二次函數(shù)壓軸之角度問(wèn)題

二次函數(shù)壓軸之角度問(wèn)題1．如圖，拋物線y＝(x﹣h)2+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A(﹣1，0)，對(duì)稱軸為直線x＝2．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）直線l過(guò)點(diǎn)A且在第一象限與拋物線交于點(diǎn)C．當(dāng)∠CAB＝45°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）若拋物線與y軸的交點(diǎn)為D，Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ADQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（4）Q為x軸上方拋物線上一點(diǎn)．當(dāng)∠APB＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；2．如圖拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A(1，0)、B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)，拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直線CM的解析式．3.如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)N坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)M在拋物線上，且∠NBM＝45°，直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo)；如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(-3,0),B(4,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，連接AC、BC.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠QBA=75°？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．如圖1所示，直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A（﹣4，0），B（2，0），在y軸上有點(diǎn)E(0，﹣3)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）點(diǎn)D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE和DE．①當(dāng)tan∠AED＝，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；②如圖，若點(diǎn)P是直線CA上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP和PE，當(dāng)∠OPE最大時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．6．如圖①，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）、點(diǎn)C（x2，0），且x1，x2滿足x1+x2＝2，x1?x2＝﹣3，與y軸交于點(diǎn)B，E（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)P．（1）求拋物線解析式．（2）如圖，直線EP交直線AB于點(diǎn)D，連接PB．點(diǎn)E在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，若∠PBD+∠CBO＝45°，請(qǐng)求出m的值．7．如圖，已知直線y＝2x+n與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是A（1，﹣4），點(diǎn)B在x軸上．（1）求拋物線的解析式：（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠BAQ＝45°，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．8.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+nx+4過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)N，與x軸正半軸交于點(diǎn)B．直線l過(guò)定點(diǎn)A．（1）求拋物線解析式；（2）連接AN，BN，直線l交拋物線于另一點(diǎn)M，當(dāng)∠MAN＝∠BNO時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；9．如圖，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、C，且與x軸另一交點(diǎn)為A，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E在拋物線上，連接EC，當(dāng)∠ECB+∠ACO＝45°時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；10.平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-x2+(1+m)x-m(m為常數(shù))與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)若m=4,求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);(2)在(1)的條件下，D為拋物線x軸上方一點(diǎn)，連接BD，若∠DBA+∠ACB=90°，求點(diǎn)D的坐標(biāo);參考答案1.