，所以只需m＜eq\f(6,7)即可．因?yàn)閙≠0，所以m的取值范圍是mm＜0或0＜m＜eq\f(6,7).考法(三)在參數(shù)的某區(qū)間上恒成立時(shí)求變量范圍[例4]對任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x[解]由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x那么原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù)問題．由題意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，,g1＝x－2＋x2－4x＋4>0，))解得x<1或x>3.故當(dāng)x的取值范圍是(－∞，1)∪(3，＋∞)時(shí)，對任意的m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)的值恒大于零．[易錯提醒]解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得〞與“失〞1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋2>0，,|x|<1))的解集為()A．{x|－2<x<－1} B．{x|－1<x<0}C．{x|0<x<1} D．{x|x>1}解析：選C解x(x＋2)>0，得x<－2或x>0；解|x|<1，得－1<x<1.因?yàn)椴坏仁浇M的解集為兩個(gè)不等式解集的交集，即解集為{x|0<x<1}．2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集為A∩B，那么a＋b等于()A．－3B．1C解析：選A由題意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a＝－1，b＝－2，那么a＋b＝－3.3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二·考法一])假設(shè)不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實(shí)數(shù)x都成立，那么k的取值范圍為()A．(－3,0) B．[－3,0)C．[－3,0] D．(－3,0]解析：選D當(dāng)k＝0時(shí)，顯然成立；當(dāng)k≠0時(shí)，即一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實(shí)數(shù)x都成立，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))<0，))解得－3<k<0.綜上，滿足不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實(shí)數(shù)x都成立的k的取值范圍是(－3,0]．4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二·考法二])假設(shè)不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，那么a的取值范圍是()A．[－4,1] B．[－4,3]C．[1,3] D．[－1,3]解析：選B原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為[a,1]，此時(shí)只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解為x＝1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為[1，a]，此時(shí)只要a≤3即可，即1<a≤3.綜上可得－4≤a≤3.5.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二·考法三])要使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立，那么x的取值范圍為________．解析：將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因?yàn)閒(a)>0在|a|≤1時(shí)恒成立，所以①假設(shè)x＝3，那么f(a)＝0，不符合題意，應(yīng)舍去．②假設(shè)x≠3，那么由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1>0，,f1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－7x＋12>0，,x2－5x＋6>0，))解得x<2或x>4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律]1.(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，那么A∩B＝()A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)解析：選AA＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，應(yīng)選A.2．(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)設(shè)集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，那么M∩N＝()A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：選DN＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．3．(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－eq\r(5)＜x＜eq\r(5)}，那么()A．A∩B＝? B．A∪B＝RC．B?A D．A?B解析：選B集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－eq\r(5)＜x＜eq\r(5)}＝R，應(yīng)選B.[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測]重點(diǎn)保分課時(shí)——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考[練根底小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力]1．假設(shè)a>b>0，那么以下不等式不成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．|a|>|b|C．a(chǎn)＋b<2eq\r(ab) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b解析：選C∵a>b>0，∴eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，且|a|>|b|，a＋b>2eq\r(ab)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是減函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b.故C項(xiàng)不成立．2．函數(shù)f(x)＝eq\r(\f(1－x,x＋2))的定義域?yàn)?)A．[－2,1] B．(－2,1]C．[－2,1) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：選B要使函數(shù)f(x)＝eq\r(\f(1－x,x＋2))有意義，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－xx＋2≥0，,x＋2≠0，))解得－2<x≤1，即函數(shù)的定義域?yàn)?－2,1]．3．x>y>z，x＋y＋z＝0，那么以下不等式成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|解析：選C因?yàn)閤>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以xy>xz，應(yīng)選C.4．