冀教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)第十一章 因式分解

第章因解在經(jīng)歷建立因式分解概的過(guò)程中,了解分解因式的意義.能用提公因式法、公式(平方差公式、完全平方公式)分解因式.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索分解式方法的過(guò)程,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系在建立因式分解概念與索分解因式方法的過(guò)程中,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生觀察、歸納和概括的力,展學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力本章的主要內(nèi)容是因式解的概念和分解因式的兩種方法提公因式法是分因式最基本的方法,實(shí)質(zhì)上是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式或多項(xiàng)和多項(xiàng)式相乘的逆過(guò)程公式法是逆用整式的乘法式,對(duì)某些多項(xiàng)式行分解因式的方法.因式分解主要用于代數(shù)的恒等變形,是數(shù)與代數(shù)知識(shí)后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)因式分解是以整式運(yùn)為基礎(chǔ)的是整式的一種恒等變形,也是后續(xù)學(xué)習(xí)分式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算、解一元二次方程的重要基礎(chǔ).同時(shí),它還有助于進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納概括的能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.無(wú)論是建立因式分解的念,還是探索因式分解的方法,教材都精心創(chuàng)設(shè)了具有啟發(fā)性的問(wèn)題情境,給學(xué)生留出了充分探索與交流的空間,突出了學(xué)生的主體地位單元教材設(shè)計(jì)關(guān)注學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn),突出了知識(shí)的形成過(guò)程.【重點(diǎn)】領(lǐng)會(huì)因式分解的概念和義,掌握因式分解的兩種基本方法.【難點(diǎn)】理解因式分解和整式乘的互逆關(guān)系.1要堅(jiān)持用整式乘法幫助學(xué)生理解因式分解,培養(yǎng)學(xué)生逆向思考問(wèn)題的習(xí)慣.因式分解與整式乘法之間具有互為逆過(guò)程的關(guān)系在因式分解概念教學(xué)時(shí)要重視運(yùn)用這種關(guān)系進(jìn)一步加深對(duì)因式分解的理解,在探索因式分解的方法的活動(dòng)中,教師要堅(jiān)持運(yùn)用這種關(guān)系更好地促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)會(huì)提公因式法因式分解與法分配律或單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式之設(shè)計(jì)間的聯(lián)系,領(lǐng)會(huì)因式分解的公式法與乘法公式之間的聯(lián)系,進(jìn)一步鞏固“因式分解的結(jié)論是否正確可用整式乘法或乘法公式來(lái)檢驗(yàn)”,從而培養(yǎng)學(xué)生逆向思考.2對(duì)因式分解的理解以及方法的掌握是一個(gè)不斷加強(qiáng)、提升的過(guò)程.因此教學(xué)中要依據(jù)教材的要求,適地分階段進(jìn)行必要的訓(xùn)練,使學(xué)生在理解每一步算理的基礎(chǔ)上提高因式分解的技能.教學(xué)中要避免過(guò)于繁瑣的運(yùn)算不要過(guò)分追求題目的數(shù)量與度.111因式分解112提公因式法113公式法回顧與反思

1課時(shí)課時(shí)課時(shí)1課時(shí)111

因式分解了解多項(xiàng)式的因式分解意義,知道因式分解與整式乘法之間的區(qū)別和聯(lián)系.感受因式分解在解決相問(wèn)題中的作用通過(guò)對(duì)分解因式與整式乘法的觀察與比較,學(xué)習(xí)代數(shù)式的變形和轉(zhuǎn)化與化歸的能力,培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題能力與綜合應(yīng)用能力培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.【重點(diǎn)】因式分解的概念和意義.【難點(diǎn)】因式分解與整式乘法之的區(qū)別和聯(lián)系.設(shè)計(jì)【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】預(yù)習(xí)教材P142143.觀察下面幾個(gè)多項(xiàng)式的法算式(教材章前內(nèi)容):+=(+)=(+)()+2+2

+)2-2+=()2思考:多項(xiàng)式乘法是把幾個(gè)整式的乘積化為一個(gè)多項(xiàng)式反過(guò)來(lái),你能將一多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式嗎?[設(shè)計(jì)意圖]教材章前圖表達(dá)了本章將要學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容——因式分解.圖中用符號(hào)語(yǔ)言反映了整式相乘的過(guò)程與分解因式的過(guò)程的逆關(guān)系,讓學(xué)生感受到因式分解的本質(zhì)特征問(wèn)題:下列簡(jiǎn)便運(yùn)算怎樣進(jìn)行736×95+736×567×132+25×2.67+7×267.[設(shè)計(jì)意圖]觀察實(shí)例,分析共同屬性解決問(wèn)題的關(guān)鍵是把一個(gè)數(shù)式化成幾個(gè)數(shù)的積的形式,此時(shí)學(xué)生對(duì)因式分解還相當(dāng)陌生的,但學(xué)生對(duì)用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算相當(dāng)熟悉引入這一步的目的旨在設(shè)計(jì)問(wèn)題情境,復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)與計(jì)算,引入新課,讓學(xué)生通過(guò)回顧用簡(jiǎn)便方法算,即為因式分解這一特殊算法,通過(guò)類比很自然地過(guò)渡到正確理解因式分解的概念上,從而為因式分解的掌握和理解打下基礎(chǔ)[過(guò)渡語(yǔ)]在小學(xué)階段,我們由數(shù)的乘法運(yùn)獲得啟發(fā)建立了因數(shù)的概念類似地,我們是否可以探索從整式的乘法獲得類似“因數(shù)”概念呢?思路一1.

觀察下面計(jì)算22011×2010和2的過(guò)程,哪種更便?問(wèn)題:小明用的什么方法?(根據(jù)乘方的意義直接進(jìn)行計(jì)算)小亮的第一個(gè)算式用了么方法?乘法對(duì)加法的分配律的逆用)(3)小亮的第二個(gè)算式用了什么方法?平方差公式)2多項(xiàng)式的因式分解.(1)觀察下面三個(gè)算式:(-2)=

,(+)()=

y,(

+1)

=+2+1.(2)上面三個(gè)算式能反過(guò)來(lái),寫成整式乘的形式嗎?可以.2=(2=(3總結(jié)因式分解的概念

+)(),+2+1=(+1)

.設(shè)計(jì)像這樣,把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式,叫做多項(xiàng)式的因式分解,也叫做將多項(xiàng)式分解因式,其中每個(gè)整式都叫做這個(gè)多項(xiàng)式因式思路二觀察下面的拼圖過(guò)程,寫出相應(yīng)關(guān)系式(1)=(2)答案:(1)

=++mc(

++)(2)+2+1(+1)

2像這樣,把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.[設(shè)計(jì)意圖]以拼圖前后面積不變的方,豐富學(xué)生對(duì)因式分解的理解,形象地說(shuō)明因式分解是整式的恒等變,有助于發(fā)展學(xué)生的幾何觀,對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展具有實(shí)際價(jià)值.學(xué)生通過(guò)觀察,給出填空的答案,可能有同的形式,只要合理都應(yīng)給予鼓勵(lì)[過(guò)渡語(yǔ)]我們學(xué)習(xí)了什么是分解因式,通過(guò)下面的幾個(gè)算式來(lái)看看同們理解的怎么樣1感知整式的乘法和因式分解的關(guān)系計(jì)算下列式子(1)3

(-1)=;(2)(+-1)=;(3)(+4)(-4)=;(4)(2=;根據(jù)上面的算式填空(1)3

=;(2)+=;(3)2-16=;(4)+9=

思考:因式分解與整式的乘法有什么關(guān)系?舉例說(shuō)明.[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)兩組互逆關(guān)系的練習(xí),類比兩種不同的逆運(yùn)算進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)什么是分解因式,這個(gè)時(shí)候,分解因式的概念已基本學(xué)生頭腦中確立由整式乘法的逆運(yùn)算逐步過(guò)渡到式分解,發(fā)展學(xué)生逆向思維能力.2總結(jié)多項(xiàng)式的乘法和因式分解的關(guān)系(1)多項(xiàng)式相乘的結(jié)果是什么(兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式,相乘的過(guò)程是多項(xiàng)式中的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘)(2)一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的結(jié)果是什么?(將一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的結(jié)果是若干個(gè)整式的乘積,因式分解的過(guò)程是這個(gè)多項(xiàng)式分解成若干個(gè)整式乘積的形式)(3)因式分解和整式的乘法之間是什么關(guān)系?多項(xiàng)式的因式分解與乘運(yùn)算是不同的多項(xiàng)式的因分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化幾個(gè)整式的乘積,多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算是把幾個(gè)整式乘積化成一個(gè)多項(xiàng)式可見,多項(xiàng)式的因式分解與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算是相反的變形過(guò)程如圖所示.設(shè)計(jì)1下列各式中,從等號(hào)左邊到右邊的變形哪些是多項(xiàng)式的因式分?(1)-4=(

