華東師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第22章一元二次方程教案教學(xué)設(shè)計(jì)（含教學(xué)反思）

第22章一元二次方程

22.1一元二次方程...........................................................

22.2一元二次方程的解法....................................................4

22.3實(shí)踐與探索............................................................17

22.1一元二次方程

教學(xué)目標(biāo)

1.理解一元二次方程及其相關(guān)概念，能夠熟練地把一元二次方程化為一般形式.

2.會(huì)應(yīng)用一元二次方程的解的定義解決有關(guān)問題.

3.在分析、揭示實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程中,

感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的工具，增強(qiáng)對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí).

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

一元二次方程及其相關(guān)概念，把一元二次方程化為一般形式.

【教學(xué)難點(diǎn)】

應(yīng)用一元二次方程的解的定義解決有關(guān)問題.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

參加一次集會(huì)，如果有x個(gè)人，每?jī)扇酥g都握一次手，共握了21次手，請(qǐng)你列出

符合上述條件的方程，并判斷方程是什么類型？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：一元二次方程的概念

［類型一］一元二次方程的識(shí)別

例1：下列選項(xiàng)中，是關(guān)于x的一元二次方程的是()

A./+-4=1B.3x—2xy—5y=0

C.(x—l)(x—2)=3D.ax+bx+c=0

解析：選項(xiàng)A中的方程分母含有未知數(shù)，所以它不是一元二次方程；選項(xiàng)B中的方程

含有2個(gè)未知數(shù)，所以它不是一元二次方程；當(dāng)a=0時(shí)，選項(xiàng)D中的方程不含二次

項(xiàng)，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D,故選C.

方法總結(jié)：判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，必須將方程化簡(jiǎn)后再進(jìn)行判斷.一元

二次方程的三個(gè)條件：一是方程兩邊都是整式；二是只含有一個(gè)未知數(shù)；三是未知數(shù)

的最高次數(shù)是2.上述三個(gè)條件必須同時(shí)滿足，缺一不可.

【類型二］利用一元二次方程的概念確定字母系數(shù)

例2：關(guān)于x的方程儀+D/T+京+1=0是一元二次方程，則4的值為

14—11=2,4=3或攵=—1,

解析：由題意得*

%+lWO,斤一1.

k=3.

方法總結(jié)：由一元二次方程的概念滿足的條件：未知數(shù)最高次數(shù)為2,構(gòu)造方程，解

出字母取值，并利用二次項(xiàng)系數(shù)不為0排除使二次項(xiàng)系數(shù)為0的字母取值，從而確定

字母取值.

探究點(diǎn)二：一元二次方程的一般形式

例3：將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)

系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

(1)3x~2=5x；

(2)97=16；

(3)2x(3x+l)=17；

(4)(3x—5)(x+l)=7x—2.

解析：先分別將各方程化為一般形式，再指出它們的各部分的名稱.

解：(1)方程化為一般形式為3V—5x—2=0,二次項(xiàng)系數(shù)是3,一次項(xiàng)系數(shù)是一5,

常數(shù)項(xiàng)是一2.

(2)方程化為一般形式為9^-16=0,二次項(xiàng)系數(shù)是9,一次項(xiàng)系數(shù)是0,常數(shù)項(xiàng)是一

16.

(3)方程化為一般形式為6f+2x—17=0,二次項(xiàng)系數(shù)是6,一次項(xiàng)系數(shù)是2,常數(shù)項(xiàng)

是T7.

(4)方程化為一般形式為3y—9x—3=0,二次項(xiàng)系數(shù)是3,一次項(xiàng)系數(shù)是一9,常數(shù)

項(xiàng)是一3.

方法總結(jié)：求一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把方程化為一般形式，特別

要注意確認(rèn)各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一定要包括前面的符號(hào).

探究點(diǎn)三：列一元二次方程

:11.4m

>______i

2m

例4：在一張矩形的床單四周繡上寬度相等的花邊，剩下部分面積為1.60?.已知床單

的長(zhǎng)是2m,寬是1.4m,求花邊的寬度.請(qǐng)根據(jù)題意列出方程.

解析：設(shè)花邊的寬度為須，則由圖可知剩下部分的長(zhǎng)為（2—2x）m,剩下部分的寬為

（L4—2x）m...?剩下部分面積為1.6m2,.,.可列方程（2—2口（1.4-2x）=1.6.

方法總結(jié)：列方程最重要的是審題，只有理解題意，才能恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出未知數(shù)，準(zhǔn)確地

找出已知量和未知量之間的等量關(guān)系，正確的列出方程.