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3<0，,2x2－7x＋6>0))的解集是()A．(2,3) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))∪(2,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))∪(3，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：選B∵x2－4x＋3<0，∴1<x<3.又∵2x2－7x＋6>0，∴(x－2)(2x－3)>0，∴x<eq\f(3,2)或x>2，∴原不等式組的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))∪(2,3)．5．關(guān)于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集為－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，那么不等式－cx2＋2x－a>0的解集為________．解析：依題意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋\f(1,2)＝－\f(2,a)，,－\f(1,3)×\f(1,2)＝\f(c,a)，))∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即為－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－2<x<3.所以不等式的解集為(－2,3)．答案：(－2,3)[練?？碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力]一、選擇題1．設(shè)集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B為函數(shù)y＝eq\f(1,\r(x－1))的定義域，那么A∩B等于()A．(1,2)B．[1,2]C．[1,2) D．(1,2]解析：選DA＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．2．a(chǎn)，b，c∈R，那么以下命題正確的選項(xiàng)是()A．a(chǎn)>b?ac2>bc2 B.eq\f(a,c)>eq\f(b,c)?a>bC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,ab<0))?eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,ab>0))?eq\f(1,a)>eq\f(1,b)解析：選C當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝0，bc2＝0，故由a>b不能得到ac2>bc2，故A錯誤；當(dāng)c<0時(shí)，eq\f(a,c)>eq\f(b,c)?a<b，故B錯誤；因?yàn)閑q\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab>0，,a<b))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab<0，,a>b，))應(yīng)選項(xiàng)D錯誤，C正確．應(yīng)選C.3．a(chǎn)>0，且a≠1，m＝aa2＋1，n＝aa＋1，那么()A．m≥nB．m>nC．m<n D．m≤n解析：選B由題易知m>0，n>0，兩式作商，得eq\f(m,n)＝a(a2＋1)－(a＋1)＝aa(a－1)，當(dāng)a>1時(shí)，a(a－1)>0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n；當(dāng)0<a<1時(shí)，a(a－1)<0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n.綜上，對任意的a>0，a≠1，都有m>n.4．假設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3≤0，,x2＋4x－1＋a≤0))的解集不是空集，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)C．[－4,3] D．[－4,3)解析：選B不等式x2－2x－3≤0的解集為[－1,3]，假設(shè)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3≤0，,x2＋4x－a＋1≤0))的解集為空集，那么不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集為集合{x|x<－1或x>3}的子集，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的圖象的對稱軸方程為x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a>0，即a<－4，那么使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3≤0，,x2＋4x－1＋a≤0))的解集不為空集的a的取值范圍是a≥－4.5．假設(shè)不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，那么a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，1))C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(23,5)))解析：選A由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程必有一正根、一負(fù)根．于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)＞0，解得a＞－eq\f(23,5)，故a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)).6．在R上定義運(yùn)算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a),\s\do5(c))\o(\s\up7(b),\s\do5(d))))＝ad－bc，假設(shè)不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x－1),\s\do5(a＋1))\o(\s\up7(a－2),\s\do5(x))))≥1對任意實(shí)數(shù)x恒成立，那么實(shí)數(shù)a的最大值為()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(3,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,2)解析：選D由定義知，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x－1),\s\do5(a＋1))\o(\s\up7(a－2),\s\do5(x))))≥1等價(jià)于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a對任意實(shí)數(shù)x恒成立．∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，∴a2－a≤eq\f(3,4)，解得－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)，那么實(shí)數(shù)a的最大值為eq\f(3,2).二、填空題7．a(chǎn)，b，c∈R，有以下命題：①假設(shè)eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，那么eq\f(c,a)<eq\f(c,b)；②假設(shè)eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，那么a<b；③假設(shè)a>b，那么a·2c>b·2其中正確的選項(xiàng)是__________(請把正確命題的序號都填上)．解析：①假設(shè)c≤0，那么命題不成立．②由eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)得eq\f(a－b,c2)<0，于是a<b，所以命題正確．