+2)(

-2);(2)+4+4=(+2)2;(3)7

+14=7(

+2);(4)(+1)=+處理方式:教師指導(dǎo)、學(xué)生交流合作完成答案:(1)(2)(3)是,(4)不是.2下列對(duì)多項(xiàng)式的變形,哪些是因式分解?是因式分解的,指出它的各因式(1)=(-1);(2)10

+5=5(2

);-1=(+1)(-1);+1=(2處理方式:教師指導(dǎo)、學(xué)生交流合作完成答案:(1)(2)(3)(4)都是(1)中的因式為,-1;(2)的因式為1,.

+;(3)中的因式為+1,

-1;(4)的因式為-[知識(shí)拓展]對(duì)于因式分解應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)分解的對(duì)象必須是多項(xiàng)式;(2)分解的結(jié)果一定是幾個(gè)整式的乘積的形式;(3)要分解到不能再分解為止.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)式的積的形式叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.分解因式與整式乘法是逆過(guò)程.1各式從左到右的變形中,是因式分解的為()A()=

bxB-1+=(

-1)(+1)+2C-1=(

-1)(+1)D++=(+解析:由因式分解的定義知,左邊是多項(xiàng)式右邊是因式分解乘積的形故選C.2若62++10=(3+2)(2

=解析:根據(jù)因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算的關(guān)系,本題可先將(3+2)(2

+5)開,得到一個(gè)二次多項(xiàng),再與62++10較可得的值,(3

+2)(2

+5)=6+4+15+10=62+19+10,為6++10=(3+2)(2

+5),所以=19故填.3若422+2分解成兩個(gè)因式的乘積且有一個(gè)因式為另一個(gè)因式為,其中,為常數(shù),請(qǐng)你求出,n值.解:(6-)=6-4-6+4=62+6)+4,由題意可得422+2=62-(4+6)+4,所以

,

,

解得

,.111

因式分解設(shè)計(jì)活動(dòng)1活動(dòng)2活動(dòng)3

感知因式分解整式的乘法與因式分解關(guān)系做一做【必做題】教材第143練習(xí)的第1,2.【選做題】教材第143習(xí)題的第2題【基礎(chǔ)鞏固】1下列各式由左邊到右邊的變形中,屬于因式分解的是()A.

(+)=

+ayB.+4=(-4)+4C.10

=5(2-1)D.2-16+6=(

+4)(

-4)+6

x2若多項(xiàng)式2++b可分解為(

+1)(

試,值3下列從左到右的變形中,哪些是因式分解?哪些不是因式分解為什么?(1)12

=3;(2)(

+3)(

-3)=

-9;42

-1=4(-2)-1;=2();(5)

-4+=()2.【能力提升】4下列等式從左到右的變形,屬于因式分解的是()A.4(

)=4

yB.+2+1=(+2)+1C.(+1)(+3)=+4+3D.3=(+1)(

-1)5多項(xiàng)式2++5因式分解(+5)(

+),則=,=.6如果用,b分別表示一個(gè)兩數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字,交換這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)數(shù)字后得到一個(gè)新的兩位數(shù),則這兩個(gè)兩位數(shù)的和一定能被11除,為什么?【拓展探究】7兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式因式分解,一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分成

-1)(-9),一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成

-2)(-4),求出原多項(xiàng)式【答案與解析】1解析:根據(jù)因式分解就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形,利用排除法求解A多項(xiàng)式乘法;B中等號(hào)的右邊不是積的形式,2+4=(-2);D中等號(hào)的右邊不是積的形式)2解:由題意得2++=(

+1)(-2),(+1)(

-2)=

2以2++=2比兩邊系數(shù),可得=-1,

=-2.3解:(1)不是因式分解,因邊等號(hào)左邊必須是一個(gè)多項(xiàng)式,而122是項(xiàng)式;(2)不是因式分解,因?yàn)榈忍?hào)左邊(+3)(

積的形式,右邊-9是一個(gè)多項(xiàng)式,不符合因式分解的定義;(3)是因式分解,因?yàn)榈忍?hào)左邊雖是一個(gè)多項(xiàng)式,但是等號(hào)右邊的(-2)-1是整式的積的式;(4)是因式分解,因?yàn)榈忍?hào)左邊-2

ay

是一個(gè)多項(xiàng)式,且等號(hào)右邊2()是整式的積的形式,且左邊=邊;(5)不是因式分解,因?yàn)橐蚴浇馐嵌囗?xiàng)式的恒等變形,左、右兩邊必須相等,而此題左邊=+,右邊=(

)=2

+42因?yàn)樽?、右兩邊不相?即不是恒等變形所以不是因式分解4析:把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可A,B,C中等號(hào)的右邊均不是整式積的形式,不是因式分解故A,B,C錯(cuò)誤,只有D項(xiàng)符合因式分解的定)設(shè)計(jì),,,,561(解析:根據(jù)因式分解與整式乘法是互逆過(guò)程的關(guān)系解題因?yàn)?+5)(+)=2+(+5),所以++5=2+(

+5)

+5,所以

所以),.6解:設(shè)原兩位數(shù)為10+,則新兩位數(shù)為+,兩數(shù)之和為(10+)+(10

+)=11

+11=11(

+),因?yàn)?為整數(shù),所以+b整數(shù),所以+)能被11除.7解:設(shè)原多項(xiàng)式為++(其中,,

均為常數(shù),且因?yàn)?/p>

-9)=2(

+9)=22-20+18,以=2,

=18,又因?yàn)?(

-2)(-4)=2(

+8)=22+16,以=-12,所以原多項(xiàng)式為-12+18.本節(jié)課以學(xué)生的思維進(jìn)發(fā)展為主線,采用逐步滲透,螺旋式類比方法,在概念引入時(shí),從分解因數(shù)到分解因式的類比,到概念強(qiáng)化階段,又以整式乘法與分因式的過(guò)程類比因式分解過(guò)程中正反兩例的類比,逐漸加深學(xué)生的認(rèn)識(shí)主要體現(xiàn)在從一開始一串的知識(shí)性問(wèn)題引入到后來(lái)環(huán)節(jié)中多次提出思考性的問(wèn)題,啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生做進(jìn)一步的猜想、探究,這種循序漸進(jìn)的思維進(jìn)程有助于學(xué)生理解接受新知識(shí).本課的設(shè)計(jì),過(guò)多強(qiáng)調(diào)學(xué)生用高度抽象的語(yǔ)言來(lái)描述概念在例題的講解過(guò)程中,沒(méi)有讓學(xué)生嘗試自己獨(dú)立完成.因式分解作為多項(xiàng)式乘的逆運(yùn)算過(guò)程,學(xué)生通過(guò)觀察即可發(fā)現(xiàn),因此在課堂教學(xué)的過(guò)程中,要給予學(xué)生更多的參與機(jī)會(huì),習(xí)題可以讓學(xué)生參照教材獨(dú)立去完成練習(xí)(教材第143頁(yè)提示:(1)不是(2)是.(3)是(4)不是(1)+2(2)1-(3)4-1(4)+3習(xí)題(教材第143頁(yè)1解:(1)正確.(2)不正確改正為-10-10=-10(+1).(3)正確.(4)不正確改正為2+4+4=(+2)22(1)

(2)3

(3)

+

(4)2

+1計(jì)算(1)

