導數交點問題(函數圖像)

2例1（福建理科第21題已知函數－x+8x,g(x)=6lnx+m2（Ⅰ）求f(x)在間t,t+1]上最大值h(t);（Ⅱ）是否存在實數m，使得y=f(x)的象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的值范圍不存在，說明理由。解）略（II）∵函數y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，∴令f(x)=g(x)∴g(x)－∵x>0∴數(x)=g(x)－=

x+m的象與x軸正半軸有且只有三個不同的交點?！?/p>

xxx'()xx

(當x∈(0,1)時，

1

(

〉，

)

是增函數；當x∈(1,3)時，

(

〈，

)

是減函數；當x∈(3,+∞時，

()

〉，

)

是增函數；當x=1或時

(

=0?！鄻O大值

極小值

15.∵當x→0時

(x)→

，當

時，

(x)

∴要使

(x)=0有個不同的正實數根，須且只須極大值)m＋6ln0,極小值∴7<m<15－6ln3.所以存在實數m，使得函數y=f(x)y=g(x)圖象有且只有三個不同的交點m的取值范圍為（，15—6ln3）（分草圖見下圖1圖1

圖2

圖3引申1：如果（Ⅱ）中“有且只三個不同的交點”變?yōu)椤坝星抑挥幸粋€不同的交點”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為

x)

或

x)

m-7<0，即m>15-6In3或m<7時數y=f(x)與y=g(x)的象有且只有一個不同的交分草圖見圖和3引申2：如果（Ⅱ）中“有且只三個不同的交點”變?yōu)椤坝星抑挥袃蓚€不同的交點”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為

x)

或

x)

m-7=0，1

即m=15-6In3或m=7時數y=f(x)與y=g(x)的象有且只有兩個不同的交分草圖見圖和5圖4

圖5從上題的解答我們可以看出用數來探討函數y=f(x)圖象與函數y=g(x)的象的交點問題，有以下幾個步驟：①構造函數

(x)=f(x)g(x)②導

(

③研究函數

(x)的單調性和極值（必要時要研究函數圖象端點的極限情況）④畫出函(x)的圖，觀察與x軸的交點情況，列不等式⑤解不等式得解解題的關鍵是會用數形結合思想來研究問題。下面用這幾個步驟來完成年四川卷第21題例2（四川卷第21題已知函f()是的f(x)的導函數。

3+3ax

f

其中（Ⅰ）對滿足

a的切a的，都有

求實數ｘ的取值范圍；（Ⅱ設

當實數ｍ在什么范圍內變化時數ｙ＝f(x)圖像與直線ｙ＝只一個公共點。解）略（Ⅱ）

f(x)3axf'

2

2①當

m

時，

f

的圖象與直線

只有一個公共點②當

m

時，令

(x)=f(x)-3=

x，1=3x=3x2m2列表：

((x)

（單調遞增

極大

單調遞減

極小

單調遞增x

小值

〈又∵

(x)的值域是

R

，且在

上單調遞增∴當

xm時數)

的圖象與x軸有一個公共點。當xm時恒有))2

由題意得

()即

2m解得

綜上，的值范圍是32（析草圖見圖6）圖當然，題目并不是千篇一律的，也有些變式，但是基本方法沒有變化。如2006年建文科卷21題。f(x)例3（福建文科卷第21題）知。在區(qū)間f(x)（）的解析式；

f(x)

是二次函數，不等式

f(x的集是(0,5),且（II是否存在實數

m,使方程f()

37x

在間(m

內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出取值范圍；若不存在，說明理由。解）

x

(過程略（）程

f(x)

37x

等價于方程

2x3x237設

(x)x則

'(x)x

2

x當

x(時'(x0,h(x)

是減函數；當

x

103

)

時，

x)0,h)

是減函數；當

10x(,，x)0,h)3

是增函數圖7）圖101hh()327

0,

方程

()

在區(qū)間

10),(4)33

內分別有惟一實數根，而在區(qū)間

(0,3),(4,

內沒有3

222實數根，222所以存在惟一的自然數3,使方程

f(x)

37x

在間(m

內有且只有兩個不同的實數根。從上面的探討，我們可以看出，在今后的數學學習過程中，我們除了要加強數學基礎知識的學習，還要學會用數學思想方法來研究問題，只有這樣，我們才能以不變應萬變，才能提高我們的創(chuàng)新能力和實踐能力。練對于公比為2，首項為1的比列是存在一個等差數列其存在三項，使得這三項也是此等比數列中的項，并且項數也相同？證明你的結論。解：設等比數列

n

，則

bn

n

，設等差數列通項對應的函數為

y

，等比數列通項對應的函數

y

x

，x由，yax

，設

fx)2

x

ax

，則

f'()

x

當

a0

時，顯然

f'()

，即

f(x)0

為單調遞增函數，故

yf()

至多與

軸有一個交點，即方程

至多有一個根；當a時若log

2

a，則f'(x)；loglnln

，則

f'()

；故

yf()

在

(log

2

a)為函；在(1ln2ln2

為增函數；因此

yf()

的圖象在

(

2

aa)上x軸多一個交點在(1,ln2ln2

上亦至多一個交點，從而

yf()

在

R上x軸多有兩個交點，即方程

至多有兩個根；x