探究點(diǎn)四：一元二次方程的解

［類型一］判斷一元二次方程的解

例5：方程*一2矛=0的解為（）

A.x1=\,X2=2B.%=0,“2=1

1

C.用=0,苞=2D.4=5，尼=2

解析：把各選項(xiàng)中未知數(shù)的值分別代入方程的左右兩邊，只有選項(xiàng)C中的荀=0,吊

=2都能使方程/一2x=0的左右兩邊相等，所以選C.

方法總結(jié)：判斷一個(gè)未知數(shù)的值是否是一元二次方程的解，可以把未知數(shù)的值代入方

程左右兩邊，能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是一元二次方程的解.：

［類型二］利用一元二次方程的解的意義求字母或代數(shù)式的值

例6：已知1是關(guān)于x的一元二次方程（加一1）/+*+1=0的一個(gè)根，則必的值是（）

A.1B.-1

C.0D.無法確定

解析：根據(jù)方程的根的概念，直接代入方程，左右兩邊相等，但考慮到是一元二次方

程，所以二次項(xiàng)系數(shù)不能等于0.由此得，（/Z/-1）+1+1=0,解得勿=—1,此時(shí)加一

1=-2W0,.,.7=一1.故選民

方法總結(jié)：方程的根是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，在涉及方程根的題目中，

我們一般是把這個(gè)根代入方程左右兩邊轉(zhuǎn)化為求待定系數(shù)的方程來解決問題.

三、板書設(shè)計(jì)

--------------------」確定二次項(xiàng)、一次'

［構(gòu)建一元一次方蔽俳選系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),

I相關(guān)概念卜一元二次方程

I一般形式卜-----八解的概念］

四、教學(xué)反思

教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，體會(huì)

數(shù)學(xué)建模的思想方法.

22.2一元二次方程的解法

第1課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)會(huì)根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

2.運(yùn)用開平方法解形如（x+勿）2=〃的方程.

3.體驗(yàn)類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用開平方法解形如Mrn）2=n的方程.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

一個(gè)正方形花壇的面積為10,若設(shè)其邊長(zhǎng)為x,根據(jù)正方形的面積可列出怎樣的方

程？用怎樣的方法可以求出所列方程的解呢？

二、合作探究

探究點(diǎn)：直接開平方法

［類型—］用直接開平方法解一元二次方程

例1：運(yùn)用開平方法解下列方程:

（1）4/=9；

⑵（葉3）2—2=0.

解析：(1)先把方程化為V=a(a'O)的形式；(2)原方程可變形為(x+3)2=2,則x

+3是2的平方根，從而可以運(yùn)用開平方法求解.

933

解：(1)由4/=9,得兩邊直接開平方，得*=±5，.?.原方程的解是否=5,

TT乙乙

3

為=_,

⑵移項(xiàng)，得(x+3/=2.兩邊直接開平方，得x+3=±啦.，x+3=嫡或x+3=一

十.，原方程的解是4=蚯-3,在=

—^2—3.

方法總結(jié)：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通過降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化

為一元一次方程求解的，這是解一元二次方程的基本思想；一般地，對(duì)于形如/=a(a

20)的方程，根據(jù)平方根的定義，可解得用=黃，吊=一切.

［類型二］直接開平方法的應(yīng)用

例2：若一元二次方程ax2=A(aA>0)的兩個(gè)根分別是勿+1與2/ZT—4,則"=.

a

解析：???aV=8,，戶土也，.?.方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，.?.加+1+2加-4=0,

解得勿=1,...一元二次方程放=8(勤>0)的兩個(gè)根分別是2與-2,=2,...

一=4,故答案為4.

a

［類型三］直接開平方法與方程的解的綜合應(yīng)用

例3：若一元二次方程(a+2)*—ax+a?—4=0的一個(gè)根為0,則a—.

解析：?.,一元二次方程(a+2)f—ax+#—4=0的一個(gè)根為0,，a+2#0且才一4=

0,...a=2.故答案為2.

［類型四］直接開平方法的實(shí)際應(yīng)用

例4：有一個(gè)邊長(zhǎng)為11cm的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為13cm,寬為8cm的矩形，要作一個(gè)面

積為這兩個(gè)圖形的面積之和的正方形，邊長(zhǎng)應(yīng)為多少厘米？

分析：要求新正方形的邊長(zhǎng)，可先求出原正方形和矩形的面積之和，然后再用開平方

計(jì)算.

解：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為xcm,根據(jù)題意得y=1/+13*8,即y=225,解得x=±

15.因?yàn)檫呴L(zhǎng)為正，所以x=-15不合題意，舍去，所以只取x=15.答：新正方形的

邊長(zhǎng)應(yīng)為15cm.