(3)題,并根據(jù)計(jì)算結(jié)果將(4)(6)題進(jìn)行因式分解.(1)(-2)(-1)=;(2)3

(-2)=;(3)(-2)=;(4)+2=;(5)3

=;(6)+4=

設(shè)計(jì)〔答案〕(1)

+2(2)3

2

(3)2

+4(4)(-2)(-1)(5)3

(-2)(6)(

-2)

2112

提公因式法了解公因式及提公因式.會(huì)用提公因式法把多項(xiàng)分解因式.讓學(xué)生充分體驗(yàn)一個(gè)多式中各項(xiàng)的公因式是提公因式的前提條件.進(jìn)一步了解分解因式的義,加強(qiáng)學(xué)生的思維能力并逐漸滲透化歸思想方法.【重點(diǎn)】提公因式法分解因式【難點(diǎn)】確定公因式【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)因式分解的含義一塊場(chǎng)地由三個(gè)長(zhǎng)方形成,這些長(zhǎng)方形的長(zhǎng)分別為,,,寬都是,求這塊場(chǎng)地的面積解法1:=×+×+×=++==2.解法2:=×+×+×=×=×4=2.從上面的解答過(guò)程看,解法按運(yùn)算順序:先算乘,再算和進(jìn)的,解法是先逆用分配律算和,再計(jì)算乘法運(yùn)算,由此可知解法2簡(jiǎn)單一些這個(gè)事實(shí)說(shuō)明,有時(shí)我們需要將多項(xiàng)式化為積的形式,而提公因式法就是化積的一種方法.設(shè)計(jì)[設(shè)計(jì)意圖]旨在讓學(xué)生理解乘法分配律的逆運(yùn)算這一特殊算法,使學(xué)生通過(guò)類比的思想自然地過(guò)渡到理解提公因式法的概念上,從而為提公因式法的掌握埋下伏筆多項(xiàng)式+ac

中,各項(xiàng)有相同的因式嗎?項(xiàng)式3+

呢?多項(xiàng)式2+?【結(jié)論】多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同因式,叫做這個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)的公因式.多項(xiàng)式2+63

中各項(xiàng)的公因式是什么多項(xiàng)式2+632

中各項(xiàng)的公因式是什么?【結(jié)論】(1)各項(xiàng)系數(shù)是整數(shù),系數(shù)的最大公約數(shù)是公因式的系數(shù);各項(xiàng)都含有的字母的最次冪的積是公因式的字母部分;公因式的系數(shù)與公因式母部分的積是這個(gè)多項(xiàng)式的公因式.[設(shè)計(jì)意圖]公因式由簡(jiǎn)單到復(fù)雜由于第一個(gè)多項(xiàng)式提供的較簡(jiǎn)單,尋找的公因式不具備歸納的條件,而后面所提供的尋找多項(xiàng)式22

中各項(xiàng)的公因式只是多含字母

的因式,對(duì)比前一個(gè)公因,通過(guò)尋找多項(xiàng)式22+632

中各項(xiàng)的公因式,可順利地歸納出確定多項(xiàng)式各項(xiàng)公因式的方法培養(yǎng)學(xué)生的初步歸納能力,具備了歸納出怎樣尋找多項(xiàng)式各項(xiàng)因式的條件.[過(guò)渡語(yǔ)]提公因式法是進(jìn)行多項(xiàng)式因式分解的最基本方法之一,用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式1多項(xiàng)式++mc幾項(xiàng)?每一項(xiàng)的因式都有哪些這些項(xiàng)中有沒(méi)有公共的因式若有,是哪個(gè)處理方式:(1)復(fù)習(xí)多項(xiàng)式的有關(guān)概念;(2)思考為什么強(qiáng)調(diào)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都含有公因式2多項(xiàng)式2b的兩項(xiàng)中,有沒(méi)有公共的因式?若有,是哪些?處理方式:(1)思考公因式是否只能是數(shù);思考公因式是否只能是母;思考公因式可以是哪些式;完成下表多項(xiàng)式項(xiàng)各項(xiàng)的公共因式++2-2b3什么叫多項(xiàng)式的公因式?一般地,多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的因式,叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式,簡(jiǎn)稱多項(xiàng)式的公因式.4因式分解的公式法.逆用乘法對(duì)加法的分配律,可以把公因式寫在括號(hào)外邊,作為積的一個(gè)因式,寫成下面的形式:++(++),2-2

=(-2

).這種將多項(xiàng)式分解因式方法,叫做提公因式法.1寫出下列多項(xiàng)式的公因式.(1)6

2;;-2+2;(4)2

+42答案:(1)3

x

(2)

(3)

ab(4)2

2先指出下列多項(xiàng)式的公因式,再進(jìn)行因式分解.(1)+2;22

+4;-6;(4)4

-12

+162.答案:(1)公因式是,分解為(+2)

(2)公因式是2,分解為2(

(3)公因式是2,分解為(-3

).(4)公因式是4,分解為42(2+4).設(shè)計(jì)[設(shè)計(jì)意圖]運(yùn)用上一環(huán)節(jié)中獲得的概念和方法寫出公因式時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意各項(xiàng)系的最大公約數(shù)也是公因式.在“做一做”中,三名同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式2+4x

分解因式的結(jié)果如下:(1)2

+4=2(

);(2)2

+4=(2

+4);(3)2

+4=2(+2)

請(qǐng)你談一談?dòng)锰峁蚴椒纸庖蚴綉?yīng)注意的問(wèn)題.【注意問(wèn)題】一般地,當(dāng)多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí),公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù),字母應(yīng)取各項(xiàng)相同的字母,且相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的.分解因式要徹底.(教材第145頁(yè)1)下列多項(xiàng)式分解因(1)-32+6;(2)3解:(1)-32

+92

2=(-3

)

+(-3

)(-2)+(-3

)

z=-3(+).(2)3

+922

=32+32(+3b(教材第145頁(yè)2)解因:2(+)-5(+).解:2(+)-5(+)=(

+)2+)5=(

+)(2

[知識(shí)拓展](1)公因式的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí),提公因式后各項(xiàng)要變號(hào).(2)注意例2把看成一個(gè)整體“提”出1提公因式法分解因式的一般形式,如:++(++)這里的字母,,,可以是一個(gè)系數(shù)不為1、多字母的、冪指數(shù)大于1的單項(xiàng)2提公因式法分解因式,關(guān)鍵在于觀察、發(fā)現(xiàn)多式的公因式.3找公因式的一般步驟:若各項(xiàng)系數(shù)是整系數(shù),取系數(shù)的最大公約數(shù);取相同的字母,字母的指數(shù)取最低的;取相同的多項(xiàng)式,多項(xiàng)式的指數(shù)取最低的;所有這些因式的乘積即公因式1(臨沂中考)多項(xiàng)式2m多項(xiàng)式+1公因式是()A-1B+1C-1D(-1)解析:利用公式將兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行分解,找出相同的因式即為公因式.=(-1)=2+1=(2,公因式為-1故選2(武漢中考)把a(bǔ)解因式,正確的是()A(-2)B(+2)C(-2)D(2-)解析:先找到多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式,再提取公因式因?yàn)?-2=(故選3(大連中考)若=49,=109,的值.

