初等數(shù)論的教學實踐與思考

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近年來，初等數(shù)論在計算機科學、組合數(shù)學、密碼學、代數(shù)編碼、計算方法等領域得到了廣泛的應用，同時近代數(shù)學中大量重要的思想、概念、方法與技巧都是從對整數(shù)性質(zhì)的深入研究中不斷豐富和進展起來的。因此，學習這門課程對學生來說分外重要，與其它數(shù)學專業(yè)課程對比來看，初等數(shù)論貌似很簡樸，但根據(jù)其涉及的題目卻形式多樣，解題時需要確定的技巧，所以真正教好、學好它并不輕易。如何調(diào)動學生學習的積極性，在教學過程中如何啟發(fā)引導學生，提高初等數(shù)論的教學效果，對學生進一步的學習和畢業(yè)以后的教學研究和實踐有重要的意義。

一、挖掘教材中的隱性學識，拓寬學生學識面

教材中的學識可以分成兩類：一類是表述相對明顯，能被學生直接解讀、理解的學識；另一類是沒有直接表述出來的學識，需要經(jīng)過教師的點撥、講解才能彰顯出來，才能被學生理解，即我們通稱的隱性學識。在提防學識應用才能培養(yǎng)的今天，教師很有必要在教學實踐中對教材中的隱性學識舉行充分的挖掘。

《初等數(shù)論》的內(nèi)容簡明、語言精練，由此造成了不少的隱性學識。如在書本31頁有這樣一道習題：證明：二元一次不定方程ax+by=N，（a，b）=1，a＞1，b＞1，當N＞ab-a-b時，有非負整數(shù)解。N=ab-a-b時那么不然。假設教師在教學中稍加引導，那么不難得到如下兩個結(jié)論：①不能表示成形如ax+by{（a，b）=1，a＞1，b＞1}的最大正整數(shù)為N=ab-a-b；②使ax+by=N無非負整數(shù)解的最大正整數(shù)N=ab-a-b。

教材中這樣的隱性學識好多，教師如能充分挖掘，便可拓寬學生的學識面，而且能增加學生對初等數(shù)論的學習興趣。

二、提防學識點間的聯(lián)系，橫向輻射

任何學識點都不是孤立存在的，都與周邊其他學識點處于相互聯(lián)系中。同時，構(gòu)成某個學識點的各個要點也不是散亂的一團，而是相互依存、有機聯(lián)系在一起的。老師在教學時確定要留神到學識點與學識點之間的聯(lián)系，以點帶動面，以面帶動板塊，以板塊舉行輻射，萬不成把學識點舉行人為的孤立，無論對于學生的思維連貫性與廣度，都是分外不利的。

例如，《初等數(shù)論》第三章的第四節(jié)的后面片面介紹了一個既約分數(shù){0＜a＜b，（a，b）=1}能夠化為純循環(huán)小數(shù)的充要條件以及化為混循環(huán)小數(shù)的充分條件。但是，書本報告我們的學識遠遠不止這些。

對于循環(huán)小數(shù)，小學數(shù)學中就有介紹，站在初等數(shù)論中的理論高度來說，小學的內(nèi)容是缺乏確定的嚴謹性的，當然也有確定的局限性。談到既約分數(shù)與小數(shù)的互化，我們自然會斟酌下面的兩個問題：任意給定一個分數(shù)，它可以化成怎樣的小數(shù)？任意給定一個小數(shù)，它是否確定可以化成分數(shù)？第一個問題涉及到小數(shù)的分類，其次個問題涉及到能夠表示成分數(shù)的小數(shù)的特征。不難回復，我們可以把小數(shù)分成有限小數(shù)與無限小數(shù)，無限小數(shù)又可以分為循環(huán)小數(shù)與無限不循環(huán)小數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是不能表示成分數(shù)的，也就是我們所說的無理數(shù)。

在講授這片面內(nèi)容時，我們可以嘗試補充一下內(nèi)容，相信這樣的教學會比之前更精彩，內(nèi)容也更豐富，也更具吸引力。

三、把握學識的整體布局，縱向延遲

同一主題的學識點由于課程安置的需要，被放在不同的章節(jié)中。隨著學習的深入，有關這一主題的內(nèi)容不斷展現(xiàn)，雖然內(nèi)容有所不同，但其前后相繼的聯(lián)系分外緊密。假設細心分析，就會察覺它們是貫穿教材前后的一條線索。

教師在教學中假設能夠把相關內(nèi)容串聯(lián)起來，給學生一個明顯的脈絡，同時激勵學生主動去探索各個學識點之間的聯(lián)系，那么這將有助于學生從更高層次上把握教材的體系，構(gòu)建相應的學識網(wǎng)絡，使各學識點系統(tǒng)化、專題化。

同余是數(shù)論中的重要概念，同余理論是研究整數(shù)問題的重要工作之一。同余式性質(zhì)應用分外廣泛，在處理某些整除性、進位制、對整數(shù)分類、解不定方程等方面的問題中有著不成替代的功能，與之緊密相關的的數(shù)論定理有歐拉定理、費馬定理和中國剩余定理。

例如，在第四章§1根本概念及一次同余式中，教材給我們介紹了求解一次同余式的一般方法：將求解ax=b（modm）轉(zhuǎn)化為：求解二元一次不定方程ax-mt=b。在求解不定方程時，我們需要用到輾轉(zhuǎn)相除法，但是在不定方程的測驗中，察覺學生用輾轉(zhuǎn)相除法時很輕易用過頭：往往“不提防”計算到了余數(shù)為0的結(jié)果一個商，這樣算出來的結(jié)果自然就不對了。所以在教學過程中，我們可以引導學生聯(lián)系各學識點，積極探索求解一次同余式更為簡樸、易于操作的方法。

四、聯(lián)系生活，提防學識應用

數(shù)學是一種工具，是一種將自然、社會運動現(xiàn)象法那么化、簡約化的工具。數(shù)學學習的最重要成果就是學會建立數(shù)學模型，用以解決實際問題。數(shù)學教學的任務就是教人掌管這一工具并學會利用這一工具，對于初等數(shù)論教學當然也不例外。

通過了解初等數(shù)論學識在實際中的廣泛運用，可以培養(yǎng)學生濃重的學習興趣，自然學生參與學習的積極性提高，教學也能收到良好的效果。

例如，將一根30米長的鋼材，截割成規(guī)格分別為2米，3米和8米的較短的料，每種規(guī)格的料至少有1根，問怎樣截才能使原來的鋼材恰好用完？

解：設2米，3米，8米的料分別截x，y，z根，根據(jù)題意有：2x+3y+8z=30由于每種規(guī)格的料至少1根，所以應求方程的正整數(shù)解。

與解二元一次不定方程一樣，求三元一次不定方程的正整數(shù)解，可以先求它的通解，通過解一個二元一次不等式組，得到通解中兩個參數(shù)的取值范圍，從而找出原不定方程相應的正整數(shù)解，但解二元一次不等式組對比麻煩，這里運用逐次嘗試法，先確定其中一個未知數(shù)的取值范圍，然后對所取正整數(shù)值逐一試驗求解。

在教學過程中，應充分利用教材和習題，從教學內(nèi)容特點、教學對象的特點、教學資源等方面不斷探索、研究和改善，才能加強