方法總結(jié)：在解決與平方根有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)，除了根據(jù)題意解題外，有時(shí)還要結(jié)合

實(shí)際，把平方根中不符合實(shí)際情況的負(fù)值舍去.

三、板書設(shè)計(jì)

四、教學(xué)反思

教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)利用開平方法解一元二次方程的本質(zhì)是求一個(gè)數(shù)的平方根的過

程.同時(shí)體會(huì)到解一元二次方程過程就是一個(gè)“降次”的過程.

第2課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.認(rèn)識(shí)用因式分解法解方程的依據(jù).

2.會(huì)用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

用因式分解法解方程.

【教學(xué)難點(diǎn)】

用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

我們知道劭=0,那么a=0或6=0,類似的解方程(x+l)(x—l)=0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為

兩個(gè)一元一次方程x+l=0或x—1=0來解，你能求出(x+3)(x—5)=0的解嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：用因式分解法解一元二次方程

［類型-J利用提公因式法分解因式解一元二次方程

硒1用因式分解法解下列方程：

⑴/+5*=0；

(2)(x—5)(x—6)=x~5.

解析：變形后方程右邊是零，左邊是能分解的二次三項(xiàng)式，可用因式分解法.

解：(1)原方程轉(zhuǎn)化為x(x+5)=0,.,.x=0或x+5=0,.,.原方程的解為耳=0,為

=—5；

(2)原方程轉(zhuǎn)化為(*—5)(x—6)—(x—5)=0,(才一5)[(才-6)—1]=0,(才一5)(x

—7)=0,5=0或x—7=0,.?.原方程的解為為=5,x2=l.

[類型二]利用公式法分解因式解一元二次方程

?用因式分解法解下列方程：

(1)/—6^r=—9；

(2)4(x—3)2—25(x—2)2=0.

解：⑴原方程可變形為：6x+9=0,則(x—3尸=0,.?.X—3=0,因此原方程的

解為：為=尼=3.

(2)[2(x—3)]2—[5(*—2)]=0,[2(x—3)+5(x—2)][2(x—3)—5(x—2)]=0,(7x

164

—16)(―3x+4)=0,，7x—16=0或-3x+4=0,，原方程的解為入=彳，照=..

IO

方法總結(jié)：因式分解法解一元二次方程的一般步驟是：①將方程的右邊化為0；②將

方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每一個(gè)因式分別為零，就得到兩個(gè)一元

一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

探究點(diǎn)二：用因式分解法解決問題

麗若a、b、c為的三邊，且a、b、c滿足/一絲一勖+A=0,試判斷△/勿

的形狀.

解析：先分解因式，確定a,b,c的關(guān)系，再判斷三角形的形狀.

解：*/a^—ac—ab+bc=Q,(a—8)(a—c)=0,a—8=0或a—c=0,.'.且二0或

a=6,為等腰三角形.

三、板書設(shè)計(jì)

四、教學(xué)反思

利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是關(guān)鍵，因此，要熟練掌握因式分解的知

識(shí)，提高用分解因式法解方程的能力.在使用因式分解法時(shí)，先考慮有無公因式，如

果沒有再考慮公式法.

第3課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.了解配方的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟.

2.探索直接開平方法和配方法之間的區(qū)別和聯(lián)系，能夠熟練地運(yùn)用配方法解決有關(guān)

問題.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

配方的概念，運(yùn)用配方法解一元二次方程.

【教學(xué)難點(diǎn)】

直接開平方法和配方法之間的區(qū)別和聯(lián)系.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

李老師讓學(xué)生解一元二次方程*一6矛一5=0,同學(xué)們都束手無策，學(xué)習(xí)委員考慮了一

下，在方程兩邊同時(shí)加上14,再把方程左邊用完全平方公式分解因式……，你能按

照他的想法求出這個(gè)方程的解嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：配方法

【類型一】配方

頤1用配方法解一元二次方程/一4矛=5時(shí)，此方程可變形為()

A.(x+2)z=lB.(矛-2)2=1

C.(X+2)2=9D.(x—2)2=9

解析：由于方程左邊關(guān)于x的代數(shù)式的二次項(xiàng)系數(shù)為1,故在方程兩邊都加上一次項(xiàng)

系數(shù)一半的平方，然后將方程左邊寫成完全平方式的形式，右邊化簡(jiǎn)即可.因?yàn)?

—4x=5,所以？-4x+4=5+4,所以(x—2)''=9.故選D.