③中由2c>0知命題正確．答案：②③8．假設(shè)0<a<1，那么不等式(a－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集是________．解析：原不等式為(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0，由0<a<1得a<eq\f(1,a)，∴a<x<eq\f(1,a).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<x<\f(1,a)))))9．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax，x≥0，,bx2－3x，x＜0))為奇函數(shù)，那么不等式f(x)＜4的解集為________．解析：假設(shè)x>0，那么－x<0，那么f(－x)＝bx2＋3x.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x，x≥0，,－x2－3x，x＜0.))當(dāng)x≥0時(shí)，由x2－3x＜4解得0≤x＜4；當(dāng)x＜0時(shí)，由－x2－3x＜4解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集為(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2022·西安一模)假設(shè)關(guān)于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集為R，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：不等式x2＋mx＋1≥0的解集為R，相當(dāng)于二次函數(shù)y＝x2＋mx＋1的最小值非負(fù)，即方程x2＋mx＋1＝0最多有一個(gè)實(shí)根，故Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.答案：[－2,2]三、解答題11．f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0；(2)假設(shè)不等式f(x)>b的解集為(－1,3)，求實(shí)數(shù)a，b的值．解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a即a2－6a－3<0，解得3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3).∴不等式的解集為{a|3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3)}．(2)∵f(x)>b的解集為(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1,3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))故a的值為3＋eq\r(3)或3－eq\r(3)，b的值為－3.12．函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)假設(shè)a＝2，試求函數(shù)y＝eq\f(fx,x)(x>0)的最小值；(2)對于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，試求a的取值范圍．解：(1)依題意得y＝eq\f(fx,x)＝eq\f(x2－4x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)－4.因?yàn)閤>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2.當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)時(shí)，即x＝1時(shí)，等號成立．所以y≥－2.所以當(dāng)x＝1時(shí)，y＝eq\f(fx,x)的最小值為－2.(2)因?yàn)閒(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“對任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立〞只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立〞．不妨設(shè)g(x)＝x2－2ax－1，那么只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g0≤0，,g2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－0－1≤0，,4－4a－1≤0，))解得a≥eq\f(3,4).那么a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).第二節(jié)二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題本節(jié)主要包括3個(gè)知識點(diǎn)：1.二元一次不等式本節(jié)主要包括3個(gè)知識點(diǎn)：1.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域；2.簡單的線性規(guī)劃問題；3.線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用.突破點(diǎn)(一)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域根底聯(lián)通抓主干知識的“源〞與“流〞1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C＞0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共局部2.確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法步驟考點(diǎn)貫穿抓高考命題的“形〞與“神〞求平面區(qū)域的面積1.求平面區(qū)域的面積，要先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積．2．求平面區(qū)域的面積問題，平面區(qū)域形狀為三角形的居多，尤其當(dāng)△ABC為等腰直角三角形(A為直角)時(shí)，點(diǎn)B到直線AC的距離即△ABC的腰長|AB|.由點(diǎn)到直線的距離公式求得|AB|，面積便可求出．[例1]不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面區(qū)域的面積為()A．4B．1C[解析]不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面區(qū)域如下圖(陰影局部)，△ABC的面積即所求．求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，那么△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)×(2－1)×2＝1.[答案]B[方法技巧]解決求平面區(qū)域面積問題的方法步驟(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域；(2)判斷平面區(qū)域的形狀，并求得直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、圖形的邊長、相關(guān)線段的長(三角形的高、四邊形的高)等，假設(shè)為規(guī)那么圖形那么利用圖形的面積公式求解；假設(shè)為不規(guī)那么圖形那么利用割補(bǔ)法求解．[提醒]求面積時(shí)應(yīng)考慮圓、平行四邊形等圖形的對稱性．根據(jù)平面區(qū)域滿足的條件求參數(shù)不等式組中的參數(shù)影響平面區(qū)域的形狀，如果不等式組中的不等式含有參數(shù)，這時(shí)它表示的區(qū)域的分界線是一條變動的直線，此時(shí)要根據(jù)參數(shù)的取值范圍確定這條直線的變化趨勢、傾斜角度、上升還是下降、是否過定點(diǎn)等，確定區(qū)域的可能形狀，進(jìn)而根據(jù)題目要求求解；如果是一條曲線與平面區(qū)域具有一定的位置關(guān)系，可以考慮對應(yīng)的函數(shù)的變化趨勢，確定極限情況求解；如果目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，那么要根據(jù)這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)考察參數(shù)變化時(shí)目標(biāo)函數(shù)與平面區(qū)域的關(guān)系，在運(yùn)動變化中求解．