解：(1)由拋物線y=(x-2)2-9(2)易知A(-1，0)，B(5，0),C(0，-5）AC：y=x+1，與拋物線聯(lián)立得(x-2)2-9=x+1x1=6,x2=-1(舍)，故C(6,7)∠ADQ=45°,∠ODB=45°,故∠ADO=∠HDB，過(guò)點(diǎn)H作DG⊥BD于點(diǎn)G,tan∠ADO=，故tan∠HDG=，設(shè)GH=x,則DG=5x，BG=x，故6x=5,x=,BH=，故OH=，DQ解析式為y=x-5,y=(x-2)2-9聯(lián)立得(x-2)2-9=x-5，x1=,x2=0(舍去)故Q(，)以AB為斜邊作等腰直角三角形AMB，以M為圓心，MA為半徑作圓，與拋物線的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)易知：M(2，3)，半徑MA=3,MP=MA，設(shè)P(m，m2-4m-5),(m-2)2+(m2-4m-5-3)2=18即有(m-2)2+[(m-2)2-12]2=18得(m-2)2-23(m-2)+126=0,m1=2+√(14)，m2=2-，m3=-1，m4=5故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2+，5)，(2-,5)解：(1)y=-(x-1)(x-4)(2)①.CM在∠BCO之間時(shí)，CM與x軸相交于點(diǎn)D，作DF?BC，設(shè)OD=m，則DF=m，DB=4-m，BF=2，由勾股定理得m2+22=(4-m)2，m=，D(,0)，直線CM的解析式為：y=2x-3②CM在∠BCO外部時(shí)，CM與x軸交于點(diǎn)E，作EG?BC于點(diǎn)G，設(shè)EG=3t，則BG=4t，而∠BCM=∠BCO=∠OCD，而tan∠OCD=，故tan∠BCM=，即，BE=，E(，0)，直線CM的解析式為y=3.解：方法一：①作∠NBM=45°，并作NG⊥NB交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)N作EF||x軸，過(guò)點(diǎn)B、G作BF⊥EF，GE⊥EF，易知△ENG△FBN，故EN=BF=2，EG=NF=4，故G(-2，-2)，而B(4，0)，故直線BG解析式為y=x-，與拋物線y=x2-5x+4聯(lián)立得x1=4，x2=故M(，-)②作∠NBM=45°，連接作NP⊥BN交BM于點(diǎn)P，作PQ⊥y軸，易知△PQN△NAB，故PQ=AN=2，NQ=AB=4，故P(2，6)直線BM的解析式：y=-3x+12與拋物線y=x2-5x+4聯(lián)立得x1=4，x2=-2故M(-2，18)方法二：①由已知可得tan∠NBO=，∠NBE=45°，故tan∠OBE=，故OE=，故直線BE的解析式為y=x-，后與前面過(guò)程一樣.②∠BFN+∠OBN=45°，tan∠NBO=，故tan∠BFN=，故OF=12，BF的解析式為y=-3x+12后面與前面的方法相同.4.解：(1)y=-x2+x+12如圖，Q在第一象限時(shí)，在QH上取一點(diǎn)E使EQ=EB，QBA=75，故∠BQE=∠QBE=15，故∠BEH=30°，BH=，BE=EQ=7，EH=，故Q(，)；由對(duì)稱性可知Q在第二象限時(shí)，Q(，)，所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)和(，)解：(1)y=-(2)①當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AP?DE，過(guò)點(diǎn)P作GH||x軸，作AG?GH，易知PAG~EPH,設(shè)P(m,n)則PH=-m，EH=n+3,得GP=EH=n+3，AG=PH=m，故，得n=，m=，直線DE的解析式為y=-，聯(lián)立拋物線y=-得x1=-2，x2=6(舍)，故D(-2，6)②作過(guò)OE的圓與AC相切于點(diǎn)P，易知∠OPE==∠OMN，sin∠OPE=sin∠OMN=,當(dāng)r取最小值時(shí)，∠OPE最大，由HPM~AOC知HM=，MN=5-，在△OMN中易得(5-)2+()2=r2得r=，PH=，P解：(1)由已知可得x1=3,x2=-1,b=-2，c=3,故拋物線的解析式為y=-x2-2x+3方法1：易知∠OBA=45°，故∠CBP=90°，過(guò)點(diǎn)B作MN||x軸交DE于點(diǎn)N，作CM?MN于點(diǎn)M，易知△BCM~△PBN，P(m,-m2-2m+3)得PN=3-(-m2-2m+3)=m2+2m,BN=m，故有，m=方法2：易知∠PBC=90°，直線BC的解析式為y=3x+3，故BP的解析式為y=-x+3，與拋物線y=-x2-2x+3聯(lián)立得x=，故m=(1)y=x2-2x-3(2)1.點(diǎn)Q在AB左側(cè)時(shí)，AQ與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作MN||y軸，作PM?MN，AN?MN，易知△PME△ENA，PM=EN=4，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則AN=1-m=ME，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4+m，縱坐標(biāo)為1-m，代入拋物線解析式得(4+m)2-2(4+m)-3=1-m得m=-，得直線AQ的解析式為y=-3x-1,與拋物線聯(lián)立可得x1=1,x2=-2；同理可得直線AF的解析式為y=x-，與拋物線聯(lián)立可得x3=1,x4=；所以Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2或(1)拋物線的解析式為y=-x2-3x+4(2)1.tan∠BNO=，故tan∠MAN=，AM1與y軸交于點(diǎn)E，作EGAN于點(diǎn)G，設(shè)EG=m,則AG=4m，而OA=ON，故GN=m，故5m=4,m=,EN=,故E(0,)，直線AE的解析式為y=,與拋物線y=-x2-3x+4聯(lián)立得x1=，x2=-4(舍)，故M(，)2.AM在上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FHAN于點(diǎn)H，設(shè)FH=n,則NH=n,AH=4n，故3n=4，n=FN=,直角AM的解析式為y=x+，聯(lián)立得x3=-,x4=-4(舍),故M(-，)(1)拋物線的解析式為y=易知A(,0)，B(3，0)，C(0，-3),①當(dāng)E在上方時(shí)，注意到∠OCB=45°，故CE與x軸的交點(diǎn)D與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即有D(,0)此時(shí)CE解析式為y=與拋物線聯(lián)立可得x1=,x2=0(舍)，故E1點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，E1(，2)；②當(dāng)E在x軸下方時(shí)，此