方法總結(jié)：用配方法將一元二次方程變形的一般步驟：(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，

使方程的左邊只留下二次項(xiàng)和一次項(xiàng)；(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；(3)等式兩邊同時(shí)

加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

［類型二］利用配方法解一元二次方程

面a用配方法解方程：V—4*+i=o.

解析：二次項(xiàng)系數(shù)是1時(shí)，只要先把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后左、右兩邊同時(shí)加上一次

項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程配成(x+42=〃(〃20)的形式再用直接開平方法求解.

解：移項(xiàng)，得*一4矛=一1.配方，得/一4矛+(—2)2=—1+(—2)2.即5—2)2=3.解

這個(gè)方程，得x一2=±#..?.耳=2+/，^>=2—^3.

方法總結(jié)：用配方法解一元二次方程，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)一元二次方程變形，轉(zhuǎn)化成開平

方所需的形式.

［類型三］用配方解決求值問題

x-2y

I例?已知：x+4^+/—6y+13=0,求7+7的值.

解：原方程可化為(x+2)?+(y—3尸=0,.?.(x+2)2=0且(y—3)2=0,.?.x=-2且y

.H-U-2-68

=3,.,?原式=77=^7

［類型四］用配方解決證明問題

的U(1)用配方法證明2系-4*+7的值恒大于零；

(2)由第(1)題的啟發(fā)，請(qǐng)你再寫出三個(gè)恒大于零的二次三項(xiàng)式.

證明:(1)2、-4犬+7=2(*—2力+7=2(f—2矛+1—1)+7=2(矛一1)2—2+7=25

-l)2+5.V2(^-l)2^0,；.2(x—1)?+525,即2步一4才+725,故2*—4x+7的值

恒大于零.

(2)f—2x+3；2f—2x+5；3/+6矛+8等.

［類型五］配方法與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用

砸I證明關(guān)于x的方程(蘇一8R+17)，+2RX+1=0不論加為何值時(shí)，都是一元二次

方程.

解析：要證明“不論勿為何值時(shí)，方程都是一元二次方程”，只需證明二次項(xiàng)系數(shù)序

-8/Z/+17的值不等于0.

證明：?.?二次項(xiàng)系數(shù)/—8加+17=/—8加+16+1=(加一4尸+1,又(ZZ7—4)2?0,

(加一4產(chǎn)+1>0,即/-8/+17>0..?.不論應(yīng)為何值時(shí)，原方程都是一元二次方程.

三、板書設(shè)計(jì)

［相關(guān)例題相關(guān)例題］

四、教學(xué)反思

教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)配方法解方程就是將方程左邊配成完全平方式的過程.因此需熟練

掌握完全平方式的形式.

第4課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；

2.會(huì)用公式法解一元二次方程.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程.

【教學(xué)難點(diǎn)】

用公式法解一元二次方程.

教學(xué)過程

一、情景導(dǎo)入

如果這個(gè)一元二次方程是一般形式a*+8x+c=0(aW0),你能否用配方法的步驟求

出它們的兩根？請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題.

問題：已知a*+8x+c=O(aWO),且N—4ac20,試推導(dǎo)它的兩個(gè)根與=

-b+yj8-4ac-b—~6-4ac

2a，至=2a

二、合作探究

探究點(diǎn)一：用公式法解一元二次方程

砸I方程3f—8=7x化為一般形式是,其中a=,b=,

c=,方程的根為，

解析：將方程移項(xiàng)可化為7x—8=0.其中a=3,b=~7,c=~8,因?yàn)?ac

=(—7)-4X3*(-8)=145>0,代入求根公式可得?土尸.

故答案分別為3*—7x—8=0,3,—7,—8,J4'.

O

方法總結(jié)：一元二次方程af+bx+c=0(aW0)的根是由方程的系數(shù)a,b,c確定的，

只要確定了系數(shù)a,b,c的值，代入公式就可求得方程的根.

?用公式法解下列方程：

(1)-3/-5^+2=0：(2)2V+3x+3=0；

(3)x—2x+1=0.

解析：先確定a,b,c及N—4ac的值，再代入公式求解即可.

解：⑴-3x—5x+2=0,3x'+5x-2=0.

a=3,6=5,c=-2,

：.^-4ac=52~4X3X(-2)=49>0,

.-5±^\/^-5+7

??x=2X3=-6—，

1

X2=—2；

(2)Va=2,6=3,c=3,

/.Z?2-4ac=32-4X2X3=9-24=-15<0,

...原方程沒有實(shí)數(shù)根；

(3)Va=1,b=—2,c=l,

：.i)-4ac=(-2)2-4XlXl=0,

._2±V0_2±0

??x=2X1=2，

??X\~~X?==1.