(+1)(

-1),-解析:先將整式因式分解,再代入值求解.=(-9),=49,4900.4把下列多項(xiàng)式分解因式

=109,原式=49×(109-9)=4900故填(1)3

3+6-12

;1510

-40-52;(y)().解:(1)3

3+6-12

=3+2(2)15

-40-52=5(3

y.(3)10

()2

()=5(

-)(2

+).112

提公因式法活動(dòng)1活動(dòng)2活動(dòng)3活動(dòng)4例1例2

觀察與思考——提公因法做一做大家談一談例題講解【必做題】教材第146習(xí)題A的第.【選做題】教材第147習(xí)題B的第2.【基礎(chǔ)鞏固】1提公因式時(shí),公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的()A.最小公倍數(shù)B.最大公約數(shù)C.公共系數(shù)D.約數(shù)2+32A3B3xz

各項(xiàng)的公因式是()Cxy

Dx3把多項(xiàng)式(+1)(-1)+(-1)取公因式-1后余下的部分是()A+1B2C2D+24(廣州中考)分解因式:2-65分解因式.(1)-92+2734;(2)3(();

=(3)

(-1)+.【能力提升】6下列各式的公因式為的是()A++5B4+62C5+10D-4

+ma7多項(xiàng)式22與2+4+42

的公因式是()22+2y1D沒(méi)有公因式8已知一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為(-1)+A++cB,++

(),則此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬可能(

)C+1,

++c

Dc20119化簡(jiǎn)2×(-2)2011+(-2)A2011B22011C0D3×2

2012+(-2)

2013

的結(jié)果等于()10(1)已知2+-1=0,求+2+2013值(2)已知2=,=3,求24-4的值.【拓展探究】11如圖所示,由一個(gè)邊長(zhǎng)為

的小正方形與兩個(gè)長(zhǎng)、分別為,y

的小長(zhǎng)方形組成大長(zhǎng)方,則整個(gè)圖形可表達(dá)一些有關(guān)多項(xiàng)式因分解的等式,請(qǐng)你寫出其中任意三個(gè)等式12已知,,c

分別為△三條邊的長(zhǎng)且滿足條件-+4=0,說(shuō)明此三角形為等腰三角.【答案與解析】1B(解析:用提公因式法分解因式時(shí),取的公因式的系數(shù)是最大公約數(shù))2解析:系數(shù)取最大公約數(shù),相同字母取次數(shù)最低的)3析:(+1)(

-1)+(

-1)=(

-1)(+1+1)=(+2)

)42()(解析:先找出兩項(xiàng)的公因式,再提公因式即可2=2+2(-3)=2

())5解:(1)-92+274

=-3(3

+23).

(2)3

(

)-6()=3

()+6

(

)=(

-)(3

+6)=3(

)(+2).

(3)

(-1)+

-1)=

(-1)-

(-1)=(

-1)(

c-1).6析:A++5公因式;B4+62

中的公因式是;C5+10中的公因式是5;D

2

+的公因式是)7B(解析:=(

+2)(),

+4+4=(

),所以公因式為+2)8A(解析:原式=(-1)+

(-1)+

(-1)=(-1)(++))9解析:原式=(-2)

2012+(-2)

2012

+(-2)

2013=(-2)

2012×(1+1-2)=0

)10解:(1)因?yàn)?-1=0,所以2+=1,以+22+2013=+++2013=(2+)+

2+2013=++2013=1+2013=2014.

(2)2

334=33(2

-)=(

)3(2

)因?yàn)?,=3,所以原式=33×=9.11解:答案不唯一,如2+2(+2),

(+)+

=(),(+2(+)=

12解:因?yàn)?0,(

-

)+(4

)=0,

()+4

()=0,(

)(

+4)=0,因?yàn)?,

分別為△三條邊的長(zhǎng),所以+4≠所以=0,以=,所以△為等腰三角形.本節(jié)運(yùn)用類比的數(shù)學(xué)方法,在新概念提出、新知識(shí)點(diǎn)的講授過(guò)程中,可以使學(xué)生易于理解和掌握如學(xué)生在學(xué)習(xí)提公因式法時(shí),由找公因數(shù)到找公因式,由整式的乘法的逆運(yùn)算到提取公因式的概念,都是利用了類比的數(shù)學(xué)思想,從而使得學(xué)生接受新的概時(shí)顯得輕松自然,容易理解.遇到互為相反數(shù)的因式學(xué)生仍然存在問(wèn)題,需要加強(qiáng)指導(dǎo)和訓(xùn)練由于因式分解的主要目是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行恒等變形,它的作用更多的是應(yīng)用于多項(xiàng)式的計(jì)和化簡(jiǎn)比如在以后將要學(xué)習(xí)的分式運(yùn)算解分式方程、二次根式化簡(jiǎn)等都要用到因式分解的知識(shí)因此應(yīng)該重視因式分解的概念和方法的教學(xué)練習(xí)(教材第146頁(yè)1解:(1)5

+5=5(

+)

(2)

+=(+1)

(3)+2=(+2)

(4)3

+3=3+)2解:如下表所示:52212-92222+4

5232

52(1+2)3-3)2(3解:(1)-2+=-+).(2)-7-14=-7(1+2).(3)

(+2(+2)=(

)(+2)(4)2()()=2(x)+(-)=()(2+)=()(3).習(xí)題(教材第146頁(yè)A1提示:(1)5(2

).

(2)

(1-2

).

(3)

(5-).

(4)

(+)2提示:(1)2()(2)7(+2)(3)5mnp(3.(4)2).3提示:(1)(4

-1).

(2)-2

2(6

).(3)-4-2+2).(4)2().4解:(1)原式=2001×(2001-1).

原式=2005×(2006-2004+8)=2005×10=200505解:(+)+(+)+(+)=(+)(+++)=2(+)(種)答:這個(gè)商場(chǎng)共有+)2種商品.B組1解:2=(-36)當(dāng)=37,原式=37×(37-36)=37×1=37.2解:原式=5(+3+2)

當(dāng)+3=-2時(shí),原式=5(-2+2)=5

×0=0.3解:2+=(+1)當(dāng)a整數(shù)時(shí),,+1兩個(gè)連續(xù)整數(shù),其中必有一個(gè)是2的倍數(shù)所以2+a定能被整除.已知++1=0,代數(shù)式+2005+2004+2++1值.〔解析〕首先把整式+x+2004+…+++1過(guò)提取公因式,可分解為含有因式2++1形式,再將++1值作為一個(gè)整體代入求解:因?yàn)?++1=0,所以+2005+2004+…2++1=(++1)+2001(++1)++9(++1)+(++1)+(2++1)+++1=0.已知方程組

-.

,求7()-2(3

)3

的值.〔解析〕將原式分解因式,產(chǎn)生解:7()-2(3)3

與2+,再整體代入使計(jì)算簡(jiǎn)便.=(=(

)2[7)2(7

+2()]+2)=(

-3)2(2

+).把

-

,代入()2(2

+),原式=1

×6=6.113

公式法1經(jīng)歷用乘法公式探究因式分解通過(guò)因式分解的過(guò)程,體會(huì)從正反兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)和研究事物的方法.2會(huì)用公式法進(jìn)行因式分解.通過(guò)觀察兩個(gè)乘法公式特點(diǎn)進(jìn)行因式分解培養(yǎng)學(xué)生類比分析問(wèn)題思維習(xí)慣.【重點(diǎn)】利用乘法公式進(jìn)行因式解【難點(diǎn)】把多項(xiàng)式看成乘法公式一個(gè)字母的因式分解.第

課時(shí)會(huì)用平方差公式進(jìn)行因分解.經(jīng)歷探索利用平方差公進(jìn)行因式分解的過(guò)程發(fā)展學(xué)生的逆向思維.在探究的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)獨(dú)立思考的習(xí)慣【重點(diǎn)】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分因式.【難點(diǎn)】把多項(xiàng)式看成平方差公中一個(gè)字母的因式分解.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)平方差公式的特點(diǎn)在前兩節(jié)課中我們學(xué)習(xí)因式分解的定義,即把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式還學(xué)習(xí)了提公因式法分解因式,即在一個(gè)多項(xiàng)式中,若各項(xiàng)都含相同的因式,即公因式,就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從將多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式乘積的形式如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)具備相同的因式,是否就不能分解因式了呢?當(dāng)然不是,只要我們記住因式分解是多項(xiàng)式乘法的相反過(guò)程,就能利用這種關(guān)系找到新的因式分解的方法,本節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)另外的一種因式分解的方法——公式法請(qǐng)看乘法公式:(+)()=

2-

,①左邊是整式乘法,右邊是一個(gè)多項(xiàng)式,把這個(gè)等式反過(guò)來(lái)就是2=(+)(),②左邊是一個(gè)多項(xiàng)式,右邊是整式的乘積,大家判斷一下,第二個(gè)式子從左邊到右是否為因式分解?符合因式分解的定義,因此是因式分解第①個(gè)等式可以看做是式乘法中的平方差公式,第②個(gè)等式可以看做是式分解中的平方差公式.[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),區(qū)別整式乘法與分因式的同時(shí),認(rèn)識(shí)習(xí)新的分解因式的方法——公式法.填空:(1)(