[例2]假設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，那么a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．(0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))) D．(0,1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))[解析]不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面區(qū)域如下圖(陰影局部)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,2x＋y＝2，))得Aeq\f(2,3)，eq\f(2,3)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,2x＋y＝2，))得B(1,0)．假設(shè)原不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，那么直線x＋y＝a中a的取值范圍是0<a≤1或a≥eq\f(4,3).[答案]D[易錯提醒]此類問題的難點(diǎn)在于參數(shù)取值范圍的不同導(dǎo)致平面區(qū)域或者曲線位置的改變，解答的思路可能會有變化，所以求解時(shí)要根據(jù)題意進(jìn)行必要的分類討論及對特殊點(diǎn)、特殊值的考慮．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得〞與“失〞1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])設(shè)動點(diǎn)P(x，y)在區(qū)域Ω：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥x，,x＋y≤4))上，過點(diǎn)P任作直線l，設(shè)直線l與區(qū)域Ω的公共局部為線段AB，那么以AB為直徑的圓的面積的最大值為()A．πB．2πC．3π D．4π解析：選D作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影局部所示，那么根據(jù)圖形可知，AB長度的最大值為4，那么以AB為直徑的圓的面積為最大值S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2＝4π.2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])假設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于eq\f(4,3)，那么m的值為()A．－3B．1C.eq\f(4,3) D．3解析：選B作出可行域，如圖中陰影局部所示，易求A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(1－m,1＋m)，Ceq\f(2－4m,3)，eq\f(2＋2m,3)，D(－2m,0)．S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝eq\f(1,2)|AD|·|yB－yC|＝eq\f(1,2)(2＋2m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋m－\f(2＋2m,3)))＝(1＋m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(m－2,3)))＝eq\f(4,3)，解得m＝1或m＝－3(舍去)．3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x＋2y－4≤0，,x＋3y－2≥0))表示的平面區(qū)域的面積為________．解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影局部所示，可知S△ABC＝eq\f(1,2)×2×(2＋2)＝4.答案：44.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])假設(shè)滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥a))的整點(diǎn)(x，y)恰有9個(gè)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，那么整數(shù)a的值為________．解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影局部，當(dāng)a＝0時(shí)，只有4個(gè)整點(diǎn)(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；當(dāng)a＝－1時(shí)，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5個(gè)整點(diǎn)，此時(shí)，整點(diǎn)的個(gè)數(shù)共9個(gè)，故整數(shù)a＝－1.答案：－1突破點(diǎn)(二)簡單的線性規(guī)劃問題根底聯(lián)通抓主干知識的“源〞與“流〞1．線性規(guī)劃中的根本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次函數(shù)解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題2.簡單線性規(guī)劃問題的圖解法在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟概括為“畫、移、求、答〞．即考點(diǎn)貫穿抓高考命題的“形〞與“神〞線性目標(biāo)函數(shù)的最值[例1](2022·天津高考)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋3y－6≥0，,3x＋2y－9≤0，))那么目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋5y的最小值為()A．－4B．6C[解析]由約束條件作出可行域如下圖，目標(biāo)函數(shù)可化為y＝－eq\f(2,5)x＋eq\f(1,5)z，在圖中畫出直線y＝－eq\f(2,5)x，平移該直線，易知經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)z最?。种c(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.應(yīng)選B.[答案]B[方法技巧]求解線性目標(biāo)函數(shù)最值的常用方法線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，假設(shè)可行域是一個(gè)封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；假設(shè)可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值．非線性目標(biāo)函數(shù)的最值[例2](2022·山東高考)假設(shè)變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))那么x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10[解析]作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影局部所示．x2＋y2表示平面區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－3y＝9))得A(3，－1)，由圖易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.