方法總結(jié)：用公式法解一元二次方程時(shí)，首先應(yīng)將其變形為一般形式，然后確定公式

中a,b,。的值，再求出4ac的值與“0”比較，最后利用求根公式求出方程的

根(或說明其沒有實(shí)數(shù)根).

［類型二］一元二次方程解法的綜合運(yùn)用

砸1三角形的兩邊分別為2和6,第三邊是方程f—10x+21=0的解，則第三邊的

長(zhǎng)為()

A.7B.3

C.7或3D.無法確定

解析：解一元二次方程*一10矛+21=0,得用=3,應(yīng)=7.根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，

第三邊還應(yīng)滿足4Vx<8.所以第三邊的長(zhǎng)x=l.故選A.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是正確求解一元二次方程，并會(huì)運(yùn)用三角形三邊的關(guān)系進(jìn)行取

舍.

三、板書設(shè)計(jì)

一元二次方程

的求根公式

一元二次方程的

解法（公式法）

用公式法解一

元二次方程

四、教學(xué)反思

經(jīng)歷從用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程到解字母系數(shù)的一元二次方程，探索求根

公式，通過對(duì)公式的推導(dǎo)，認(rèn)識(shí)一元二次方程的求根公式適用于所有的一元二次方

程.體會(huì)數(shù)式通性，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性.提高學(xué)生的運(yùn)算能力，

并養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣

第5課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.理解并掌握一元二次方程根的判別式，能運(yùn)用判別式，在不解方程的前提下判斷

一元二次方程根的情況；

2.通過一元二次方程根的情況的探究過程，體會(huì)從特殊到一般、猜想及分類討論的

數(shù)學(xué)思想，提高觀察、分析、歸納的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

一元二次方程根的判別式.

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用判別式在不解方程的前提下判斷一元二次方程根的情況.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

老師寫了4個(gè)一元二次方程讓同學(xué)們判斷它們是否有解，大家都才解第一個(gè)方程呢，

小強(qiáng)突然站起來說出每個(gè)方程解的情況，你想知道他是如何判斷的嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：一元二次方程的根的情況

【類型一】判斷一元二次方程根的情況

砸I不解方程，判斷下列方程的根的情況.

(1)21+3x—4—0；

⑵/-x+；=0；

(3)*—x+l=0.

解析：根據(jù)根的判別式我們可以知道當(dāng)b2~4ac^0時(shí)，方程才有實(shí)數(shù)根，而i/-4ac<0

時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.由此我們不解方程就能判斷一元二次方程根的情況.

解：(1)2A,2+3^—4=0,a=2,b=3,c=——4,Z>2—4ac=32—4X2X(—4)=41>

0.??.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)/—x+［=0,a=l,b=—\,c=；....N—4ac=(-I)?—4X1X；=O..?.方程有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

⑶/一x+l=0,a=l,b=—\,c=1.Z/—4ac=(一1尸一4X1X1=-3VO..,.方

程沒有實(shí)數(shù)根.

方法總結(jié)：給出一個(gè)一元二次方程，不解方程，可由6?—4ac的值的符號(hào)來判斷方程

根的情況.當(dāng)^-4ac>0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Iac=O

時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)4acV0時(shí)，一元二次方程無實(shí)數(shù)根.

［類型二］由一元二次方程根的情況確定字母系數(shù)的取值

?已知關(guān)于x的一元二次方程(a—l)f—2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a

的取值范圍是()

A.a>2B.a<2

C.a<2月.aWlD.a<-2

解析：由于一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，判別式大于0,得到一個(gè)不等式，

再由二次項(xiàng)系數(shù)不為0知a—l不為0.即4—4(a—1)>0且4-1#0,解得a<2且a

W1.選C.

方法總結(jié)：若方程有實(shí)數(shù)根，則62—4ac20.由于本題強(qiáng)調(diào)說明方程是一元二次方程，

所以，二次項(xiàng)系數(shù)不為0.因此本題還是一道易錯(cuò)題.

［類型三］?元二次方程根的判別式與三角形的綜合

由已知a,b,c分別是△力a'的三邊長(zhǎng)，求證：關(guān)于“的方程^^+出+犬一4)*

+/=0沒有實(shí)數(shù)根.

解析：欲證一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，只需證明它的判別式△<()即可.由a,8,c

是三角形三條邊的長(zhǎng)可知a,b,c都是正數(shù).由三角形的三邊關(guān)系可知a+力c,a+

c>b,b+c,>a.