+5)(

-5)=;(2)(3

+)(3

)=;(3)(3

+2)(3

)=

它們的結(jié)果有什么共同征?嘗試將它們的結(jié)果分別成兩個(gè)因式的乘積:(1)-25=;99

2=;=.[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生通過(guò)觀察、對(duì)比把整式乘法中的平方差公進(jìn)行逆向運(yùn)用,發(fā)展學(xué)生的觀察能力與逆向思維能力.[過(guò)渡語(yǔ)]整式相乘與因式分解是互為相反的過(guò)程如果把學(xué)過(guò)的乘法公式逆過(guò)來(lái)使用,那么就可以將某些多項(xiàng)式分解因式1利用平方差公式的特點(diǎn)進(jìn)行因式分解請(qǐng)大家觀察式子,找出它的特點(diǎn).2

是一個(gè)二項(xiàng)式,每項(xiàng)都可以化成整式的平方,整體來(lái)看是兩個(gè)整式的平方差.如果一個(gè)二項(xiàng)式,它能夠化成兩個(gè)整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成兩個(gè)整式的和與差的積.如2-16=2=(+4)(-4).92=(3

)-(2

)=(3

+2)(3

)實(shí)際上,把平方差公式(+)(-

)=

2反過(guò)來(lái),就得到22=(

+)().[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生通過(guò)自己的歸納找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相關(guān)結(jié)論進(jìn)行實(shí)例練習(xí)2試著做一做試著將下面的多項(xiàng)式分因式.-16=;-4=;-=;(4)4

=

答案:(1)(

+4)(

-4)(2)(

+2)(

-2)(3)-(4)(2

+)(2

)[過(guò)渡語(yǔ)]如果一個(gè)多項(xiàng)式可化為兩個(gè)整式的平方差的形式,那么它就以用平方差公式分解因式了.(教材第148頁(yè)1)下列各式分解因.(1)4

2;(2)(3

-1)

解:(1)4

2=(2)-(3)=(2

+3)(2

)(2)(3

-9=(3

2=(3

-1+3)(3

-1-3)=(3

+2)(3

.(教材第148頁(yè)2)下列各式分解因.(1)-16

;(2)2

3-2解:(1)

-16

=(2-16)=

(

-4)(

+4)

(2)2

3-2

=2-1)=2

(+1)(

[知識(shí)拓展]當(dāng)多項(xiàng)式有公因式時(shí)應(yīng)先提出公因式,再看能否利用平方差公式進(jìn)行因式分解平方差公式:=(

+)().我們已學(xué)習(xí)過(guò)的因式分方法有提公因式法和運(yùn)用平方差公式法若多項(xiàng)式各項(xiàng)含有公因式則第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),若符合,則繼續(xù)進(jìn)行.第一步分解因式以后,所含的多項(xiàng)式還可以繼續(xù)分解,則需要進(jìn)一步分解因式,直到每個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.1下列各式不能用平方差公式分解的是()A.-2+2

2C.49222

D.16

n2解析:平方差公式中兩項(xiàng)的符號(hào)必須是異號(hào)故選B.2把45-20a分解因式的結(jié)果是()A.5

(9

-4)B.

(45

-20)C.5(9

-20)D.5

(3

+2)(3

-2)解析:452-20

=5(9

-4)=5

(3

+2)(3

故選D.3如果+=2013,

=1,么22=.解析:=(+)()=2013故填4用平方差公式分解因式(1)9

-16;(2)3

;(3)-

+.解:(1)9

-16=(3

+4)(3

-4).(2)=(+1)(

(3)-

+2=-=-

第1時(shí)活動(dòng)1活動(dòng)2例1例2

利用平方差公式進(jìn)行分例題講解一、教材作業(yè)【必做題】教材第149習(xí)題A的第.【選做題】教材第150習(xí)題B的第2.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1下列各式中,能用平方差公式分解因式的是()A.

+42

B.22+42

-422對(duì)于整數(shù),多項(xiàng)式(4+5)

-9能()A.被整除B.被m整除C.被(除D.被(2-1)除3(海南中考)分解因式:-9=4(鄂州中考)分解因式:3-45把下列多項(xiàng)式分解因式

=.(1)4

-25;4+22;16(+)2)【能力提升】6,,

為一個(gè)三角形的三邊,代數(shù)式()22

的值()一定為負(fù)數(shù)一定為正數(shù)可能為正數(shù)也可能為負(fù)D.為非負(fù)數(shù)7若|-16|+(-1)

=0,22

分解因式的結(jié)果為()A.(2

+)(2

)B.(4

+)(4

-)C.(8+)(8

)D.(16

+)(16

)8(孝感中考)分解因式:()2-42=.9(株洲中考)因式分解:(-2)-16(

-2)=

10觀察下列計(jì)算.22=(2-1)×(2+1)=2+1,32-2=(3-2)×(3+2)=3+2,42=(4-3)×(4+3)=4+3,.(1)可以得到:15

-14=()+();(2)可以發(fā)現(xiàn):(+1)2=()+();(3)請(qǐng)說(shuō)明你的發(fā)現(xiàn).【拓展探究】11計(jì)算:---…1-【答案與解析】

1解析:A+42

兩平方項(xiàng)符號(hào)相同,不能用平方差公式分解因式;B2+1三項(xiàng),不能用平方差公式分解式;C+42解因式)

符合平方差公式的特點(diǎn)可用平方差公式分解因式;D2

兩平方項(xiàng)符號(hào)相同,不能用平方差公式分2A(解析:(4

+5)2-9=(4

+5+3)(4

+5-3)=(4

+8)(4

+2)=8(

+2)(2

+1)

)3(+3)(

-3)(析:此式兩項(xiàng)符合平方差式的特征,可利用平方差公式進(jìn)行因式分解.2-9=(

+3)(

)4(+2)(-2)(析:多項(xiàng)式含有公因式,因此先提取,再運(yùn)用平方差公式分解因式.-4=(2

-4)=

(+2)(

)5解:(1)4

-25=(2

+5)(2

(2)-+2=2()=

(+)(

).

(3)16(

+)-25()=[4(

+)+5(

-)][4(

+)-5()]=(9

)(9

).6A(解析:原式=(

+)()

因?yàn)?,c

為三角形的三條邊長(zhǎng),所以+>0,

<0,以()

2

一定為負(fù)數(shù))7B(解析:由題意知-16=0,

-1=0,所以=16,

=1,以22=16=(4

+)(4

))8(+)()(解析:觀察符合平方差公式,直接利用平方差公式進(jìn)行分解()22)=(+)())

=(

+2)(-9(-2)(+4)(

-4)(析:先提出公因式,然后再套平方差公式.2

(-2)-16(-2)=(

-2)(2

-16)=(

-2)(+4)(

)10(1)1514(2)

+1(3):(+1)2=[(

+1)-

][(

+1)+]=(

+1)+11解:原式=1-×1+×1-×1+×1-×1+×…×1-×1+=×=

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)借助學(xué)生已有的整式乘法運(yùn)算的基礎(chǔ),給學(xué)生留有充分探索與交流的間和空間,讓他們經(jīng)歷從整式乘法到分解式的轉(zhuǎn)換過(guò)程,并能用符號(hào)合理地表示出分解因式的關(guān)系式,同時(shí)感受到這種互逆變形的過(guò)程和數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性.平方差公式在教學(xué)中比偏重恒等式變形的理解,忽略了從逆運(yùn)算角度進(jìn)強(qiáng)化理解.有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生逆向考問(wèn)題的習(xí)慣,不僅對(duì)提高解題能力有益,更重要的是改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式,有助于形成良好的思維慣,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開拓精神,培養(yǎng)良好的思維習(xí)性,提高學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)興趣,及思維能力和整體素質(zhì)練習(xí)(教材第149頁(yè)1提示:(1)不正確,應(yīng)為(2+)(2

)

(2)不正確,應(yīng)為(+3)(

).2提示:(1)(5

+4)(5

).