應(yīng)選C.[答案]C[方法技巧]非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的常見類型及求法(1)距離平方型：目標(biāo)函數(shù)為z＝(x－a)2＋(y－b)2時(shí)，可轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)之間的距離的平方求解．(2)斜率型：對形如z＝eq\f(ay＋b,cx＋d)(ac≠0)型的目標(biāo)函數(shù)，可利用斜率的幾何意義來求最值，即先變形為z＝eq\f(a,c)·eq\f(y－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a))),x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c))))的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c)，－\f(b,a)))連線的斜率的eq\f(a,c)倍的取值范圍、最值等．(3)點(diǎn)到直線距離型：對形如z＝|Ax＋By＋C|型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為z＝eq\r(A2＋B2)·eq\f(|Ax＋By＋C|,\r(A2＋B2))的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到直線Ax＋By＋C＝0的距離的eq\r(A2＋B2)倍的最值．線性規(guī)劃中的參數(shù)問題[例3]x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0.))假設(shè)z＝ax＋y的最大值為4，那么a＝()A．3B．2C．－2[解析]畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影局部所示，假設(shè)z＝ax＋y的最大值為4，那么最優(yōu)解為x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，經(jīng)檢驗(yàn)知x＝2，y＝0符合題意，∴2a＋0＝4，此時(shí)a＝2.[答案]B[方法技巧]求解線性規(guī)劃中含參問題的兩種根本方法(1)把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或范圍；(2)先別離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得〞與“失〞1.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0，))那么z＝2x－y的最大值為()A．10B．8C．3解析：選B作出可行域如圖中陰影局部所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直線y＝2x，平移使之經(jīng)過可行域，觀察可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)時(shí)，對應(yīng)的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.2.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1，))那么k＝eq\f(y,x＋1)的最大值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,4)解析：選C如圖，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤1))表示的平面區(qū)域?yàn)椤鰽OB的邊界及其內(nèi)部區(qū)域，k＝eq\f(y,x＋1)＝eq\f(y－0,x－－1)表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)和點(diǎn)(－1,0)連線的斜率．由圖知，平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(－1,0)連線的斜率最大，所以kmax＝eq\f(1－0,0－－1)＝1.3.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)一])(2022·銀川模擬)設(shè)z＝x＋y，其中實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,0≤y≤k，))假設(shè)z的最大值為6，那么z的最小值為()A．－3 B．－2C．－1 D．0解析：選A作出實(shí)數(shù)x，y滿足的平面區(qū)域，如圖中陰影局部所示，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y經(jīng)過點(diǎn)C(k，k)時(shí)，取得最大值，且zmax＝k＋k＝6，得k＝3.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y經(jīng)過點(diǎn)B(－6,3)時(shí)，取得最小值，且zmin＝－6＋3＝－3，應(yīng)選A.4.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)三])x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))假設(shè)z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，那么實(shí)數(shù)a的值為()A.eq\f(1,2)或－1 B．2或eq\f(1,2)C．2或1 D．2或－1解析：選D由題中條件畫出可行域如圖中陰影局部所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，那么zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解不唯一，只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或5.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)二])設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))那么z＝(x＋1)2＋y2的最大值為________．解析：作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面區(qū)域，如圖中陰影局部所示．(x＋1)2＋y2可看作點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)P(－1，0)的距離的平方，由圖可知可行域內(nèi)的點(diǎn)A到點(diǎn)P(－1，0)的距離最大．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,x－y＋5＝0，))得A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.答案：80突破點(diǎn)(三)線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用根底聯(lián)通抓主干知識的“源〞與“流〞解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟考點(diǎn)貫穿抓高考命題的“形〞與“神〞線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用[典例]某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，那么該企業(yè)每天可獲得最大利潤為()甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128A．12萬元 B．16萬元C．17萬元 D．18萬元[解析]設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，y≥0，))z＝3x＋4y，作出可行域如圖陰影局部所示，由圖形可知，當(dāng)直線z＝3x＋4y經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí)，z取最大值，最大值為3×2＋4×3＝18.