證明：為三角形一邊的長(zhǎng)，，我領(lǐng)，.../3+3+1—，)犬+/=0是關(guān)

于x的一元二次方程.A=(Z>24-c2—a2)"-4Z?2c2=(Z>2+c—a2+2Z?c)(Z?L+c2—a2—

2be)=[(6+c)'—a][(Z?—c)'—a2]=(8+c+a)(Z>+c—a)(8—c+a)(Z>—c—a)=(a

+8+c)[(b+c)—a][(a+Z>)—c]\_b—(a+c)].Va,b,c是三角形三條邊的長(zhǎng)，

a>0,b>0,c>0,且a+6+c>0,a+b>c,b+c>a,a+c>b.(Z?+<?)—a>0,(a+A)

—c〉0,b—(a+c)<0,(a+8+c)[(8+c)—a][(a+8)—c]\_b—(a+c)]<0,即△<0.

原方程沒有實(shí)數(shù)根.

方法總結(jié)：利用根的判別式與三角形的三邊關(guān)系：常根據(jù)判別式得到關(guān)于三角形三邊

的式子，再結(jié)合三邊關(guān)系確定△符號(hào).

[類型四]利用根的判別式解決存在性問題

硒1是否存在這樣的非負(fù)整數(shù)加，使關(guān)于x的一元二次方程序/一(2加-1)萬+1=0有

兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，請(qǐng)求出R的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：不存在，理由如下：

假設(shè)於一(2kl)x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則[一(27一1)了一4/0,解得

舄.：川為非負(fù)整數(shù)，；.卬=0.

而當(dāng)加=0時(shí)，原方程(2加一1)*+1=0是一元一次方程，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，與

假設(shè)矛盾.

不存在這樣的非負(fù)整數(shù)，使原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

易錯(cuò)提醒：在求出勿=0后，常常會(huì)草率地認(rèn)為/=0就是滿足條件的非負(fù)整數(shù)，而忽

略了二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一隱含條件，因此解題過程中務(wù)必考慮全面.

三、板書設(shè)計(jì)

四、教學(xué)反思

本節(jié)課是在一元二次方程的解法的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)根的判別式的應(yīng)用.學(xué)生容易在計(jì)算

取值范圍的時(shí)候忘記二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，這是本節(jié)課需要注意的地方，應(yīng)予以特別

強(qiáng)調(diào).

第6課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

2.會(huì)不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)解決問題.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

【教學(xué)難點(diǎn)】

利用一元二次方程的根與系數(shù)解決問題.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

一般地，對(duì)于關(guān)于x的方程f+px+q=O（0q為已知常數(shù)，4—4g20）,試用求根

公式求出它的兩個(gè)解小、在，算一算為+也、為?用的值，你能得出什么結(jié)果？

二、合作探究

探究點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

［類型—］利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于方程根的代數(shù)式的值

睡1已知加、〃是方程2f一矛一2=0的兩實(shí)數(shù)根，則工+工的值為（）

inn

11

A.-1B.-C.—-D?1

解析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可以求出勿+〃和他的值，再將原代數(shù)式變形后，整體

代入計(jì)算即可.因?yàn)榧?、〃是方?/一X一2=0的兩實(shí)數(shù)根，所以mn=—1,

乙

1

1.1〃+加215、用八

一+-=---彳故選

mnmn=—-T1=—2?C.

方法總結(jié)：解題時(shí)先把代數(shù)式變形成與兩根和、積有關(guān)的形式，注意前提:方程有兩

個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，判別式大于或等于0.

［類型二］根據(jù)方程的根確定一元二次方程

砸I已知一元二次方程的兩根分別是4和一5,則這個(gè)一元二次方程是（)

A.6x+8=0B.1+9x—1=0

C.—x—6=0D.V+x—20=0

解析：,方程的兩根分別是4和一5,設(shè)兩根為X,x2,則為+吊=—1,用?尼=-20.

如果令方程ax+/?x+c=0中，a=l,則-6=—1,c=-20....方程為f+x—20=

0.故選D.

方法總結(jié)：先把所構(gòu)造的方程的二次項(xiàng)系數(shù)定為1,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)

系確定一元二次方程一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

［類型三］根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系確定方程的解

廁?已知x=4是一元二次方程*—3x+c=0的一個(gè)根，則另一個(gè)根為.

解析：設(shè)另一根為不”則由根與系數(shù)的關(guān)系得為+4=3,.?.%=—1.故答案為x=一

1.

方法總結(jié)：解決這類問題時(shí)，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系列出方程即可解決.