(2)

c

-

c

(3)(

+2+2)(

+2.

(4)

(+5)(

-5).習(xí)題(教材第149頁(yè)A1提示:(1)(16+

)(16-).

(2)(3

+8)(3

.

(3)

+mn.

(4)

(3

+1)(3

2解:(1)不可以,因?yàn)?2

不符合平方差公式的形.

(2)可以,+=(

+)().

(3)不可以,因?yàn)?22

不符合平方差公式的形式

(4)可以,2

-81=(

-9)(+9)

3提示:(1)4(+5)(-5).(2)3

2(2+1)(2-1).(3)(+8)((4)2

(+5)(4提示:(1)(++1)(

+1)

(2)(2

+2+3)(2

+3)

(3)-(5-1)(

(4)(8

+)(4

+3)5解:π6

π7

=π

6

-4×072π

6+2×07)(8

2×07)=10π2=72π≈314×72=22608(cm

)答:剩余鋼板的面積約為08cm2B組1提示:(2+1)(

+1)(

2解:原式=-××-××-××…×-××=×=

×=××××××…某同學(xué)粗心大意,分解因式時(shí)把等式=(+4)(+2)(▲中的兩個(gè)數(shù)字弄污了,則式子中■,▲對(duì)應(yīng)的一組數(shù)字可以是()A8,1B16,2C24,3D64,8〔解析〕根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)和利用平方差公式因式分解進(jìn)行思考分析可知▲對(duì)應(yīng)數(shù)字2,(+4)(

+2)(

-2)=(

+4)(

-4)=

-16,對(duì)應(yīng)數(shù)字16故選B是否存在這樣一個(gè)滿足列條件的正整數(shù)當(dāng)它加上時(shí)是一個(gè)全平方數(shù),當(dāng)它加上是另一個(gè)完全平方數(shù),若存在,請(qǐng)求出該數(shù)若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解:假設(shè)存在這樣的正整數(shù),由題意得+98=2①+121=,②②①得2

=23,以(+)()=23×1.只有當(dāng)+=1時(shí)成,即

-,

,解得

,,所以=2-98=11

-98=121-98=23.

第

課時(shí)會(huì)用完全平方公式進(jìn)行式分解.經(jīng)歷探索利用完全平方式進(jìn)行因式分解的過(guò)程,發(fā)展學(xué)生的逆向思維.在探究的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)獨(dú)立思考的習(xí)慣【重點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式分解式【難點(diǎn)】把多項(xiàng)式看成完全平方式中一個(gè)字母的因式分解.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)完全平方公式的特點(diǎn).因式分解是整式乘法的過(guò)程,逆用乘法公式,我們找到了因式分解的兩種方法:提公因式、運(yùn)用平方差公式法,還有哪些乘法公式可以用來(lái)分解因式呢?在前面我們不僅學(xué)習(xí)了方差公式(+)()=課,我們就要學(xué)習(xí)用完全平方公式分解因式.

2

2,而且還學(xué)習(xí)了完全平方公式(±)=2+2,本節(jié)由因式分解和整式乘法關(guān)系,大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢?將完全平方公式倒置:+2+2

+);-2

+=(

)便得到用完全平方公式解因式的公式.[設(shè)計(jì)意圖]回顧完全平方公式,直入主題將完全平方式倒置,得新的分解因式方法.把下列各式分解因式2+2-1;++;(3)4

+4+1;(4)-2

+1思考:能利用提公因式法進(jìn)行式分解嗎?能利用平方差公式進(jìn)行解嗎是否可以嘗試下利用完平方公式進(jìn)行因式分解?[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)復(fù)習(xí)整理學(xué)過(guò)的因式分解方法,誘導(dǎo)學(xué)生探索利用完平方公式進(jìn)行因式分解.[過(guò)渡語(yǔ)]同學(xué)們,下面我們分析用完全平公式分解因式以及公式特點(diǎn).+2+2+)22+2=().從上面的式子來(lái)看,兩個(gè)等式的左邊都是三項(xiàng),其中兩項(xiàng)符號(hào)為“+,分別為兩個(gè)整式的平方,還有一項(xiàng)符號(hào)可“+可“”,它是那兩個(gè)整式乘的兩倍凡具備這些特點(diǎn)的三項(xiàng)式,就是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方將它寫成平方形式,便實(shí)現(xiàn)了因式分解.左邊的特點(diǎn):(1)多項(xiàng)式是三項(xiàng)式;其中有兩項(xiàng)同號(hào),且此兩項(xiàng)能寫成兩數(shù)或兩式的平方和的形式;再加上或減去這兩數(shù)或式乘積的倍.右邊的特點(diǎn):這兩數(shù)或兩式和差)的平方.用語(yǔ)言敘述為:兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的乘積的倍,等于這兩個(gè)的和(或差)的平方形如2+2+2或+2

的式子稱為完全平方式.由分解因式與整式乘法關(guān)系可以看出,如果把乘法公式反過(guò)來(lái),那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式,這種分解因式的方法叫做運(yùn)公式法.(教材第150頁(yè)3)下列各式分解因.(1)2+22+121;(2)2+2-

;解:(1)

2+22+121=2+2×11+11

=(

+11)

(2)2+2-

=2-2

+=-

(教材第151頁(yè)4)下列各式分解因.+22+;(+)+)+4;(32+(3-1)+解:(1)

+22+=(2+2+2)=

(+).(2)(+)+)+4=()-2(+)2=(+-2).(3)(3

2+(3

-1)+=(3

-1)

+2

-1)+=-=-

[設(shè)計(jì)意圖]培養(yǎng)學(xué)生對(duì)完全平方公式的應(yīng)用能力,讓學(xué)生理解在完全方公式中的a與僅可以表示單項(xiàng)式,也可以表示多項(xiàng)式.運(yùn)用完全平方公式把一多項(xiàng)式分解因式的主要思路與方法:首先要觀察、分析和判所給出的多項(xiàng)式是否為一個(gè)完全平方式,如果個(gè)多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式,再運(yùn)用完全平方公式把它進(jìn)因式分解,有時(shí)需要先把多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形,得到一個(gè)完全平方式,然后再把它因式分解.在選用完全平方公式時(shí),關(guān)鍵是看多項(xiàng)式中的第二項(xiàng)的符號(hào),若是正號(hào),則用公式+2+2=(+);若是負(fù)號(hào),則用公式2-2

+=(

-

).1(畢節(jié)中考)下列因式分解正確的是

()A.

+9=(2-6+9)+=-+4=(42=(4+)(4)解析:按照因式分解的要求逐一判斷或根據(jù)因式分解與整式乘法的關(guān)系逆向判斷.因?yàn)?-63+92=2(2+9)=2(-3),4=(2B

+)(2

),故選項(xiàng)A,D誤,選項(xiàng)C不可分,選項(xiàng)正確.故選2已知|3+4|+2+9=0,則的值是()A.4B.-4C.D.-解析:因?yàn)閨3+4|++9=0,所以|3+4|+(2=0,所=-,=3,以=-4故選B.3(威海中考)因式分解:2+12-18=解析:先提取公因式,再根據(jù)完全平方公式行二次分解即可解答2+12-18=-2(-6故填-(-3).4分解因式.(1)4-4+;+24+9;16+222+.解:(1)4-4+2=(2-).

