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文檔簡介
本文格式為Word版,下載可任意編輯——初等數(shù)論的教學實踐與思考數(shù)論教學實踐斟酌
近年來,初等數(shù)論在計算機科學、組合數(shù)學、密碼學、代數(shù)編碼、計算方法等領域得到了廣泛的應用,同時近代數(shù)學中大量重要的思想、概念、方法與技巧都是從對整數(shù)性質(zhì)的深入研究中不斷豐富和進展起來的。因此,學習這門課程對學生來說分外重要,與其它數(shù)學專業(yè)課程對比來看,初等數(shù)論貌似很簡樸,但根據(jù)其涉及的題目卻形式多樣,解題時需要確定的技巧,所以真正教好、學好它并不輕易。如何調(diào)動學生學習的積極性,在教學過程中如何啟發(fā)引導學生,提高初等數(shù)論的教學效果,對學生進一步的學習和畢業(yè)以后的教學研究和實踐有重要的意義。
一、挖掘教材中的隱性學識,拓寬學生學識面
教材中的學識可以分成兩類:一類是表述相對明顯,能被學生直接解讀、理解的學識;另一類是沒有直接表述出來的學識,需要經(jīng)過教師的點撥、講解才能彰顯出來,才能被學生理解,即我們通稱的隱性學識。在提防學識應用才能培養(yǎng)的今天,教師很有必要在教學實踐中對教材中的隱性學識舉行充分的挖掘。
《初等數(shù)論》的內(nèi)容簡明、語言精練,由此造成了不少的隱性學識。如在書本31頁有這樣一道習題:證明:二元一次不定方程ax+by=N,(a,b)=1,a>1,b>1,當N>ab-a-b時,有非負整數(shù)解。N=ab-a-b時那么不然。假設教師在教學中稍加引導,那么不難得到如下兩個結論:①不能表示成形如ax+by{(a,b)=1,a>1,b>1}的最大正整數(shù)為N=ab-a-b;②使ax+by=N無非負整數(shù)解的最大正整數(shù)N=ab-a-b。
教材中這樣的隱性學識好多,教師如能充分挖掘,便可拓寬學生的學識面,而且能增加學生對初等數(shù)論的學習興趣。
二、提防學識點間的聯(lián)系,橫向輻射
任何學識點都不是孤立存在的,都與周邊其他學識點處于相互聯(lián)系中。同時,構成某個學識點的各個要點也不是散亂的一團,而是相互依存、有機聯(lián)系在一起的。老師在教學時確定要留神到學識點與學識點之間的聯(lián)系,以點帶動面,以面帶動板塊,以板塊舉行輻射,萬不成把學識點舉行人為的孤立,無論對于學生的思維連貫性與廣度,都是分外不利的。
例如,《初等數(shù)論》第三章的第四節(jié)的后面片面介紹了一個既約分數(shù){0<a<b,(a,b)=1}能夠化為純循環(huán)小數(shù)的充要條件以及化為混循環(huán)小數(shù)的充分條件。但是,書本報告我們的學識遠遠不止這些。
對于循環(huán)小數(shù),小學數(shù)學中就有介紹,站在初等數(shù)論中的理論高度來說,小學的內(nèi)容是缺乏確定的嚴謹性的,當然也有確定的局限性。談到既約分數(shù)與小數(shù)的互化,我們自然會斟酌下面的兩個問題:任意給定一個分數(shù),它可以化成怎樣的小數(shù)?任意給定一個小數(shù),它是否確定可以化成分數(shù)?第一個問題涉及到小數(shù)的分類,其次個問題涉及到能夠表示成分數(shù)的小數(shù)的特征。不難回復,我們可以把小數(shù)分成有限小數(shù)與無限小數(shù),無限小數(shù)又可以分為循環(huán)小數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù),而無限不循環(huán)小數(shù)是不能表示成分數(shù)的,也就是我們所說的無理數(shù)。
在講授這片面內(nèi)容時,我們可以嘗試補充一下內(nèi)容,相信這樣的教學會比之前更精彩,內(nèi)容也更豐富,也更具吸引力。
三、把握學識的整體布局,縱向延遲
同一主題的學識點由于課程安置的需要,被放在不同的章節(jié)中。隨著學習的深入,有關這一主題的內(nèi)容不斷展現(xiàn),雖然內(nèi)容有所不同,但其前后相繼的聯(lián)系分外緊密。假設細心分析,就會察覺它們是貫穿教材前后的一條線索。
教師在教學中假設能夠把相關內(nèi)容串聯(lián)起來,給學生一個明顯的脈絡,同時激勵學生主動去探索各個學識點之間的聯(lián)系,那么這將有助于學生從更高層次上把握教材的體系,構建相應的學識網(wǎng)絡,使各學識點系統(tǒng)化、專題化。
同余是數(shù)論中的重要概念,同余理論是研究整數(shù)問題的重要工作之一。同余式性質(zhì)應用分外廣泛,在處理某些整除性、進位制、對整數(shù)分類、解不定方程等方面的問題中有著不成替代的功能,與之緊密相關的的數(shù)論定理有歐拉定理、費馬定理和中國剩余定理。
例如,在第四章§1根本概念及一次同余式中,教材給我們介紹了求解一次同余式的一般方法:將求解ax=b(modm)轉(zhuǎn)化為:求解二元一次不定方程ax-mt=b。在求解不定方程時,我們需要用到輾轉(zhuǎn)相除法,但是在不定方程的測驗中,察覺學生用輾轉(zhuǎn)相除法時很輕易用過頭:往往“不提防”計算到了余數(shù)為0的結果一個商,這樣算出來的結果自然就不對了。所以在教學過程中,我們可以引導學生聯(lián)系各學識點,積極探索求解一次同余式更為簡樸、易于操作的方法。
四、聯(lián)系生活,提防學識應用
數(shù)學是一種工具,是一種將自然、社會運動現(xiàn)象法那么化、簡約化的工具。數(shù)學學習的最重要成果就是學會建立數(shù)學模型,用以解決實際問題。數(shù)學教學的任務就是教人掌管這一工具并學會利用這一工具,對于初等數(shù)論教學當然也不例外。
通過了解初等數(shù)論學識在實際中的廣泛運用,可以培養(yǎng)學生濃重的學習興趣,自然學生參與學習的積極性提高,教學也能收到良好的效果。
例如,將一根30米長的鋼材,截割成規(guī)格分別為2米,3米和8米的較短的料,每種規(guī)格的料至少有1根,問怎樣截才能使原來的鋼材恰好用完?
解:設2米,3米,8米的料分別截x,y,z根,根據(jù)題意有:2x+3y+8z=30由于每種規(guī)格的料至少1根,所以應求方程的正整數(shù)解。
與解二元一次不定方程一樣,求三元一次不定方程的正整數(shù)解,可以先求它的通解,通過解一個二元一次不等式組,得到通解中兩個參數(shù)的取值范圍,從而找出原不定方程相應的正整數(shù)解,但解二元一次不等式組對比麻煩,這里運用逐次嘗試法,先確定其中一個未知數(shù)的取值范圍,然后對所取正整數(shù)值逐一試驗求解。
在教學過程中,應充分利用教材和習題,從教學內(nèi)容特點、教學對象的特點、教學資源等方面不斷探索、研究和改善,才能加強
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