［類型四］利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系確定字母系數(shù)

砸1關(guān)于x的方程2a=0的兩根的平方和是5,則a的值是()

A.-1或5B.1

C.5D.-1

解析：將兩根平方和轉(zhuǎn)化為用兩根和、積表示的形式，從而利用一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系解決.設(shè)方程兩根為濟(jì)，如由題意，得y+第=5....(*+均2—2為也=5.

""Xy-\-x2=a,X\X2=2a,a2—2X2a=5.解得a=5,&=—1.又：&=<32—8打，當(dāng)a

=5時(shí)，△<(),此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根，所以舍去a=5.當(dāng)a=-l時(shí)，A>0,此時(shí)方程有

兩實(shí)數(shù)根.所以取a=-l.故選D.

方法總結(jié)：解答此類題的關(guān)鍵是將與方程兩根有關(guān)的式子轉(zhuǎn)化為用兩根和、積表示的

形式，從而利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.注意不要忽略題目中的隱含

條件△》()，導(dǎo)致解答不全面.

［類型五］一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的情況的綜合應(yīng)用

砸I已知小、房是一元二次方程(a—6)x?+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)是否存在實(shí)數(shù)a,使一所+及涇=4+在成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)

你說明理由；

(2)求使(為+1)(而+D為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值.

解:(1)根據(jù)題意，得==(2向2—4*以且-6)=2備20.解得^20.又..二一6/0,..心

2石

"6?由根與系數(shù)關(guān)系得：為+x尸一xx=——：.由一崗+崗而=4+用得Xi+至

{2a—O

ooaoao

+4=小尼，-T+4=—,解得a=24.經(jīng)檢驗(yàn)a=24是方程——+4=—的

劉一6a—ba—b方一b

解.即存在a=24,使一%+為用=4+蒞成立.

2aa6

(2)原式="+及+耳苞+1=一—+力+1==為負(fù)整數(shù)'則6—a為一1或一2,

-3,-6.解得a=7或8,9,12.

三、板書設(shè)計(jì)

|復(fù)習(xí)求根公式|

?元二次方程

［求相關(guān)代數(shù)式的值

四、教學(xué)反思

教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是通過求根公式得到的，在利用此

關(guān)系確定字母的取值時(shí)，一定要記住△20這個(gè)前提條件.

22.3實(shí)踐與探索

第1課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.

2.繼續(xù)探究實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解應(yīng)用題.

3.通過探究體會(huì)列方程的實(shí)質(zhì)，提高靈活處理問題的能力.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

列出一元二次方程解應(yīng)用題.

【教學(xué)難點(diǎn)】

用面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

如圖，在長(zhǎng)為10cm,寬為8cm的矩形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形，使得留

下的圖形(圖中陰影部分)面積是原矩形面積的80%,你能求出所截去小正方形的邊長(zhǎng)

嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：用一元二次方程解決圖形面積問題

［類型一］利用面積構(gòu)造一元二次方程模型

頤1用10米長(zhǎng)的鋁材制成一個(gè)矩形窗框，使它的面積為6平方米.若設(shè)它的一條邊

長(zhǎng)為x米，則根據(jù)題意可列出關(guān)于x的方程為()

A.x(5+x)=6B.x(5—x)=6

C.x(10—x)=6D.x(10—2x)=6

解析：設(shè)一邊長(zhǎng)為x米，則另外一邊長(zhǎng)為(5—x)米，根據(jù)它的面積為6平方米，即可

列出方程得：x(5—x)=6,故選擇B.

方法總結(jié)：理解題意，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，把題中相關(guān)的量用未知數(shù)表示出來，用相等

關(guān)系列出方程.

?現(xiàn)有一塊長(zhǎng)80cm、寬60cm的矩形鋼片，將它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為xcm的

小正方形，做成一個(gè)底面積為1500cm2的無蓋的長(zhǎng)方體盒子，求小正方形的邊長(zhǎng).

解析：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則長(zhǎng)方體盒子底面的長(zhǎng)、寬均可用含x的代數(shù)式表

示，再根據(jù)面積，即可建立等量關(guān)系，列出方程.

解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則可得這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的底面的長(zhǎng)是(80—2x)cm,寬

是(60—2x)cm,根據(jù)矩形的面積的計(jì)算方法即可表示出矩形的底面積，方程可列為(80

-2x)(60—2x)=1500,整理得/—70x+825=0,解得肉=55,吊=15.又60—2上0,

.?.x=55(舍)....小正方形的邊長(zhǎng)為15cm.