[答案]D[易錯提醒]求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號．(2)注意結(jié)合實(shí)際問題的實(shí)際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否為整數(shù)、是否為非負(fù)數(shù)等．(3)正確地寫出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式．能力練通抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得〞與“失〞1．某校今年方案招聘女教師a名，男教師b名，假設(shè)a，b滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b≥5，,a－b≤2，,a＜7，))設(shè)這所學(xué)校今年方案招聘教師最多x名，那么x＝()A．10B．12C．13 解析：選C如下圖，畫出約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，作直線b＋a＝0，并平移，結(jié)合a，b∈N，可知當(dāng)a＝6，b＝7時(shí)，a＋b取最大值，故x＝6＋7＝13.2．A，B兩種規(guī)格的產(chǎn)品需要在甲、乙兩臺機(jī)器上各自加工一道工序才能成為成品．A產(chǎn)品需要在甲機(jī)器上加工3小時(shí)，在乙機(jī)器上加工1小時(shí)；B產(chǎn)品需要在甲機(jī)器上加工1小時(shí)，在乙機(jī)器上加工3小時(shí)．在一個(gè)工作日內(nèi)，甲機(jī)器至多只能使用11小時(shí)，乙機(jī)器至多只能使用9小時(shí)．A產(chǎn)品每件利潤300元，B產(chǎn)品每件利潤400元，那么這兩臺機(jī)器在一個(gè)工作日內(nèi)創(chuàng)造的最大利潤是________元．解析：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，那么x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤11，,x＋3y≤9，,x∈N，y∈N，))生產(chǎn)利潤為z＝300x＋400y.畫出可行域，如圖中陰影局部(包含邊界)內(nèi)的整點(diǎn)，顯然z＝300x＋400y在點(diǎn)M或其附近的整數(shù)點(diǎn)處取得最大值，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝11，,x＋3y＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，))那么zmax＝300×3＋400×2＝1700.故最大利潤是1700元．答案：1700[全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律]1．(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－2y≤4))的解集記為D.有下面四個(gè)命題：p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命題是()A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3解析：選C畫出可行域如圖中陰影局部所示，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝x＋2y經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)A(2，－1)時(shí)，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命題，選C.2．(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)a＞0，x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3.))假設(shè)z＝2x＋y的最小值為1，那么a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．2解析：選B由約束條件，作出可行域如圖中△ABC內(nèi)部及邊界局部所示，由目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的幾何意義為直線l：y＝－2x＋z在y軸上的截距，知當(dāng)直線l過可行域內(nèi)的點(diǎn)B(1，－2a)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y的最小值為1，那么2－2a＝1，a＝eq\f(1,2)，應(yīng)選B.3．(2022·全國丙卷)假設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))那么z＝x＋y的最大值為________．解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影局部所示．平移直線x＋y＝0，當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,x＋2y－2＝0))得A1，eq\f(1,2)，zmax＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)4．(2022·全國乙卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，那么在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元．解析：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，由可得約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x≥0，x∈N*，,y≥0，y∈N*.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤300，,10x＋3y≤900，,5x＋3y≤600，,x≥0，x∈N*，,y≥0，y∈N*.))目標(biāo)函數(shù)為z＝2100x＋900y，由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中陰影局部所示．作直線2100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0并上下平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，z取得最大值，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋3y＝900，,5x＋3y＝600，))解得B(60,100)．那么zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．答案：2160005．(2022·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)假設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))那么eq\f(y,x)的最大值為________．解析：畫出可行域如圖陰影所示，∵eq\f(y,x)表示過點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率，∴點(diǎn)(x，y)在點(diǎn)A處時(shí)eq\f(y,x)最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))∴A(1,3)．∴eq\f(y,x)的最大值為3.答案：36．(2022·新課標(biāo)全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥－1，,x＋y≤3，,x≥0，,y≥0，))那么z＝x－2y的取值范圍為________．解析：依題意，畫出可行域，如下圖，可行域?yàn)锳BOC，顯然，當(dāng)直線y＝eq\f(1,2)x－eq\f(z,2)過點(diǎn)A(1,2)時(shí)，z取得最小值為－3；當(dāng)直線過點(diǎn)B(3,0)時(shí)，z取得最大值為3，綜上可知z的取值范圍為[－3,3]．