+9)=-2

(2.(2)16

+24+9=(4+3)

2.(3)+2+=(+2+)=

)2.第2時(shí)活動(dòng)1活動(dòng)2例1例2

因式分解公式法——完平方公式例題講解【必做題】教材第152習(xí)題A的第【選做題】教材第152習(xí)題B的第2.【基礎(chǔ)鞏固】1把多項(xiàng)式2+4解因式,所得結(jié)果是A-4)+4B(-2)(+2)

()C(2D(+2)

22若+=4,2+2+2的值是()A.8B.16C.2D.43分解因式2++=-

,則等于()A.-2B.2C.1D.-14分解因式:3+3=5將下列各式分解因式

(1)

-14

+49;(2)-2

-;(3)

+2(+)+(

+).【能力提升】6(賀州中考)把多項(xiàng)式4223A4(3B()2

分解因式的結(jié)果是()C(4

-422)D+4+)7若+=3,22+4+2-6的值為()A.12B.6C.3D.08(南京中考)分解因式()(

-4

)+

ab的結(jié)果是9(東營(yíng)中考)分解因式:4+12(

-)+9(

)=.10(1)用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:1012+202×99+99;(2)已知=,=,求-22++值.【拓展探究】11若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別,,,且滿足2+2+-2=0,說(shuō)明該三角形是什么三角形12試說(shuō)明四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積加上一定是一個(gè)完全方數(shù).【答案與解析】1解析:-4+4=(2)2B(解析:+2+=(

+)2

=4

=16.)3析:∵-=+,++=-,∴=-1)43(

2(解析:32

+3=3(2+1)=3(

2)5解:(1)-14

+49=(2

(2)-

2-=-

(3)

+2(+)+(

+)=(

+)2.6B(解析:先提公因式,再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行分解即得到答案43=-(2+42)=-()2)7A(解析:原式=2(

+2+2)-6=2(

+)26=2×9-6=12)8()(解析:首先去括號(hào),進(jìn)而合并同類,再利用完全平方公式分解因式得出即可因?yàn)?-)(-4)+=2

-5+42+=2+42=(

))9(3

+2)2(解析:原式=2+2×2×3)+[3(

)]=[2+3(

)]2=(3

+2)

2)10解:(1)1012+202×99+992=(101+99)2=2002=40000.2)=()當(dāng)=,=時(shí),原式=()2=×=

(2)-22++=-(2

-)=

(+2-11解:2+2+-2=0,(

-2

+)+(

+)=0,(

)+(

)=0,以=0,

=0,以==,所以△為等邊三角形.12解:設(shè)這四個(gè)連續(xù)自然數(shù)依次為,+1,

+2,

+3,(+1)(

+2)(

+3)+1=()(2+3+2)+1=(2+3)2+2(

2)+1=(

2+1)

2所以(+1)(

+2)(

+3)+1一定是一個(gè)完全平方.借助學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),尤其是剛學(xué)過(guò)的利用完全平方公式進(jìn)行因式分解,通過(guò)類比降低了知識(shí)學(xué)習(xí)的難度,也幫助學(xué)生體驗(yàn)了類比學(xué)習(xí)帶來(lái)的效率在本課時(shí)對(duì)因式分解的種方法沒(méi)有進(jìn)行總結(jié)和歸納.在運(yùn)用公式法分解因式中,要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生,再熟悉乘法公式的來(lái)歷,以及乘法公式的結(jié)構(gòu),多注意培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察的良好習(xí)慣練習(xí)(教材第151頁(yè)1提示:).

(2)(6

+)2

(3)(4

+1)

(4)().2提示:-1)

(2)

+

(3)(2

+1)

.

(4)(

+1)

(2.習(xí)題(教材第152頁(yè)A1提示:(1)(+4)

(2)(8

+)

(3)

(4)

2解:(1)6

-2=-(2+92)=-(

)2.

(2)-

+22-

=-(2+1)=-

(-1)

(3)3

-6+3=3(+1)=3(

2

(4)4

2+42+3=(4

+2)=

(2

)3提示:(1)(+3)

(2)(

+-2).4解:2001

-4002+1=2001

2×2001×1+1

=(2001-1)

=2000=4000000.B組1解:(1)42+16=(2-4)

=(

+2)

(2.

(2)(

+)2

2=(

+)-(2

)2=(

2++2)(2+2

-2)=(

+)()

2提示:添上加4

或-

或4,可得多項(xiàng)式2±4+1=(2)2

或44+1=(2+1)

2.復(fù)習(xí)題(教材第154頁(yè)A1提示:(1)(+).

(2)

(-2

)

(3)2

(-3).

(4)7

(2

+3)

(5)-72

(+4)

(6)-5

(+5)

2提示:(1)-2(-2)(3

-4)

(2)(

++)

(3)5(

)(2

+)

(4)

()(1-

).3提示:(1)(7

+)(7

)

(2)(2

+3)(2

)

(3)(

+)().

(4)4+

-

(5)(3

)(4

)(6)3(5

4提示:(1)(3

+1)

(2)(4

(3)(+4)

(4)(4

+3)

(5)-

(6)

(7)(

+2(8)(2++)2.5提示:(1)(+2)

(2.

(2)(

+3)

(2

(3)(4

+1)(2

+1)(2

-1).

(4)(+)().B組1提示:(1)2(

+)().

(2)

(-1).

(3)3

(+1)

.

(4)

(2

+).

(5)-52y

(2.

(6)

(+7)

2解:(+3)(

+7)+4=2+21+4=2+10+25=(+5)

3解:(1)5

4×5

11

+10×5

=5

(5

4×5+10)=5

×15=5×3由于5

×3被3除,所以5-4×5

+10×5

10能被3除

(2)(4

2+5)

-9=(4

2+5+3)(4

2+5-3)=(4

2+8)(4

2+2)=8(

2+2)(2

2+1),因?yàn)?/p>

+2)(2

2+1)能被8除,所以(42+5)

-9總能被8除.

(3)設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為2+1,有(2+1)

-(2-1)

=8,分解后有因數(shù)8,即兩連續(xù)奇數(shù)的平方差能被除.C組1解:原式=(11-12)(11+12)+(13-14)(13+14)+(15-16)(15+16)+(17-18)(17+18)+(19-20)(19+20)=-(11+12)-(13+14)-(15+16)-(17+18)-(19+20)=-(11+12+13+14+15+16+17+18+19+20)=-×10=-155.2解:(1)23-14-1-1(2)(-1+-2+…+1)=

(3)-1=(

-1)(++1)

(4)20133-1=(2013-1)×

+2013+1)(2013

2+2014)

因?yàn)?2013

+2014)能2012除,所以

-1能被除.(2016長(zhǎng)春考)把多項(xiàng)式2+9分因式,結(jié)果正確的是()A(B(2C(+3)(

-3)(+9)(

-9).〔解析〕2+9=(-3)故選A.(2016丹東考)分解因式:2=〔解析〕=(+1)(故填(+1)(

通過(guò)對(duì)本章知識(shí)內(nèi)容的顧與反思,進(jìn)一步理解因式分解的意義及方法,能熟練地進(jìn)行因式分解.通過(guò)對(duì)本章學(xué)習(xí)過(guò)程的結(jié)與梳理,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)本章知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生熱愛(ài)學(xué)習(xí)、樂(lè)于探索合作的態(tài)度.【重點(diǎn)】進(jìn)一步理解因式分解的義及方法.【難點(diǎn)】構(gòu)建本章知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)的知識(shí)體系.因式分解是一種多項(xiàng)式變形,甚至可以理解為單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的逆運(yùn)在中考命題中通常結(jié)合其他知識(shí)在運(yùn)算進(jìn)行考查,單獨(dú)考查主要題型是選擇題和填空題,分值一般不高.提取公因式是因式分解基本方法之一中考中單獨(dú)查這種分解方法的試題少,多是滲透在其知識(shí)的考查中,特別是運(yùn)算和化簡(jiǎn)的過(guò)程之中.公式法是因式分解的另種基本方法中考中單獨(dú)考這種分解方法的試題較,多是滲透在其他識(shí)的考查中,特別是運(yùn)算和化簡(jiǎn)的過(guò)程之中在因式分解中,完全平方公式是應(yīng)用較多的一個(gè)公式在中考中出現(xiàn)的頻率較高,特別是近幾年,它正逐漸成為中考的熱點(diǎn)之一,應(yīng)重點(diǎn)掌握【專題分析】整體思想是指從整體觀出發(fā),通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征,從而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體處理的解題思想方法用整體思想解數(shù)學(xué)題,可使復(fù)雜的問(wèn)題變簡(jiǎn)單陌生的問(wèn)題變熟悉,還往往使常規(guī)方法不易求解的問(wèn)題得到解決.(黔西南中考)已知=1,

-

=2,2的是()A.-1B.3C.2D.-2〔解析〕將求值式提取公因式,變成兩個(gè)整式乘積的形式,可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)整式恰好是已知等式的左邊的部分,再用整體代入法求值即可因?yàn)?1,

=2,以2=(-

)=1×2=2故選C.[方法歸納]在因式分解的過(guò)程中一個(gè)單項(xiàng)式、一個(gè)多項(xiàng)式都可以當(dāng)成“整體”進(jìn)行處理.【針對(duì)訓(xùn)練1已知=1,22A.4B.3C.1D.0

b值為()〔解析〕先將原式化簡(jiǎn),然后將=1體代入求解因?yàn)?1,以22==1.故選C.