方法總結(jié)：要從已知條件中找出關(guān)鍵的與所求問題有關(guān)的信息，通過圖形求出面積，

解題的關(guān)鍵是熟記各種圖形的面積公式，列出符合題意的方程，整理即可.

［類型二］整體法構(gòu)造一元二次方程模型

砸1如圖，在一塊長(zhǎng)為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂

直的道路(兩條道路分別與矩形的一條邊平行)，剩余部分種上草坪，使草坪面積為

300平方米.設(shè)道路寬為x米，根據(jù)題意可列出的方程為.

解析：解法一：把兩條道路平移到靠近矩形的一邊上，用含x的代數(shù)式表示草坪的長(zhǎng)

為(22—x)米，寬為(17—x)米，根據(jù)草坪的面積為300平方米可列出方程(22—才)(17

—X)=300.

解法二：根據(jù)面積的和差可列方程：22X17-22^-17^+7=300.

方法總結(jié)：解答與道路有關(guān)的面積問題，可以根據(jù)圖形面積的和差關(guān)系，尋找相等關(guān)

系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移構(gòu)建特殊的圖形，并利用面積建

立方程求解.

［類型三］利用一元二次方程解決動(dòng)點(diǎn)問題

APC

例El如圖所示，在△力8c中，ZC=9Q°,AC=&cm,8C=8cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)力出發(fā)沿邊

力。向點(diǎn)。以lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從。點(diǎn)出發(fā)沿方邊向點(diǎn)8以2cm/s的速度移動(dòng).

(1)如果只0同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使△尸我的面積為8平方厘米？

(2)點(diǎn)只。在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△尸。。的面積等于a'的面積

的一半.若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說明理由.

解析：這是一道動(dòng)態(tài)問題，可設(shè)出未知數(shù)，表示出所與制的長(zhǎng)，根據(jù)面積公式建立

方程求解.

解：⑴設(shè)xs后，可使△尸。。的面積為8cm)所以AP=xcm,PC=(6—x)cm,CQ=2xcv\.

則根據(jù)題意，得;?(6—x)?2x=8.整理，得V—6x+8=0,解這個(gè)方程，得及=2,

a=4.所以尸、0同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使的面積為8cm)

(2)設(shè)點(diǎn)。出發(fā)x秒后，的面積等于△48。面積的一半.則根據(jù)題意，得夕6—

x)?2x=JxJx6X8.整理，得/一6葉12=0.由于此方程沒有實(shí)數(shù)根，所以不存在

乙乙

使的面積等于面積一半的時(shí)刻.

三、板書設(shè)計(jì)

四、教學(xué)反思

與圖形有關(guān)的問題是一元二次方程應(yīng)用的常見題型，解決這類問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則

圖形分割或補(bǔ)全成規(guī)則圖形，找出各部分面積之間的關(guān)系，運(yùn)用面積等計(jì)算公式列出

方程；對(duì)圖形進(jìn)行分割或補(bǔ)全的原則：轉(zhuǎn)化成為規(guī)則圖形時(shí)越簡(jiǎn)單越直觀越好.

第2課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問題.

2.會(huì)解有關(guān)“增長(zhǎng)率”及“銷售”方面的實(shí)際問題.

教學(xué)重難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】

用“倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問題.

【教學(xué)難點(diǎn)】

解有關(guān)“增長(zhǎng)率”及“銷售”方面的實(shí)際問題.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

月季花每盆的盈利與每盆的株數(shù)有一定的關(guān)系.每盆植3株時(shí)，平均每株盈利4元；

若每盆增加1株，平均每株盈利減少0.5元.要使每盆的盈利達(dá)到15元，每盆應(yīng)多

植多少株？

二、合作探究

探究點(diǎn)：用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問題

［類型一］增長(zhǎng)率問題

硒I某工廠一種產(chǎn)品2019年的產(chǎn)量是100萬件，計(jì)劃2021年產(chǎn)量達(dá)到121萬件.假

設(shè)2019年到2021年這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率相同.

(1)求2019年到2021年這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率；

(2)2020年這種產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到多少萬件？

解析：(1)通過增長(zhǎng)率公式列出一元二次方程即可求出增長(zhǎng)率；(2)依據(jù)求得的增長(zhǎng)率,

代入2020年產(chǎn)量的表達(dá)式即可解決.

解：(1)設(shè)這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率為無根據(jù)題意列方程得100(1+X)2=121,解得

由=0.1,%=—2.1(舍去).

答：這種產(chǎn)品產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率為10%

(2)100X(1+10%)=110(萬件).

答：2020年這種產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到110萬件.

方法總結(jié)：增