答案：[－3,3][課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測]重點(diǎn)保分課時(shí)——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考[練根底小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力]1．下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，位于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1<0，,x－y＋1>0))表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是()A．(0,2) B．(－2,0)C．(0，－2) D．(2,0)解析：選C將四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1<0，,x－y＋1>0))驗(yàn)證可知，滿足條件的只有(0，－2)．2．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區(qū)域的面積等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：選C平面區(qū)域如圖中陰影局部所示．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4))得A(1,1)，易得B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，|BC|＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×1＝eq\f(4,3).3．假設(shè)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤1，,x≥0，))那么z＝x＋2y的最大值為()A．0B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：選D作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖．作直線x＋2y＝0并上下平移，易知當(dāng)直線過點(diǎn)A(0,1)時(shí)，z＝x＋2y取最大值，即zmax＝0＋2×1＝2.4．假設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,y＋2≥0，,x＋y＋2≥0，))那么(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值為()A．1 B.eq\f(9,2)C．5 D．9解析：選B不等式組表示的可行域如圖陰影局部所示，由題意可知點(diǎn)P(－2，－3)到直線x＋y＋2＝0的距離為eq\f(|－2－3＋2|,\r(2))＝eq\f(3,\r(2))，所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(2))))2＝eq\f(9,2)，應(yīng)選B.5．設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,x－3y＋4≤0，))那么目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的最大值為________．解析：根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影局部所示，∵z＝3x－y，∴y＝3x－z，當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)時(shí)，z取得最大值，即zmax＝3×2－2＝4.答案：4[練?？碱}點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力]一、選擇題1．假設(shè)x，y滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－y＋3≥0，,y≥－1，))那么z＝3x＋y的最大值為()A．11B．－11C．13 解析：選A將z＝3x＋y化為y＝－3x＋z，作出可行域如圖陰影局部所示，易知當(dāng)直線y＝－3x＋z經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，z取得最大值．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,y＝－1，))得D(4，－1)，此時(shí)zmax＝4×3－1＝11，應(yīng)選A.2．(2022·河南八市高三質(zhì)檢)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x＋y≤4，,－2x＋y＋c≥0，))目標(biāo)函數(shù)z＝6x＋2y的最小值是10，那么z的最大值是()A．20B．22C解析：選A由z＝6x＋2y，得y＝－3x＋eq\f(z,2)，作出不等式組所表示可行域的大致圖形如圖中陰影局部所示，由圖可知當(dāng)直線y＝－3x＋eq\f(z,2)經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線的縱截距最小，即z＝6x＋2y取得最小值10，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋2y＝10，,x＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))即C(2，－1)，將其代入直線方程－2x＋y＋c＝0，得c＝5，即直線方程為－2x＋y＋5＝0，平移直線3x＋y＝0，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，直線的縱截距最大，此時(shí)z取最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＋5＝0，,x＋y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))即D(3,1)，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z＝6x＋2y，得zmax＝6×3＋2＝20，應(yīng)選A.3．假設(shè)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0，))且z＝y(tǒng)－x的最小值為－4，那么k的值為()A．2B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：選D作出線性約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0))的可行域．當(dāng)k≥0時(shí)，如圖(1)所示，此時(shí)可行域?yàn)閤軸上方、直線x＋y－2＝0的右上方、直線kx－y＋2＝0的右下方的區(qū)域，顯然此時(shí)z＝y(tǒng)－x無最小值．當(dāng)k<－1時(shí)，z＝y(tǒng)－x取得最小值2；當(dāng)k＝－1時(shí)，z＝y(tǒng)－x取得最小值－2，均不符合題意．當(dāng)－1<k<0時(shí)，如圖(2)所示，此時(shí)可行域?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，0))，C(0,2)所圍成的三角形區(qū)域，當(dāng)直線z＝y(tǒng)－x經(jīng)過點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，0))時(shí)，有最小值，即－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)))＝－4，即k＝－eq\f(1,2).應(yīng)選D.4．(2022·安徽江南十校聯(lián)考)假設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥\f(1,2)x2，))那么z＝y(tǒng)－x的取值范圍為()A．[－2,2] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C．[－1,2] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))解析：選B作出可行域如下圖，設(shè)直線l：y＝