=(

+)(-)-2=+-[方法歸納]此題考查的是整體代入思想在代數(shù)求值中的應(yīng)用.【針對(duì)訓(xùn)練2如果+-1=0,那么代數(shù)式+22-2013的值是()A.2012B.-2012C.2013D.-2013〔解析〕由+-1=0得+=1,將3+22-2013轉(zhuǎn)化為++-2013,再將+m為一個(gè)整體兩次代入,即可求出該式的值因?yàn)?-1=0,所以+=1,以3+2-2013=++2-2013=(2+)+

-2013=+-2013=1-2013=-2012

故選【專題分析】因式分解也可以理解為一種運(yùn)算方式,利用因式分解進(jìn)行計(jì)算,會(huì)使部分問(wèn)題簡(jiǎn)單化.光明中學(xué)打算在如圖所的操場(chǎng)環(huán)行跑道上鋪上塑膠路面,已知跑道外半徑=30.5內(nèi)圓半徑=26.5米,求需要的塑膠的面(π314,結(jié)果精確到1米〔解析〕根據(jù)環(huán)形面積圓的面積小圓的面積,然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.解:-π2=π22)=π+)(

)=3

14×

5+26.5)(30

5-265)=3

14×57×4=715≈716(平方米).所以需要的塑膠的面積為平方米.【針對(duì)訓(xùn)練3

在一塊邊長(zhǎng)為am的正方形鐵皮的四角,各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為m

的正方形求剩余部分的面積,并利用因式分解計(jì)算:當(dāng)=18,=06時(shí)剩余部分的面〔解析〕陰影部分的面積等于正方形的面積減去4角的小正方形的面積,利用因式分解可使計(jì)算簡(jiǎn)便解:由題可知剩余部分的面積為2)m

,

=(

+2)(-2

),因?yàn)?1.8,=0.6,所以原式=3×06=18(m),即剩余部的面積為182.[方法歸納]根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn),利用因式分解,可簡(jiǎn)化代數(shù)式的計(jì)算【針對(duì)訓(xùn)練4大正方形的周長(zhǎng)比正方形的周長(zhǎng)多厘米,它們的面積相差960平厘米求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng).〔解析〕本題中的等量關(guān)系,即:大正方形的周長(zhǎng)比小正方形的周長(zhǎng)多96米,大正方形的面積比小正方的面積多960平厘米,故可列出關(guān)于,y

的兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)的方解:設(shè)大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)分別為根據(jù)題意,得4=96,=24,=960,(+)()=960,

厘米、

厘米,將①代入②可得+=40,①+③得2=64,以=32,=40-=8,答:大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)分別為32米、8厘[方法歸納]根據(jù)目前所學(xué)知識(shí),還無(wú)法解該類型的方組,但是我們可以利用因式分解,把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于+,y的元一次方程的問(wèn)

本章質(zhì)量評(píng)估(時(shí)間:120鐘滿分:120)一、選擇題(第110小題各3分,第16題各2共42)1下列四個(gè)等式從左到右的變形中,為因式分解的是()A(+1)(

-1)=

2-1B-3=(-2)-3C()()=(

)()D+1=(-1)(-1)2多項(xiàng)式a多項(xiàng)式2

-4

+4公因式是()AB+2CD(-2)(+2)3(臺(tái)州中考)把多項(xiàng)式22-8解因式,結(jié)果正確的是()A2(2-8)B2(

C2(

+2)(

-2)D2

-4一次課堂練習(xí),王莉同學(xué)做了如下道分解因式題你認(rèn)為王莉做得不夠完整的一題是()A=(-1)B2+=(

)2C2=()D=(

)(+)5(宜賓中考)把代數(shù)式33x2+12解因式,結(jié)果正確的是()A3(+4)B3(C3(+2)(

-2)D3(6對(duì)于多項(xiàng)式4-1位同學(xué)得出了四種不同的分解結(jié)果,你認(rèn)為正的分解結(jié)果為()A(+1)(-1)B(+1)

(C(+1)(

+1)D(+1)

37在邊長(zhǎng)為的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為小正方形(>)把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形如圖所示)通過(guò)計(jì)算圖形(陰影部分)的面積,驗(yàn)證了一個(gè)等式則這個(gè)等式是()A2=(

+)(

)B(+)=+2+2C()=2

+2D-

=()若+=3,22+4+2-6的值為()A.12B.6C.3D.0(北海中考)下列因式分解正確的是()2-4=(+4)(-4)2+1=(+2)+13-6=3()2+4=2(+2)10已知=2,22

b值為()A.4B.3C.1D.011+(-8)

2015

能被下列數(shù)整除的是()A.3B.5C.7D.9已知4+4+36完全平方,則m值為()A.2B.±2C.-6D.±6若(2+3)2=(2)+()成立,則括號(hào)內(nèi)的式子是A6abB24abC12abD18

()14若,,

為一個(gè)三角形的三條邊則代數(shù)式()2

的值

()A.一定為正數(shù)B.一定為負(fù)數(shù)C.可能為正數(shù),也可能為負(fù)數(shù)D.可能為零15

eq\o\ac(△,.)三邊長(zhǎng)分別為,,,且+2=+2,則△是()A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形16已知=-1,=2-(為任意實(shí)數(shù)),則,Q大小關(guān)系為()A>QB=C<QD不能確定二、填空題(第1718題各,第19題4,共10)若2+4+4=(+2)(+),則=.請(qǐng)你寫一個(gè)能先提公因、再運(yùn)用公式來(lái)分解因式的三項(xiàng)式,并寫出分解因式的結(jié)果:

19小明在利用完全平方公式計(jì)一個(gè)二項(xiàng)整式的平方時(shí)不小心用墨水把最后一項(xiàng)黑了,得到正確的結(jié)果變?yōu)?2-12

+,你覺(jué)得這一項(xiàng)應(yīng)是

三、解答題(共68)20(9分)如圖所示,有三種卡片,其中邊長(zhǎng)為a正方形卡片張,邊長(zhǎng)分別為,長(zhǎng)方形卡片張,邊長(zhǎng)為正方形卡片9用這張卡片拼成一個(gè)正方,求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)21(9分)(1)在學(xué)習(xí)了因式分解后小明和小麗在做一道題時(shí)生了爭(zhēng)執(zhí):分解因式+)2

.小明的答題是:原式=(2++2)(2+2)=(+)()2=[(+)()]=()

=-222+;小麗的答題是:原式=(

+2)(+2

)=(

+)(

)2

,小麗覺(jué)得小明做錯(cuò)了,可是她也說(shuō)不出道理來(lái),你能幫她說(shuō)一說(shuō)嗎?(2)若|-1|+-)=0,解因式:-22(9分)給出三個(gè)整式,2和2

2.(1)當(dāng)=3,

=4,求2+2值;(2)在上面的三個(gè)整式中任意選擇兩個(gè)整式進(jìn)行加法或減法運(yùn)算,使所得的多項(xiàng)式能夠因式分解請(qǐng)寫出你所選的式子及因式分解的過(guò)程23(9分)晴山藍(lán)城小區(qū)計(jì)劃建造一個(gè)如圖①所示的由兩個(gè)等圓組成的噴水池后有人建議改為圖②的形狀,且外圓直徑不變,只是擔(dān)心原來(lái)備好的材料不夠你認(rèn)為材料夠用嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由24(10分)王老師退休在,她原來(lái)教的班級(jí)的學(xué)生經(jīng)常去家和她聊天.第一天全班名男生起去,王老師發(fā)給他們每人顆糖果;第二天全班女生一起去,老師發(fā)給她們每人b糖果;第三天全